高一數(shù)學(xué)函數(shù)的概念練習(xí)題

高一數(shù)學(xué)函數(shù)的概念練習(xí)題元素a∈A，f(a)=a2-1，則f(0)的值為多少？⑵若函數(shù)f(x)=x2+bx+c的圖像過(guò)點(diǎn)(-1,0)和(2,0)，則b和c的值分別為多少？解析：【例1】⑴不是函數(shù)，因?yàn)閤取不同值時(shí)，y有兩個(gè)對(duì)應(yīng)值。⑵不是函數(shù)，因?yàn)閤取不同值時(shí)，y有兩個(gè)對(duì)應(yīng)值。⑶是函數(shù)，因?yàn)閤取不同值時(shí)，y只有一個(gè)對(duì)應(yīng)值。⑷不是函數(shù)，因?yàn)閷?duì)于同一個(gè)x，y有兩個(gè)對(duì)應(yīng)值?！纠?】函數(shù)圖象與直線x=1的公共點(diǎn)數(shù)目為1，即函數(shù)圖象與直線x=1有一個(gè)交點(diǎn)，選項(xiàng)A。【例3】能表示“y是x的函數(shù)”的是圖2和圖3?！纠?】表示y是x的函數(shù)關(guān)系的圖象有1、2、3、4中的1、2、3?！纠?】能表示從集合M到集合N的函數(shù)關(guān)系的圖形有A和C，選項(xiàng)B。【例6】⑴是映射，不是一一映射。⑵是映射，是一一映射。⑶是映射，不是一一映射。⑷是映射，不是一一映射?！纠?】有5個(gè)映射?！纠?】共有4個(gè)不同的映射，即{(a1,b1),(a2,b1)},{(a1,b2),(a2,b1)},{(a1,b1),(a2,b2)},{(a1,b2),(a2,b2)}?！纠?】選項(xiàng)A和C正確，選項(xiàng)B和D不一定成立。【例10】⑴f(0)=02-1=-1。⑵由題意得到兩個(gè)方程：b-2c=0和4+2b+c=0，解得b=-2，c=3。1.x屬于集合A，且x加上f(x)為偶數(shù)的映射個(gè)數(shù)是多少？2.設(shè)f是從集合A={(x,y)|x,y屬于實(shí)數(shù)}到B={(x,y)|x,y屬于實(shí)數(shù)}的映射，其中A和B的元素都是有序?qū)?。f的映射規(guī)則為f:(x,y)→(kx,y+b)。如果B中元素(6,2)在映射f下的原像是(3,1)，那么k和b分別等于多少？3.已知集合A={1,2,3,k}，B={4,7,a4,a2+3a}，且a是正整數(shù)。如果B中的元素y=3x+1與A中的元素x對(duì)應(yīng)，則a和k的值分別是多少？4.集合A={3,4}，集合B={5,6,7}，那么從A到B的映射個(gè)數(shù)是多少？從B到A的映射個(gè)數(shù)是多少？5.已知函數(shù)f(x)和g(x)的值如下表所示。求f[g(1)]的值；滿足條件f[g(x)]>g[f(x)]的x的值是什么？6.為了確保信息安全，信息需要進(jìn)行加密傳輸。發(fā)送方將明文轉(zhuǎn)換為密文，接收方將密文轉(zhuǎn)換為明文。已知加密規(guī)則為：明文a,b,c,d轉(zhuǎn)換為密文a+2b,2b+c,2c+3d,4d。例如，明文1,2,3,4轉(zhuǎn)換為密文5,7,18,16。如果接收方收到的密文是14,9,23,28，那么解密得到的明文是什么？7.已知集合M=N={5,6,7,8,9}，規(guī)定M到N的一個(gè)映射為f(x)={14,24,7,8,9}。求滿足以下條件的x的值：⑴如果f[f(a)]=6，求a；⑵如果f{f[f(b)]}=6，求b；⑶如果f{f...f(c)}=6，求c?！纠?8】求函數(shù)$f(x)=\frac{x+1}{x-9}$的定義域。答：由于分母不能為零，所以$x-9\neq0$，即$x\neq9$。因此，函數(shù)的定義域?yàn)?\{x|x\neq9\}$?！纠?9】求函數(shù)$y=\frac{x-2}{x^2-4}$的定義域。答：由于分母不能為零，所以$x^2-4\neq0$，即$x\neq\pm2$。因此，函數(shù)的定義域?yàn)?\{x|x\neq\pm2\}$。【例20】函數(shù)$y=\frac{x-1}{x-2}$的自變量$x$的取值范圍是（）。答：由于分母不能為零，所以$x-2\neq0$，即$x\neq2$。