【解析】2023-2023高考數(shù)學(xué)真題分類匯編21 空間向量與立體幾何1

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2023-2023高考數(shù)學(xué)真題分類匯編21空間向量與立體幾何1

一、選擇題

1．（2023·全國(guó)乙卷）在正方體ABCD-A1B1C1D1中，P為B1D1的中點(diǎn)，則直線PB與AD1所成的角為（）

A．B．C．D．

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】直線與平面所成的角

【解析】【解答】如圖，連接AC，設(shè)AC與BD交于O，連接OD1,AD1,BP,設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為x，

因?yàn)镈1P||OB||BD,且D1P=BO=BD,所以四邊形OD1PB是平行四邊形，所以BP||OD1,所以

即為所求的角，易證平面BDD1B1,故OD1,又,所以＝.

故答案為：D

【分析】在正方體中，作輔助線，通過平移線，作出所要求的角。

2．（2023·北京卷）坡屋頂是我國(guó)傳統(tǒng)建筑造型之一，蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)元素．安裝燈帶可以勾勒出建筑輪廓，展現(xiàn)造型之美．如圖，某坡屋頂可視為一個(gè)五面體，其中兩個(gè)面是全等的等腰梯形，兩個(gè)面是全等的等腰三角形．若，且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面與平面的夾角的正切值均為，則該五面體的所有棱長(zhǎng)之和為（）

A．B．C．D．

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】二面角的平面角及求法

【解析】【解答】如圖：

設(shè)點(diǎn)在底面上的投影為，連接，作，，垂足分別為，，

四邊形是矩形，

側(cè)面和側(cè)面與底面的夾角分別為，

由題知，

，，

，即，

，

五面體的所有棱長(zhǎng)之和為.

故答案為：C

【分析】設(shè)點(diǎn)在底面上的射影為，則，進(jìn)而求解。

3．（2023·全國(guó)乙卷）已知為等腰直角三角形，AB為斜邊，為等邊三角形，若二面角為，則直線CD與平面ABC所成角的正切值為（）

A．B．C．D．

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題；解三角形

【解析】【解答】如圖，取AB中點(diǎn)E，連接CE，DE，設(shè)AE=BE=2a

∵是以AB為斜邊的等腰直角三角形，是等邊三角形

易得，，

又∵，且二面角為，

∴，

∴在中，由余弦定理得，

∴，

∴由線面夾角定義結(jié)合直線在平面上的投影，

易分析CD在平面ABC上的投影在CE所在直線上，

即直線CD與平面ABC所成角為∠DCE

∴在中，由正弦定理得，

代入解得，

∵

∴，

∴，

故選：C.

【分析】根據(jù)題意分析面面夾角與線面夾角的平面角，結(jié)合特殊三角形及正余弦定理解三角形得出平面角的三角函數(shù)值.

4．（2022·浙江）如圖，已知正三棱柱，E，F(xiàn)分別是棱上的點(diǎn)．記與所成的角為，與平面所成的角為，二面角的平面角為，則（）

A．B．C．D．

【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】二面角的平面角及求法

【解析】【解答】作直線，連接EG，因?yàn)槠矫妫?/p>

根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理，得，

因此，。

易知，因此，作交于H，

連接BH，CF，作于M，連接GM，得到，因此，，由于，可得。綜上，.

故答案為：A

【分析】根據(jù)線線角的定義，線面角的定義，面面角的定義，轉(zhuǎn)化求解即可．

5．（2022·全國(guó)甲卷）在長(zhǎng)方體中，已知與平面和平面所成的角均為，則（）

A．

B．AB與平面所成的角為

C．

D．與平面所成的角為

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】直線與平面所成的角

【解析】【解答】解：如圖所示：

不妨設(shè)AB=a，AD=b，AA1=c，依題以及長(zhǎng)方體的結(jié)構(gòu)特征可知，B1D與平面ABCD所成角為∠B1DB，

B1D與平面AA1B1B所成角為∠DB1A，

所以，

即b=c，，

解得．

對(duì)于A，AB=a，AD=b，AB=AD，A錯(cuò)誤；

對(duì)于B，過B作BE⊥AB1于E，易知BE⊥平面AB1C1D，所以AB與平面AB1C1D所成角為∠BAE，

因?yàn)椋?，B錯(cuò)誤；

對(duì)于C，，C錯(cuò)誤；

對(duì)于D，B1D與平面BB1C1C所成角為∠DB1C，又，而0°<∠DB1C<90°，所以∠DB1C=45°．D正確．

故選：D．

【分析】先設(shè)AB=a，AD=b，AA1=c，再由題意得，b=c，最后根據(jù)線面角的定義以及長(zhǎng)方體的結(jié)構(gòu)特征即可求出．

6．（2022·全國(guó)乙卷）在正方體中，E，F(xiàn)分別為的中點(diǎn)，則（）

A．平面平面B．平面平面

C．平面平面D．平面平面

【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】空間向量平行的坐標(biāo)表示；空間向量垂直的坐標(biāo)表示

【解析】【解答】解：在正方體中，可知且平面，

又平面，所以，由分別為的中點(diǎn)，所以，所以，又，所以平面，又平面，所以平面平面，故A正確；

以點(diǎn)為原點(diǎn)，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，

則，

，得，，

設(shè)平面的法向量為，

則有，解得，

同理可得平面的法向量為，

平面的法向量為，

平面的法向量為，

則，所以平面與平面不垂直，故B錯(cuò)誤；

因?yàn)榕c不平行，所以平面與平面不平行，故C錯(cuò)誤；

因?yàn)榕c不平行，所以平面與平面不平行，故D錯(cuò)誤，

故選：A

【分析】證明平面，即可判斷A；以點(diǎn)為原點(diǎn)，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，分別求出平面，，的法向量，根據(jù)法向量的位置關(guān)系，即可判斷BCD.

