2.2函數(shù)的定義域與值域

/第二節(jié)函數(shù)的定義域與值域（最值）考綱解讀會(huì)求―些簡(jiǎn)單函數(shù)的定義域和值域

命題趨勢(shì)探究考查重點(diǎn)是求解函數(shù)的定義域和值域知識(shí)點(diǎn)精講一、函數(shù)的定義域求解函數(shù)的定義域應(yīng)注意：（1）分式的分母不為零；（2）偶次方根的被開(kāi)方數(shù)大于或等于零：（3）對(duì)數(shù)的真數(shù)大于零，底數(shù)大于零且不等于1；（4）零次冪或負(fù)指數(shù)次冪的底數(shù)不為零；（5）三角函數(shù)中的正切的定義域是且；（6）已知的定義域求解的定義域，或已知的定義域求的定義域，遵循兩點(diǎn)：①定義域是指自變量的取值范圍；=2\*GB3②在同一對(duì)應(yīng)法則∫下，括號(hào)內(nèi)式子的范圍相同；（7）對(duì)于實(shí)際問(wèn)題中函數(shù)的定義域，還需根據(jù)實(shí)際意義再限制，從而得到實(shí)際問(wèn)題函數(shù)的定義域.二、函數(shù)的值域求解函數(shù)值域主要有以下十種方法：（1）觀(guān)察法；（2）配方法；（3）圖像法；（4）基本不等式法，（5）換元法；（6）分離常數(shù)法；（7）判別式法；（8）單調(diào)性法，（9）有界性法；（10）導(dǎo)數(shù)法.需要指出的是，定義域或值域的結(jié)果必須寫(xiě)成區(qū)間或集合的形式.題型歸納及思路提示題型13函數(shù)定義域的求解思路提示對(duì)求函數(shù)定義域問(wèn)題的思路是：（1）先列出使式子有意義的不等式或不等式組；（2）解不等式組；（3）將解集寫(xiě)成集合或區(qū)間的形式.二、給出函數(shù)解析式求解定義域例2.10函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ瓵.(-4,-1)B.(-4,1)C.(-1,1)D.(-1,1]分析本題考查對(duì)數(shù)、分式根式有關(guān)的函數(shù)定義域的求解解析得，故選C變式1函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ〢.(0，1)B[0，1）C.(0，1]D[0，1]變式2求函數(shù)的定義域.三、抽象函數(shù)定義域已知的定義域求的定義域，或已知的定義域求的定義域，或已知的定義域求的定義域.解題時(shí)注意：（1）定義域是指自變量的取值范圍；（2）在同一對(duì)應(yīng)法則∫的作用下括號(hào)內(nèi)式子的范圍相同.例2.11（1）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋?，1）求的定義域（2）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋?，4）求的定義域（3）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋?，2）求的定義域.分析已知函數(shù)的定義域?yàn)镈，求函數(shù)的定又域，只需;已知函數(shù)的定義域,求函數(shù)了的定義域，只需，即求的值域.解析（1）的定義域?yàn)椋?，1），即0<x<1.故，所以且≠0，所以的定義域?yàn)?2)的定義域?yàn)?2，4).即2<x<4.所以4<<16，故的定義域?yàn)椋?，16）；（3）因?yàn)榈亩x域?yàn)椋?，2）即1＜＜2，所以1＜＜4，故需1＜＋1＜4．所以0＜＜，故的定義域?yàn)樵u(píng)注定義域是對(duì)自變量而言的，如的定義域?yàn)椋?，2）指的是x的范圍而非的范圍.變式1已知函數(shù)的定義域是［0，1］，求的定義域．變式2設(shè)，則的定義域?yàn)椋ǎ〢(-4,0)U(0，4)BC.D三、實(shí)際問(wèn)題中函數(shù)定義域的求解例2.12如圖2-3所示，用長(zhǎng)為1的鐵絲彎成下部為矩形上部為半圓形的框架，若半圓半徑為x，求此框架?chē)傻拿娣ey與x的函數(shù)式y(tǒng)＝，并寫(xiě)出其定義域.