因此，函數(shù)的定義域?yàn)?\{x|x\neq2\}$。又因?yàn)榉肿訛?x-1$，所以函數(shù)的取值范圍為$\{y|y\neq1\}$?！纠?1】函數(shù)$y=\frac{1}{3x-1}-2$的定義域是（）。答：由于分母不能為零，所以$3x-1\neq0$，即$x\neq\frac{1}{3}$。因此，函數(shù)的定義域?yàn)?\{x|x\neq\frac{1}{3}\}$?！纠?2】函數(shù)$y=\frac{-4}{3}$的定義域是（）。答：由于分母為常數(shù)$3$，所以函數(shù)的定義域?yàn)槿w實(shí)數(shù)?！纠?3】求函數(shù)$f(x)=\frac{x-1}{x+1}$的定義域。答：由于分母不能為零，所以$x+1\neq0$，即$x\neq-1$。因此，函數(shù)的定義域?yàn)?\{x|x\neq-1\}$?！纠?4】（2008年全國(guó)I卷文理）函數(shù)$y=x(x-1)+x$的定義域是（）。答：$y=x(x-1)+x=x^2-x+x=x^2$。由于平方根的定義域?yàn)榉秦?fù)實(shí)數(shù)，所以$x^2\geq0$，即$x\in(-\infty,+\infty)$。因此，函數(shù)的定義域?yàn)槿w實(shí)數(shù)?！纠?5】求下列函數(shù)的定義域：⑴$y=x+8+\frac{3-x}{x}$；⑵$y=\frac{x^2-1}{1-x^2}$；⑶$y=\frac{x-1}{1-\frac{1}{x-x}}$。答：⑴由于分母不能為零，所以$x\neq0$。又由于分式的定義域?yàn)槿w實(shí)數(shù)減去分母為零的點(diǎn)，所以函數(shù)的定義域?yàn)?\{x|x\neq0\}$。⑵由于分母不能為零，所以$1-x^2\neq0$，即$x\neq\pm1$。又由于分式的定義域?yàn)槿w實(shí)數(shù)減去分母為零的點(diǎn)，所以函數(shù)的定義域?yàn)?\{x|x\neq\pm1\}$。⑶由于分母不能為零，所以$x\neqx$，即分母不存在。因此，函數(shù)無(wú)定義域?！纠?6】若$y=f(x+2)$的定義域是$(1,3]$，求$y=f(x)$的定義域。答：將$x+2$看成一個(gè)整體，那么$y=f(x+2)$的定義域?yàn)?(1,3]$，即$x+2\in(1,3]$，解得$-1<x\leq1$。因此，$y=f(x)$的定義域?yàn)?\{x|x\in(-1,1]\}$。【例27】已知函數(shù)$y=f(x+1)$的定義域是$[-2,3]$，則$y=f(2x-1)$的定義域是（）。答：將$2x-1$看成一個(gè)整體，那么$y=f(2x-1)$的定義域?yàn)?[-2,3]$中滿足$2x-1\in[-2,3]$的$x$的取值，解得$-\frac{1}{2}\leqx\leq2$。因此，$y=f(2x-1)$的定義域?yàn)?\{x|-\frac{1}{2}\leqx\leq2\}$?！纠?8】已知函數(shù)$f(x)=\frac{a(x+x^{-3})}{x+x^{-1}-3}$的定義域是$\mathbb{R}$，則實(shí)數(shù)$a$的取值范圍是（）。答：由于$x+x^{-1}-3\neq0$，即$x^2-3x+1\neq0$，所以$\Delta=9-4\times1\times1<0$，即方程$x^2-3x+1=0$無(wú)實(shí)數(shù)解。因此，$x+x^{-1}-3$的取值范圍是$\mathbb{R}$。由于$f(x)$的定義域是$\mathbb{R}$，所以$f(x)$在$x=0$處無(wú)定義，即$a(0+0^{-3})=0$，解得$a=0$。因此，實(shí)數(shù)$a$的取值范圍是$\{a|a=0\}$?！纠?9】（1）求函數(shù)$f(x)=\frac{x-5}{x^2-5x+6}+2\frac{x}{x+x}-\frac{1}{x-x}$的定義域；（2）已知函數(shù)$f(x)$的定義域是$(a,b)$，求函數(shù)$F(x)=f(3x-1)+f(3x+1)$的定義域。答：（1）由于分母不能為零，所以$x^2-5x+6\neq0$，即$x\neq2$且$x\neq3$。