第三章 傅立葉分析

第三章傅立葉分析第1頁，課件共141頁，創(chuàng)作于2023年2月主要內(nèi)容周期信號的頻譜分析－－傅立葉級數(shù)典型周期信號的頻譜系統(tǒng)對周期信號的響應非周期信號的頻譜分析－－傅立葉變換典型非周期信號的頻譜傅立葉變換的基本性質(zhì)周期信號的傅立葉變換抽樣定理調(diào)制與解調(diào)系統(tǒng)的頻域分析第2頁，課件共141頁，創(chuàng)作于2023年2月WhyFourierAnalysis?...第3頁，課件共141頁，創(chuàng)作于2023年2月WhyFourierAnalysis?...第4頁，課件共141頁，創(chuàng)作于2023年2月WhyFourierAnalysis?傅立葉分析方法不僅應用于電力工程、通信和控制領(lǐng)域，而且在力學、光學、量子物理和各種線性系統(tǒng)分析等許多有關(guān)數(shù)學、物理和工程技術(shù)領(lǐng)域中得到廣泛而普遍的應用。傅立葉分析是研究其它變換方法的基礎(chǔ)第5頁，課件共141頁，創(chuàng)作于2023年2月理論依據(jù)：信號的正交函數(shù)展開若g1(t),g2(t),……在區(qū)間(t1,t2)內(nèi)構(gòu)成完備正交函數(shù)集，則信號f(t)可展開成這些正交函數(shù)的線性組合，即：f(t)=c1g1(t)+c2g2(t)+…=∑cigi(t)常用的正交函數(shù)集：三角函數(shù)集{1,cos(w1t),sin(w1t),cos(2w1t),sin(2w1t),…}復指數(shù)函數(shù)集{ejnw1t,n=0,1,2……,-1,-2,……}其它（勒讓德多項數(shù)，拉德馬赫函數(shù)集，沃爾什函數(shù)集……)P332第6頁，課件共141頁，創(chuàng)作于2023年2月周期信號的傅立葉級數(shù)分析周期信號在滿足Dirichlet條件時，可以利用三角函數(shù)集或復指數(shù)函數(shù)集做正交展開。設(shè)周期信號為f(t),其周期為T1,角頻率為w1=2πf1=2π/T1,則：第7頁，課件共141頁，創(chuàng)作于2023年2月三角函數(shù)形式的傅立葉級數(shù)第8頁，課件共141頁，創(chuàng)作于2023年2月復指數(shù)形式的傅立葉級數(shù)第9頁，課件共141頁，創(chuàng)作于2023年2月周期信號的頻譜幅度頻譜：信號的各個頻率分量的幅度（cn或|Fn|)與頻率之間的關(guān)系圖相位頻譜：信號的各個頻率分量的相位(φn)與頻率之間的關(guān)系圖第10頁，課件共141頁，創(chuàng)作于2023年2月帕塞瓦爾定理周期信號的平均功率等于傅立葉級數(shù)展開各諧波分量有效值的平方和第11頁，課件共141頁，創(chuàng)作于2023年2月例題1：求題圖所示的周期矩形信號的三角形式與指數(shù)形式的傅立葉級數(shù)，并畫出各自的頻譜圖tf(t)T1

2T12E2E2解：1、先求三角形式的傅立葉級數(shù)。思路：a0,an,bnc0,cn,φn譜圖第12頁，課件共141頁，創(chuàng)作于2023年2月a0,an,bn

c0,cn,φn譜圖第13頁，課件共141頁，創(chuàng)作于2023年2月a0,an,bnc0,cn,φn

譜圖ωcn0ω

13ω15ω12E/π2E/3π2E/5πωφn0π2ω

13ω15ω1第14頁，課件共141頁，創(chuàng)作于2023年2月解：2、求指數(shù)形式的傅立葉級數(shù)。第15頁，課件共141頁，創(chuàng)作于2023年2月0ω

