力學中的變換課件

力學中的變換武際可北京大學力學與工程科學系力學中的變換武際可1引言古希臘哲學家赫拉克利特（Heraclites,約公元前540年~前480年）說:“人不能兩次踏入同一條河”。極言萬物無時無刻不在變化。研究事物的變化乃是科學的真諦。不過，為了區(qū)分事物、為了識別變化的事物，我們必須抓住變化事物的不變性質(zhì)。所以認識在變化過程中，事物的不變性質(zhì)，乃是研究這種事物的關鍵。引言古希臘哲學家赫拉克利特（Heraclites,約公2引言在力學中，最早樸素地認識不變性質(zhì)的，大約是物體處于平衡時，進行微擾平衡不改變。13世紀約旦努在他的《重物的科學》中，就以這種觀點來處理杠桿平衡問題。實際上，這就是后來發(fā)展的虛功原理的萌芽。引言在力學中，最早樸素地認識不變性質(zhì)的，大約是物體處于3引言力學是研究物質(zhì)在空間中位置變化的科學，而幾何學是專門研究空間結(jié)構(gòu)的學科。所以力學和幾何學有著天生不可分的聯(lián)系。所以在1627年出版的我國最早的力學文獻《遠西奇器圖說》中說“數(shù)學、度學，重學之必須，為兄弟內(nèi)親，不可相離者也?！边@里重學就是力學，度學就是指幾何學。引言力學是研究物質(zhì)在空間中位置變化的科學，而幾何學是專4引言所以力學同數(shù)學的發(fā)展是同步的，或者說，有什么樣的數(shù)學就有什么樣的力學，反過來在一定的程度上也可以說有什么樣的力學就有什么樣的數(shù)學。力學的研究經(jīng)常是要了解客觀事物的質(zhì)和量兩個側(cè)面，而質(zhì)和量是不可分的，所以力學同數(shù)學自古便有緊密聯(lián)系的傳統(tǒng)。力學的任務是研究物質(zhì)在空間中的運動，而幾何是研究空間的，所以力學與幾何有著最為密切的聯(lián)系。力學與物理學的革命性的發(fā)展常常是和幾何聯(lián)系在一起的從阿基米德到斯梯芬時代，力學的研究內(nèi)容是靜力學。在幾何方面的主要工具是歐氏幾何。相應的計算工具是常量的代數(shù)運算。引言所以力學同數(shù)學的發(fā)展是同步的，或者說，有什么樣的數(shù)5引言從伽利略、惠更斯到牛頓、萊布尼茲的時代，力學研究的主要內(nèi)容是自由質(zhì)點的運動，特別是解決在引力作用下的自由質(zhì)點的運動。在幾何方面的主要工具是解析幾何，特別是有關圓錐曲線的解析幾何。在計算方面的主要工具則是引進了變量，發(fā)明了微積分，而且微積分的發(fā)明人牛頓與萊布尼茲自己也是著名的力學家，是那個時期的力學學科的開拓者。從拉格朗日到哈密爾頓和雅科比時代，力學主要的研究內(nèi)容是約束運動。在幾何方面的主要工具是引進了n維空間的概念，后來經(jīng)過黎曼的嚴格化，就是流形或黎曼幾何。而在分析方面的主要工具則是引進了泛函的概念，并且發(fā)展了求泛函極值的方法，也就是變分法，拉格朗日自己就是早期開拓變分法的主將。引言從伽利略、惠更斯到牛頓、萊布尼茲的時代，力學研究的6引言在20世紀末，力學又進入了一個重要的新階段，這就是以龐卡萊與李亞普諾夫為代表的發(fā)展動力系統(tǒng)的定性理論時代。定性理論與運動穩(wěn)定性的研究本來是從天體力學中提出來的一個理論課題，之后發(fā)現(xiàn)在一切力學系統(tǒng)中，甚至在由一切非線性常微分方程決定的系統(tǒng)中都有普遍理論與應用意義。簡單說，定性理論是研究系統(tǒng)解的性質(zhì)隨參數(shù)而變化的方向，例如有沒有周期解的變化、有沒有極限環(huán)的變化、解穩(wěn)定與不穩(wěn)定的變化等等。相應的幾何方面的主要工具就是拓撲學，而相應的計算工具是同倫與外微分等。至今經(jīng)過了100多年的發(fā)展，它仍然是世界上都很關心的研究領域。引言在20世紀末，力學又進入了一個重要的新階段，這就是7一些重要變換的歷史在所有的變化中，最為基本的變化就是位置的變化。為了描述位置的變化，從歷史上說，首先就要把位置用數(shù)量來表述。這就是坐標的引進。1637年笛卡爾（ReneDescartes，1596-1650)發(fā)表《LaGéométrie》奠定了解析幾何的基礎。從而產(chǎn)生了坐標變換的概念。一些重要變換的歷史在所有的變化中，最為基本的變化就是位置的變8一些重要變換的歷史1893年李（MariusSophusLie，1842-1899）出版了他積九年研究的成果于三卷書《TheoriederTransformationsgruppen》中。奠定了李群也就是變換群的基礎。一些重要變換的歷史1893年李（MariusSophus9一些重要變換的歷史1872年，德國數(shù)學家克萊因（FelixChristianKlein，1849-1925）在論文《VergleichendeBetrachtungenüberneueregeometrischeForschungen》中提出以變換來區(qū)分非歐幾何的理論。后來被稱為Erlangenprogram愛爾朗根綱領。

