熱點(diǎn)專測(cè)專練04 空間角與距離的計(jì)算問題【解析版】

熱點(diǎn)專測(cè)專練：空間角與距離的計(jì)算問題熱點(diǎn)專測(cè)專練：空間角與距離的計(jì)算問題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)等填寫在答題卡和試卷指定位置上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．（2023·吉林長(zhǎng)春·統(tǒng)考三模）如圖，在正方體中，異面直線與所成的角為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】將平移到與相交，求所成的角，即異面直線所成的角.【詳解】正方體中，，所以與所成的角即異面直線與所成的角，因?yàn)闉檎切?，所以與所成的角為，所以異面直線與所成的角為.故選：C.2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在長(zhǎng)方體中，已知，，E為的中點(diǎn)，則異面直線BD與CE所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)異面直線所成角的定義，利用幾何法找到所成角，結(jié)合余弦定理即可求解.【詳解】取的中點(diǎn)F，連接EF，CF，，易知，所以為異面直線BD與CE所成的角或其補(bǔ)角.因?yàn)?，，所以由余弦定理?故選：C3．（2023·浙江嘉興·統(tǒng)考二模）已知正方體的棱長(zhǎng)為為空間內(nèi)一點(diǎn)且滿足平面，過作與平行的平面，與交于點(diǎn)，則（

）A．1 B． C． D．【答案】D【分析】由題意知平面平面，可先令為中點(diǎn)，再證明當(dāng)點(diǎn)為中點(diǎn)時(shí)，滿足平面平面，即可輕易得出的值.【詳解】因?yàn)闉榭臻g內(nèi)一點(diǎn)且滿足平面，過作與平行的平面，與交于點(diǎn)，所以∥平面,而平面，故平面平面.在正方體中，如圖所示，取中點(diǎn)為,中點(diǎn)為,連接，假設(shè)為中點(diǎn)，則為等腰三角形，中點(diǎn)為,所以;又因?yàn)?,所以，中點(diǎn)為,中點(diǎn)為,所以,而,所以，，平面，所以平面，平面,所以；因?yàn)椋?平面，所以平面，平面，所以平面平面，符合題意，故為中點(diǎn)，.故選：D.4．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在三棱錐M－EFG中，，EF=FG=2，平面平面EFG，則異面直線ME與FG所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)O，C，D分別為線段，，的中點(diǎn)，連接，，，，利用三角形中位線定理可知是異面直線與所成的角或其補(bǔ)角，再利用解三角形的知識(shí)求出的邊長(zhǎng)，最后利用余弦定理即可得解.【詳解】如圖，設(shè)O，C，D分別為線段，，的中點(diǎn)，連接，，，則，，，，∴是異面直線與所成的角或其補(bǔ)角.∵，為的中點(diǎn)，∴，，∵平面平面，平面平面，∴平面.設(shè)為的中點(diǎn)，連接，，則平面，，，，∴，連接，易得，，∴在中，，∴，∴，∴異面直線與所成角的余弦值為.故選：D.5．（2023·江西·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，直三棱柱中，，點(diǎn)分別是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)在棱上，且，截面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)滿足，則的最小值是（

）A． B． C． D．2【答案】C【分析】設(shè)點(diǎn)在平面內(nèi)的投影為、點(diǎn)在線段上且，根據(jù)題意和線面垂直的判定定理與性質(zhì)可知點(diǎn)的軌跡是正方形的對(duì)角線，將與展開，如圖，則的最小值是，結(jié)合余弦定理計(jì)算即可求解.【詳解】由題意知，，，又平面，所以平面.設(shè)點(diǎn)在平面內(nèi)的投影為，則點(diǎn)在線段上，且，即，所以，設(shè)點(diǎn)在線段上，且，則四邊形是一個(gè)正方形，點(diǎn)的軌跡是其對(duì)角線.將與展開到一個(gè)面內(nèi)，得到如圖圖形，因此的最小值是，由余弦定理，得，所以.故選：C.6．（2023·河北保定·統(tǒng)考一模）如圖，在四棱錐中，底面為矩形，，是正三角形，平面平面，且，則與平面所成角的正切值為（