13ω15ω1E/πE/3πE/5πω|Fn|-ω

1-3ω1ωφn0π2ω

13ω15ω1π2-ω

1-3ω1第16頁，課件共141頁，創(chuàng)作于2023年2月周期信號頻譜的特點離散性：頻譜是離散的而不是連續(xù)的，周期信號的頻譜為離散譜。諧波性：譜線出現(xiàn)在基波頻率(ω1)的整數(shù)倍上。收斂性：幅度譜的譜線幅度隨著n的增大而逐漸衰減到零。稱頻率為ω1的分量為基波，頻率為nω1的分量稱為n次諧波第17頁，課件共141頁，創(chuàng)作于2023年2月函數(shù)的對稱性與傅立葉系數(shù)的關(guān)系偶函數(shù)的傅立葉級數(shù)中沒有正弦項奇函數(shù)的傅立葉級數(shù)中只有正弦項奇諧函數(shù)的傅立葉級數(shù)中只有奇次項偶諧函數(shù)的傅立葉級數(shù)中沒有奇次項第18頁，課件共141頁，創(chuàng)作于2023年2月（1）偶函數(shù)f(t)=f(-t)(2)奇函數(shù)f(t)=-f(-t)第19頁，課件共141頁，創(chuàng)作于2023年2月(3)奇諧函數(shù)第20頁，課件共141頁，創(chuàng)作于2023年2月(4)偶諧函數(shù)利用函數(shù)的對稱性可以定性判斷其傅立葉級數(shù)展開的系數(shù)情況，從而使問題得到簡化。練習：P1613－7第21頁，課件共141頁，創(chuàng)作于2023年2月吉布斯現(xiàn)象一般來說，周期信號表示為傅立葉級數(shù)時需要用無窮多項才能完全逼近原信號，如果只用有限項級數(shù)來逼近（實際應用中經(jīng)常如此），則必然會有誤差。第22頁，課件共141頁，創(chuàng)作于2023年2月典型周期信號的傅立葉級數(shù)第23頁，課件共141頁，創(chuàng)作于2023年2月第24頁，課件共141頁，創(chuàng)作于2023年2月第25頁，課件共141頁，創(chuàng)作于2023年2月第26頁，課件共141頁，創(chuàng)作于2023年2月第27頁，課件共141頁，創(chuàng)作于2023年2月第28頁，課件共141頁，創(chuàng)作于2023年2月第29頁，課件共141頁，創(chuàng)作于2023年2月第30頁，課件共141頁，創(chuàng)作于2023年2月第31頁，課件共141頁，創(chuàng)作于2023年2月第32頁，課件共141頁，創(chuàng)作于2023年2月第33頁，課件共141頁，創(chuàng)作于2023年2月第34頁，課件共141頁，創(chuàng)作于2023年2月第35頁，課件共141頁，創(chuàng)作于2023年2月第36頁，課件共141頁，創(chuàng)作于2023年2月第37頁，課件共141頁，創(chuàng)作于2023年2月1第38頁，課件共141頁，創(chuàng)作于2023年2月第39頁，課件共141頁，創(chuàng)作于2023年2月第40頁，課件共141頁，創(chuàng)作于2023年2月第41頁，課件共141頁，創(chuàng)作于2023年2月第42頁，課件共141頁，創(chuàng)作于2023年2月第43頁，課件共141頁，創(chuàng)作于2023年2月第44頁，課件共141頁，創(chuàng)作于2023年2月第45頁，課件共141頁，創(chuàng)作于2023年2月第46頁，課件共141頁，創(chuàng)作于2023年2月第47頁，課件共141頁，創(chuàng)作于2023年2月第48頁，課件共141頁，創(chuàng)作于2023年2月第49頁，課件共141頁，創(chuàng)作于2023年2月第50頁，課件共141頁，創(chuàng)作于2023年2月第51頁，課件共141頁，創(chuàng)作于2023年2月第52頁，課件共141頁，創(chuàng)作于2023年2月第53頁，課件共141頁，創(chuàng)作于2023年2月第54頁，課件共141頁，創(chuàng)作于2023年2月第55頁，課件共141頁，創(chuàng)作于2023年2月第56頁，課件共141頁，創(chuàng)作于2023年2月第57頁，課件共141頁，創(chuàng)作