第三章 可變端點的橫截條件

第三章可變端點的橫截條件第1頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月預(yù)備知識：對定積分的求導(dǎo)對于函數(shù)（1）萊布尼茲法則——對定積分的求導(dǎo)（2.6)第2頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月（2）積分上限函數(shù)的求導(dǎo)（2.8)第3頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月由積分中值定理得證：第4頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月（3）對積分下限函數(shù)求導(dǎo)證：根據(jù)對積分上限函數(shù)求導(dǎo)的公式，得：（2.9)第5頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月(4)如果定積分具有如下形式：根據(jù)（2.6）式和（2.8）式，得：（2.11)第6頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月可變終結(jié)點問題：假設(shè)是已知的最優(yōu)終結(jié)時間，在鄰近的任何值可以表示為由于已知并且是一個預(yù)選的量，所以，T可被視為的一個函數(shù)，其導(dǎo)數(shù)為第一節(jié)一般性橫截條件T是的一個函數(shù)，所以函數(shù)V中積分上限隨著的變化而變化。最大化或最小化第7頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月推導(dǎo)一般的橫截條件：步驟1（3.6）（3.6）式第二項:根據(jù)上一章的推導(dǎo)過程,得（3.6）式第一項:把這些代入(3.6)，并令，得：第40頁（3.7）第8頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月步驟2通過把轉(zhuǎn)化為含和（3.8）第9頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月步驟3把（3.8）式代入（3.7），得：（3.7）歐拉方程一般橫截條件（3.8）第2步驟推導(dǎo)得到：第1步驟推導(dǎo)得到：第10頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月特殊橫截條件垂直終結(jié)線（固定時間水平問題）以上推導(dǎo)得到一般橫截條件：垂直終結(jié)線涉及一個固定的T，從而又因為是任意的，就產(chǎn)生的橫截條件：垂直終結(jié)線的橫截條件第二節(jié)特殊橫截條件第11頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月特殊橫截條件水平終結(jié)線（固定端點問題）一般橫截條件又因為是任意的，就產(chǎn)生的橫截條件：水平終結(jié)線的橫截條件水平終結(jié)線涉及一個固定的，從而第12頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月特殊橫截條件終結(jié)曲線一般橫截條件把該式代入一般橫截條件，得：終結(jié)曲線的橫截條件終結(jié)曲線，和都未被賦予零值。又因為是任意的，就產(chǎn)生的橫截條件：第13頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月特殊橫截條件截斷垂直終結(jié)線一般橫截條件對點Z1，即，那么終結(jié)限制自動被滿足，可直接使用截斷終結(jié)線條件：對點Z2和Z3，即。最大化問題的截斷垂直終結(jié)線橫截條件(對于最大化V的問題)第14頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月特殊橫截條件截斷垂直終結(jié)線一般橫截條件對點Z1，即，那么終結(jié)限制自動被滿足，可直接使用截斷終結(jié)線條件：對點Z2和Z3，即。最大化問題的截斷垂直終結(jié)線橫截條件(對于最小化V的問題)第15頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月即在約束的情況下求的最大化。根據(jù)求最大值的庫恩塔克條件，得：第16頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月庫恩塔克條件：第17頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月特殊橫截條件截斷水平終結(jié)線一般橫截條件Tmax對點M1，即，那么終結(jié)限制自動被滿足，可直接使用截斷終結(jié)線條件：對點M2和M3，即，那么終結(jié)限制才被滿足。最大化問題截斷水平終結(jié)線的橫截條件(對于V的最大化)第18頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月特殊橫截條件截斷水平終結(jié)線一般橫截條件Tmax對點M1，即，那么終結(jié)限制自動被滿足，可直接使用截斷終結(jié)線條件：對點M2和M3，即，那么終結(jié)限制才被滿足。最大化問題截斷水平終結(jié)線的橫截條件(對于V的最大化)第19頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月在約束的情況下求的最大化。根據(jù)求最大值的庫恩塔克條件，得：Tmax即點M2和M3：第20頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月具有邊界條件：例2求下列泛函的極值曲線。根據(jù)歐拉方程，可得：根據(jù)直接積分，得第21頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月10yt01根據(jù)水平終結(jié)線的橫截條件：代入水平終結(jié)線橫截條件。和（在t=T處）通解為第22頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月第三節(jié)橫截條件的推廣（一）一個可變初始點如果初始點是可變的，那么邊界條件不再成立。需要一個初始橫截條件來填補(bǔ)這個空白。（二）多個狀態(tài)變量情形當(dāng)目標(biāo)函數(shù)出現(xiàn)多個狀態(tài)變量時，被積函數(shù)表示為：一般橫截條件為：當(dāng)目標(biāo)函數(shù)只有一個狀態(tài)變量時，被積函數(shù)為：一般橫截條件為：第23頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月（二）高階導(dǎo)數(shù)的情況泛函具有被積函數(shù)，經(jīng)濟(jì)學(xué)中很少出現(xiàn)高階導(dǎo)數(shù)的情況。以被積函數(shù)為例，一般橫截條件為：第24頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月