）A．2 B． C． D．【答案】B【分析】連接，為的中點(diǎn)，結(jié)合面面垂直性質(zhì)定理證明平面，根據(jù)錐體體積公式求，再由面面垂直性質(zhì)定理證明平面，根據(jù)線面角的定義證明PC與平面PAD所成角的平面角為，解三角形求其正切值.【詳解】取的中點(diǎn)，連接，由已知為等邊三角形，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，設(shè)，則，，又，所以矩形的面積，所以四棱錐的體積，所以，所以，所以，因?yàn)槠矫嫫矫?，，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以，所以為直角三角形，斜邊為，因?yàn)槠矫妫耘c平面所成角的平面角為，在中，，，所以，與平面所成角的正切值為.故選：B.7．（2022春·福建·高一福建省泉州第一中學(xué)校考期中）在平面四邊形中，，，現(xiàn)將沿折起，連接，得到一個(gè)三棱錐，當(dāng)二面角的大小為時(shí)，所得三棱錐的體積為（

）A． B．4 C． D．12【答案】B【分析】根據(jù)給定條件，作出二面角的平面角，借助面面垂直求出點(diǎn)平面的距離作答.【詳解】因?yàn)?，，則，即，取的中點(diǎn)，連接，如圖，顯然，則是二面角的平面角，即，而平面，于是平面，而平面，則平面平面，在平面內(nèi)過作于，而平面平面，因此平面，在正中，，有，，所以三棱錐的體積為.故選：B8．（河南省十所名校2022-2023學(xué)年高中畢業(yè)班階段性測(cè)試（六）理科數(shù)學(xué)試題）已知四棱錐的底面ABCD是矩形，，，，．若四棱錐的外接球的體積為，則該球上的點(diǎn)到平面PAB的距離的最大值為（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】C【分析】根據(jù)給定條件，利用線面垂直的判定、性質(zhì)，結(jié)合球的截面圓的性質(zhì)探求球心位置，再求出球心到平面PAB的距離作答.【詳解】如圖，在矩形ABCD中，連接對(duì)角線AC，BD，記，則點(diǎn)F為矩形ABCD的外接圓圓心，設(shè)，在中，由余弦定理得：，即，的外接圓半徑為，記的外接圓圓心為G，則，取AD的中點(diǎn)E，連接PE，EF，顯然，，，且P，E，G共線，因?yàn)椋?，，于是平面PAD，即平面PAD，平面PAD，有，而平面ABCD，因此平面ABCD，過G作平面PAD，使，連接FO，于是，則四邊形EFOG為矩形，有，則平面ABCD，根據(jù)球的性質(zhì)，得點(diǎn)O為四棱錐外接球的球心，因?yàn)榍騉的體積為，則，解得，而，在，，因此外接圓直徑，取PB的中點(diǎn)H，連接OH，顯然H為外接圓圓心，則平面PAB，且，所以四棱錐的外接球上的點(diǎn)到平面PAB的距離的最大值為8．故選：C【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解決與球有關(guān)的內(nèi)切或外接問題時(shí)，關(guān)鍵是確定球心的位置，再利用球的截面小圓性質(zhì)求解.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9．（2023·浙江杭州·統(tǒng)考一模）如圖，正四棱柱中，，、分別為的中點(diǎn)，則（

）A．B．直線與直線所成的角為C．直線與直線所成的角為D．直線與平面所成的角為【答案】ACD【分析】根據(jù)線面垂直的判定定理、線面角的定義，結(jié)合異面直線所成的角定義逐一判斷即可.【詳解】對(duì)A選項(xiàng)，如圖，取的中點(diǎn)，連接，，，又，分別為的中點(diǎn)，，且，四邊形為平行四邊形，，又易知，，所以本選項(xiàng)正確；對(duì)B選項(xiàng)，假設(shè)直線與直線所成的角為，即，由正四棱柱的性質(zhì)可知：平面，而平面，所以，顯然平面，所以平面，而由正四棱柱的性質(zhì)可知：平面，所以，顯然這是不可能的，所以假設(shè)不成立，因此本選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)C選項(xiàng)，在矩形中，因?yàn)?，所以，而，因此，所以直線與直線所成的角為，本選項(xiàng)正確；對(duì)D選項(xiàng)，由A選項(xiàng)分析可知，直線與平面所成的角為，又根據(jù)題意易知，本選項(xiàng)正確，故選：ACD10．（2023·河北唐山·統(tǒng)考二模）如圖，直四棱柱的所有棱長(zhǎng)均為2，，則（

