2022高考數(shù)學(xué)考前30天之備戰(zhàn)沖刺押題系列二概率與統(tǒng)計理教師版

考前30天之備戰(zhàn)2022高考數(shù)學(xué)沖刺押題系列二概率與統(tǒng)計（理）教師版【命題趨勢】：概率是高考的必考內(nèi)容，主要考查的內(nèi)容有：等可能性事件的概率、互斥事件有一個發(fā)生的概率、相互獨立事件同時發(fā)生的概率、n次獨立重復(fù)試驗中恰好發(fā)生k次的概率及離散型隨機變量的分布列、期望與方差等.一般會有一道選擇題或填空題與一道解答題，在高考中所占的比重大于10%.近年來，高考中的應(yīng)用題基本是考查離散型隨機變量的期望與方差的解答題.統(tǒng)計知識則主要考查抽樣方法、頻率分布直方圖、正態(tài)分布等知識，主要以選擇題和填空題的形式出現(xiàn).【方法與技巧】(4)解決概率問題要注意“四個步驟，一個結(jié)合”：求概率的步驟是：第一步，確定事件性質(zhì)即所給的問題歸結(jié)為四類事件中的某一種.第二步，判斷事件的運算即是至少有一個發(fā)生，還是同時發(fā)生，分別運用相加或相乘事件.第三步，運用公式求解第四步，答，即給提出的問題有一個明確的答復(fù).三、【高考沖刺押題】【押題1】2011年3月11日日本發(fā)生級地震后，某國派遣了由9名醫(yī)護(hù)人員和27名搜救人員組成的救援隊到日本救援，誰知日本福島核電站連續(xù)爆炸，使該救援隊的醫(yī)護(hù)人員和的搜救人員遭輕微核輻射.（Ⅰ）在該救援隊中隨機抽查3名救援隊員，求恰有1名遭輕微核輻射的醫(yī)護(hù)人員且至多1名遭輕微核輻射的搜救人員的概率；（Ⅱ）在該救援隊中隨機抽查3名醫(yī)護(hù)人員，設(shè)其中遭輕微核輻射的人數(shù)為隨機變量，求的分布列及數(shù)學(xué)期望．【押題2】某重點高校數(shù)學(xué)教育專業(yè)的三位畢業(yè)生甲、乙、丙參加了一所中學(xué)的招聘面試，面試合格者可以正式簽約，畢業(yè)生甲表示只要面試合格就簽約，畢業(yè)生乙和丙則約定：兩人面試都合格就一同簽約，否則兩人都不簽約，設(shè)每人面試合格的概率都是，且面試是否合格互不影響，求：（I）至少有1人面試合格的概率；（II）簽約人數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望。【押題指數(shù)】★★★★★【解析】（I）至少有1人面試合格的概率為（II）從而的分布列為0123【押題4】某商場準(zhǔn)備在新年元旦期間舉行促銷活動,據(jù)市場調(diào)查，商場決定從2種不同型號的洗衣機,2種不同型號的電視機和3種不同型號的空調(diào)中（不同種商品的型號不同），選出4種不同型號的商品進(jìn)行促銷，商場對選出的商品采州的促銷方案娃有獎銷售,即在該商品現(xiàn)價的基礎(chǔ)上將價格提高150元,同時，若顧客購買該商品，則允許有3次抽獎的機會,若中獎，則每次屮獎都獲得m元獎金.假設(shè)顧客每次抽獎時獲獎與否的概率都是，設(shè)顧客在三次抽獎中所獲得的獎金總額（單位：元）為隨機變鍬.(1) 求選出的4種不同型號商品中，洗衣機、電視機、空調(diào)都至少有一種型號的概率；(2) 請寫出的分布列,并求的數(shù)學(xué)期望；(3) 在(2)的條件下,問商場若想采用此促銷方案獲利,則每次中獎獎金要低于多少元？【押題指數(shù)】★★★★★【押題5】某班共有學(xué)生40人，將一次數(shù)學(xué)考試成績（單位：分）繪制成頻率分布直方圖，如圖所示．（Ⅰ）請根據(jù)圖中所給數(shù)據(jù)，求出a的值；（Ⅱ）從成績在內(nèi)的學(xué)生中隨機選3名學(xué)生，求這3名學(xué)生的成績都在內(nèi)的概率；（Ⅲ）為了了解學(xué)生本次考試的失分情況，從成績在內(nèi)的學(xué)生中隨機選取3人的成績進(jìn)行分析，用X表示所選學(xué)生成績在內(nèi)的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．