2021年浙江省金華市高考數(shù)學仿真模擬試卷（5月份）附答案解析

2021年浙江省金華市高考數(shù)學仿真模擬試卷（5月份）

一、單選題（本大題共10小題，共40.0分）

1.復數(shù)z=（1-為虛數(shù)單位）為純虛數(shù)，則實數(shù)m=（）

A.±1B.-1C.1D.0

2.設集合M={1,357,9},N={x\2x>7},則MnN=（）

A.{7,9}B.[5,7,9}C.{3,5,7,9}D.[1,3,5,7,9）

x—4y+3W0

3.已知點P（x,y）滿足3x+5yS25,4（2,0）,則|而|sin乙40P（0為坐標原點）的最大值為（）

x-120

22

A.B.2C.1D.0

4.一個長方體去掉一個小長方體，所得幾何體的正（主）視圖與側（左）視圖分別如圖所示，則該幾何

C.D.

5.“ab=0”是“a=0”的（）條件.

A.必要不充分B.充分不必要

C.充要D.既不充分也不必要

6.已知隨機變量f滿足下列分布列，當pe（0,1）且不斷增大時，（）

-101

11-pP

P

222

A.E（f）增大，。（打增大B.減小，。（口減小

C.E（f）增大，D（。先增大后減小D.E（f）增大，D（f）先減小后增大

7.在長方體4BCD-&B1C1D1中，48=8。=1,441=遮，則直線與平面所成角的正

弦值為()

A.-B.匹C.任D.隹

2443

8.已知Fi，尸2分別為橢圓C：5+，=l(a>b>0)的左、右焦點，P是C上一點，滿足「2尸抵，

且仍尸2|=|PFi|,則C的離心率為()

A.yB.C.2-V2D.V2-1

9.已知函數(shù)奠:第3謂一闞，若愉，《:詼不酬且,非蛾=』躅總，則磔騙的最小值是()

A.-16B.-12C.-10D.—8

10.已知向量優(yōu)b滿足|五|=2,\b\=If五?b=V^，則向量五，b的夾角為()

A.芋B.vC.D.

4344

二、單空題(本大題共7小題，共36.0分)

11.我們把離心率6=等的雙曲線冬-A=l(a>0,b>0)稱為黃金雙曲線.給出以下幾個說法:

(1)雙曲線％2一餐=1是黃金雙曲線；

V5+1

(2)若爐=ac,則該雙曲線是黃金雙曲線；

(3)若MN經(jīng)過右焦點尸2且MNIBF2，4MON=90。，則該雙曲線是黃金雙曲線；

(4)若F］，尸2為左右焦點,41，&為左右頂點,8式0,b),B2(0,-b)且乙尸位出=90。,則該雙曲線是

黃金雙曲線.其中正確命題的序號為.

12.己知/(?二工4.一2%是奇函數(shù)，則其圖象在點(1,/(!))處的切線方程為

13.若隨機變量X—N(2,32),且P(XWl)=P(X2a),則3一得產展開式/項的系數(shù)是

14.設當x=6時，函數(shù)/'(x)=2sinx+cosx取得最小值，則cos(0+1)=

15,已知向量五=(—x,2x),K=(3X,2).若五與方的夾角是鈍角，貝仕的取值范圍是

16.在中，2sin'—二招sinAsin(8-C)=2cos3sinC,則-=

2A7?

17.己知圓柱底面半徑為r,。是上底面圓心，4、B是下底面圓周上兩個不同的點,

母線BC長為3.如圖，若直線04與所成角的大小為g則r=.

O

三、解答題(本大題共5小題，共74.0分)

18.如果△4BC內接于半徑為R的圓，且2/?3層4一siMC)=(Via—b)sinB，求△ABC的面積的最

大值.

19.如圖，在幾何體4BCDEF中，四邊形4BCD是矩形.4B=4,BC=2.四邊形CDEF是等腰梯形,

E//DC,EF=2.平面4BCD，平面CDEF,AF1CF.

(I)求證：CF1平面ADF；

(H)過8。作平行于/F的平面，交CF于點G.求蔡的值；

(衛(wèi))求二面角B-AF-。的余弦值.

20.已知數(shù)列｛an｝是等比數(shù)列,數(shù)列｛bn｝是等差數(shù)列，且的=3,b2=a2?b5=a3+3,bQ=a4.