二、多項(xiàng)選擇題

7．（2022·新高考Ⅰ卷）已知正方體則（）

A．直線與所成的角為

B．直線與所成的角為

C．直線與平面所成的角為

D．直線與平面ABCD所成的角為

【答案】A,B,D

【知識(shí)點(diǎn)】直線與平面垂直的判定；直線與平面垂直的性質(zhì)；直線與平面所成的角

【解析】【解答】解：在正方體ABCD-A1B1C1D1中，因?yàn)锽C1⊥B1C，BC1⊥A1B1，所以BC1⊥平面A1B1CD，

所以BC1⊥DA1，BC1⊥CA1，故選項(xiàng)A，B均正確；

設(shè)A1C1∩B1D1=O，因?yàn)锳1C1⊥平面BB1D1D，所以直線BC1與平面BB1D1D所成的角為∠C1BO，

在直角△C1BO中，sin∠C1BO=，故∠C1BO=30°，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

直線BC1與平面ABCD所成的角為∠C1BC=45°，故選項(xiàng)D正確.

故選：ABD

【分析】由直線與平面垂直的判定可得BC1⊥平面A1B1CD，進(jìn)而再由直線與平面垂直的性質(zhì)，從而可判斷AB，根據(jù)直線與平面所成角的定義可判斷CD.

三、解答題

8．（2023·北京卷）如圖，在三棱錐中，平面，．

（1）求證：平面PAB；

（2）求二面角的大小．

【答案】（1）因?yàn)槠矫嫫矫妫?/p>

所以，同理，

所以為直角三角形，

又因?yàn)?，?/p>

所以，則為直角三角形，故，

又因?yàn)椋?/p>

所以平面.

（2）由（1）平面，又平面，則，

以為原點(diǎn)，為軸，過且與平行的直線為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，

則，

所以，

設(shè)平面的法向量為，則，即

令，則，所以，

設(shè)平面的法向量為，則，即，

令，則，所以，

所以，

又因?yàn)槎娼菫殇J二面角，

所以二面角的大小為.

【知識(shí)點(diǎn)】空間中直線與平面之間的位置關(guān)系；用空間向量研究二面角

【解析】【分析】（1）通過證明，來證明平面PAB；

（2）建立空間直角坐標(biāo)系利用空間向量求解二面角的大?。?/p>

9．（2023·全國(guó)甲卷）如圖，在三棱柱中，平面．

（1）證明：平面平面；

（2）設(shè)，求四棱錐的高．

【答案】（1），即，

又平面，平面，

，

由，平面，

平面，

平面，

平面平面

（2）由(1)可知，，兩兩垂直，

由平面平面，平面平面知：

四棱錐的高即為到邊上的高，

，即，

，

又，，

由三棱錐知，，，

由，

故，

在中有，解得

四棱錐的高為1

【知識(shí)點(diǎn)】平面與平面垂直的判定；點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算

【解析】【分析】(1)要證面面垂直即正線面垂直，由已知條件分析易證平面即可證明.

(2)結(jié)合線面垂直等多個(gè)垂直條件，易分析得出四棱錐的高為到邊上的高，根據(jù)兩個(gè)含公共邊的直角三角形，由得到，由已知條件結(jié)合三棱柱結(jié)構(gòu)特點(diǎn)分析解三角形并逐步計(jì)算得出結(jié)果.

10．（2023·天津卷）三棱臺(tái)中，若面，分別是中點(diǎn).

（1）求證：//平面；

（2）求平面與平面所成夾角的余弦值；

（3）求點(diǎn)到平面的距離．

【答案】（1）證明：連接MN，

在三棱臺(tái)中，

，

∵分別是中點(diǎn)，且

∴，

∴

∴四邊形是平行四邊形

∴，

又∵平面，平面，

∴//平面.

（2）解：連接，過點(diǎn)作交AC于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作交于點(diǎn)E，連接MD，ME，

∵若面且面

∴，，

又∵，

∴四邊形為矩形，

∴，

，

∴，

∴，且，

∴MD⊥面，

∴，且，

∴AC1⊥面，

∴，

∴平面與平面所成夾為，

由，

∴

∴，

在Rt△MDE中，易得

∴，

∴

∴平面與平面所成夾角的余弦值為.

（3）由(2)得MD⊥面，，

∵，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為d，

即，解得，

∴點(diǎn)到平面的距離為.

【知識(shí)點(diǎn)】直線與平面平行的判定；點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算；二面角的平面角及求法

【解析】【分析】(1)根據(jù)中點(diǎn)及已知數(shù)值的倍數(shù)關(guān)系結(jié)合圖形，易想到利用中位線證明平行四邊形，故而得到，從而證明//平面；

(2)由已知中點(diǎn)與線面垂直結(jié)合三垂線定理找出二面角所在平面角，利用解三角形求出各邊長(zhǎng)即可得出平面角的余弦值.

(3)將點(diǎn)到平面的距離轉(zhuǎn)化成求三棱錐的高，利用等積即可求解.