【押題6】某中學(xué)選派40名同學(xué)參加北京市高中生技術(shù)設(shè)計創(chuàng)意大賽的培訓(xùn)，他們參加培訓(xùn)的次數(shù)統(tǒng)計如表所示：培訓(xùn)次數(shù)123參加人數(shù)51520（1）從這40人中任意選3名學(xué)生，求這3名同學(xué)中至少有2名同學(xué)參加培訓(xùn)次數(shù)恰好相等的概率；（2）從40人中任選兩名學(xué)生，用表示這兩人參加培訓(xùn)次數(shù)之差的絕對值，求隨機變量的分布列及數(shù)學(xué)期望.【押題指數(shù)】★★★★★【解析】（1）這3名同學(xué)中至少有2名同學(xué)參加培訓(xùn)次數(shù)恰好相等的概率為(2)由題意知=0,1,2，則隨機變量的分布列：012【押題8】中國黃石第三屆國際礦冶文化旅游節(jié)將于2012年8月20日在黃石鐵山舉行，為了搞好接待工作，組委會準(zhǔn)備在湖北理工學(xué)院和湖北師范學(xué)院分別招募8名和12名志愿者，將這20名志愿者的身高編成如下莖葉圖（單位：cm）若身高在175cm以上（包括175cm）定義為“高個子”，身高在175cm以下（不包括175cm）定義為“非高個子”，且只有湖北師范學(xué)院的“高個子”才能擔(dān)任“兼職導(dǎo)游”。（1）根據(jù)志愿者的身高編莖葉圖指出湖北師范學(xué)院志愿者身高的中位數(shù)；（2）如果用分層抽樣的方法從“高個子”和“非高個子”中抽取5人，再從這5人中選2人，那么至少有一人是“高個子”的概率是多少？（3）若從所有“高個子”中選3名志愿者，用表示所選志愿者中能擔(dān)任“兼職導(dǎo)游”的人數(shù)，試寫出的分布列，并求的數(shù)學(xué)期望。即的分布列為：0123＝0＋1＋2＋3＝。85809010095分?jǐn)?shù)75【押題9】某次有1000人參加的數(shù)學(xué)摸底考試，其成績的頻率分布直方圖如圖所示，規(guī)定85分及其以上為優(yōu)秀.（85809010095分?jǐn)?shù)75區(qū)間[75，80)[80，85)[85，90)[90，95)[95，100]人數(shù)50a350300b（II）現(xiàn)在要用分層抽樣的方法從這1000人中抽取40人的成績進(jìn)行分析，求其中成績?yōu)閮?yōu)秀的學(xué)生人數(shù)；（Ⅲ）在（II）中抽取的40名學(xué)生中，要隨機選取2名學(xué)生參加座談會，記“其中成績?yōu)閮?yōu)秀的人數(shù)”為X，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.【押題指數(shù)】★★★★★【押題10】一個盒子裝有六張卡片，上面分別寫著如下六個函數(shù)：,,，，，.（Ⅰ）從中任意拿取張卡片，若其中有一張卡片上寫著的函數(shù)為奇函數(shù)。在此條件下，求兩張卡片上寫著的函數(shù)相加得到的新函數(shù)為奇函數(shù)的概率；（Ⅱ）現(xiàn)從盒子中逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一張寫有偶函數(shù)的卡片則停止抽取，否則繼續(xù)進(jìn)行，求抽取次數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望．【押題指數(shù)】★★★★★【解析】（Ⅰ）為奇函數(shù)；為偶函數(shù)；為偶函數(shù)；為奇函數(shù)；為偶函數(shù);為奇函數(shù)……3分（注：每對兩個得1分，該步評分采用去尾法）所有的基本事件包括兩類：一類為兩張卡片上寫的函數(shù)均為奇函數(shù)；另一類為兩張卡片上寫的函數(shù)為一個是奇函數(shù)，一個為偶函數(shù);故基本事件總數(shù)為【名校試題】1、甲、乙兩位同學(xué)進(jìn)行籃球三分球投籃比賽，甲每次投中的概率為，乙每次投中的概率為，每人分別進(jìn)行三次投籃．