第三章 加權(quán)殘值法

第三章加權(quán)殘值法第1頁，課件共16頁，創(chuàng)作于2023年2月3.1加權(quán)殘值法的基本概念設(shè)某一具體的工程定解問題：Lu－f=0（在域V內(nèi)）（3.1.1）

Gu－g=0（在邊界S上）（3.1.2）這里，u為待求的未知函數(shù)，L和G分別為控制方程（在域V內(nèi)）和邊界條件（在邊界S上）的微分算子。f和g分別是域內(nèi)和邊界上的已知項。第2頁，課件共16頁，創(chuàng)作于2023年2月3.1加權(quán)殘值法的基本概念一般地，定解問題（3.1.1）、（3.1.2）的精確解難以求得，從而求助于近似解，這里我們假設(shè)一個待求函數(shù)u的試函數(shù)：（3.1.3）其中Ci為待定系數(shù)，vi為試函數(shù)項。將（3.1.3）代入定解問題的兩個微分方程中，一般不會精確滿足，于是就出現(xiàn)了內(nèi)部殘值（Residuals）RV和邊界殘值RS，即：第3頁，課件共16頁，創(chuàng)作于2023年2月3.1加權(quán)殘值法的基本概念為了消除殘值，選取內(nèi)部權(quán)函數(shù)（Weightedfunction）WV和邊界權(quán)函數(shù)WS，使得殘值RV和RS分別與相應(yīng)權(quán)函數(shù)的乘積在域內(nèi)和邊界上的積分為零，即：據(jù)此，我們就可以得到關(guān)于待定系數(shù)Ci（i=1，2，…N）的代數(shù)方程組，求得了Ci后，即確定了近似解（3.1.3）。（3.1.4）（3.1.5）（3.1.6）（3.1.7）第4頁，課件共16頁，創(chuàng)作于2023年2月按試函數(shù)是否滿足控制方程和邊界條件，將加權(quán)殘值法分為三類：內(nèi)部法

邊界法

混合法

3.1加權(quán)殘值法的基本概念第5頁，課件共16頁，創(chuàng)作于2023年2月3.2加權(quán)殘值法的基本方法據(jù)權(quán)函數(shù)的形式分類，主要有以下五種方法：（1）最小二乘法（LeastSquareMethod）最小二乘法的基本思想是選取一個試函數(shù)，使得在域V內(nèi)的殘值平方積分：（3.2.1）最小。為使J（Ci）最小，取極值條件：第6頁，課件共16頁，創(chuàng)作于2023年2月3.2加權(quán)殘值法的基本方法（3.2.2）即可得到最小二乘法的基本方程：（3.2.3）可見，最小二乘法就是將權(quán)函數(shù)取作。式（3.2.3）將給出N個代數(shù)方程，用于求解N個待定系數(shù)Ci（i=1，2，…N）。這個方法一般計算精度高，但運算較為繁瑣。（i=1，2，…N）（i=1，2，…N）第7頁，課件共16頁，創(chuàng)作于2023年2月（2）配點法（CollocationMethod）3.2加權(quán)殘值法的基本方法如果選用狄拉克δ函數(shù)（DiracDeltaFunction）作為權(quán)函數(shù)，即：（3.2.4）就得到了配點法。配點法的基本方程為：（3.2.6）（i=1，2，…N）第8頁，課件共16頁，創(chuàng)作于2023年2月（2）配點法（CollocationMethod）3.2加權(quán)殘值法的基本方法對于高維問題，例如二維問題的配點法基本方程為：（i=1，2，…N）（3.2.7）由殘值R在N個配點xi（或二維（xi，yi））處為零。得到N個代數(shù)方程，從而求得待定系數(shù)Ci（i=1，2，…N）。配點法是加權(quán)殘值法中最簡單的一種，只是其計算精度相對差一些。第9頁，課件共16頁，創(chuàng)作于2023年2月3.2加權(quán)殘值法的基本方法（3）子域法（SubdomainMethod）如果將待求問題的整個區(qū)域V按任意方式劃分為N個子域Vi（i=1，2，…N），并定義此時的權(quán)函數(shù)為：（3.2.8）于是在每個子域Vi內(nèi)可列出消除殘值的方程為：（i=1，2，…N）（3.2.9）第10頁，課件共16頁，創(chuàng)作于2023年2月3.2加權(quán)殘值法的基本方法（3）子域法（SubdomainMethod）這里，N個子域共有N個方程，聯(lián)立求解即得待定系數(shù)Ci（i=1，2，…N）。需要說明的是，每個子域的試函數(shù)的選取可以相同，也可以不同。若各子域的試函數(shù)互不相同時，則必須考慮各子域間的連接條件。第11頁，課件共16頁，創(chuàng)作于2023年2月3.2加權(quán)殘值法的基本方法（4）伽遼金法（GalerkinMethod）伽遼金法是俄國工程師伽遼金提出的并以他的名字而命名的方法。伽遼金法中的權(quán)函數(shù)就是試函數(shù)中的基函數(shù)，即：Wi=vi，（i=1，2，…N）（3.2.10）（i=1，2，…N）（3.2.11）由殘值方程和試函數(shù)中的每一個基函數(shù)正交這一性質(zhì)，不僅保證了解的收斂性，還使得伽遼金法精度高而計算工作量又不算太大，所以該方法應(yīng)用廣泛。第12頁，課件共16頁，創(chuàng)作于2023年2月3.2加權(quán)殘值法的基本方法（5）矩量法（MethodofMoment）當權(quán)函數(shù)選取為xi（i=0，1，…N－1）時，就得到了矩量法的基本方程為：（i=0，1，…N－1）（3.2.12）由上式不難求得待定系數(shù)Ci（i=1，2，…N）。第13頁，課件共16頁，創(chuàng)作于2023年2月（1）最小二乘法（LeastSquareMethod）（2）配點法（CollocationMethod）

例2：簡支梁的彎曲問題第14頁，課件共16頁，創(chuàng)作于2023年2月（3）子