一些重要變換的歷史1872年，德國數(shù)學家克萊因（Felix10一些重要變換的歷史在引進了坐標和時間的變換后，人們自然要討論在這些變換下，哪些力學量保持不變。于是人們定義了以下三個力學量即：動量＝、角動量＝和能量＝。人們立即發(fā)現(xiàn)，這三個力學量分別在坐標的平移、旋轉(zhuǎn)和時間的平移之下保持不變。這就是著名的力學中的三大守恒定律。一些重要變換的歷史在引進了坐標和時間的變換后，人們自然要討論11一些重要變換的歷史1904年羅倫茨（H.Lorentz，1853-1928）引進了時間和空間變量的羅倫茨變換，在羅倫茨變換下，時空距離是不變量。其中c是光速。羅倫茨變換在后來相對論的發(fā)展中起了非常重要的作用。一些重要變換的歷史1904年羅倫茨（H.Lorentz，1812一些重要變換的歷史在研究了許多個別的不變量之后，人們需要從一般的觀點來討論變換和不變量。在力學問題被牛頓和拉普拉斯等人提為微分方程組之后，一個力學系統(tǒng)的變化可以用動力系統(tǒng)，，設給定初值為，它的解是（1）這個解實際上給出了從到的一個帶參數(shù)t的變換。李是系統(tǒng)研究這種變換的第一人。這個變換構(gòu)成了一個單參數(shù)變換群，也稱為單參數(shù)李群。一些重要變換的歷史在研究了許多個別的不變量之后，人們需要從一13一些重要變換的歷史設為的任一函數(shù)，一般來說如果

（2）則就是在變換（1）之下的一個不變量。顯然這個條件是充分必要的，這是因為進一步講，力學中的各種定律和各種方程，都是講在一定條件或過程中的不變量。都可以統(tǒng)一納入不變量的理論中去討論。一些重要變換的歷史設為的任一函數(shù)，一般來14勒讓德A.M.Legendre1752－1833

勒讓德15勒讓德變換是從以下偏微分方程出發(fā)的（3）其中令，再令R、S、T僅是p、q函數(shù)。

一些重要變換的歷史勒讓德變換是從以下偏微分方程出發(fā)的一些重要變換的歷史16令曲面的切平面為

（4）則應當有

（5）（4）式就在函數(shù)變量x,y與p,q之給出了一個變換。即令曲面的切平面為17由(4)微分得

由(4)微分得18把以上結(jié)果代入（3）就得到（5），這一變換可以把一個擬線性方程化歸為一個線性方程求解。

把以上結(jié)果代入（3）就得到（5），這一變換可以把一個擬線性方19勒讓德變換的一般提法把以上思想推廣。設有n個自變量的函數(shù)它具有直到二階的連續(xù)微商，取新的一組變量(6)

勒讓德變換的一般提法把以上思想推廣。設有n個自變量20它們組成對的一組變量替換，設其Jacobi行列式從（6）就可以把原變量反解出來。得（7）

（8）

考慮新函數(shù)

它們組成對的一組變量替換，設其Jac21可以證明（9）

在勒讓德變數(shù)替換下，兩個函數(shù)U，和

的關系由（8）給出，對應的變量與函數(shù)的關系由（6）和（9）給出。它概括了力學與物理上各種作用量之間的關系。

可以證明22在力學中常見的內(nèi)能與自由能之間有關系。變形能密度與余變形能密度之間有關系。它們都是勒讓德變換的實例在力學中常見的內(nèi)能23在分析力學中，拉格朗日方程是其中拉格朗日函數(shù)是T為動能，U為勢能。哈米爾頓函數(shù)與拉格朗日函數(shù)之間的關系是這實際上也是一個勒讓德變換。在這個變換下，拉格朗日方程就變換為哈米爾頓方程。在分析力學中，拉格朗日方程是其中拉格朗日函數(shù)是T為動能，U為24從應變能到胡—鷲原理也可以歸結(jié)為勒讓德變換令分別為彈性體的位移場、應力張量場和應變張量場。是應變能密度函數(shù)。D為彈性體所占的體積。則泛函取駐值的充分必要條件是從應變能到胡—鷲原理也可以歸結(jié)為勒讓德變換25

我們列舉了力學中的一些重要變換。通過這些變換以及在變換之下討論不變量的思想，一直是力學乃至物理學研究客觀規(guī)律的一種主導方法。這種方法指引下已經(jīng)取得了許多重要成果，而且還在發(fā)揮著重要作用。1.我們可以說力學和物理研究的內(nèi)容就是研究物質(zhì)運動在時間和空間變換下不變的性質(zhì)。不同的變換覺得了不同的研究領域。2.人們對變換研究的范圍，隨著歷史的發(fā)展也在不斷地擴充。開始是研究坐標的變換，后來研究坐標與時間的變換。再后來考慮速度以及各種導數(shù)的變換，最后像勒讓德變換那樣，討論未知函數(shù)也參與變換。于是我們有正則變換、接觸變換、貝克隆變換、達布變換等等。力學和物理越發(fā)展，所引進的變換就越多。結(jié)論我們列舉了力學中的一些重要變換。通過這些變換以及26結(jié)論3.通過研究變換可以把問題分類，以區(qū)分不同問題的類型。4.通過變換可以把問題化簡，化歸到同一等價類的最簡單的情形來求解。5.不同的變換下有不同的不變量，求得了不變量往往就得到動力學問題的一個第一積分，甚至得到問題的解。6.力學和物理的許多規(guī)律往往表述為一定的方程或等式。方程和等式從另外的角度來看，也可以看作是一種特別的不變量。所以對變換和不變量的討論實際上關系著整個