11．（2023·全國(guó)乙卷）如圖，在三棱錐中，，，，，BP，AP，BC的中點(diǎn)分別為D，E，O，，點(diǎn)F在AC上，.

（1）證明：平面；

（2）證明：平面平面BEF；

（3）求二面角的正弦值.

【答案】（1）如圖，連接，，設(shè)，

則，

又，

且，即.

，

由∵AB=2，BC=，代入得

解得，

，即為中點(diǎn)，

又∵的中點(diǎn)分別為，

且，且，

∴且，

∴四邊形DEFO為平行四邊形，∴

又平面，平面，

（2）由(1)得，

且在中，AB=2，，

∴，

又∵，

∴，

∴，

∴，且

∴

又∵，，

，

∴

且

∴平面平面BEF.

（3）如圖，過點(diǎn)O作交AC于點(diǎn)M，連接DM，NF，

由(2)得，

∴二面角的平面角為.

∵，O為BC中點(diǎn)，

∴，且結(jié)合(1)，，

∴，，

∴

在平面ABP中，AD和BE分別是△ABP的兩條中線，

∴N為△ABP的重心，

∴，

在和中，

，

根據(jù)余弦定理

代入可解得，

同理在在和中，

由余弦定理列出方程，可得，

∴，

同理，解得，

又∵，，

易得

∴，解得.

∴在△DOM中，

，

∴

∴二面角的平面角的正弦值為.

【知識(shí)點(diǎn)】直線與平面平行的性質(zhì)；平面與平面垂直的判定；二面角的平面角及求法

【解析】【分析】(1)以條件作為切入點(diǎn)，考慮以，為基底從向量角度表示，并運(yùn)用數(shù)量積為0確判斷點(diǎn)的位置，從而得出F為中點(diǎn)，由多個(gè)中點(diǎn)產(chǎn)生的中位線證明線面平行；

(2)由，故證平面平面BEF只需再證一組線線垂直，利用已知條件的結(jié)合勾股定理可計(jì)算邊長(zhǎng)，進(jìn)而可結(jié)合(1)證，證畢；

(3)結(jié)合(2)及二面角平面角的定義，易作將二面角轉(zhuǎn)化成平面角∠DOM，在△DOM中，結(jié)合已知條件易得其兩邊DO、OM，故求平面角的正弦值只需求第三邊DM，結(jié)合中點(diǎn)及各邊數(shù)據(jù)解三角形求第三邊即得答案.

12．（2023·上海卷）已知直四棱柱.

（1）求證：面；

（2）若直四棱柱的體積為36，求二面角的大小.

【答案】（1）在直四棱柱中，

，，

∴，

又∵，，

∴，

又∵且，

∴，

∴，

（2）依題意得，AB⊥AD，AB∥CD

∴CD⊥AD

∴，

∴，即.

∴

連接A1B、A1D、BD，作，垂足為E，

∵在底面ABD的投影為AE，

故由三垂線定理可得，

即此時(shí)二面角的為∠AEA1，

∴根據(jù)勾股定理易得

又∵，

∴

∴在中，

∴

∴二面角的大小為.

【知識(shí)點(diǎn)】直線與平面平行的判定；與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題

【解析】【分析】(1)根據(jù)四棱柱幾何特征與已知條件先證面面平行，即，從而得出線面平行；

(2)根據(jù)題意求出幾何體高，由幾何體高分析改幾何體為固定幾何體，可結(jié)合解三角形解得相關(guān)線段長(zhǎng)度，可找出面面夾角所對(duì)平面角并加以計(jì)算得出答案.

13．（2023·新高考Ⅱ卷）如圖，三棱錐中，60°，E為BC中點(diǎn).

（1）證明：

（2）點(diǎn)F滿足，求二面角D-AB-F的正弦值.

【答案】（1）連接，，

為中點(diǎn)，，

，，

為等邊三角形，同理也為等邊三角形，

，，

又，，

，

，

（2）不妨設(shè)，

，

，，

由（1）知，

，，

又，，，兩兩垂直，

以E為原點(diǎn)，分別以，，所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖：

則，，，，

，

，，，

四邊形是平行四邊形，

設(shè)平面，平面的法向量為分別為，，

，即，

取，解得，

同理可得，

，

，

二面角的正弦值為

【知識(shí)點(diǎn)】空間中直線與直線之間的位置關(guān)系；用空間向量研究二面角

【解析】【分析】（1）通過證明線面垂直，即，得出線線垂直，即。

（2）為建立直角坐標(biāo)系，先證明，，兩兩垂直，得出二者法向量得出面面夾角的余弦值即得答案。

14．（2022·天津市）直三棱柱中，，D為的中點(diǎn)，E為的中點(diǎn)，F(xiàn)為的中點(diǎn)．

（1）求證：平面；

（2）求直線與平面所成角的正弦值；

（3）求平面與平面所成二面角的余弦值．

【答案】（1）證明：在直三棱柱中，平面，且，則

以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則、、、、、、、、，則，

易知平面的一個(gè)法向量為，則，故，

平面，故平面.

（2）解：，，，

設(shè)平面的法向量為，則，

取，可得，.

因此，直線與平面夾角的正弦值為.

（3）解：，，

設(shè)平面的法向量為，則，

取，可得，則，

因此，平面與平面夾角的余弦值為.