(I)求數(shù)列的通項公式an；

(11)令”=1。82年，證明：今+2+…++<15eN*,7iN2)；

3c2c3C3c4cncn+i

(IH)求見卷77(neN*).

21.在平面直角坐標系笳'0第中，直線自與拋物線“/=2寓相交于4、B兩點。

(1)求證：命題“如果直線過點7(3,0),那么函.畫=3”是真命題；

(2)寫出(1)中命題的逆命題，判斷它是真命題還是假命題，并說明理由。

22.已知函數(shù)/(無)=Q%-"》一？aER

(1)當f(x)在點(l,f(l))處的切線與％軸平行時，求a的值，并求此時y=/'(%)的最小值;

(2)若g(%)=xf(x),其方程g'(x)=0有實數(shù)解，求a的取值范圍.

參考答案及解析

1.答案：A

解析：解：z=(1-mi)?=(1-?^2)-2mi為純虛數(shù)，

..41一源=0即7n=+1.

Im羊0一

故選：A.

利用復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡，再由實部為0且虛部不為0列式求解.

本題考查復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查復數(shù)的基本概念，是基礎題.

2.答案：B

解析：

本題考查了交集及其運算，屬基礎題.

首先化簡集合N,然后直接根據(jù)交集的運算性質，求出MCIN即可.

解：因為N={x|2x>7}={x|x>J,M={1,357,9},

所以MCN={5,7,9}.

故選:B.

3.答案：A

解析：解：畫出可行域，

根據(jù)題意，分析可得：|和|sinN40P表示的是點P的

縱坐標，

由圖知，可行域中點(1,號)的縱坐標最大，

故選：A.

畫出不等式組的可行域，判斷出目標函數(shù)的幾何意義,

結合圖象得到最大值.

本題考查畫不等式組表示的平面區(qū)域、關鍵給目標函

數(shù)幾何意義、數(shù)形結合的數(shù)學思想方法.

4.答案：C

解析：由幾何體的正視圖、側視圖，并結合題意可知，選C項.

5.答案：A

解析：解：因為a=0=ab=0,但是ab=0不能說a—?定為0,所以"aB=0"是"a=0"的必要

不充分條件.

故選：A.

直接利用充要條件的判斷方法判斷充要條件即可.

本題考查必要條件、充分條件與充要條件的判斷，考查邏輯推理能力.

6.答案：A

解析：解：由p6(0,1),隨機變量《的分布列是

E(f)=-lxT+0x—+lx￡=?；

方差是。=一()2X3+(0—『)2XT+CL—()2X：

1,

=_將_4P+1)

=-；(P-2)2+|.

所以當p在(0,1)內增大時，E(f)增大，D(f)增大.

故選：A.

根據(jù)題意計算隨機變量f的分布列和方差，再判斷P在(0,1)內增大時，EG)、的單調性.

本題考查了離散型隨機變量的數(shù)學期望與方差的計算問題，也考查了運算求解能力，是基礎題.

7.答案：B

解析：解：在長方體4BCD-&B1GD1中,

AB—BC=1,441—V3,

以。為原點,ZM為x軸,DC為y軸,。劣為z軸,

建立空間直角坐標系，

則4(1,0,0),^(1,1,73).￡>(0,0,0),

5(0,0,b)，8(1,1,0),

AB^=(0,1,V3).西=(0,0,遮)，DB=

(1,1,0),

設平面DD1aB的法向量為五=(x,y,z),

則產！5=但=°,取x=l,得”

(n-DB=x+y=0

設直線與平面。。避避所成角為仇

則."繇i=盍=4

???直線4B1與平面DD1&B所成角的正弦值為它.

4

故選：B.

以。為原點，。4為二軸，0C為y軸，。劣為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出直線4名與

平面DDiBiB所成角的正弦值.

本題考查線面角的正弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，考查運

算求解能力，是中檔題.

8.答案：D

解析：解：&，尸2分別為橢圓C：搐+，=1缶>6>0）的左、右焦點，P是C上一點,

滿足PF2_LF/2，且IPF2I=IF1F2I，所以|PFi|=2VIc,

\PF2\+|PFi|=2&c+2c=2a,所以橢圓的離心率為e=^=V2-1.

