知識講解-直線的傾斜角與斜率-基礎(chǔ)

直線的傾斜角與斜率【學(xué)習(xí)目標(biāo)】了解直線傾斜角的概念，掌握直線傾斜角的范圍；理解直線斜率的概念，理解各傾斜角是90時的直線沒有斜率已知直線的傾斜角(或斜率)，會求直線的斜率(或傾斜角)；掌握經(jīng)過兩點P(x,y)和P(x,y)的直線的斜率公式：k=厶一葺(x豐x)；111222 x-x1221熟練掌握兩條直線平行與垂直的充要條件.【要點梳理】要點一、直線的傾斜角平面直角坐標(biāo)系中，對于一條與x軸相交的直線，如果把x軸繞著交點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)到和直線重合時所轉(zhuǎn)的最小正角記為a，則a叫做直線的傾斜角.規(guī)定：當(dāng)直線和x軸平行或重合時，直線傾斜角為0，所以，傾斜角的范圍是0<a<180.要點詮釋：要清楚定義中含有的三個條件直線向上方向；x軸正向；小于180的角.從運動變化觀點來看，直線的傾斜角是由x軸按逆時針方向旋轉(zhuǎn)到與直線重合時所成的角.傾斜角a的范圍是0<a<180.當(dāng)a=0時，直線與x軸平行或與x軸重合.直線的傾斜角描述了。直線的傾斜程度，每一條直線都有唯一的傾斜角和它對應(yīng)已知直線的傾斜角不能確定直線的位置，但是，直線上的一點和這條直線的傾斜角可以唯一確定直線的位置.要點二、直線的斜率1．定義：傾斜角不是90的直線，它的傾斜角的正切叫做這條直線的斜率，常用k表示，即k=tana.要點詮釋：當(dāng)直線l與x軸平行或重合時，a=0°，k二tanO°=0；直線l與x軸垂直時，a=90°，k不存在.由此可知，一條直線1的傾斜角a一定存在，但是斜率k不一定存在.2?直線的傾斜角a與斜率k之間的關(guān)系由斜率的定義可知，當(dāng)a在(0,90)范圍內(nèi)時，直線的斜率大于零；當(dāng)a在(90,180)范圍內(nèi)時，直線的斜率小于零；當(dāng)a=0。時，直線的斜率為零；當(dāng)a=90。時，直線的斜率不存在?直線的斜率與直線的傾斜角(90除外)為一一對應(yīng)關(guān)系，且在［0,90)和(90,180)范圍內(nèi)分別與傾斜角的變化方向一致，即o O \° °傾斜角越大則斜率越大，反之亦然．因此若需在［0,90丿或(90,180)范圍內(nèi)比較傾斜角的大小只需比較傾斜角越大則斜率越大，反之亦然．斜率的大小即可，反之亦然．要點三、斜率公式已知點P(X,y)、P(x,y)，且PP與x軸不垂直，過兩點P(x,y)、P(x,y)的直線的斜率公式11122212111222y-yk二tix一x21要點詮釋：對于上面的斜率公式要注意下面五點：當(dāng)X］=X2時，公式右邊無意義，直線的斜率不存在，傾斜角a=90°，直線與X軸垂直；k與P］、P2的順序無關(guān)，即丫］，y2和X］，x2在公式中的前后次序可以同時交換，但分子與分母不能交換；斜率k可以不通過傾斜角而直接由直線上兩點的坐標(biāo)求得；當(dāng)y］=y2時，斜率k=0，直線的傾斜角a=0°，直線與x軸平行或重合；求直線的傾斜角可以由直線上兩點的坐標(biāo)先求斜率而得到．斜率公式的用途：由公式可解決下列類型的問題：⑴由P、匚點的坐標(biāo)求k的值;⑵已知k及％人,卞兒中的三個量可求第四個量;已知k及P、P的橫坐標(biāo)(或縱坐標(biāo))可求IPPI；1212證明三點共線.要點四、兩直線平行的條件設(shè)兩條不重合的直線l,l的斜率分別為k,k?若l//1，貝"與l的傾斜角a與a相等?由a,121212121212可得tana=tana，即k=k.1212因此，若l//1，則k二k.1212反之，若k二k，則l//1.1212要點詮釋：1?公式l//1ok二k成立的前提條件是①兩條直線的斜率存在分別為k,k:②l與l不重合；121212122?當(dāng)兩條直線的斜率都不存在且不重合時，l與l的傾斜角都是90。，則l//1.1212要點五、兩直線垂直的條件設(shè)兩條直線1,1的斜率分別為k，k.若1丄1，則k?k-_1.12121212要點詮釋：1?公式1丄1ok-k=-1成立的前提條件是兩條直線的斜率都存在；1212

