2022新高考數(shù)學高頻考點題型歸納32數(shù)列綜合應用（學生版）

專題32數(shù)列綜合應用一、關(guān)鍵能力1.理解等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念，掌握等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式及其應用.2.了解等差數(shù)列與一次函數(shù)、等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系.3.會用數(shù)列的等差關(guān)系或等比關(guān)系解決實際問題.二、教學建議1.根據(jù)數(shù)列的遞推式或者通項公式確定基本量，選擇合適的方法求和，進一步證明不等式2.數(shù)列與函數(shù)、不等式相結(jié)合.3.復習中注意:（1）靈活選用數(shù)列求和公式的形式，關(guān)注應用公式的條件；（2）熟悉分組求和法、裂項相消法及錯位相減法；（3)數(shù)列求和與不等式證明、不等式恒成立相結(jié)合求解參數(shù)的范圍問題.三、自主梳理 1.等差數(shù)列和等比數(shù)列比較等差數(shù)列等比數(shù)列定義＝常數(shù)＝常數(shù)通項公式判定方法(1)定義法；(2)中項公式法：?為等差數(shù)列；(3)通項公式法：(為常數(shù),)?為等差數(shù)列；(4)前n項和公式法：(為常數(shù),)?為等差數(shù)列；(5)為等比數(shù)列，且，那么數(shù)列(，且)為等差數(shù)列(1)定義法(2)中項公式法：()?為等比數(shù)列(3)通項公式法：(均是不為0的常數(shù)，)?為等比數(shù)列(4)為等差數(shù)列?(總有意義)為等比數(shù)列性質(zhì)(1)若，，，，且，則(2)(3)SKIPIF1<0，…仍成等差數(shù)列(1)若，，，，且，則(2)(3)等比數(shù)列依次每項和()，即SKIPIF1<0，…仍成等比數(shù)列前n項和時，；當時，或.2.數(shù)列求和（1）等差數(shù)列的前和的求和公式：.（2）等比數(shù)列前項和公式一般地，設(shè)等比數(shù)列的前項和是，當時，或；當時，（錯位相減法）.（3）數(shù)列前項和①重要公式：（1）（2）（3）（4）②等差數(shù)列中，；③等比數(shù)列中，.四、高頻考點+重點題型考點一、數(shù)列的單調(diào)性判定與應用例1-1（作差法判斷數(shù)列單調(diào)性）（2021·浙江高三其他模擬）已知數(shù)列{}滿足，且=，n∈（是等比數(shù)列，是等差數(shù)列），記數(shù)列{}的前n項和為，{}的前n項和為，若公比數(shù)q等于公差數(shù)d，且（1）求數(shù)列{}的通項公式；（2）記為數(shù)列{}的前n項和，求（n≥2，且n∈）的最小值．例1-2（函數(shù)法判斷數(shù)列單調(diào)性）（2020屆浙江省名校新高考研究聯(lián)盟(Z20聯(lián)盟)高三上學期第一次聯(lián)考）已知數(shù)列滿足：，．則下列說法正確的是（）A． B．C． D．考點二、數(shù)列與不等式例2-1（比較大?。?021·浙江高三專題練習）已知正項等差數(shù)列和正項等比數(shù)列}，，是，的等差中項，是，的等比中項，則下列關(guān)系成立的是（）A． B．C． D．對點訓練1.（2020屆浙江省寧波市鄞州中學高三下期初）已知等比數(shù)列的前項和為，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件對點訓練2.（2020屆浙江寧波市高三上期末）已知等差數(shù)列的公差為，前項和為，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件例2-2（先放縮法再求和證明不等式）（2019年浙江卷）設(shè)等差數(shù)列的前項和為，，，數(shù)列滿足：對每成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）記證明：例2-3（單調(diào)性證明不等式）（2021·重慶高三三模）已知數(shù)列的前項和為，且滿足．