故選：D.

利用橢圓的定義與性質，轉化求解橢圓的離心率即可.

本題考查了與橢圓定義與性質的應用，考查了數(shù)學轉化思想方法，是中檔題.

9.答案：A

解析：試題分析：作出函數(shù)負:礴4/一蚪，可知圖中，施點坐標為朗說圖中越點坐標為￡-收”修

.令卜=圓=需=整醫(yī)或窸=虬即圖中。點坐標為點順.由碰,*：9：?,且械獺=，聯(lián)儂可

知，一窯虛士國"：：_噩.<題.由典唯=，展儂得產-叫=忖_q,即

渤急_豳=蹦:"蓊H,鏟=毒?

所以/露=縱翦一，能腳=—爵i晶.令顏:璘=一d則因時旗=若然強=—3除:*翅速所

以當富圖《一朝◎時，然歉懶<頓：當需圖卜和醺時.，修窗齡*■.即蛾礴在『腐廣緲上單調遞減,

在G久頤上單調遞墻所以啖褊，產教-等=-：!噬，即當題=3：窗=_2內時，島有最小值-16.

考點：函數(shù)的圖像、利用導數(shù)求函數(shù)單調性、利用單調性求最值

10.答案：c

解析：解：設向量五，B的夾角為氏則。€[0,網(wǎng),

由伍|=2,|K|=1,a-b=y/2,

a-b_V2_V2

所以cos。=|a|x|fe|-2x1-T

所以向量區(qū)區(qū)的夾角為。=￡

故選：C.

根據(jù)平面向量的夾角公式計算即可.

本題考查了平面向量的數(shù)量積與夾角計算問題，是基礎題.

11.答案：⑴(2)⑶(4)

解析：解：(1)雙曲線——新=1中，叵_舟]

V5+1--~2

.??雙曲線/—怒=1是黃金雙曲線，故(1)正確；

對于(2)???e對于(2)匕2=ac,貝電=e=-=四叵=V1T7e2-e-

aa

1=0

解得e=與1或e=與店(舍)???該雙曲線是黃金雙曲線，故(2)正確;

對于(3)如圖，MN經(jīng)過右焦點尸2且MN1&尸2，NM0N=90。，

_h2」

：?NF—OF?,：?一：?b2=ac

2a=c,9

由(2)知該雙曲線是黃金雙曲線，故(3)正確.

對于(4)如圖，F(xiàn)i，尸2為左右焦點，4為左右頂點，

凡(且尸$

0,b),B2(0,-/>),41&=900,

2

:.B[F/+禹=A2F1,即扭+2c2=(a+c),

整理，得/=ac,由(2)知該雙曲線是黃金雙曲線，故(4)正確；

故答案為：(1)(2)(3)(4).

(1)利用雙曲線的簡單性質分別求出離心率，再利用黃金雙曲線的定義求解.

(2)求出雙曲線的定義求出離心率，根據(jù)黃金雙曲線的定義求解.

(3)根據(jù)條件求出雙曲線的定義求出(2)的結論.

(4)根據(jù)條件求出離心率求出(2)的結論.

本題考查黃金雙曲線的判斷，是中檔題，解題時要認真審題，注意雙曲線的性質的靈活運用.

12.答案：x—y-2=0.

解析：W：???/(x)=%3+ax2-2久是奇函數(shù)，:/(—x)=—/(x)8P(—%)3+ax2+2x=—x3-ax2-

2x恒成立，即a=0

???/(l)=l-2=-l,vfCx)=3x2-2f(l)=1,.??其圖象在點(1,一1)處的切線方程為x-y-

2=0

故答案為：x-y-2=0.

13.答案：270

解析：

本題考查正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義，考查二項式系數(shù)的性質，是基礎的計算題.

由己知求得a,代入(ax-專產，寫出二項展開式的通項，再由x的指數(shù)為2求得r值，則答案可求.

解：??,隨機變量X-N(2,32),.?.正態(tài)分布曲線的對稱軸為久=2,

又P(XS1)=P(X2a),???等=2,得a=3.

二(ax-3A=(3x-2)5,

二項展開式的通項Tr+i=二?(3x)5-r?(-靜=(-l)r-CJ-35-r-xs-2r.

令5—|r=2,得r=2.