【知識(shí)點(diǎn)】直線與平面平行的判定；用空間向量研究直線與平面所成的角；用空間向量研究二面角

【解析】【分析】（1）在直三棱柱中，平面，且，再結(jié)合線面垂直的定義證出線線垂直，則，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，從而得出點(diǎn)的坐標(biāo)，再結(jié)合向量的坐標(biāo)表示得出向量的坐標(biāo)，再利用平面的法向量求解方法得出平面的一個(gè)法向量，則，再結(jié)合數(shù)量積為0兩向量垂直的等價(jià)關(guān)系，故，進(jìn)而證出平面。

（2）利用已知條件結(jié)合向量的坐標(biāo)表示得出向量的坐標(biāo)，再結(jié)合平面的法向量求解方法得出平面的法向量和，再利用數(shù)量積求向量夾角公式和誘導(dǎo)公式得出直線與平面夾角的正弦值。

（3）利用已知條件結(jié)合向量的坐標(biāo)表示得出向量的坐標(biāo)，再結(jié)合平面的法向量求解方法得出平面的法向量和，再利用數(shù)量積求向量夾角公式得出平面與平面夾角的余弦值。

15．（2022·浙江）如圖，已知和都是直角梯形，，，，，，，二面角的平面角為．設(shè)M，N分別為的中點(diǎn)．

（Ⅰ）證明：；

（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值．

【答案】解：（Ⅰ）過點(diǎn)E、D分別做直線、的垂線、并分別交于點(diǎn)交于點(diǎn)G、H．

∵四邊形和都是直角梯形，，，由平面幾何知識(shí)易知，，則四邊形和四邊形是矩形，∴在Rt和Rt，，

∵，且，

∴平面是二面角的平面角，則，

∴是正三角形，由平面，得平面平面，

∵是的中點(diǎn)，，又平面，平面，可得，而，∴平面，而平面．

（Ⅱ）由于平面ABCD，如圖建系.

于是，則.

平面ADE的法向量.

設(shè)BM與平面ADE所成角為θ，

則．

【知識(shí)點(diǎn)】直線與平面垂直的判定；用空間向量研究直線與平面所成的角

【解析】【分析】（Ⅰ）根據(jù)題意證出FN⊥平面ABCD，即可得證；

（Ⅱ）由于平面ABCD，如圖建系，利用空間向量求平面ADE的法向量，代入公式即可求解．

16．（2022·新高考Ⅱ卷）如圖，是三棱錐的高，，，E是的中點(diǎn)．

（1）求證：平面；

（2）若，，，求二面角的正弦值．

【答案】（1）證明：連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接、，

因?yàn)槭侨忮F的高，所以平面，平面，

所以、，

又，所以，即，所以，

又，即，所以，，

所以

所以，即，所以為的中點(diǎn)，又為的中點(diǎn)，所以，

又平面，平面，

所以平面

（2）解：過點(diǎn)作，以AB為軸，AC為軸，AF為z軸建立如圖所示的空問直角坐標(biāo)系.

因?yàn)?，?1)，

義，所以，，所以，，，設(shè)，則，

平面AEB的法向量設(shè)為，所以，所以，設(shè)，則，所以：

平面AEC的法向量設(shè)為，所以，所以，設(shè)，則，阦以：

所以

二面角的平面角為，則，所以二面角的正弦值為。

【知識(shí)點(diǎn)】直線與平面平行的判定；直線與平面平行的性質(zhì)；用空間向量研究二面角

【解析】【分析】（1）連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接、，根據(jù)三角形全等得到，再根據(jù)直角三角形性質(zhì)得到，即可得到為的中點(diǎn)從而得到，即可得證；

（2）過點(diǎn)作，如圖建立平面直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求出二面角的余弦值，再根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系計(jì)算可得；

17．（2022·全國(guó)甲卷）在四棱錐中，底面．

（1）證明：；

（2）求PD與平面所成的角的正弦值．

【答案】（1）證明：在四邊形中，作于，于，

因?yàn)椋?/p>

所以四邊形為等腰梯形，

所以，

故，，

所以，

所以，

因?yàn)槠矫?，平面?/p>

所以，

又，

所以平面，

又因平面，

所以

（2）解：由(1)知，PD，AD，BD兩兩垂直，，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，

則

∴

設(shè)平面PAB的法向量為，則

即

不妨設(shè)，則，

設(shè)PD與平面PAB的所成角為θ，則

∴PD與平面PAB的所成的角的正弦值為.

【知識(shí)點(diǎn)】直線與平面垂直的判定；直線與平面垂直的性質(zhì)；用空間向量研究直線與平面所成的角

【解析】【分析】（1）作于，于，利用勾股定理證明AD⊥BD，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可得，從而可得平面，再根據(jù)線面垂直的性質(zhì)即可得證；

（2）依題意建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，利用向量法即可得出答案.

18．（2022·全國(guó)乙卷）如圖，四面體中，，E為的中點(diǎn)．

（1）證明：平面平面；

（2）設(shè)，點(diǎn)F在上，當(dāng)?shù)拿娣e最小時(shí)，求與平面所成的角的正弦值．

【答案】（1）證明：因?yàn)?，E為的中點(diǎn)，所以；

在和中，因?yàn)椋?/p>

所以，所以，又因?yàn)镋為的中點(diǎn)，所以；

又因?yàn)槠矫?，，所以平面?/p>

因?yàn)槠矫?，所以平面平?

（2）解：連接，

由（1）知，平面，因?yàn)槠矫妫?/p>

所以，所以，

當(dāng)時(shí)，最小，即的面積最小.