）A．與所成角的余弦值為B．與所成角的余弦值為C．與平面所成角的正弦值為D．與平面所成角的正弦值為【答案】BC【分析】證明是異面直線與所成角或其補(bǔ)角，求出其余弦值，作于，證明是與平面所成角，然后求出其正弦值．【詳解】連接，直四棱柱中,由與平行且相等得平行四邊形，從而，是異面直線與所成角或其補(bǔ)角，又由已知易得，，，所以與所成角的余弦值為，A錯(cuò)B正確；作于，連接，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平面，從而可得（因?yàn)槠矫妫瑒t是與平面所成角，由得，，，C正確，D錯(cuò)誤．故選：BC．11．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知異面直線與直線，所成角為，平面與平面所成的二面角為，直線與平面所成的角為，點(diǎn)為平面、外一定點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．過點(diǎn)且與直線、所成角均為的直線有3條B．過點(diǎn)且與平面、所成角都是的直線有4條C．過點(diǎn)作與平面成角的直線，可以作無數(shù)條D．過點(diǎn)作與平面成角，且與直線成的直線，可以作3條【答案】BC【分析】根據(jù)選項(xiàng)，可知A只有1條，根據(jù)，可知B有4條，做以為頂點(diǎn)，且與圓錐中軸線夾角為，且底面在上的圓錐可知C有無數(shù)條，同理做與圓錐中軸線夾角為的母線可知該直線條數(shù)，選出選項(xiàng)即可.【詳解】：因?yàn)楫惷嬷本€與直線所成角為，所以過點(diǎn)與直線所成角均為的直線只有1條，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；因?yàn)槠矫媾c平面所成的二面角為，則過點(diǎn)與平面所成角都是和的直線各有一條，若過點(diǎn)與平面所成角都是，則在的兩側(cè)各有一條，所以共條，故B正確；因?yàn)辄c(diǎn)為平面外，且過點(diǎn)作與平面成角的直線，則在以為頂點(diǎn)，底面在上的圓錐的母線，如圖所示：所以可以做無數(shù)條，故選項(xiàng)C正確；過點(diǎn)作與平面成角的直線，形成以為頂點(diǎn)，與圓錐中軸線夾角為，且底面在上的圓錐的母線，設(shè)直線與的交點(diǎn)為Q,不妨假設(shè)在a上，設(shè)直線a與的交點(diǎn)為Z,所以，故能做出兩條滿足條件的直線，故D錯(cuò)誤.故選：BC【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：該題考查立體幾何綜合應(yīng)用，屬于難題，關(guān)于角度的方法有：（1）異面直線所成角：平移異面直線至有交點(diǎn)，則異面直線所成角即為平移后相交直線所成角；（2）線面角：過線上一點(diǎn)做面的垂線，連接垂足及線與面的交點(diǎn)形成線段，則線與該線段所成角即為線面角；（3）面面角：過面面交線上一點(diǎn)在兩個(gè)面中分別做交線的垂線，則兩垂線的夾角即為面面角.12．（2023春·黑龍江齊齊哈爾·高三齊齊哈爾市實(shí)驗(yàn)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，四棱錐的底面是梯形，，，，，平面平面，，分別為線段，的中點(diǎn)，點(diǎn)是底面內(nèi)包括邊界的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．B．三棱錐外接球的體積為C．異面直線與所成角的余弦值為D．若直線與平面所成的角為，則點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為【答案】AC【分析】根據(jù)平面平面，得到平面,可判斷A，B選項(xiàng)；異面直線與所成角的余弦值在中由余弦定理，可判斷C選項(xiàng)；若直線與平面所成的角為，點(diǎn)的軌跡為以為圓心，為半徑的半圓可判斷D選項(xiàng).【詳解】易證四邊形為菱形，所以，連接，因?yàn)椋?，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，又，所以平面又平面，所以，故A正確；易證為等腰直角三角形，為等邊三角形，且平面平面，所以三棱錐外接球的球心為等邊三角形的中心，所以三棱錐外接球的半徑為，所以三棱錐外接球的體積為，故B錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以為異面直線與所成的角或其補(bǔ)角，因?yàn)?，所以，在中，由余弦定理，得，故C正確；因?yàn)槠矫?，所以為在平面?nèi)的射影，若直線與平面所成的角為，則，因?yàn)?，所以，故點(diǎn)的軌跡為以為圓心，為半徑的半圓，所以點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為，故D錯(cuò)誤．故選：．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，在正方體中，E、F分別為AB、AD的中點(diǎn)．（1）與所成角的大小為______；（2）與所成角為______．【答案】