二展開式一項的系數(shù)是(—1)2.《?33=270.

故答案為：270.

14.答案：包

10

2]

解析：解：函對于數(shù)/i(%)=2sin%+cos%=V^sin。+a),其中，cosa=^=,sina=^=,a為銳角.

當％=6時，函數(shù)取得最小值，.?.遍sin(。+a)=-遍，即sin(6+a)=—1,cos(6+a)=0.

故可令8+a=—p即6=—a,故cos(。+[)=cos(——a')=cos(a+》=￥cosa-ysina=

氏2i、_g

2(遙遙)-io,

故答案為：逗.

10

利用輔助角公式化簡函數(shù)的解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的最值求出輔助角，再利用兩角和的余弦公式

求出cos(0+9的值.

本題主要考查輔助角公式，正弦函數(shù)的最值，兩角和的余弦公式，屬于中檔題.

15.答案：(―8,一(-1,0)U《,+8)

解析：解：?.?向量Z=(r,2x),K=(3X,2).若五與方的夾角是鈍角，

二五?b=—3/+4x<0,且為與b不共線，HPx(3x—4)>0,且算力學

解得x<0,且xR-g或x>[,故x的范圍是(一8,-》u(-?,0)U6,+8),

故答案為：(―8,一u(―1，。)UG，+8).

由題意可得五不=—3/+4x<0,且(羊苧，由此解得x的范圍.

本題主要考查兩個向量的數(shù)量積公式，兩個向量共線的性質，屬于基礎題.

16.答案：上巫

2

解析：解：由題意可得：

由倍角公式2sin2—=J5sin-4=、月x2sin—cos—,..tan—=J5,A—,

2222233

由sin(B-C)=2cosBsinC可得sinBcosC=3cosBsinC,依據(jù)正弦定理和余弦定理，那么

a24-62-c2_a2+c2-b12,^22

bx----------=3t7x----------,a2+-2o=0n,

2ab2ac

a2=52+/—2bccosA—b2+，+bc3c"—N+be=0,A(—)2———3=0

解得T即旦匕巫

AB2

故答案為1+、有.

2

17.答案:V3

解析：解：如圖，過A作與8c平行的母線40,連接0D,

---------->

則N04D為直線04與BC所成的角，

/.OAD=

6

在直角三角形。。A中，tan￡=1=1=?,

6133

解得；r=V3,

故答案為：V3

過4作與平行的母線AD,由異面直線所成角的概念得到乙。4。=?在直角三角形0D4中，直接由

O

ta暇=海到答案.

OI

本題考查了異面直線所成的角，考查了直角三角形的解法，是基礎題.

18.答案：解：已知等式整理得：2RsinAsinA—2RsinCsinC=(V2a—b)si九B,

即asizM-csinC=(V2a—b)sinB,

利用正弦定理化簡M一c2=y/2ab-b2,

即a?+fe2—c2=\[2aby

???。為三角形內角，???。=45。，

'~^nc=2R，-c=2RsinC=V2/?,

??.a2+b2—2R2=y/2aby

???2R2+V2ab=a2+b2>2ab,即ab<^7^=,

則S=-absinC=-ab<^--r=f

2442—V2

2

^\Smax=^R,此時a=b取得等號?

即4ABC的面積的最大值為業(yè)R2.

2

解析：本題考查了正弦、余弦定理，基本不等式的運用，以及三角形面積公式，熟練掌握定理及公

式是解本題的關鍵，屬于中檔題.

已知等式利用正弦定理化簡，整理得到。2+爐-C2=應而，再利用余弦定理表示出COSC,將得出

關系式代入求出cosC的值，利用特殊角的三角函數(shù)值求出C的度數(shù)，利用正弦定理表示出c=&R,

代入a2+b2-c2=或必，整理后利用基本不等式求出ab的最大值，即可確定出三角形4BC面積的

最大值.

19.答案：(I)證明：???四邊形2BCD是矩形，

AD1CD,

???平面ABCD1平面CDEF,平面4BCD介平面CDEF=CD,

AD1,平面CDEF,

???CFu平面CDEF,???AD1CF,

?.AF1CF,AFCiAD=A,

CFJL平面4DF.

(口)解：連接"交2。于點H,4BCD為矩形，則H為ZC中點，連接GH.

