第三章 復(fù)變函數(shù)積分

第三章復(fù)變函數(shù)積分第1頁，課件共80頁，創(chuàng)作于2023年2月§3.1復(fù)變函數(shù)的積分1積分的概念2積分存在條件及性質(zhì)3積分的計算第2頁，課件共80頁，創(chuàng)作于2023年2月3.1.1積分的概念定義3.1設(shè)C是復(fù)平面上以z0為起點,Z為終點有向簡單連續(xù)曲線，是C上的復(fù)變函數(shù).在C上依次取分點把曲線C分割為n個小段.(如圖)第3頁，課件共80頁，創(chuàng)作于2023年2月在每個小弧段上任取一點做和數(shù)其中，令第4頁，課件共80頁，創(chuàng)作于2023年2月如果分點的個數(shù)無限增多，并且極限存在,則稱該極限值為函數(shù)在曲線C上的積分,并記作即如果C是閉曲線，經(jīng)常記作當(dāng)C是實軸上的區(qū)間方向從a到b,并且為實值函數(shù)，那么這個積分就是定積分.第5頁，課件共80頁，創(chuàng)作于2023年2月3.1.2積分存在的條件及積分性質(zhì)定理3-1設(shè)C是分段光滑(或可求長)的有向曲線，在C上連續(xù)，則存在，并且第6頁，課件共80頁，創(chuàng)作于2023年2月從形式上可以看成第7頁，課件共80頁，創(chuàng)作于2023年2月定理3-1’設(shè)光滑曲線是起點,是終點，則第8頁，課件共80頁，創(chuàng)作于2023年2月復(fù)變函數(shù)的積分具有如下一些性質(zhì).(4)設(shè)C1的終點是C2的起點,C=C1+C2,則(k是復(fù)常數(shù));第9頁，課件共80頁，創(chuàng)作于2023年2月其中,是與兩點之間弧段的長度.根據(jù)積分定義，令即得性質(zhì)(5).估值不等式事實上,(5)設(shè)曲線C的長度為L,函數(shù)f(z)在C上滿足則第10頁，課件共80頁，創(chuàng)作于2023年2月例3.1設(shè)C是復(fù)平面上以z0為起點,z為終點的分段光滑(或可求長)曲線，則解根據(jù)積分的定義3.1.4

積分的計算第11頁，課件共80頁，創(chuàng)作于2023年2月解積分路徑的參數(shù)方程為例3.2計算積分(n是整數(shù)),其中C是圓周:的正向.第12頁，課件共80頁，創(chuàng)作于2023年2月重要結(jié)論：積分值與圓周的中心、半徑無關(guān).第13頁，課件共80頁，創(chuàng)作于2023年2月解(1)積分路徑的參數(shù)方程為y=x例3.3計算積分與其中C為(1)從原點到1+i的直線段；(2)

拋物線y=x2上從原點到1+i的弧段；(3)從原點沿x軸到1,再從1到1+i的折線.第14頁，課件共80頁，創(chuàng)作于2023年2月(2)積分路徑的參數(shù)方程為y=x第15頁，課件共80頁，創(chuàng)作于2023年2月y=x(3)積分路徑由兩段直線段構(gòu)成x軸上直線段的參數(shù)方程為1到1+i直線段的參數(shù)方程為第16頁，課件共80頁，創(chuàng)作于2023年2月例3.4

解：可見，積分與路徑無關(guān)僅與起點和終點有關(guān)。第17頁，課件共80頁，創(chuàng)作于2023年2月第18頁，課件共80頁，創(chuàng)作于2023年2月都是從相同的起點到相同的終點,沿著三條不注意1從例2.3看到,積分和相同的路徑進行,但是積分值不同,積分值相同.是否可以討論積分與積分路徑的關(guān)系?注意2一般不能將函數(shù)f(z)在以a為起點,以b為終點的曲線C上的積分記成因為積分值可能與積分路徑有關(guān),所以記第19頁，課件共80頁，創(chuàng)作于2023年2月§3.2Cauchy積分定理1Cauchy積分定理2復(fù)合閉路定理3典型例題第20頁，課件共80頁，創(chuàng)作于2023年2月定理3-2(柯西-古莎定理)