（Ⅰ）記甲投中的次數(shù)為ξ，求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望Eξ；（Ⅱ）求乙至多投中2次的概率；（Ⅲ）求乙恰好比甲多投進(jìn)2次的概率．【試題出處】2022年北京市石景山區(qū)高三一模理科數(shù)學(xué)【解析】（Ⅰ）的可能取值為：0，1，2，3．………1分的分布列如下表：0123…………4分【解析】（Ⅰ）：由已知，甲、乙兩名運動員在每一局比賽中獲勝的概率都是．…1分記“甲以比獲勝”為事件，則．………4分（Ⅱ）：記“乙獲勝且比賽局?jǐn)?shù)多于局”為事件.因為乙以比獲勝的概率為，6分乙以比獲勝的概率為，…7分所以．………8分（Ⅲ）解：設(shè)比賽的局?jǐn)?shù)為，則的可能取值為．，…9分，……10分，…11分．…12分比賽局?jǐn)?shù)的分布列為：……13分4、甲、乙兩同學(xué)進(jìn)行投籃比賽，每一局每人各投兩次球，規(guī)定進(jìn)球數(shù)多者該局獲勝，進(jìn)球數(shù)相同則為平局.已知甲每次投進(jìn)的概率為乙每次投進(jìn)的概率為，甲、乙之間的投籃相互獨立.(1)求甲、乙兩同學(xué)進(jìn)行一局比賽的結(jié)果不是平局的概率；(2)設(shè)3局比賽中，甲每局進(jìn)兩球獲勝的局?jǐn)?shù)為。求的分布列及數(shù)學(xué)期望.【試題出處】四川省達(dá)縣中學(xué)高2022級3月月考試題數(shù)學(xué)（理科）【解析】（1）設(shè)“一局比賽出現(xiàn)平局”為事件A，則，所以，即一局比賽的結(jié)果不是平局的概率為．（2）設(shè)“在一局比賽中甲進(jìn)兩球獲勝”為事件B．因為可取0，1，2，3，所以，，，．分布列為0123P．5、一次考試共有12道選擇題，每道選擇題都有4個選項，其中有且只有一個是正確的.評分標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定：“每題只選一個選項，答對得5分，不答或答錯得零分”.某考生已確定有8道題的答案是正確的，其余題中：有兩道題都可判斷兩個選項是錯誤的，有一道題可以判斷一個選項是錯誤的，還有一道題因不理解題意只好亂猜.請求出該考生：（1）得60分的概率；（2）所得分?jǐn)?shù)ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望.【試題出處】山東省濟南市2022屆高三3月（二模）月考數(shù)學(xué)（理）試題6、今年雷鋒日，某中學(xué)從高中三個年級選派4名教師和20名學(xué)生去當(dāng)雷鋒志愿者，學(xué)生的名額分配如下：高一年級高二年級高三年級10人6人4人（I）若從20名學(xué)生中選出3人參加文明交通宣傳，求他們中恰好有1人是高一年級學(xué)生的概率；（II）若將4名教師安排到三個年級（假設(shè)每名教師加入各年級是等可能的，且各位教師的選擇是相互獨立的），記安排到高一年級的教師人數(shù)為，求隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.【試題出處】北京市房山區(qū)2022年高三第一次模擬試題數(shù)學(xué)(理科)解法2：由題意可知，每位教師選擇高一年級的概率均為.…5分則隨機變量服從參數(shù)為4，的二項分布，即～.……7分隨機變量的分布列為：01234所以……………13分7、某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，甲產(chǎn)品的一等品率為，二等品率為；乙產(chǎn)品的一等品率為，二等品率為.