又由于分式的定義域?yàn)槿w實(shí)數(shù)減去分母為零的點(diǎn)，所以函數(shù)的定義域?yàn)?\{x|x\neq2\text{且}x\neq3\}$。（2）由于$f(x)$的定義域是$(a,b)$，所以$3x-1\in(a,b)$且$3x+1\in(a,b)$。解得$\frac{a+1}{3}<x<\frac{b+1}{3}$且$\frac{a-1}{3}<x<\frac{b-1}{3}$。因此，函數(shù)$F(x)=f(3x-1)+f(3x+1)$的定義域?yàn)?\{x|\frac{\max\{a-1,b-1\}}{3}<x<\frac{\min\{a+1,b+1\}}{3}\}$?！纠?0】（1）函數(shù)$f(x)$的定義域?yàn)?(0,1)$，求函數(shù)$f(x^2)$的定義域；（2）已知函數(shù)$f(2x+1)$的定義域?yàn)?(0,1)$，求函數(shù)$f(x)$的定義域；（3）已知函數(shù)$f(x+1)$的定義域?yàn)?[-2,3]$，求函數(shù)$f(2x^2-2)$的定義域。答：（1）由于$x^2>0$，所以$x^2\in(0,1)$。因此，函數(shù)$f(x^2)$的定義域?yàn)?(0,1)$。（2）由于$f(2x+1)$的定義域?yàn)?(0,1)$，所以$2x+1\in(0,1)$，解得$-\frac{1}{2}<x<\frac{1}{2}$。因此，函數(shù)$f(x)$的定義域?yàn)?\{x|-\frac{1}{2}<x<\frac{1}{2}\}$。（3）由于$f(x+1)$的定義域?yàn)?[-2,3]$，所以$x+1\in[-2,3]$，解得$-3\leqx\leq2$。因此，函數(shù)$f(2x^2-2)$的定義域?yàn)?\{x|-3\leqx\leq2\}$?！纠?1】求下列函數(shù)的定義域：（1）$f(x)=\frac{2x-x^2}{\lg(2x-1)}$；（2）$f(x)=\lg(x-ka)+\lg(x^2-a^2)$。答：（1）由于分母不能為零，所以$2x-1>0$，即$x>\frac{1}{2}$。又由于對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域?yàn)檎龑?shí)數(shù)，所以$2x-1>0$，即$x>\frac{1}{2}$。因此，函數(shù)的定義域?yàn)?\{x|x>\frac{1}{2}\}$。（2）由于對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域?yàn)檎龑?shí)數(shù)，所以$x-ka>0$，即$x>ka$。又由于分母不能為零，所以$x\neq\pma$。因此，函數(shù)的定義域?yàn)?\{x|x\in(ka,a)\cup(a,+\infty)\text{且}x\neq\pma\}$?！纠?2】已知函數(shù)$f(x)$的定義域?yàn)?(0,2)$，求下列函數(shù)的定義域：（1）$y=f(x)+2/3$；（2）$y=2\log(f(x^2)+1)$。答：（1）由于$f(x)$的定義域?yàn)?(0,2)$，所以$f(x)+\frac{2}{3}>0$，即$f(x)>\frac{-2}{3}$。因此，函數(shù)的定義域?yàn)?\{x|f(x)>\frac{-2}{3}\}$。（2）由于$f(x)$的定義域?yàn)?(0,2)$，所以$f(x^2)>0$，即$f(x^2)+1>1$。因此，$2\log(f(x^2)+1)$的定義域?yàn)?\{x|f(x^2)+1>0\}$。【例48】（1）函數(shù)y=3x+2的定義域?yàn)槿w實(shí)數(shù)，值域?yàn)槿w實(shí)數(shù)。（2）函數(shù)y=-x^2+x+2/(5-4x)的定義域?yàn)镽-{5/4}，值域?yàn)?-∞,2]?！纠?9】（1）函數(shù)y=2x-3的值域?yàn)槿w實(shí)數(shù)。（2）函數(shù)y=-2x-1在區(qū)間[-1,3]上的最大值為5，最小值為-7，值域?yàn)閇-7,5]。（3）函數(shù)y=-2x^2-3x-4的值域?yàn)?-∞,-4]。（4）函數(shù)y=x+41-x的值域?yàn)?-∞,∞)。