（1）求數(shù)列的通項公式：（2）設(shè)，數(shù)列的前項和為，求證：．例2-4（不等式恒成立求參）（2021·河南鄭州市·高三三模（文））1967年，法國數(shù)學家蒙德爾布羅的文章《英國的海岸線有多長？》標志著幾何概念從整數(shù)維到分數(shù)維的飛躍.1977年他正式將具有分數(shù)維的圖形成為“分形”，并建立了以這類圖形為對象的數(shù)學分支——分形幾何．分形幾何不只是扮演著計算機藝術(shù)家的角色，事實表明它們是描述和探索自然界大量存在的不規(guī)則現(xiàn)象的工具．下面我們用分形的方法來得到一系列圖形，如圖1，線段AB的長度為1，在線段AB上取兩個點C，D，使得，以CD為一邊在線段AB的上方做一個正三角形，然后去掉線段CD，得到圖2中的圖形；對圖2中的線段EC、ED作相同的操作，得到圖3中的圖形；依此類推，我們就得到了以下一系列圖形：記第n個圖形（圖1為第一個圖形）中的所有線段長的和為，對任意的正整數(shù)n，都有，則a的最小值為__________．例2-5（解不等式）已知等差數(shù)列{an}滿足：a1＝2，且a1，a2，a5成等比數(shù)列．(1)求數(shù)列{an}的通項公式；(2)記Sn為數(shù)列{an}的前n項和，是否存在正整數(shù)n，使得Sn＞60n＋800？若存在，求n的最小值；若不存在，說明理由．對點訓練1.（2021·全國高三其他模擬（理））已知在等差數(shù)列中，為其前項和，且.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若數(shù)列的前項和為且求的取值范圍.考點三、與實際結(jié)合的應用題例3-1（通項的應用）（2021·江西贛州市·高三二模（理））朱世杰是元代著名數(shù)學家，他所著的《算學啟蒙》是一部在中國乃至世界最早的科學普及著作.《算學啟蒙》中涉及一些“堆垛”問題，主要利用“堆垛”研究數(shù)列以及數(shù)列的求和問題.現(xiàn)有132根相同的圓形鉛筆，小明模仿“堆垛”問題，將它們?nèi)慷逊懦煽v斷面為等腰梯形的“垛”，要求層數(shù)不小于2，且從最下面一層開始，每一層比上一層多1根，則該“等腰梯形垛”應堆放的層數(shù)可以是（）A．5 B．6 C．7 D．8對點訓練1.【多選題】（2020·湖南高三月考）在“全面脫貧”行動中，貧困戶小王2020年1月初向銀行借了扶貧免息貸款10000元，用于自己開設(shè)的農(nóng)產(chǎn)品土特產(chǎn)品加工廠的原材料進貨，因產(chǎn)品質(zhì)優(yōu)價廉，上市后供不應求，據(jù)測算每月獲得的利潤是該月月初投人資金的，每月月底需繳納房租600元和水電費400元，余款作為資金全部用于再進貨，如此繼續(xù).設(shè)第月月底小王手中有現(xiàn)款為，則下列論述正確的有（）(參考數(shù)據(jù)：)A．B．C．2020年小王的年利潤為40000元D．兩年后，小王手中現(xiàn)款達41萬對點訓練2.（2021·山東菏澤市·高三期末）某公司為一個高科技項目投入啟動資金1000萬元，已知每年可獲利25%，但由于競爭激烈，每年年底需從利潤中取出200萬元資金進行科研、技術(shù)改造，方能保持原有利潤的增長率，經(jīng)過兩年后該項目的資金為________萬元，該公司經(jīng)過______年該項目的資金可以達到或超過翻一番（即原來的2倍）的目標（，）．例3-2（求和的應用）（上海高考真題）根據(jù)預測，某地第n(n∈N?)個月共享單車的投放量和損失量分別為an和其中an=5n4+15,1≤n≤3?10n+470累計投放量與累計損失量的差.（1）求該地區(qū)第4個月底的共享單車的保有量；（2）已知該地共享單車停放點第n個月底的單車容納量Sn=?4(n?46)對點訓練1.（2021·上海浦東新區(qū)·高三三模）流行性感冒是由流感病毒引起的急性呼吸道傳染病.某市去年11月份曾發(fā)生流感，據(jù)統(tǒng)計，11月1日該市的新感染者有30人，以后每天的新感染者比前一天的新感染者增加50人.由于該市醫(yī)療部門采取措施，使該種病毒的傳播得到控制，從11月日起每天的新感染者比前一天的新感染者減少20人.