生產(chǎn)件甲產(chǎn)品，若是一等品，則獲利萬元，若是二等品，則虧損萬元；生產(chǎn)件乙產(chǎn)品，若是一等品，則獲利萬元，若是二等品，則虧損萬元.兩種產(chǎn)品生產(chǎn)的質(zhì)量相互獨立.（Ⅰ）設(shè)生產(chǎn)件甲產(chǎn)品和件乙產(chǎn)品可獲得的總利潤為（單位：萬元），求的分布列；（Ⅱ）求生產(chǎn)件甲產(chǎn)品所獲得的利潤不少于萬元的概率.8、某學(xué)校隨機抽取部分新生調(diào)查其上學(xué)所需時間（單位：分鐘），并將所得數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖（如圖），其中，上學(xué)所需時間的范圍是，樣本數(shù)據(jù)分組為，，，，.（Ⅰ）求直方圖中的值；（Ⅱ）如果上學(xué)所需時間不少于1小時的學(xué)生可申請在學(xué)校住宿，請估計學(xué)校600名新生中有多少名學(xué)生可以申請住宿；（Ⅲ）從學(xué)校的新生中任選4名學(xué)生，這4名學(xué)生中上學(xué)所需時間少于20分鐘的人數(shù)記為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.（以直方圖中新生上學(xué)所需時間少于20分鐘的頻率作為每名學(xué)生上學(xué)所需時間少于20分鐘的概率）所以的分布列為：01234………12分.（或）所以的數(shù)學(xué)期望為1.……………13分9、甲、乙兩班各派三名同學(xué)參加青奧知識競賽，每人回答一個問題，答對得10分，答錯得0分．假設(shè)甲班三名同學(xué)答對的概率都是eq\f(2,3)，乙班三名同學(xué)答對的概率分別是eq\f(2,3)，eq\f(2,3)，eq\f(1,2)，且這六個同學(xué)答題正確與否相互之間沒有影響．（1）用X表示甲班總得分，求隨機變量X的概率分布和數(shù)學(xué)期望；（2）記“兩班得分之和是30分”為事件A，“甲班得分大于乙班得分”為事件B，求事件A，B同時發(fā)生的概率．【試題出處】南京市2022年屆高三第二次模擬考試數(shù)學(xué)試卷【解析】（1）隨機變量X的可能取值是0，10，20，30，且P(X＝0)＝Ceq\O(0,3)(1－eq\f(2,3))3＝eq\f(1,27)，P(X＝10)＝Ceq\O(1,3)eq\f(2,3)(1－eq\f(2,3))2＝eq\f(2,9)，P(X＝20)＝Ceq\O(2,3)(eq\f(2,3))2(1－eq\f(2,3))＝eq\f(4,9)，P(X＝30)＝Ceq\O(3,3)(eq\f(2,3))3＝eq\f(8,27)．所以，X的概率分布為X0102030Peq\f(1,27)eq\f(2,9)eq\f(4,9)eq\f(8,27)…………3分隨機變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)＝0×eq\f(1,27)＋10×eq\f(2,9)＋20×eq\f(4,9)＋30×eq\f(8,27)＝20．………5分11、某學(xué)校為了準(zhǔn)備參加市運動會，對本校甲、乙兩個田徑隊中30名跳高運動員進(jìn)行了測試，并用莖葉圖表示出本次測試30人的跳高成績（單位：cm），跳高成績在175cm以上（包括175cm）定義為“合格”，成績在175cm以下（不包括175cm）定義為“不合格”。鑒于乙隊組隊晚，跳高成績相對較弱，為激勵乙隊隊員，學(xué)校決定只有乙隊中“合格”者才能參加市運動會開幕式旗林隊。（1）求甲隊隊員跳高成績的中位數(shù)；（2）如果用分層抽樣的方法從甲、乙兩隊所有的運動員共抽取5人，則5人中“合格”與“不合格”的人數(shù)各為多少？（3）若從所有“合格”運動員中選取2名，用X表示所選運動員中能參加市運動會開幕式旗林隊的人數(shù)，試寫出X的分布列，并求X的數(shù)學(xué)期望?！