2.當(dāng)一條垂直直線的斜率不存在，另一條直線的斜率為0時，兩條直線也垂直.【典型例題】類型一：直線的傾斜角與斜率例1.設(shè)直線l與x軸的交點為P,且傾斜角為a，若將其繞點P按逆時針方向旋轉(zhuǎn)45°，得到直線l的傾斜角為a+45°，則（ ）A.0°Wa<90° B.0°Wa<135° C.0°Va<135°D.0°Va<135°【答案】D【解析】 Va,a+45°均為傾斜角，.??0°Wa<135.??0°Wa<1350<a+45°<180°又V?直線l與x軸相交，???a工0°.故選D.【總結(jié)升華】（1）傾斜角的概念中含有三個條件：①直線向上的方向；②x軸的正方向；③小于平角的正角.（2） 傾斜角是一個幾何概念，它直觀地描述且表現(xiàn)了直線對于x軸正方向的傾斜程度.（3） 平面直角坐標(biāo)系中每一條直線都有一個確定的傾斜角，且傾斜程度相同的直線，其傾斜角相等；傾斜程度不同的直線，其傾斜角不相等.（4） 確定平面直角坐標(biāo)系中一條直線位置的幾何要素是：直線上的一個定點以及它的傾斜角，二者缺一不可.例2.下列說法正確的是 .若兩直線的傾斜角相等，則兩直線平行或重合；若一直線的傾斜角為150°，則此直線關(guān)于y軸的對稱直線的傾斜角為30°；若a，2a，3a分別為三條直線的傾斜角，則a不大于60°；若傾斜角a=90°，則此直線與坐標(biāo)軸垂直.【答案】①②【解析】若傾斜角相等，則兩直線平行或重合，故①正確；若兩直線關(guān)于y軸對稱，則其傾斜角互補，故②正確；當(dāng)a=60°時，3a=180°，故③錯誤；若a=90°，則直線與x軸垂直.故④錯誤.【總結(jié)升華】本題考查直線的傾斜角定義中的條件及傾斜角的取值范圍.理解傾斜角的定義是解決此題的關(guān)鍵.舉一反三【解析】題圖（1）中的角a的一邊取的是x軸的負(fù)方向，因此標(biāo)注不正確；題圖（2）中的角a的一邊取的是直線向下的方向，因此標(biāo)注不正確；題圖（3）中的角a的兩邊分別取的是x軸的負(fù)方向和直線向下的方向，因此標(biāo)注不正確，但是它的大小等于直線的傾斜角.題圖（4）中的角a是x軸正方向與直線向上方向所成的角，因此標(biāo)注不正確.【高清課堂：直線的傾斜角與斜率381490例2】例3?如圖所示，直線（的傾斜角a1-30°，直線-與'垂直，求l1，l2的斜率?