如果f(z)是單連說明:該定理的主要部分是Cauchy于1825年建立的,它是復(fù)變函數(shù)理論的基礎(chǔ).通區(qū)域D上的解析函數(shù)，則對D內(nèi)的任何一條閉曲線C,都有3.2.1Cauchy積分定理第21頁，課件共80頁，創(chuàng)作于2023年2月解因為函數(shù)例3.5計算積分在上解析,所以根據(jù)Cauchy積分定理,有第22頁，課件共80頁，創(chuàng)作于2023年2月解根據(jù)Cauchy積分定理得例3.6計算積分因為和都在上解析,所以第23頁，課件共80頁，創(chuàng)作于2023年2月這里用到了第24頁，課件共80頁，創(chuàng)作于2023年2月3.2.2復(fù)合閉路定理定理3-3設(shè)是多連通區(qū)域D內(nèi)函數(shù),那么其中C和Ck(1

k

n)取正向.如果f(z)是D上的解析的簡單閉曲線,都在C的內(nèi)部,它們邊界的閉區(qū)域含于D內(nèi).互不包含也互不相交,并且以為第25頁，課件共80頁，創(chuàng)作于2023年2月A1A2A3A4C1C2EFGIH證明不妨設(shè)n=2.作兩條輔助線(如圖).這樣由作為邊界G,圍成單連通區(qū)域.第26頁，課件共80頁，創(chuàng)作于2023年2月f(z)在G

所圍的區(qū)域內(nèi)解析,由第27頁，課件共80頁，創(chuàng)作于2023年2月當(dāng)n為其它值時，可同樣證明.在公共邊界(輔助線)上,積分兩次,方向相反,積分值之和等于0.所以第28頁，課件共80頁，創(chuàng)作于2023年2月3.2.3典型例題解顯然函數(shù)

例3.7計算積分其中G為包含圓周在內(nèi)的任意分段光滑正向簡單閉曲線.在復(fù)平面有兩個奇點0和1,并且G包含了這兩個奇點.第29頁，課件共80頁，創(chuàng)作于2023年2月在G內(nèi)作兩個互不包含也互不相交的正向圓周C1和C2,使得C1只包含奇點0,C2只包含奇點1.根據(jù),第30頁，課件共80頁，創(chuàng)作于2023年2月解顯然C1和C2圍成一例3.8計算積分其中G由正向圓周和負向圓周組成.個圓環(huán)域.函數(shù)在此圓環(huán)域及其邊界上解析,并且圓環(huán)域的邊界構(gòu)成復(fù)合閉路,所以根據(jù),第31頁，課件共80頁，創(chuàng)作于2023年2月例3.9求積分其中G為含z0的解因為z0在閉曲線G的內(nèi)部,任意分段光滑的簡單閉曲線,n為整數(shù).故可取充分小的正數(shù)r

,使得圓周含在G的內(nèi)部.可得再利用根據(jù),第32頁，課件共80頁，創(chuàng)作于2023年2月故這一結(jié)果很重要.與進行比較.第33頁，課件共80頁，創(chuàng)作于2023年2月§3.3Cauchy積分公式

1問題的提出2Cauchy積分公式3高階導(dǎo)數(shù)公式4典型例題第34頁，課件共80頁，創(chuàng)作于2023年2月3.3.1問題的提出定理知,當(dāng)r

充分小時,這個積分值與r的取值無關(guān),設(shè)f(z)在單連通區(qū)域D上解析,z0是D內(nèi)的一個定點,則在z0不解析.簡單閉曲線,當(dāng)r>0充分小時,根據(jù)復(fù)合閉路如果C是含z0在其內(nèi)部區(qū)域的分段光滑的第35頁，課件共80頁，創(chuàng)作于2023年2月所以這個積分值只與f(z)在z0附近的值有關(guān).因為f(z)在z0連續(xù),故上函數(shù)f(z)的值將隨著r的減小而接近因此,隨著r的減小,應(yīng)該有接近于從而第36頁，課件共80頁，創(chuàng)作于2023年2月3.3.2Cauchy積分公式Cauchy積分公式定理3-4設(shè)f(z)是單連通區(qū)域D上的解析函數(shù),z0是D內(nèi)的一個點,C是任意一條含z0在內(nèi)部區(qū)域的分段光滑(或可求長)閉曲線,則第37頁，課件共80頁，創(chuàng)作于2023年2月取R>0充分小,使得R<d,并且正向圓周G:證明f(z)在z0連續(xù),則