驹囶}出處】河北省2022年普通高考模擬考試數(shù)學(xué)試題（理）12、某批發(fā)市場對某種商品的日銷售量（單位：噸）進(jìn)行統(tǒng)計，最近50天的統(tǒng)計結(jié)果如下：日銷售量12頻數(shù)102515頻率（1）填充上表；（2）若以上表頻率作為概率，且每天的銷售量相互獨立.①5天中該種商品恰好有2天的銷售量為噸的概率；②已知每噸該商品的銷售利潤為2千元，表示該種商品兩天銷售利潤的和（單位：千元），求的分布列.【試題出處】東莞市2022屆高三理科數(shù)學(xué)模擬試題(二)【解析】(1)求得.……2分(2)①依題意，隨機選取一天，銷售量為噸的概率……3分設(shè)5天中該種商品有天的銷售量為噸，則～B（5,）……4分……6分②的可能取值為4,5,6,7,8，則，，(每個1分)……11分的分布列:45678p……12分【試題出處】惠州市2022屆高三第三次調(diào)研考試?yán)砜茢?shù)學(xué)【解析】（1）由題意可得x＝100(10＋10＋35)＝45，y＝1－＋＋＝，因為乙運動員的射擊環(huán)數(shù)為9時的頻率為1－＋＋＝，所以z＝×80＝32，由上可得表中x處填45，y處填，z處填32.………3分設(shè)“甲運動員擊中10環(huán)”為事件A，則，即甲運動員擊中10環(huán)的概率為.………5分14、為了解今年某校高三畢業(yè)班準(zhǔn)備報考飛行員學(xué)生的體重（單位：千克）情況，將所得的數(shù)據(jù)整理后，畫出了頻率分布直方圖（如圖4），已知圖中從左到右的前3個小組的頻率之比為1：2：3，其中第2小組的頻數(shù)為12。(1)求該校報考飛行員的總?cè)藬?shù)；(2)以這所學(xué)校的樣本數(shù)據(jù)來估計全省的總體數(shù)據(jù)，若從全省報考飛行員的同學(xué)中任選三人，設(shè)X表示體重超過60千克的學(xué)生人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望。【試題出處】2022年廣州一摸推薦高三調(diào)研測試題【解析】(1)設(shè)報考飛行員的人數(shù)為n，前三小組的頻率分別為pl、p2、p3，則……3分，解得……4分因為……3分，所以n=48……6分由(1)可得，一個報考學(xué)生體重超過60公斤的概率為15、2012年3月2日，國家環(huán)保部發(fā)布了新修訂的《環(huán)境空氣質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)》.其中規(guī)定：居民區(qū)中的年平均濃度不得超過35微克/立方米，的24小時平均濃度不得超過75微克/立方米.某城市環(huán)保部門隨機抽取了一居民區(qū)去年40天的的24小時平均濃度的監(jiān)測數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下：組別（微克/立方米）頻數(shù)（天）頻率第一組(0,15]4第二組(15,30]12第三組(30,45]8第四組(45,60]8第三組(60,75]4第四組(75,90)4(Ⅰ)寫出該樣本的眾數(shù)和中位數(shù)（不必寫出計算過程）；（Ⅱ）求該樣本的平均數(shù)，并根據(jù)樣本估計總體的思想，從的年平均濃度考慮，判斷該居民區(qū)的環(huán)境是否需要改進(jìn)？說明理由；（Ⅲ）將頻率視為概率，對于去年的某2天，記這2天中該居民區(qū)的24小時平均濃度符合環(huán)境空氣質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)的天數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望【試題出處】2022年福建省普通高中畢業(yè)班質(zhì)量檢查理科數(shù)學(xué)16、某高中為了推進(jìn)新課程改革，滿足不同層次學(xué)生的需求，決定從高一年級開始，在每周的周一、周三、周五的課外活動期間同時開設(shè)數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)、生物和信息技術(shù)輔導(dǎo)講座，每位有興趣的同學(xué)可以在期間的任何一天參加任何一門科目的輔導(dǎo)講座，也可以放棄任何一門科目的輔導(dǎo)講座。