60°

90°【分析】利用正方體的結(jié)構(gòu)特征、異面直線所成的角的概念求解即可．【詳解】（1）在正方體中，，與所成角為，是等邊三角形，，與所成角的大小是．（2）在正方體中，，又，，在正方形中，，，與所成角的大?。还蚀鸢笧椋?；．14．（山東省德州市2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期期末）在正六棱柱中，若底面邊長(zhǎng)為1，高為3，則BC到平面的距離為______．【答案】##【分析】取的中點(diǎn)，證明平面，平面平面，再求出斜邊上的高作答.【詳解】在正六棱柱中，取的中點(diǎn)，連接，如圖，，平面，平面，則平面，平面，則平面，平面，即，而，即有，，平面，則平面，又平面，因此平面平面，在平面內(nèi)過作于，而平面平面，于是平面，線段長(zhǎng)即為BC到平面的距離，，，中，，所以BC到平面的距離.故答案為：15．（2023·陜西榆林·統(tǒng)考三模）如圖，正三棱柱的底面邊長(zhǎng)是2，側(cè)棱長(zhǎng)是，M為的中點(diǎn)，N是側(cè)面上一點(diǎn)，且∥平面，則線段MN的最大值為________．【答案】【分析】取的中點(diǎn)D，取的中點(diǎn)E，可得∥平面，由得∥平面，從而平面∥平面，所以N在線段DE上，求出，，即可得出答案．【詳解】如圖，取的中點(diǎn)D，取的中點(diǎn)E，連接MD，DE，ME，∵，，∴，∵平面，平面，∴∥平面，∵，平面，平面，∴∥平面，又平面，∴平面∥平面，又平面平面，∥平面，所以N在線段DE上．因?yàn)?，，所以線段MN的最大值為．故答案為：．16．（2023春·浙江杭州·高二?？茧A段練習(xí)）已知四面體的棱長(zhǎng)均為2，下列判斷正確的是______.①；