???4/7/平面BOG,平面A"n平面BDG=GH,

AF//HG.AG為CF的中點.則詈=

(HI)解：在平面CDEF上作F。1CO,垂足為。，

???平面CDEF為等腰梯形，AB=4,EF=2,0C=1,

???平面ABCD1平面DCFE,二F01平面4BCD,

在平面4BCD中，作。MlCD交48于M,所以尸。1。“，

如圖，以。為原點建立空間直角坐標系。-xyz.

則4(2,-3,0),5(2,1,0),C(0,l,0),￡)(0,-3,0).

設尸(0,0,m),(m>0).

"AF1CF,AFCF=0,即(一2,3,?n)?(0,-l,m)=0,

所以0-3+m2=0,解得m=次.

設平面4BF的法向量為灰=(a,b,c),

而布=(-2,3,73)，AB=(0,4,0),

得自上功+但=。,得仁J'

令c=2,解得a=V5,b=0.所以元=(遮,0,2).

由(I)知(:尸_L平面4。尸,

：.CF=(0,-1,b)為平面4。9的法向量，

r、CF--n2>/32V3y[21

cos<CF'n>=而而=弟專=痂=丁.

由圖知，二面角B-4F-D的平面角為鈍角，

所以二面角B-AF一。的余弦值為—逅..

7

解析：(I)根據(jù)線面垂直的判斷的定理進行證明即可.

(11)連接4(7交3。于點//,連接GH.利用線面平行的性質定理及三角形中位線定理可得結論；

(HI)以。為原點建立空間直角坐標系。-孫z所求值即為平面2BF的法向量與平面4DF的法向量的夾

角的余弦值的絕對值的相反數(shù)，計算即可.

本題主要考查線面垂直和線面平行的判定和應用，以及二面角的求解，建立坐標系求出平面的法向

量，利用向量法是解決本題的關鍵，是中檔題.

20.答案：解：(I)設數(shù)列｛冊｝是公比為q的等比數(shù)列，數(shù)列｛5｝是公差為d的等差數(shù)列，

23

由的=3,b2=a2>b5=a3+3,b8=a4,可得bi+d=3q,bA+4d=3q+3,b-i+7d=3q,

解得q=2,d=3,4=3,

則OjiuB-ZnT,%=3+3(n—1)=3n；

n-1

(II)證明：cn=log2y=log22=n-1,

1111111111

=111=1111=1<1.

cncn+11X22x3(n-l)n223n-1nn'

b2n6n_2n

(W)由(V3)fcn+1-(我)3(n+i)-3小

可設〃=￡%高翁7=9+3+,+…+稱，

2462n

三〃=m+石+鼠+…+即，

相減可得=：+：+?…+京一票7

_9總W)2n

化簡可得商就匚=1-TF-

解析：(I)設數(shù)列｛an｝是公比為q的等比數(shù)列，數(shù)列｛%｝是公差為d的等差數(shù)列，運用等差數(shù)列和等比

數(shù)列的通項公式，解方程可得公比、公差，可得所求通項公式；

(II)由對數(shù)的運算性質求得q=n-l,再由數(shù)列的裂項相消求和，結合不等式的性質即可得證；

")由母==麗瑞西=,，運用數(shù)列的錯位相減法求和，結合等比數(shù)列的求和公式，可得所求

和.

本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式和求和公式的運用，考查數(shù)列的裂項相消求和、錯位相減

法求和，考查化簡運算能力和推理能力，屬于中檔題.

21.答案：(1)設過點7(3,0)的直線，交拋物線般口=2x于點做巧/1)、?當直線I的斜率不存在時

4(3,質)、8(3,-質)一■.語.1函=獸當直線，的斜率存在時，設直線I的方程為y=k(x—3),其中

[廬=禽葭]工

k手。.4"f得Ay?-2y-6%=0,則為為=一6.又??,與=—*，x=—?

，渡=僦密-繆s22

???談.國=x62+y,2=:《購的:鏟w，酬陽=綜上所述，命題是真命題?

4'"

(2)逆命題是：“設直線I交拋物線y2=2x于4、B兩點，如果赧，昭痂=多，那么該直線過點7(3,0).”，

假命題

解析：解析：

試題分析：(1)設過點T(3,0)的直線咬