因?yàn)?，所以?/p>

又因?yàn)?，所以是等邊三角形?/p>

因?yàn)镋為的中點(diǎn)，所以，，

因?yàn)?，所以?/p>

在中，，所以.

以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則，所以，

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，

則，取，則，

又因?yàn)?，所以?/p>

所以，

設(shè)與平面所成的角的正弦值為，

所以，

所以與平面所成的角的正弦值為.

【知識(shí)點(diǎn)】平面與平面垂直的判定；用空間向量研究直線與平面所成的角

【解析】【分析】（1）根據(jù)已知關(guān)系證明，得到，結(jié)合等腰三角形三線合一得到垂直關(guān)系，結(jié)合面面垂直的判定定理即可證明；

（2）根據(jù)勾股定理逆用得到，從而建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合線面角的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可.

19．（2022·北京）如圖，在三棱柱中，側(cè)面為正方形，平面平面，，分別為，的中點(diǎn)．

（I）求證：平面；

（II）再?gòu)臈l件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求

直線與平面所成角的正弦值。

條件①：；

條件②：．

注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分。

【答案】（I）設(shè)點(diǎn)P為AB中點(diǎn)，由于P為AB中點(diǎn)，N為AC中點(diǎn)所以PN為中位線

又M為AB中點(diǎn)，PM是正方形的中位線

所以

∵面∥面

又面

∴平面

（II）選擇條件①，∵面面

面面，面面

又

∴，又由①：

∴面

∵面

故兩兩垂直

以B為原點(diǎn)，為軸正方向，為軸正方向，為軸正方向建立坐標(biāo)系

則BMN的法向量

AB與面BMN所成角的正弦等于與所半余弦的絕對(duì)值，即

故所求正弦為.

【知識(shí)點(diǎn)】直線與平面平行的判定；平面與平面平行的判定；用空間向量研究直線與平面所成的角

【解析】【分析】（1）記AB中點(diǎn)為P，由已知條件可得，，推出面面，從而推出平面；

（2）選擇條件①，由面面，推出，再根據(jù)，，推出面，得到兩兩垂直，以B為原點(diǎn)建立如圖空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解線面夾角正弦值即可.

20．（2022·新高考Ⅰ卷）如圖，直三棱柱的體積為4，'的面積為

（1）求A到平面的距離；

（2）設(shè)D為的中點(diǎn)，平面平面求二面角的正弦值.

【答案】（1）因?yàn)椋?/p>

所以，設(shè)A到平面的距離為h；

則

（2）設(shè)D為的中點(diǎn)，且，

由于BC⊥平面

因?yàn)槠矫?，所以?/p>

在直角中，，連接，過A作，則平面，而平面，故.

由，

所以，

由，

以B為原點(diǎn)，向量，，分別為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則

所以

設(shè)平面ABD的一個(gè)法向量，

，令，則有.

設(shè)平面BCD的一個(gè)法向量，

令，則有

所以

所以二面角的正弦值為.

【知識(shí)點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積；平面與平面垂直的性質(zhì)；用空間向量研究二面角

【解析】【分析】（1）由題意易得，再結(jié)合棱錐的體積公式求得h；

（2）根據(jù)平面與平面垂直的性質(zhì)可得BC⊥平面ABB1A1，再由直線與平面垂直的性質(zhì)可得BC⊥AB，BC⊥A1B，再建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，分別求得平面ABD，平面BCD的法向量，，再求得，即可得答案.

21．（2023·新高考Ⅱ卷）在四棱錐中，底面是正方形，若．

（1）證明：平面平面；

（2）求二面角的平面角的余弦值．

【答案】（1）取的中點(diǎn)為，連接.

因?yàn)?，，則，

而，故.

在正方形中，因?yàn)?，故，故?/p>

因?yàn)?，故，故為直角三角形且?/p>

因?yàn)?，故平面?/p>

因?yàn)槠矫?，故平面平?

（2）在平面內(nèi)，過作，交于，則，

結(jié)合（1）中的平面，故可建如圖所示的空間坐標(biāo)系.

則，故.

設(shè)平面的法向量，

則即，取，則，

故.

而平面的法向量為，故.

二面角的平面角為銳角，故其余弦值為.

【知識(shí)點(diǎn)】平面與平面垂直的判定；用空間向量研究二面角；二面角的平面角及求法

【解析】【分析】（1）根據(jù)直線與平面垂直的判定定理，結(jié)合平面與平面垂直的判定定理求證即可；

（2）利用向量法直接求解即可.

22．（2023·北京）已知正方體，點(diǎn)為中點(diǎn)，直線交平面于點(diǎn)．

（1）證明：點(diǎn)為的中點(diǎn)；

（2）若點(diǎn)為棱上一點(diǎn)，且二面角的余弦值為，求的值．

【答案】（1）如圖所示，取的中點(diǎn)，連結(jié)，

由于為正方體，為中點(diǎn)，故，

從而四點(diǎn)共面，即平面CDE即平面，

據(jù)此可得：直線交平面于點(diǎn)，

當(dāng)直線與平面相交時(shí)只有唯一的交點(diǎn)，故點(diǎn)與點(diǎn)重合，

即點(diǎn)為中點(diǎn).

（2）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，方向分別為軸，軸，軸正方形，建立空間直角坐標(biāo)系，

不妨設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，設(shè)，

則：，

從而：，

設(shè)平面的法向量為：，則：

，

令可得：，

設(shè)平面的法向量為：，則：

，

令可得：，

從而：，

則：，

整理可得：，故（舍去）.