e>0,存在d>0,使得當(dāng)時,在C的內(nèi)部,則第38頁，課件共80頁，創(chuàng)作于2023年2月的值與R無關(guān),所以由e的任意性,可知根據(jù)實際上,積分第39頁，課件共80頁，創(chuàng)作于2023年2月關(guān)于Cauchy積分公式的說明:可見,函數(shù)在C內(nèi)部任一點的值可用它在邊界上（這是解析函數(shù)的一個重要特征）(1)從Cauchy積分公式的值通過積分來表示.第40頁，課件共80頁，創(chuàng)作于2023年2月這表明了Cauchy積分公式不但提供了計算(這是研究解析函數(shù)的有力工具)(2)如果曲線C上的點用z表示,C內(nèi)部的點用z表示,則Cauchy積分公式表示為某些復(fù)變函數(shù)沿閉路積分的一種方法,而且給出了解析函數(shù)的一個積分表達式.第41頁，課件共80頁，創(chuàng)作于2023年2月例3.10計算積分其中C是正向圓周解在C內(nèi)部作正向圓周根據(jù),第42頁，課件共80頁，創(chuàng)作于2023年2月因為在C1圍成的閉區(qū)域上解析,在C2圍成的閉區(qū)域上解析,所以由Cauchy積分公式第43頁，課件共80頁，創(chuàng)作于2023年2月3.3.3高階導(dǎo)數(shù)公式如果各階導(dǎo)數(shù)存在,并且導(dǎo)數(shù)運算可在積分號下進行,則由,解析函數(shù)的積分表達式為第44頁，課件共80頁，創(chuàng)作于2023年2月(1)解析函數(shù)是否存在各階導(dǎo)數(shù)?(2)導(dǎo)數(shù)運算可否在積分號下進行?我們有下面的Cauchy導(dǎo)數(shù)公式.第45頁，課件共80頁，創(chuàng)作于2023年2月高階導(dǎo)數(shù)公式定理3-5設(shè)函數(shù)f(z)在單連通區(qū)域D上解析,C是D內(nèi)分段光滑(或可求長)的正向閉曲線,z0在C的內(nèi)部區(qū)域,則f(z)在z0處存在各階導(dǎo)數(shù),并且其中C取正向.第46頁，課件共80頁，創(chuàng)作于2023年2月證明首先考慮n=1的情形.因為z0在C的內(nèi)部,故當(dāng)|

z|適當(dāng)小時,z0+

z也在C的內(nèi)部.所以應(yīng)用于是可知第47頁，課件共80頁，創(chuàng)作于2023年2月因為f(z)在C上解析,所以在C上連續(xù),故有界.第48頁，課件共80頁，創(chuàng)作于2023年2月于是存在M>0,使得|f(z)|

M.又因為z0是C內(nèi)部區(qū)域內(nèi)的點,所以存在R>0,使在C的內(nèi)部區(qū)域.因此當(dāng)z在C上時,取則所以其中L是曲線C的弧長.第49頁，課件共80頁，創(chuàng)作于2023年2月利用類似的方法可求得因此,當(dāng)時,從而證明了一個解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍然是解析函數(shù).第50頁，課件共80頁，創(chuàng)作于2023年2月高階導(dǎo)數(shù)公式的作用:

不在于通過積分來求導(dǎo),而在于通過求導(dǎo)來求積分.例3.11求積分解因為函數(shù)在復(fù)平面解析,在內(nèi),n=3,根據(jù)第51頁，課件共80頁，創(chuàng)作于2023年2月例3.12求積分解因為函數(shù)在復(fù)平面解析,在內(nèi),n=1,根據(jù)第52頁，課件共80頁，創(chuàng)作于2023年2月3.3.4

典型例題例3.13計算積分解由,第53頁，課件共80頁，創(chuàng)作于2023年2月例3.14設(shè)C表示正向圓周求于是而1+i在C內(nèi),所以解根據(jù),當(dāng)z在C內(nèi)時,第54頁，課件共80頁，創(chuàng)作于2023年2月例3.15計算積分其中解(1)根據(jù),第55頁，課件共80頁，創(chuàng)作于2023年2月(2)根據(jù),第56頁，課件共80頁，創(chuàng)作于2023年2月(3)根據(jù)以及前面的結(jié)果,第57頁，課件共80頁，創(chuàng)作于2023年2月例3.16計算下列積分,其中C是正向圓周解(1)因為函數(shù)在C內(nèi)z=1處不解析,但在C內(nèi)處處解析,所以根據(jù)第58頁，課件共80頁，創(chuàng)作于2023年2月(2)函數(shù)在C內(nèi)的處不解析.在C內(nèi)分別以i和-i為中心作正向圓周C1和C2,則函數(shù)在由圍成的區(qū)域內(nèi)解析,所以由第59頁，課件共80頁，創(chuàng)作于2023年2月于是同理第60頁，課件共80頁，創(chuàng)作于2023年2月解例3.17求積分其中n為整數(shù).(1)n

0時,函數(shù)在上解析.(2)n=1時,由得由得第61頁，課件共80頁，創(chuàng)作于2023年2月可得(3)n>1時,根據(jù)第62頁，課件共80頁，創(chuàng)作于2023年2月§3.4解析函數(shù)的原函數(shù)1原函數(shù)的概念2Newton-Leibniz公式第63頁，課件共80頁，創(chuàng)作于2023年2月3.4.1原函數(shù)的概念原函數(shù)之間的關(guān)系:定義3.2設(shè)f(z)是定義在區(qū)域D上的復(fù)變函數(shù),若存在D上的解析函數(shù)F(z)使得在D