分析在求實(shí)際問(wèn)題函數(shù)的定義域時(shí)，應(yīng)注意根據(jù)實(shí)際意義再限制，從而得到實(shí)際問(wèn)題函數(shù)的定義城.AABCD圖2-3解析由題意：于是，因此，化簡(jiǎn)即為又根據(jù)實(shí)際應(yīng)有,得，即所求函數(shù)的定義域?yàn)樵u(píng)注求實(shí)際問(wèn)題函數(shù)的定義域時(shí)，除考慮函數(shù)的解析式有意義外、還要考慮使實(shí)際問(wèn)題有意義，如本題中要根據(jù)各種度量的存在性來(lái)確定函數(shù)的定義域題型14函數(shù)定義域的應(yīng)用思路提示對(duì)函數(shù)定義域的應(yīng)用，是逆向思維問(wèn)題，常常轉(zhuǎn)化為恒成立問(wèn)題求解，必要時(shí)對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類(lèi)討論.例2.13若函數(shù)的定義域?yàn)镽，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)____.分析函數(shù)的定義域?yàn)镽,即≥0在R上恒成立，再利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解解析由題意知≥0在R上恒成立,所以,即有恒成立,其等價(jià)于△=,

則實(shí)數(shù)的取值范圍為[―1,0]變式1若函數(shù)的定義域是R，求則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A.B.C.D.變式2函數(shù)的定義域是R,求a的取值范圍.變式3若函數(shù)的定義域?yàn)镽，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.題型15函數(shù)值域的求解思路提示函數(shù)值域的求法主要有以下幾種(1)觀(guān)察法:根據(jù)最基本函數(shù)值域（如≥0,及函數(shù)的圖像、性質(zhì)、簡(jiǎn)單的計(jì)算、推理，憑觀(guān)察能直接得到些簡(jiǎn)單的復(fù)合函數(shù)的值域.（2）配方法：對(duì)于形如的值域問(wèn)題可充分利用二次函數(shù)可配方的特點(diǎn)，結(jié)合二次函數(shù)的定義城求出函數(shù)的值域.（3）圖像法：根據(jù)所給數(shù)學(xué)式子的特征，構(gòu)造合適的幾何模型.（4）基本不等式法：注意使用基本不等式的條件，即一正、二定、三相等.（5）換元法：分為三角換元法與代數(shù)換元法，對(duì)于形的值城，可通過(guò)換元將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次型函數(shù).（6）分離常數(shù)法：對(duì)某些齊次分式型的函數(shù)進(jìn)行常數(shù)化處理，使函數(shù)解析式簡(jiǎn)化內(nèi)便于分析.（7）判別式法：把函數(shù)解析式化為關(guān)于x的―元二次方程，利用一元二次方程的判別式求值域，一般地，形如，或的函數(shù)值域問(wèn)題可運(yùn)用判別式法（注意x的取值范圍必須為實(shí)數(shù)集R）.(8)單調(diào)性法：先確定函數(shù)在定義域（或它的子集）內(nèi)的單調(diào)性，再求出值域.對(duì)于形如或的函數(shù)，當(dāng)ac>0時(shí)可利用單調(diào)性法.（9）有界性法：充分利用三角函數(shù)或一些代數(shù)表達(dá)式的有界性，求出值域.因?yàn)槌３霈F(xiàn)反解出y的表達(dá)式的過(guò)程，故又常稱(chēng)此為反解有界性法.(10)導(dǎo)數(shù)法：先利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的極大值和極小值，再確定最大（小）值，從而求出函數(shù)的值域.一觀(guān)察法例2.14求函數(shù)的值域.分析由觀(guān)察法直接得到函數(shù)的值域.解析因?yàn)?，所以函?shù)的值域?yàn)?變式1函數(shù)的值域是.變式2函數(shù)的值域是.二配方法例2.15求函數(shù)的值域.分析對(duì)于根式中的二次函數(shù)，利用配方法求解.解析由，得..變式1求函數(shù)的值域.變式2求的值域.變式3設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镈，若所有點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)正方形區(qū)域，則a的值為（）.A-2B-4C-8D不能確定三圖像法（數(shù)形結(jié)合）例2.16求函數(shù)的值域.分析由函數(shù)表達(dá)式易聯(lián)想到兩點(diǎn)間距離公式，可將其轉(zhuǎn)化為動(dòng)點(diǎn)與兩定點(diǎn)的距離之和.