【知識(shí)點(diǎn)】空間中直線與平面之間的位置關(guān)系；與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題；用空間向量研究二面角

【解析】【分析】（1）根據(jù)正方體的性質(zhì)，結(jié)合直線與平面相交的性質(zhì)定理求證即可；

（2）根據(jù)向量法求二面角，結(jié)合方程的思想求解即可.

23．（2023·浙江）如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，，M，N分別為的中點(diǎn)，.

（1）證明：；

（2）求直線與平面所成角的正弦值.

【答案】（1）證明：在中，，，，由余弦定理可得，

所以，．由題意且，平面，而平面，所以，又，所以

（2）解：由，，而與相交，所以平面，因?yàn)?，所以，取中點(diǎn)，連接，則兩兩垂直，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系,

則,

又為中點(diǎn)，所以.

由（1）得平面，所以平面的一個(gè)法向量

從而直線與平面所成角的正弦值為

【知識(shí)點(diǎn)】直線與平面垂直的判定；直線與平面垂直的性質(zhì)；用空間向量研究二面角

【解析】【分析】（1）通過已知的邊，用余弦定理求得DM的長(zhǎng)度，再根據(jù)勾股定理的逆定理，判斷出，由，得DC⊥平面，結(jié)合AB||DC，則有AB⊥PM；

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，定義相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，用空間向量的知識(shí)求直線與平面成的角。

24．（2023·全國(guó)甲卷）已知直三棱柱ABC-A1B1C1.中，側(cè)面AA1B1B為正方形，AB=BC=2，E，F(xiàn)分別為AC和CC1的中點(diǎn)，D為棱A1B1上的點(diǎn)，BF丄A1B1.

（1）證明：BF⊥DE；

（2）當(dāng)為B1D何值時(shí)，面BB1C1C與面DFE所成的二面角的正弦值最??？

【答案】（1）因?yàn)槿庵侵比庵?，所以底面，所?/p>

因?yàn)?，，所以?/p>

又，所以平面．

所以兩兩垂直．

以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖．

所以，

．

由題設(shè)（）．

因?yàn)椋?/p>

所以，所以．

（2）設(shè)平面的法向量為，

因?yàn)椋?/p>

所以，即．

令，則

因?yàn)槠矫娴姆ㄏ蛄繛椋?/p>

設(shè)平面與平面的二面角的平面角為，

則．

當(dāng)時(shí)，取最小值為，

此時(shí)取最大值為．

所以，

此時(shí)．

【知識(shí)點(diǎn)】直線與平面垂直的判定；用空間向量研究二面角；二面角的平面角及求法

【解析】【分析】（1）根據(jù)條件，先證明兩兩垂直，再建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，定義相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，用空間向量證明．

（2）先設(shè)設(shè)出平面平面的法向量及平面的法向量，分別求出二法向量，再由向量的夾角公式，得到夾角余弦值，當(dāng)其值最大時(shí)正弦值最小，確定此時(shí)的ａ值即為B1D的值。

25．（2023·全國(guó)乙卷）如圖，四棱錐P-ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，PD=DC=1，M為BC的中點(diǎn)，且PB⊥AM，

（1）求BC；

（2）求二面角A-PM-B的正弦值。

【答案】（1）解：因?yàn)镻D⊥平面ABCD，且矩形ABCD中，AD⊥DC，所以以，，分別為x，y，z軸正方向，D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz。

設(shè)BC=t，A（t，0，0），B（t，1，0），M（，1，0），P(0，0，1)，所以=（t，1，-1），=（，1，0），

因?yàn)镻B⊥AM，所以=-+1=0，所以t=，所以BC=。

（2）設(shè)平面APM的一個(gè)法向量為=（x，y，z），由于=（-，0，1），則

令x=，得=（，1，2）。

設(shè)平面PMB的一個(gè)法向量為=（xt，yt，zt），則

令=1，得=(0，1，1).

所以cos（，）===，所以二面角A-PM-B的正弦值為.

【知識(shí)點(diǎn)】向量方法證明線、面的位置關(guān)系定理；用空間向量研究直線與平面所成的角

【解析】【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，定義相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，通過計(jì)算求解；

（2）呈上，分別求二面角的兩個(gè)平面的法向量，用法向量的夾角計(jì)算。

26．（2023·天津）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，E為棱BC的中點(diǎn)，F(xiàn)為棱CD的中點(diǎn)．

（1）求證：平面；

（2）求直線與平面所成角的正正弦值．

（3）求二面角的正弦值．

【答案】（1）以為原點(diǎn)，分別為軸，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，，，，

因?yàn)镋為棱BC的中點(diǎn)，F(xiàn)為棱CD的中點(diǎn)，所以，，

所以，，，

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，

則，令，則，

因?yàn)?，所以?/p>

因?yàn)槠矫?，所以平面?/p>

（2）由（1）得，，

設(shè)直線與平面所成角為，

則；

（3）由正方體的特征可得，平面的一個(gè)法向量為，

則，

所以二面角的正弦值為.

【知識(shí)點(diǎn)】直線與平面平行的判定；用空間向量研究直線與平面所成的角；二面角的平面角及求法

【解析】【分析】（1）根據(jù)向量垂直的充要條件求得平面的一個(gè)法向量，再利用向量法直接求證即可；

（2）先求出，再由求解即可；

（3）先求出平面的一個(gè)法向量，再由結(jié)合同角三角函數(shù)的平方關(guān)系求解即可.