于2023年2月第58頁，課件共141頁，創(chuàng)作于2023年2月第59頁，課件共141頁，創(chuàng)作于2023年2月第60頁，課件共141頁，創(chuàng)作于2023年2月第61頁，課件共141頁，創(chuàng)作于2023年2月第62頁，課件共141頁，創(chuàng)作于2023年2月第63頁，課件共141頁，創(chuàng)作于2023年2月第64頁，課件共141頁，創(chuàng)作于2023年2月第65頁，課件共141頁，創(chuàng)作于2023年2月第66頁，課件共141頁，創(chuàng)作于2023年2月第67頁，課件共141頁，創(chuàng)作于2023年2月第68頁，課件共141頁，創(chuàng)作于2023年2月第69頁，課件共141頁，創(chuàng)作于2023年2月第70頁，課件共141頁，創(chuàng)作于2023年2月第71頁，課件共141頁，創(chuàng)作于2023年2月第72頁，課件共141頁，創(chuàng)作于2023年2月第73頁，課件共141頁，創(chuàng)作于2023年2月第74頁，課件共141頁，創(chuàng)作于2023年2月第75頁，課件共141頁，創(chuàng)作于2023年2月第76頁，課件共141頁，創(chuàng)作于2023年2月第77頁，課件共141頁，創(chuàng)作于2023年2月第78頁，課件共141頁，創(chuàng)作于2023年2月第79頁，課件共141頁，創(chuàng)作于2023年2月第80頁，課件共141頁，創(chuàng)作于2023年2月第81頁，課件共141頁，創(chuàng)作于2023年2月第82頁，課件共141頁，創(chuàng)作于2023年2月第83頁，課件共141頁，創(chuàng)作于2023年2月第84頁，課件共141頁，創(chuàng)作于2023年2月第85頁，課件共141頁，創(chuàng)作于2023年2月第86頁，課件共141頁，創(chuàng)作于2023年2月第87頁，課件共141頁，創(chuàng)作于2023年2月第88頁，課件共141頁，創(chuàng)作于2023年2月第89頁，課件共141頁，創(chuàng)作于2023年2月第90頁，課件共141頁，創(chuàng)作于2023年2月第91頁，課件共141頁，創(chuàng)作于2023年2月第92頁，課件共141頁，創(chuàng)作于2023年2月第93頁，課件共141頁，創(chuàng)作于2023年2月第94頁，課件共141頁，創(chuàng)作于2023年2月第95頁，課件共141頁，創(chuàng)作于2023年2月第96頁，課件共141頁，創(chuàng)作于2023年2月第97頁，課件共141頁，創(chuàng)作于2023年2月第98頁，課件共141頁，創(chuàng)作于2023年2月第99頁，課件共141頁，創(chuàng)作于2023年2月第100頁，課件共141頁，創(chuàng)作于2023年2月第101頁，課件共141頁，創(chuàng)作于2023年2月第102頁，課件共141頁，創(chuàng)作于2023年2月第103頁，課件共141頁，創(chuàng)作于2023年2月第104頁，課件共141頁，創(chuàng)作于2023年2月第105頁，課件共141頁，創(chuàng)作于2023年2月第106頁，課件共141頁，創(chuàng)作于2023年2月第107頁，課件共141頁，創(chuàng)作于2023年2月第108頁，課件共141頁，創(chuàng)作于2023年2月第109頁，課件共141頁，創(chuàng)作于2023年2月第110頁，課件共141頁，創(chuàng)作于2023年2月第111頁，課件共141頁，創(chuàng)作于2023年2月第112頁，課件共141頁，創(chuàng)作于2023年2月第113頁，課件共141頁，創(chuàng)作于2023年2月第114頁，課件共141頁，創(chuàng)作于2023年2月第115頁，課件共141頁，創(chuàng)作于2023年2月第116頁，課件共141頁，創(chuàng)作于2023年2月第117頁，課件共141頁，創(chuàng)作于2023年2月第118頁，課件共141頁，創(chuàng)作于2023年2月3－10－4周期信號激勵下系統(tǒng)的響應設(shè)x(t)=sin(w0t).