數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第一冊(cè) 等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)

2-2-1等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)通過(guò)預(yù)習(xí)，我們知道實(shí)際問(wèn)題所蘊(yùn)含的不等關(guān)系可以抽象出不等式，如何解不等式呢？我們初中學(xué)習(xí)了解方程，解方程需要用等式的性質(zhì)，類似的，解不等式需要用到不等式的性質(zhì)。接下來(lái)，我們先從實(shí)數(shù)的大小關(guān)系這一基本事實(shí)，研究不等式的性質(zhì)，從而解決不等式，進(jìn)而解決蘊(yùn)含不等關(guān)系的實(shí)際問(wèn)題，體會(huì)數(shù)學(xué)與我們的生活是息息相關(guān)的。入探究關(guān)于實(shí)數(shù)qM大小的比較，有以下基本事實(shí)：如果。-b是正數(shù)，那么。>b；如果。-b等于0,那么。=b；如果。-b是負(fù)數(shù)，那么Q<b；反過(guò)來(lái)也對(duì)。用數(shù)學(xué)符號(hào)表示為：a>b^a—b>0a〈b=a—b<0方法：要比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小，可以轉(zhuǎn)化為比較它們的差與0比較大小。OO+%)(l+%)V(￡+%)(z+坦0<Z=O+XS+ZX)一(9++z%)='「/N盼+%)(i+%)￥(￡+%)(z+%)苗4[吟探究：圖是在北京召開(kāi)的第24屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)標(biāo)，會(huì)標(biāo)是根據(jù)中國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖設(shè)計(jì)的，顏色的明暗使它看上去像一個(gè)風(fēng)車，代表中國(guó)人民熱情好客，你能在這個(gè)圖中找出一些相等關(guān)系和不等關(guān)系嗎？將圖中的“風(fēng)車”抽象成如圖所示的正方形ABCD,在正方形ABCD中有4個(gè)全等的直角三角形三角形的兩條直角邊的長(zhǎng)為Q"豐b),那么正方形的邊長(zhǎng)為梅+b2.4個(gè)直角三角形的面積和為2庶，正方形的面積為仃+b2.由于正方向ABCD的面積大于4個(gè)直角三角形的面積和，我們得到一個(gè)不等式+b2>2ab特別地，當(dāng)直角三角形變?yōu)榈妊苯侨切?，即?b時(shí)"正方形EFGH縮為一個(gè)點(diǎn),這時(shí)有仃+b2=2ab/G-~^c于是有，于是有，+尸乏2abA\IaE結(jié)論：一般地，任意a,beR,有a24-b2>2ab,當(dāng)且僅當(dāng)。=b時(shí)，等號(hào)成立。證明：(作差法)冰+淀一2ab=(g-力)2因?yàn)槿我鈇,beR,(a-b)2>0z當(dāng)且僅當(dāng)。=力時(shí),等號(hào)成立,所以X+尸一2庶>°,因此,由兩個(gè)實(shí)數(shù)大小關(guān)系的基本事實(shí),得仃+b2>當(dāng)且僅當(dāng)。=b時(shí)，等號(hào)成立.注：我們把上述結(jié)論中的不等式稱為重要不等式?；仡櫟仁降幕拘再|(zhì)性質(zhì)1如果。=b,那么b=a性質(zhì)2如果。=b,b=c,那么。=c性質(zhì)3如果。=b,那么?！纁=b±c性質(zhì)4如果。=b,那么qc=be性質(zhì)5如果。=b,cW0,那么絲=-探究：類比等式的基本性質(zhì)，你能猜想不等式的基本性質(zhì)，并加以證明嗎？寸生質(zhì)1如果。>加那么b<如果b<那么。>加即。>bb<a證性質(zhì)3如果。>加那么。+c>b+c性質(zhì)4如果q>OO，c>0,那么ac>be;如果Q>b,c<0,那么qc<be;證明：Q>b和性質(zhì)3,得q+c>b+c；由。>(i和性質(zhì)3,得b+c>b+d,再根據(jù)性質(zhì)2,即得。+c>b+口性質(zhì)6如果性質(zhì)6如果Q>b>0,c>d>0,那么qc>bdn注：實(shí)數(shù)大小關(guān)系的基本事實(shí)和不等式的性質(zhì)時(shí)解決不等式問(wèn)題的依據(jù)。bc'ab分析：要證b:,因?yàn)镃+0,所以b可先證明;>利用已知。>b>0和性質(zhì)3,即可證明;>La證明:因?yàn)镼>b>0,所以湖>0上>0,于是Q~>b~,即:>abababba由cVo,得f?abbb1已知。>0,b>0,試比較￡+牛與yfd+VF的大小解法一：(作差法)(遍+急一(而+商)=(金一VF)+(點(diǎn)一而)=2.(5V (作商注\*璀_(商，+(用)3-S (作商注\*璀_(商，+(用)3-S+VF)(q+J-面) (作商法)用+商一面(旅+商)VaK(V^+VF)2(用—VF)+y[ab___碎土—a+b-yfab1.已知。>o,b>”,試比較奈+焉與桓+VK的大小abab11已知。>o,b>o,試比較+—與+VF的大小VDV。12面，.七+鹽-(桓+商)2=些潔00/則下列命題中是真命題的是(ababB.如果qc>be,那么q<bC.如果q>b,那么￡>D.如果c>a>b>0,那么-■2.(多選題)已知afb,ceR,且c。答案：CD(2)已知1V。<4,2<b<8,試求;的取值范圍；(3)已知一6<a<8f2<b<3,求；的取值范圍；解：(1)v1<a<4,2<b<8,2<2a<8,6<3b<24,8<2a+ab<2(2)已知1V。<4,2<b<8,試求;的取值范圍；(3)已知一6<a<8f2<b<3,求；的取值范圍；即：<?V2,所以?的取值范圍是：<?V2OUUO