27．（2023·新高考Ⅰ）如圖，在三棱錐A-BCD中.平面ABD丄平面BCD，AB=AD.O為BD的中點(diǎn).

（1）證明：OA⊥CD：

（2）若△OCD是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形.點(diǎn)E在棱AD上.DE=2EA.且二面角E-BC-D的大小為45°，求三棱錐A-BCD的體積.

【答案】（1），為中點(diǎn)，

，

面，

面面且面面，

面，

．

（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，為軸，垂直且過的直線為軸，

設(shè)，，，，,

，，

設(shè)為面法向量，

，

，

令，，，

，

面法向量為，

，解得，

，

，

．

【知識(shí)點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積；平面與平面垂直的性質(zhì)；與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題；用空間向量研究二面角

【解析】【分析】（1）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理，結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)求解即可；

（2）利用向量法，結(jié)合二面角的平面角求得m=1，再根據(jù)棱錐的體積公式直接求解即可.

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2023-2023高考數(shù)學(xué)真題分類匯編21空間向量與立體幾何1

一、選擇題

1．（2023·全國(guó)乙卷）在正方體ABCD-A1B1C1D1中，P為B1D1的中點(diǎn)，則直線PB與AD1所成的角為（）

A．B．C．D．

2．（2023·北京卷）坡屋頂是我國(guó)傳統(tǒng)建筑造型之一，蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)元素．安裝燈帶可以勾勒出建筑輪廓，展現(xiàn)造型之美．如圖，某坡屋頂可視為一個(gè)五面體，其中兩個(gè)面是全等的等腰梯形，兩個(gè)面是全等的等腰三角形．若，且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面與平面的夾角的正切值均為，則該五面體的所有棱長(zhǎng)之和為（）

A．B．C．D．

3．（2023·全國(guó)乙卷）已知為等腰直角三角形，AB為斜邊，為等邊三角形，若二面角為，則直線CD與平面ABC所成角的正切值為（）

A．B．C．D．

4．（2022·浙江）如圖，已知正三棱柱，E，F(xiàn)分別是棱上的點(diǎn)．記與所成的角為，與平面所成的角為，二面角的平面角為，則（）

A．B．C．D．

5．（2022·全國(guó)甲卷）在長(zhǎng)方體中，已知與平面和平面所成的角均為，則（）

A．

B．AB與平面所成的角為

C．

D．與平面所成的角為

6．（2022·全國(guó)乙卷）在正方體中，E，F(xiàn)分別為的中點(diǎn)，則（）

A．平面平面B．平面平面

C．平面平面D．平面平面

二、多項(xiàng)選擇題

7．（2022·新高考Ⅰ卷）已知正方體則（）

A．直線與所成的角為

B．直線與所成的角為

C．直線與平面所成的角為

D．直線與平面ABCD所成的角為

三、解答題

8．（2023·北京卷）如圖，在三棱錐中，平面，．

（1）求證：平面PAB；

（2）求二面角的大小．

9．（2023·全國(guó)甲卷）如圖，在三棱柱中，平面．

（1）證明：平面平面；

（2）設(shè)，求四棱錐的高．

10．（2023·天津卷）三棱臺(tái)中，若面，分別是中點(diǎn).

（1）求證：//平面；

（2）求平面與平面所成夾角的余弦值；

（3）求點(diǎn)到平面的距離．

11．（2023·全國(guó)乙卷）如圖，在三棱錐中，，，，，BP，AP，BC的中點(diǎn)分別為D，E，O，，點(diǎn)F在AC上，.

（1）證明：平面；

（2）證明：平面平面BEF；

（3）求二面角的正弦值.

12．（2023·上海卷）已知直四棱柱.

（1）求證：面；

（2）若直四棱柱的體積為36，求二面角的大小.

13．（2023·新高考Ⅱ卷）如圖，三棱錐中，60°，E為BC中點(diǎn).

（1）證明：

（2）點(diǎn)F滿足，求二面角D-AB-F的正弦值.

14．（2022·天津市）直三棱柱中，，D為的中點(diǎn)，E為的中點(diǎn)，F(xiàn)為的中點(diǎn)．

（1）求證：平面；

（2）求直線與平面所成角的正弦值；

（3）求平面與平面所成二面角的余弦值．

15．（2022·浙江）如圖，已知和都是直角梯形，，，，，，，二面角的平面角為．設(shè)M，N分別為的中點(diǎn)．

（Ⅰ）證明：；

（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值．

16．（2022·新高考Ⅱ卷）如圖，是三棱錐的高，，，E是的中點(diǎn)．

（1）求證：平面；

（2）若，，，求二面角的正弦值．

17．（2022·全國(guó)甲卷）在四棱錐中，底面．

（1）證明：；

（2）求PD與平面所成的角的正弦值．

18．（2022·全國(guó)乙卷）如圖，四面體中，，E為的中點(diǎn)．

（1）證明：平面平面；

（2）設(shè)，點(diǎn)F在上，當(dāng)?shù)拿娣e最小時(shí)，求與平面所成的角的正弦值．

19．（2022·北京）如圖，在三棱柱中，側(cè)面為正方形，平面平面，，分別為，的中點(diǎn)．

（I）求證：平面；

（II）再?gòu)臈l件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求

直線與平面所成角的正弦值。

條件①：；

條件②：．

注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分。

20．（2022·新高考Ⅰ卷）如圖，直三棱柱的體積為4，'的面積為

（1）求A到平面的距離；

（2）設(shè)D為的中點(diǎn)，平面平面求二面角的正弦值.