（5）函數(shù)y=x+1-x^2的值域?yàn)閇-3/4,∞)。（6）函數(shù)y=|x-1|+|x+4|的值域?yàn)閇3,∞)。（7）函數(shù)y=2/(2x^2-x+1)+1的值域?yàn)閇1,∞)。（8）函數(shù)y=(x+1)/(2x-12)的值域?yàn)?-∞,-1/5)。（9）函數(shù)y=-9的值域?yàn)閧-9}。【例50】（1）函數(shù)y=3x^2-x+2的值域?yàn)閇3/4,∞)。（2）函數(shù)y=-x^2-6x-5的值域?yàn)?-∞,-4]。（3）函數(shù)y=3x+1/(x-2)的值域?yàn)?-∞,-2]∪[7,∞)。（4）函數(shù)y=x+41-x的值域?yàn)?-∞,∞)。（5）函數(shù)y=x+1-x^2的值域?yàn)閇-3/4,∞)。（6）函數(shù)y=|x-1|+|x+4|的值域?yàn)閇3,∞)。（7）函數(shù)y=2/(2x^2-x+1)+1的值域?yàn)閇1,∞)。（8）函數(shù)y=(x+1)/(2x-12)的值域?yàn)?-∞,-1/5)。（9）函數(shù)y=-9的值域?yàn)閧-9}。【例51】當(dāng)x≥1時(shí)，f(x)=1/(x-1)，當(dāng)0≤x<1時(shí)，f(x)=2，當(dāng)x<0時(shí)，f(x)=1/x。當(dāng)f(a)>a時(shí)，有兩種情況：1.a≥1，此時(shí)f(a)=1/(a-1)，所以1/(a-1)>a，解得a<0或a>2；2.0≤a<1，此時(shí)f(a)=2，所以2>a?！纠?2】(1)當(dāng)x∈[-2,0]時(shí)，函數(shù)f(x)=2x-x^2，當(dāng)x∈[0,3]時(shí)，函數(shù)f(x)=x+6-x^2。當(dāng)x=-1時(shí)，f(x)=3，當(dāng)x=3時(shí)，f(x)=6，因此函數(shù)的值域?yàn)閇-9,6]。(2)當(dāng)m=1時(shí)，函數(shù)f(x)=-x^2+x-4，在區(qū)間[2,4]上取得最大值-3，因此最大值為-3，解析式為f(x)=-x^2+x-4。(3)最大值-3存在最小值，最小值為-9，當(dāng)x=-2時(shí)取到?！纠?3】由題意得f(-1)=f(1)=-3，代入函數(shù)得a=1?！纠?4】(1)函數(shù)在區(qū)間[2,4]上取得最大值，即f(2)≥f(x)≥f(4)，解得m∈[-1,5/2]。(2)最大值為f(3)=(m+5)/2。(3)最大值存在最小值，最小值為-1/4，當(dāng)m=1/2時(shí)取到?！纠?5】函數(shù)解析式為y=x^2，值域?yàn)閧1,4}，當(dāng)x=1或-1時(shí)取到，因此共有兩個(gè)同族函數(shù)。【例56】①函數(shù)的定義域?yàn)镽-{0,7}。②f(11)=-34/3，f(4)=2。③當(dāng)a>7時(shí)，f(a)為正值，f(a-1)為負(fù)值?！纠?7】由條件得f(1)=4，f(x+1)=f(x)+x+1，代入得f(x)=x^2+x，值域?yàn)閇0,∞)。【例58】4x^2-9y^2=36可以化為y=±2/3√(4x^2-36)，因此y不是關(guān)于x的函數(shù)，不存在函數(shù)關(guān)系y=f(x)?！纠?9】由值域?yàn)?-∞,0]得a-2≤0，即a≤2。當(dāng)a=2時(shí)，函數(shù)為f(x)=2(x-1)^2-4，值域?yàn)閇-4,0]。因此滿足條件的實(shí)數(shù)a組成的集合為(-∞,2]?！纠?0】函數(shù)$y=x^2-3x-4$的定義域?yàn)?[0,m]$，值域?yàn)?[-25,-4]$，則$m$的取值范圍是（）。答案：A解析：首先確定函數(shù)的最值，由于$a>0$，所以當(dāng)$x=\dfrac{3}{2a}$時(shí)，$y_{\max}=\dfrac{1}{4a}-4$。又因?yàn)?y_{\max}=-25$，所以$a=-3$，代入可得$y_{\min}=-\dfrac{49}{4}$。因此，$m\in(0,4]$。【例61】當(dāng)$x=$_______時(shí)，函數(shù)$f(x)=(x-a_1)^2+(x-a_2)^2+...