求系統(tǒng)的輸出Vc(t)解：將系統(tǒng)函數(shù)H(w)寫成極坐標表示：因為實函數(shù)的傅立葉變換的幅度譜為偶函數(shù)，相位譜為奇函數(shù)第119頁，課件共141頁，創(chuàng)作于2023年2月而系統(tǒng)的輸出為：歐拉公式第120頁，課件共141頁，創(chuàng)作于2023年2月可見，系統(tǒng)對sin(w0t)的響應仍然是同頻率的正弦信號，但是其幅度和相位都要發(fā)生相應的改變，改變量由系統(tǒng)函數(shù)H(w)在該頻率點上的值決定。對于一般的周期信號，因為其可以展開成三角函數(shù)的線性疊加，因此系統(tǒng)對其響應是對各三角函數(shù)的響應的線性疊加，因而響應仍然是三角函數(shù)的線性疊加，這意味著響應仍然是周期函數(shù)，只不過在各個諧波上的幅度和相位要受到系統(tǒng)函數(shù)的制約?？傊捎谙到y(tǒng)函數(shù)的影響，導致激勵信號不同的頻率成分受到不同的加權(quán)，從而造成輸出信號的幅度和相位發(fā)生變化。不過，線性系統(tǒng)不會產(chǎn)生新的頻率成分。第121頁，課件共141頁，創(chuàng)作于2023年2月第122頁，課件共141頁，創(chuàng)作于2023年2月第123頁，課件共141頁，創(chuàng)作于2023年2月相頻特性：定義為群時延（群延時）τ對于信號傳輸時不產(chǎn)生相位失真的系統(tǒng)，群時延為常數(shù)。第124頁，課件共141頁，創(chuàng)作于2023年2月第125頁，課件共141頁，創(chuàng)作于2023年2月第126頁，課件共141頁，創(chuàng)作于2023年2月第127頁，課件共141頁，創(chuàng)作于2023年2月第128頁，課件共141頁，創(chuàng)作于2023年2月第129頁，課件共141頁，創(chuàng)作于2023年2月第130頁，課件共141頁，創(chuàng)作于2023年2月Wc=2Pi,t0=4,tr=1τ=2τ=20τ=0.2第131頁，課件共141頁，創(chuàng)作于2023年2月t0=5,τ=5Wc=0.5Pi,tr=4Wc=Pi,tr=2Wc=2Pi,tr=1Wc=4Pi,tr=0.5Wc=0.5,tr=4Pi第132頁，課件共141頁，創(chuàng)作于2023年2月吉布斯現(xiàn)象吉布斯現(xiàn)象第133頁，課件共141頁，創(chuàng)作于2023年2月系統(tǒng)的物理可實現(xiàn)性、佩利－維納準則前面已經(jīng)說明，理想低通濾波器在物理上是不可實現(xiàn)的，可實現(xiàn)的濾波器只能在性能上逼近理想特性。那么，怎樣的特性是物理上可實現(xiàn)的呢？時域上：滿足因果條件：h(t)=h(t)u(t)頻域上：佩利－維納準則：（必要條件）由此必要條件可知：若系統(tǒng)函數(shù)H(w)的幅頻特性在某一頻帶范圍內(nèi)為零，則上面的積分為無窮大，違反了佩利－維納準則，因而是不可實現(xiàn)的。所以，理想低通、高通、帶通、帶阻濾波器都是不可實現(xiàn)的。事實上，如果幅頻特性衰減過于迅速，這樣的系統(tǒng)也是不可實現(xiàn)的。第134頁，課件共141頁，創(chuàng)作于2023年2月例：研究幅頻特性為高斯函數(shù)的系統(tǒng)的可實現(xiàn)性因此，具有高斯形幅頻特性的系統(tǒng)是不可實現(xiàn)的。1第135頁，課件共141頁，創(chuàng)作于2023年2月利用希爾伯特變換研究系統(tǒng)函數(shù)的約束性說明：只有因果系統(tǒng)才是物理上可以實現(xiàn)的。由于因果性的限制，系統(tǒng)函數(shù)H(w)的實部與虛部，或者模和幅角之間具有某種相互制約的特性，該特性以希爾伯特變換的形式表現(xiàn)出來。1：希爾伯特變換(HilbertTransform)的定義及意義對連續(xù)函數(shù)x(t),我們稱