（規(guī)定：各科達(dá)到預(yù)先設(shè)定的人數(shù)時稱為滿座，否則稱為不滿座）統(tǒng)計數(shù)據(jù)表明，各學(xué)科講座各天的滿座的概率如下表：根據(jù)上表：（1）求數(shù)學(xué)輔導(dǎo)講座在周一、周三、周五都不滿座的概率；（2）設(shè)周三各輔導(dǎo)講座滿座的科目數(shù)為，求隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望?！驹囶}出處】2022年洛陽市示范高中聯(lián)考高三理科數(shù)學(xué)試卷17、為增強市民的節(jié)能環(huán)保意識，某市面向全市征召義務(wù)宣傳志愿者，從符合條件的500名志愿者中隨機抽取100名志愿者的年齡情況如下表所示：（1）頻率分布表中的①、②處應(yīng)填什么數(shù)據(jù)？并在答題卡中補全頻率分布直方圖（如圖），再根據(jù)頻率分布直方圖估計這500名志愿者中年齡在歲的人數(shù)；（2）在抽出的100名志愿者中按年齡采用分層抽樣法抽取20人參加中心廣場的宣傳活動，再從這20人中選取2名志愿者擔(dān)任主要負(fù)責(zé)人，記這2名志愿者中“年齡低于30歲”的人數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望?！驹囶}出處】河南2022~2022學(xué)年度高三年級第一次模擬考試數(shù)學(xué)試題（理）【解析】(Ⅰ)①處填20，②處填；…2分補全頻率分布直方向圖如圖所示.……4分500名志愿者中年齡在［30，35)的人數(shù)為×500=175人.……6分(Ⅱ)用分層抽樣的方法，從中選取20人，則其中“年齡低于30歲”的有5人，“年齡不低于30歲”的有15人.……7分故X的可能取值為0，1，2；P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=,…………10分所以X的分布列為：X012P∴EX=0×＋1×＋2×=12.………12分18、現(xiàn)對某市工薪階層關(guān)于“樓市限購政策”的態(tài)度進(jìn)行調(diào)查，隨機抽查了50人，他們月收入（單位：百元）的頻數(shù)分布及對“樓市限購政策”贊成人數(shù)如下表：（I）根據(jù)以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)填寫下面2x2列聯(lián)表，并回答是否有99%的把握認(rèn)為月收入以5500元為分界點對“樓市限購政策”的態(tài)度有差異？（II）若從月收入在[15,25)，[25,35)的被調(diào)查對象中各隨機選取兩人進(jìn)行調(diào)查，記選中的4人中不贊成“樓市限購政策”人數(shù)為，求隨機變量的分布列及數(shù)學(xué)期望【試題出處】安徽省馬鞍山市2022屆高三第二次教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)理【解析】（Ⅰ）根據(jù)題目得2×2列聯(lián)表：月收入不低于55百元人數(shù)月收入低于55百元人數(shù)合計贊成32不贊成18合計104050………2分假設(shè)月收入以5500為分界點對“樓市限購政策”的態(tài)度沒有差異，根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，得到：………4分假設(shè)不成立.所以沒有99%的把握認(rèn)為月收入以5500為分界點對“樓市限購政策”的態(tài)度有差異.…6