+(x-a_n)^2$取得最小值。答案：$x=\dfrac{a_1+a_2+...+a_n}{n}$。解析：由平均值不等式可得，$\dfrac{(x-a_1)^2+(x-a_2)^2+...+(x-a_n)^2}{n}\geqslant\left(\dfrac{x-a_1+x-a_2+...+x-a_n}{n}\right)^2$，即$f(x)\geqslant\dfrac{(a_1+a_2+...+a_n)^2}{n}$。等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)$x=\dfrac{a_1+a_2+...+a_n}{n}$?！纠?2】設(shè)函數(shù)$y=ax+2a+1$，當(dāng)$-1\leqslantx\leqslant1$時(shí)，$y$的值有正有負(fù)，則實(shí)數(shù)$a$的范圍。答案：$a\in(-\infty,-1]\cup\left[-\dfrac{1}{4},+\infty\right)$。解析：當(dāng)$x=-1$時(shí)，$y=a+1\leqslant0$，即$a\leqslant-1$；當(dāng)$x=1$時(shí)，$y=a+3\geqslant0$，即$a\geqslant-3$。又因?yàn)?y$在$[-1,1]$上有正有負(fù)，所以$a\in(-\infty,-1]\cup\left[-\dfrac{1}{4},+\infty\right)$?！纠?3】對(duì)于任意實(shí)數(shù)$x$，函數(shù)$f(x)=(5-a)x^2-6x+a+5$恒為正值，求$a$的取值范圍。答案：$a\in\left(-\infty,0\right)\cup\left[10,+\infty\right)$。解析：由于$f(x)$恒為正值，所以$\Delta\leqslant0$，即$4a-19\leqslant0$，解得$a\leqslant\dfrac{19}{4}$。又因?yàn)?f(x)$是一個(gè)開(kāi)口向上的拋物線，所以當(dāng)$x=\dfrac{3}{5-a}$時(shí)，$f(x)$取得最小值，即$\dfrac{4-a}{5-a}\leqslant0$，解得$a\in\left(-\infty,0\right)\cup\left[10,+\infty\right)$?！纠?4】記二次函數(shù)$f(x)=-x^2-4mx+1$在$[-1,3]$的最大值為$g(m)$，寫(xiě)出$g(m)$的函數(shù)表達(dá)式，并求出$g(m)$的最小值。答案：$g(m)=\dfrac{1}{4}(m+1)^2-1$，$g(m)$的最小值為$-\dfrac{9}{4}$。解析：由于$f(x)$在$[-1,3]$上是一個(gè)開(kāi)口向下的拋物線，所以$f(x)$在$[-1,3]$上取得最大值時(shí)，$x=\dfrac{-(-4m)}{2\times(-1)}=2m$。代入得$g(m)=f(2m)=-4m^2+8m+1$。由于$g(m)$是一個(gè)開(kāi)口向下的二次函數(shù)，所以$g(m)$的最大值為$\dfrac{1}{4}$，此時(shí)$m=-1$，$g(m)$的最小值為$-\dfrac{9}{4}$?！纠?5】試判斷以下各組函數(shù)是否表示同一函數(shù)？（1）$f(x)=x^2$，$g(x)=3x^3$；（2）$f(x)=\begin{cases}1&x\geqslant0\\-1&x<0\end{cases}$，$g(x)=\begin{cases}x&x\geqslant0\\-x&x<0\end{cases}$；（3）$f(x)=2n+1\cdotx^{2n+1}$，$g(x)=(2n-1)\cdotx^{2n-1}$（$n\in\mathbb{N}^*$）；（4）$f(x)=\dfrac{x}{x+1}$，$g(x)=x^2+x$；（5）$f(x)=x^2-2x-1$，$g(t)=t^2-2t-1$。答案：（1）不是；（2）是；（3）是；（4）不是；（5）是。解析：（1）由于$f(x)$是一個(gè)開(kāi)口向上的拋物線，$g(x)$是一個(gè)開(kāi)口向上的“S”形曲線，所以它們不可能表示同一函數(shù)。