②直線與平面所成的角的正弦值為；③點(diǎn)A到平面的距離為；④兩相鄰側(cè)面夾角的余弦值為.【答案】①②【分析】取中點(diǎn)E，連接，證明平面，即可判斷①；過點(diǎn)A作底面的垂線，作出直線與平面所成的角，解直角三角形求得該角的正弦值，判斷②；求得的長(zhǎng)，即可判斷③；找到相鄰側(cè)面夾角，解三角形求得該角余弦值，判斷④.【詳解】取中點(diǎn)E，連接，因?yàn)?；同理，又平面，所以平面，又平面，所以，即，所以①正確；過點(diǎn)A作底面的垂線，垂足為G，因?yàn)槠矫?，平?所以平面平面,且平面平面,則G在上，由題意四面體的棱長(zhǎng)均為2，底面三角形為正三角形，則，則就是直線與平面所成的角，且，而，∴，所以，∴，所以②正確；由B選項(xiàng)的分析可知，,即點(diǎn)A到平面的距離為，故③錯(cuò)誤；因?yàn)?，平?平面,平面平面,所以就是四面體相鄰兩側(cè)面的夾角，，則，④錯(cuò)誤，故答案為：①②四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．（2022春·高一?？颊n時(shí)練習(xí)）如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥面ABCD，AB=4，BC=3，AD=5，PA=4，∠DAB=∠ABC=90°，E是CD的中點(diǎn)．(1)求異面直線BC與PD所成角的正切值；(2)求證：CD⊥PE．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)題意得到或其補(bǔ)角為異面直線與所成角，再求其正切值即可.（2）連接，根據(jù)題意易證平面，再利用線面垂直的性質(zhì)即可證明.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，所以或其補(bǔ)角為異面直線與所成角.因?yàn)槠矫妫矫?，所以，所以，即異面直線與所成角正切值為（2）連接，如圖所示：因?yàn)?，，所以，因?yàn)?，為中點(diǎn)，所以.因?yàn)槠矫?，平面，所以，又因?yàn)椋矫?，所以平?因?yàn)槠矫?，所?18．（2023·貴州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖所示，在四棱錐中，側(cè)面?zhèn)让妫?，，，?(1)求證：平面平面；(2)若點(diǎn)A關(guān)于中點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，三棱錐的體積為，求點(diǎn)A到的距離.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）由余弦定理求出，從而由勾股定理逆定理得到，由面面垂直得到線面垂直，進(jìn)而證明出面面垂直；（2）由三棱錐的體積求出點(diǎn)到平面的距離，求出點(diǎn)到平面的距離，由面面垂直得到點(diǎn)到的距離，求出，得到點(diǎn)A到的距離.【詳解】（1）證明：在中，由，，，由余弦定理得，可得，所以，故，因?yàn)閭?cè)面?zhèn)让?，平面平面，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以平面平?（2）由題意可知，，，共面，且四邊形是平行四邊形.設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則三棱錐的體積，所以.因?yàn)?，所以點(diǎn)到平面的距離也是2，又因?yàn)槠矫嫫矫?，交線為，所以點(diǎn)到的距離是2，所以.所以點(diǎn)A到的距離為.19．（2023·上海普陀·統(tǒng)考二模）如圖，在直三棱柱中，，，．(1)求證：；(2)設(shè)與底面ABC所成角的大小為，求三梭雉的體積．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）由證出，再由線面垂直的性質(zhì)得出，根據(jù)線面垂直的判定定理即可得證；（2）為與底面ABC所成角，再由等體積法求體積即可.【詳解】（1），，，，，又直三棱柱中，平面，平面，，又，平面，平面，平面，.（2）平面，在平面上的射影為，即為與底面ABC所成角，，，.20．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）如圖，在正四棱錐P－ABCD中，AB＝2，側(cè)面PAD與底面ABCD的夾角為.(1)求正四棱錐P－ABCD的體積；(2)若點(diǎn)M是正四棱錐P－ABCD內(nèi)任意一點(diǎn)，點(diǎn)M到平面ABCD，平面PAB，平面PBC，平面PCD，平面PDA的距離分別為，，，，，證明：；【答案】(1)(2)證明見解析；【分析】（1）連接交于點(diǎn)，取的中點(diǎn)，證明即為面PAD與底面ABCD所成角的平面角，從而可求得底面邊長(zhǎng)及高，再根據(jù)棱錐的體積公式即可得解；（2）根據(jù)，利用等體積法即可得證.【詳解】（1）連接交于點(diǎn)，取的中點(diǎn)，連接，由正四棱錐的幾何特征可得為的中點(diǎn)，因?yàn)?，所以，同理，，平面，平面，平面，所以，，，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，所以即為面與底面ABCD所成角的平面角，即，，則，所以；（2），因?yàn)?，所?21．（2023·江西南昌·統(tǒng)考一模）已知直四棱柱的底面為菱形，且，，點(diǎn)為的中點(diǎn).(1)證明：平面；(2)求二面角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）連接交