（1）若，求11月1日至11月10日新感染者總?cè)藬?shù)；（2）若到11月30日止，該市在這30天內(nèi)的新感染者總?cè)藬?shù)為11940人，問11月幾日，該市新感染者人數(shù)最多？并求這一天的新感染者人數(shù).例3-3（實際中提取遞推關(guān)系）為了治理“沙塵暴”，西部某地區(qū)政府經(jīng)過多年努力，到2015年底，將當?shù)厣衬G化了40%，從2016年開始，每年將出現(xiàn)這種現(xiàn)象：原有沙漠面積的12%被綠化，即改造為綠洲(被綠化的部分叫綠洲)，同時原有綠洲面積的8%又被侵蝕為沙漠，問至少經(jīng)過幾年的綠化，才能使該地區(qū)的綠洲面積超過50%？(可參考數(shù)據(jù)lg2＝0．3，最后結(jié)果精確到整數(shù))考點四、等差等比混合例4.（2021·江西高三其他模擬（理））已知公差不為0的等差數(shù)列的部分項，，，……構(gòu)成等比數(shù)列，且，，，則___________.對點訓練1.（2017·全國高考真題（文））已知等差數(shù)列an的前n項和為Sn，等比數(shù)列bn的前n項和為Tn，且a1=1，（1）若a3+b3=7（2）若T3=13，求S5對點訓練2.（2021·全國高三月考（文））已知是等差數(shù)列，，，且，，是等比數(shù)列的前3項.（1）求數(shù)列，的通項公式；（2）數(shù)列是由數(shù)列的項刪去數(shù)列的項后仍按照原來的順序構(gòu)成的新數(shù)列，求數(shù)列的前20項的和.鞏固訓練一、單項選擇題1.（2020·北京高考真題）在等差數(shù)列中，，．記，則數(shù)列（）．A．有最大項，有最小項 B．有最大項，無最小項C．無最大項，有最小項 D．無最大項，無最小項2.（2020·浙江省高考真題）已知等差數(shù)列{an}的前n項和Sn，公差d≠0，．記b1=S2，bn+1=S2n+2–S2n，，下列等式不可能成立的是（）A．2a4=a2+a6 B．2b4=b2+b6 C． D．3.（2019年浙江卷）設(shè)，數(shù)列中，，,則（）A.當 B.當C.當 D.當4．已知等差數(shù)列{an}的公差d≠0，它的第1、5、17項順次成等比數(shù)列，則這個等比數(shù)列的公比是________．A.1 B.2 C.3 D.45．甲、乙兩物體分別從相距70m的兩處同時相向運動，甲第一分鐘走2m，以后每分鐘比前1分鐘多走1m，乙每分鐘走5m．甲、乙開始運動后，相遇的時間為________分鐘．A.3 B.7 C.11 D.146．某銀行在某段時間內(nèi)，規(guī)定存款按單利計算，且整存整取的年利率如下：存期1年2年3年5年年利率(%)2．252．42．732．88某人在該段時間存入10000元，存期兩年，利息稅為所得利息的5%．則到期的本利和為__________元．A.10373 B.10396 C.10422 D.10456二、多項選擇題7．設(shè)等比數(shù)列的公比為，其前項和為，前項積為，并且滿足條件，，則下列結(jié)論正確的是（）A． B．C．的最大值為 D．的最大值為8．已知數(shù)列滿足，，，，若存在正整數(shù)，，使得等式成立，則下列結(jié)論正確的有（）A． B．C． D．三、填空題9．對于每一個正整數(shù)n，設(shè)曲線y＝xn＋1在點(1，1)處的切線與x軸的交點的橫坐標為xn，令an＝lgxn，則a1＋a2＋…＋a99＝________．10．已知θ∈，等比數(shù)列{an}中，a1＝1，a4＝eq\f(\r(3),9)tan33θ．若數(shù)列{an}的前2014項的和為0，則θ的值為__________．11．已知等差數(shù)列{an}中，首項a1＝1，公差d為整數(shù)，且滿足a1＋3<a3，a2＋5>a4；數(shù)列{bn}滿足bn＝eq\f(1,an·an＋1)，其前n項和為Sn．若S2為S1、Sm(m∈N*)的等比中項，則正整數(shù)m的值為．12．某科研單位欲拿出一定的經(jīng)費獎勵科研人員，第1名得全部資金的一半多一萬元，第2名得剩下的一半多一萬元，以名次類推都得到剩下的一半多一萬元，到第10名恰好資金分完，則此科研單位共拿出________萬元資金進行獎勵．答案：2046二、解答題13．（2021·沂水縣第一中學高三其他模擬）在數(shù)列中，