解析如圖2-4所示，，所示動(dòng)點(diǎn)P（x,1）到兩定點(diǎn)A（-1,0）和B（1,0）的距離之和，作點(diǎn)B（1,0）關(guān)于直線(xiàn)y=1的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接B1A交y=1于點(diǎn)P1（0,1）,此時(shí)AB1的長(zhǎng)即為PA與PB的長(zhǎng)之和的最小值，點(diǎn)P1（0,1）到A,B兩點(diǎn)的距離之和為，故函數(shù)的值域?yàn)閇,+∞﹚.BB’OP(x,1)ABA’B’A’’圖2-4P評(píng)注本題中也可看著動(dòng)點(diǎn)P（x,0）與兩定點(diǎn)A1(-1,1),B1(1,1)的距離之和，同理利用數(shù)形結(jié)合思想，|PA1|+|PB1|，則|PA1|+|PB1|的最小值為.變式1求函數(shù)y=|x+1|+|x-2|的值域.變式2函數(shù)的值域是（）.ABCD變式3函數(shù)的值域是（）.ABCD四基本不等式法例2.17已知x>2,求函數(shù)的值域.解析令,則，（當(dāng)且僅當(dāng)，即t=2,x=3時(shí)取等號(hào)）.故函數(shù)的值域?yàn)?變式1求函數(shù)的值域.五、換元法（代數(shù)換元與三角換元）【例2.18】求函數(shù)的值域.解析令，則，得.因?yàn)楹瘮?shù)的對(duì)稱(chēng)軸，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以值域?yàn)?故函數(shù)的值域?yàn)?變式1：求函數(shù)的值域.變式2：求函數(shù)的值域.分離常數(shù)法【例2.19】求的值域.分析本例中的函數(shù)是關(guān)于的齊次分式，故可以考慮使用分離常數(shù)法加以求解.解析由題意得，因?yàn)?，所?，故值域?yàn)?變式1：求函數(shù)的值域.變式2：求函數(shù)的值域.判別式法【例2.20】求函數(shù)的值域.解析因?yàn)楹愠闪?，所以函?shù)的定義域?yàn)镽.原式可化為.整理得.若，即，即；若，因?yàn)椋从?，所以，解得?綜上所述，函數(shù)的值域?yàn)?變式1：已知函數(shù)的值域?yàn)?，求的?變式2：已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，值域?yàn)椋蟮闹?單調(diào)性法【例2.21】求函數(shù)的值域.解析由函數(shù)的定義域?yàn)?，且函?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)的值域?yàn)?變式1：求函數(shù)的值域.變式2：函數(shù)的值域是_______________.變式3：求函數(shù)的值域.變式4：求函數(shù)的值域.有界性法【例2.22】求函數(shù)的值域.解析解法一（有界性法）：由題意可得，即有，由，可知，故，可得，因此所求函數(shù)的值域?yàn)?解法二（分離常數(shù)法）：，由，可知，故，因此函數(shù)的值域?yàn)?變式1：已知函數(shù)，求函數(shù)的值域.變式2：已知函數(shù)，若有，則的取值范圍為（）【例2.23】已知，求函數(shù)的值域.解析由，得，且，故.得或.又，，則.故.因此函數(shù)的值域?yàn)?評(píng)注本題也可以用數(shù)形結(jié)合思想求解，設(shè)，則的幾何意義為點(diǎn)與點(diǎn)所確定直線(xiàn)的斜率，其中為單位圓在軸左側(cè)部分.變式1：已知，求函數(shù)的值域.導(dǎo)數(shù)法【例2.24】求函數(shù)的值域.解析由，得.由表看出，的最大值的最小值，故的值域?yàn)?評(píng)注對(duì)于三次函數(shù)以及復(fù)雜的函數(shù)求值域一般都用導(dǎo)數(shù)法求解，此類(lèi)解法在第三章導(dǎo)數(shù)中有更為系統(tǒng)的介紹.變式1：若函數(shù)在區(qū)間及上都是增函數(shù)，而在上是減函數(shù)，求此函數(shù)在上的值域.最有效訓(xùn)練題5（限時(shí)45分鐘）已知，則下列函數(shù)中定義域和值域都可能是R的是（）若函數(shù)的定義域?yàn)镽，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）定義域?yàn)镽是函數(shù)的值域?yàn)椋瑒t函數(shù)的值域是（）函數(shù)的值域是（）設(shè)函數(shù)，，則的值域是（）對(duì)任意兩實(shí)數(shù)，定義運(yùn)算“*”如下