內(nèi)成立，則稱F(z)是f(z)在區(qū)域D上的原函數(shù).如果f(z)在區(qū)域D上存在原函數(shù)F(z),則f(z)是解析函數(shù)，因為解析函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)仍是解析函數(shù).定理3-6設(shè)F(z)和G(z)都是f(z)在區(qū)域D上的原函數(shù),則(常數(shù)).第64頁，課件共80頁，創(chuàng)作于2023年2月那么它就有無窮多個原函數(shù),一般表達式為根據(jù)以上討論可知:證明設(shè)F(z)和G(z)都是f(z)在區(qū)域D上的根據(jù)可知,為常數(shù).原函數(shù),于是如果F(z)是f(z)在區(qū)域D上的一個原函數(shù)，(其中C是任意復(fù)常數(shù)).第65頁，課件共80頁，創(chuàng)作于2023年2月證明可利用定理3-7設(shè)f(z)是單連通區(qū)域D上的解析函數(shù),z0是D內(nèi)的一個點,C是D內(nèi)以z0為起點,z為終點的分段光滑(或可求長)曲線,則積分只依賴于z0與z,而與路徑C無關(guān).Riemann方程以及曲線積分路徑無關(guān)的充分必要條件來證明.下面利用Cauchy積分定理證明.中的Cauchy-和第66頁，課件共80頁，創(chuàng)作于2023年2月設(shè)C1與C2都是以D內(nèi)以z0為起點,z為終點的分段光滑曲線,又不妨設(shè)C1與C2都是簡單曲線.如果C1與C2除起點和終點之外,再沒有其他重點,則是簡單閉曲線,根據(jù)Cauchy定理有第67頁，課件共80頁，創(chuàng)作于2023年2月如果C1與C2除起點和終點之外,還有其他重點,在D內(nèi)再做一條以z0為起點,z為終點,除起點和終點之外,與C1與C2沒有其他重點的分段光滑曲線則由已證明的情形,第68頁，課件共80頁，創(chuàng)作于2023年2月如果f(z)在單連通區(qū)域D內(nèi)解析,則f(z)在以z0為起點,z為終點的D內(nèi)的分段光滑曲線C上積分,積分值與積分路徑無關(guān)，即可記為于是確定了D內(nèi)的一個單值函數(shù)第69頁，課件共80頁，創(chuàng)作于2023年2月定理3-8設(shè)f(z)是單連通區(qū)域D上的解析函數(shù),z0和z是D內(nèi)的點,則是f(z)在D上的原函數(shù).與微積分學(xué)中對變上限積分求導(dǎo)定理相同.第70頁，課件共80頁，創(chuàng)作于2023年2月3.4.2

Newton-Leibniz公式定理3-9設(shè)f(z)是單連通區(qū)域D上的解析函數(shù),F(z)是f(z)在D上的原函數(shù),z0和z1是D內(nèi)的兩點,則證明因為也是f(z)在D上的原函數(shù),根據(jù)其中C為常數(shù),易見第71頁，課件共80頁，創(chuàng)作于2023年2月說明:有了上述定理,復(fù)變函數(shù)的積分就可以用與微積分學(xué)中類似的方法去計算.第72頁，課件共80頁，創(chuàng)作于2023年2月復(fù)變函數(shù)的積分積分存在的條件及計算積分的性質(zhì)Cauchy積分定理原函數(shù)的概念復(fù)合閉路定理Cauchy積分公式高階導(dǎo)數(shù)公式Newton-Leibniz公式本章主要內(nèi)容第73頁，課件共80頁，創(chuàng)作于2023年2月1.Cauchy積分定理2.復(fù)合閉路定理

3.Cauchy積分公式與高階導(dǎo)數(shù)公式本章的重點4.復(fù)變函數(shù)積分的計算第74頁，課件共80頁，創(chuàng)作于2023年2月第3章作業(yè)第75頁，課件共80頁，創(chuàng)作于2023年2月GeorgeGreen(1793.7.14-1841.5.31)自學(xué)而成的英國數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家.出色地將數(shù)學(xué)方法應(yīng)用到電磁理論和其他數(shù)學(xué)物理問題.1928年出版了出版了小冊子《數(shù)學(xué)分析在電磁學(xué)中的應(yīng)用》,其中有著名的Green公式.40歲進入劍橋大學(xué)學(xué)習(xí),1839年聘為劍橋大學(xué)教授.他的工作培育了數(shù)學(xué)物理學(xué)者的劍橋?qū)W派,其中包括G.Stokes和C.Maxwell.第76頁，課件共80頁，創(chuàng)作于2023年2月IsaacNewton

(1642.12.25-1727.3.20)偉大