j3【答案】k—k2=r31 3 2【解析】由圖形可知，a—a+90。，則比，k2可求.2112直線l的斜率k—tana—tan30?！? 1 1 3???直線l2的傾斜角a2=90°+30°=120°,???直線l2的斜率k2訥120°=tan(180°—60°)=—tan60。=—'73.【總結(jié)升華】(1)本例中，利用圖形的形象直觀挖掘出直線l與l的傾斜角之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.12(2)公式tan(180°—a)=—tana是一個重要公式，它是求傾斜角為鈍角時的直線斜率的關(guān)鍵，即把鈍角的正切轉(zhuǎn)化為銳角的正切．熟記30°，45°，60°角的正切值可快速求解．舉一反三：【變式1】下列說法中，正確的是()直線的傾斜角為a,則此直線的斜率為tana直線的斜率為tan0，則此直線的傾斜角為°若直線的傾斜角為a,則sina>0任一直線都有傾斜角，但它不一定有斜率【答案】D【解析】本題主要考查直線的斜率與傾斜角的關(guān)系．對于A，當(dāng)a=90°時，直線的斜率不存在，???A錯；對于B，雖然直線的斜率為tan°，但只有當(dāng)0G[0°,180°)時，0才是此直線的傾斜角，???B錯；對于C,當(dāng)直線平行于x軸時，a=0°，而sin0°=0,?C錯．?應(yīng)選D．類型二：過兩點的直線斜率公式的應(yīng)用例3．經(jīng)過下列兩點的直線的斜率是否存在？如果存在，求其斜率．(1)(1,一1),(―3,2)；(2)(1,-2),(5,—2)；(3)(3,4),(-2,-5)；(4)(3,0),(3,v3).39【答案】(1)—~(2)0(3) (4)不存在4 5y—y【解析】當(dāng)傾斜角a=90°時，斜率不存在；當(dāng)a工90。時，k—厶1.x一x212一(一1) 3 一2一(一2) 一5一49(1)k— =一了；(2)k— —0；(3)k— =匚；(4)7傾斜角a=90°，.:—3一1 4 5一1 —2一35k不存在.【總結(jié)升華】應(yīng)用斜率公式求斜率時，首先應(yīng)注意這兩點的橫坐標(biāo)是否相等，若相等，則這兩點的連線必與x軸垂直，即直線的傾斜角為90°，故其斜率不存在，也就不能運用斜率公式求斜率.事實上，此時若將兩點坐標(biāo)代入斜率公式，則其分母為零無意義，即斜率不存在；其次，在運用斜率公式時，分子的被減數(shù)與分母的被減數(shù)必須對應(yīng)著同一點的縱坐標(biāo)和橫坐標(biāo).

舉一反三：【變式1】直線l過點A(1,2),B(m,3),求l的斜率.【答案】不存在或丄m-1【解析】若m=1，此時l的傾斜角為才，顯然直線斜率不存在,；3-2 1若mM1,則直線斜率存在，設(shè)此時斜率為k,傾斜角為Q,k—tanQ— —m-1m-1例4.已知A(a,2),B(5,1),C(—4,2a)三點在同一條直線上，求a的值.7【答案】2或【解析】TA,B,C三點共線，2-12a-1 7???kAB=kBc，?:a-5—-4-5，解得a=2或a—2-7故所求的a的值為2或?【總結(jié)升華】由于直線上任意兩點的斜率都相等，因此A,B,C三點共線oA,B,C中任意兩點的斜率相等(如kAB=kAC)．斜率是反映直線相對于x軸正方向的傾斜程度的,直線上任意兩點所確定的方向不變,即在同一直線上任意不同的兩點所確定的斜率相等．這正是利用斜率可證三點共線的原因．舉一反三：【變式1】已知A(—3,—5),B(1,3),C(5,11)三點,試判斷這三點是否在同一直線上．答案】在同一直線上解析】由題意可知直線AB的斜率k解析】由題意可知直線AB的斜率kAB—若5—2，直線BC的斜率k1+3 BC11-35-12．因為kAB=kBC,即兩條直線的斜率相同，并且它們過同一點B,所以A,B,C三點在同一直線上.例5.已知直線l經(jīng)過點P(1,1),且與線段MN相交，又M(2,—3),N(—3,—2),求直線l的斜率k的取值范圍．【答案】(—?—【答案】(—?—4]4丿U【解析】如圖所示,直線l相當(dāng)于繞著點P在直線PM與PN間旋轉(zhuǎn),l'是過P點且與x軸垂直的直線.3當(dāng)l從PN位置轉(zhuǎn)到l'位置時，傾斜角增大到90°,而k—-pn4???k>-.4又當(dāng)l從l'位置轉(zhuǎn)到PM位置時，傾斜角大于90°,由正切函數(shù)的性質(zhì)知，kWkpM=—4,.'.kW—4.「3 、綜上所述，k&(—g,—4] —,+8.L4丿U【總結(jié)升華】直線的傾斜角是從“形”的角度刻畫直線的傾斜程度，而直線的斜率及斜率公式則從“數(shù)”的角度刻畫直線的傾斜程度，把二者緊密地結(jié)合在一起就是數(shù)形結(jié)合.利用它可以較為簡便地解決一些綜

合問題，如過定點的直線與已知線段是否有公共點的問題，可先作出草圖，再結(jié)合圖形考慮．一般地，若已知A（X],y1）,B（x2，y2）,P（x0,y0）,過P點作垂直于x軸的直線l'，過P點的任一直線l的斜率為k,則當(dāng)l'與線段AB不相交時，k夾在kpA與kpB之間；當(dāng)l'與線段AB相交時，k在kpA與kpB的兩邊.舉一反三：【變式1】已知直線l過點A（—2,1）且與線段BC相交，設(shè)B（—1,0）,C（1,0），則直線l的斜率k的取值范圍是 ..7 1【答案】—1<k<—3【解析】畫出圖形，數(shù)形結(jié)合類型三：兩條直線平行的條件求證：l//1.12（例6.已知l經(jīng)過A（—3，3），B（—8,6求證：l//1.12解析】TOC\o"1-5"\h\z直線l的斜率為k=f：3 5解析】8—(—3) 56—（—3） 3直線l的斜率為k2= 21—9=一云，2 2 219 5一~2一2Vk1=k2，Al//1.1212【總結(jié)升華】判定兩條不重合的直線是否平行的依據(jù)是：當(dāng)這兩條直線均不與x軸垂直時，只需看它們的斜率是否相等即可，反過來，兩條直線平行，則隱含著這兩條直線的斜率相等（當(dāng)這兩條直線均不與x軸垂直時）．判定兩條直線是否平行，只要研究兩條直線的斜率是否相等即可，但是要注意斜率都不存在的情況，以及兩條直線是否重合．舉一反三：【變式1】判斷下列各小題中的直線l與l是否平行.121）l經(jīng)過點A（—1，—2），B（2，1），l經(jīng)過點M（3，4），N（—1，—1）；12（2）l的斜率為1，l經(jīng)過點A（1，1），B（2，2）；123）l經(jīng)過點A（0，1），B（1，0），l經(jīng)過點M（—1，3），N（2，0）4)4)l1經(jīng)過點A(—3,2)，B(—3,10)，l-經(jīng)過點M(5,-2),N(5,5).解析】7 1—(—2)1 7 —1—45 ,,解析】⑴k1=2—(—1)=1，k2=壬3=4，7k1^k2，Al1與l2不平行?2)k1=1，

???kF—.li#l2或li與l2重合?3）0-3）2-(-1)?k*...l〃l.1212(4)Vl與l都與x軸垂直，l〃l.1212【總結(jié)升華】k.=k2Ol〃l是針對斜率都存在的直線，對于斜率不存在或可能不存在的直線要注意1212利用圖形求解．例7.已知門ABCD的三個頂點的坐標(biāo)分別是A（0，1），B（1，0），C（4，3），求頂點D的坐標(biāo).【答案】（3，4）【解析】解法1：設(shè)D（m,n），線段AC的中點為E（2，2），所以線段BD的中點為E（2，2），則I=m±!2] ，解得m=3，n=4,所以D（3，4）.2=n±0〔2解法2：設(shè)D（m，n），由題意得AB〃DC,AD〃BC，則有kAB=kDC，kAD=kBC，「0-1_3-n1—0 4—m所以＜ [介，解得m=3,n=4,所以D（3,4）.n-1_3-0、m—0 4-1【總結(jié)升華】解決此類問題的關(guān)鍵是充分利用幾何圖形的幾何性質(zhì)，并用解析幾何中的相關(guān)知識解決．解決本題的關(guān)鍵是如何利用平行四邊形的幾何性質(zhì)，其出發(fā)點是已知平行四邊形的三個頂點如何作出第四個頂點，這兩種作法對應(yīng)著兩種解法．類型四：兩條直線垂直的條件例8.判斷下列各題中l(wèi)與l是否垂直.12（1） l經(jīng)過點A（―1,—2）,B（1,2）,l經(jīng)過點M（―2,—1）,N（2,1）；12（2） l的斜率為一10,l經(jīng)過點A（10,2）,B（20,3）；12（3） l經(jīng)過點A（3，4），B（3，10），l經(jīng)過點M（－10，40），N（10，40）.121)【解析】求出斜率，利用l1丄l2Okg-11)k1k2=1，???l1與l2不垂直;

2)k12)k1=－10，3-2_120-10~10k1k2=－1，??