21．（2023·新高考Ⅱ卷）在四棱錐中，底面是正方形，若．

（1）證明：平面平面；

（2）求二面角的平面角的余弦值．

22．（2023·北京）已知正方體，點(diǎn)為中點(diǎn)，直線交平面于點(diǎn)．

（1）證明：點(diǎn)為的中點(diǎn)；

（2）若點(diǎn)為棱上一點(diǎn)，且二面角的余弦值為，求的值．

23．（2023·浙江）如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，，M，N分別為的中點(diǎn)，.

（1）證明：；

（2）求直線與平面所成角的正弦值.

24．（2023·全國(guó)甲卷）已知直三棱柱ABC-A1B1C1.中，側(cè)面AA1B1B為正方形，AB=BC=2，E，F(xiàn)分別為AC和CC1的中點(diǎn)，D為棱A1B1上的點(diǎn)，BF丄A1B1.

（1）證明：BF⊥DE；

（2）當(dāng)為B1D何值時(shí)，面BB1C1C與面DFE所成的二面角的正弦值最??？

25．（2023·全國(guó)乙卷）如圖，四棱錐P-ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，PD=DC=1，M為BC的中點(diǎn)，且PB⊥AM，

（1）求BC；

（2）求二面角A-PM-B的正弦值。

26．（2023·天津）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，E為棱BC的中點(diǎn)，F(xiàn)為棱CD的中點(diǎn)．

（1）求證：平面；

（2）求直線與平面所成角的正正弦值．

（3）求二面角的正弦值．

27．（2023·新高考Ⅰ）如圖，在三棱錐A-BCD中.平面ABD丄平面BCD，AB=AD.O為BD的中點(diǎn).

（1）證明：OA⊥CD：

（2）若△OCD是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形.點(diǎn)E在棱AD上.DE=2EA.且二面角E-BC-D的大小為45°，求三棱錐A-BCD的體積.

答案解析部分

1．【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】直線與平面所成的角

【解析】【解答】如圖，連接AC，設(shè)AC與BD交于O，連接OD1,AD1,BP,設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為x，

因?yàn)镈1P||OB||BD,且D1P=BO=BD,所以四邊形OD1PB是平行四邊形，所以BP||OD1,所以

即為所求的角，易證平面BDD1B1,故OD1,又,所以＝.

故答案為：D

【分析】在正方體中，作輔助線，通過平移線，作出所要求的角。

2．【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】二面角的平面角及求法

【解析】【解答】如圖：

設(shè)點(diǎn)在底面上的投影為，連接，作，，垂足分別為，，

四邊形是矩形，

側(cè)面和側(cè)面與底面的夾角分別為，

由題知，

，，

，即，

，

五面體的所有棱長(zhǎng)之和為.

故答案為：C

【分析】設(shè)點(diǎn)在底面上的射影為，則，進(jìn)而求解。

3．【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題；解三角形

【解析】【解答】如圖，取AB中點(diǎn)E，連接CE，DE，設(shè)AE=BE=2a

∵是以AB為斜邊的等腰直角三角形，是等邊三角形

易得，，

又∵，且二面角為，

∴，

∴在中，由余弦定理得，

∴，

∴由線面夾角定義結(jié)合直線在平面上的投影，

易分析CD在平面ABC上的投影在CE所在直線上，

即直線CD與平面ABC所成角為∠DCE

∴在中，由正弦定理得，

代入解得，

∵

∴，

∴，

故選：C.

【分析】根據(jù)題意分析面面夾角與線面夾角的平面角，結(jié)合特殊三角形及正余弦定理解三角形得出平面角的三角函數(shù)值.

4．【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】二面角的平面角及求法

【解析】【解答】作直線，連接EG，因?yàn)槠矫妫?/p>

根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理，得，

因此，。

易知，因此，作交于H，

連接BH，CF，作于M，連接GM，得到，因此，，由于，可得。綜上，.

故答案為：A

【分析】根據(jù)線線角的定義，線面角的定義，面面角的定義，轉(zhuǎn)化求解即可．

5．【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】直線與平面所成的角

【解析】【解答】解：如圖所示：

不妨設(shè)AB=a，AD=b，AA1=c，依題以及長(zhǎng)方體的結(jié)構(gòu)特征可知，B1D與平面ABCD所成角為∠B1DB，

B1D與平面AA1B1B所成角為∠DB1A，

所以，

即b=c，，

解得．

對(duì)于A，AB=a，AD=b，AB=AD，A錯(cuò)誤；

對(duì)于B，過B作BE⊥AB1于E，易知BE⊥平面AB1C1D，所以AB與平面AB1C1D所成角為∠BAE，

因?yàn)?，所以，B錯(cuò)誤；

對(duì)于C，，C錯(cuò)誤；

對(duì)于D，B1D與平面BB1C1C所成角為∠DB1C，又，而0°<∠DB1C<90°，所以∠DB1C=45°．D正確．

故選：D．

【分析】先設(shè)AB=a，AD=b，AA1=c，再由題意得，b=c，最后根據(jù)線面角的定義以及長(zhǎng)方體的結(jié)構(gòu)特征即可求出．

6．【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】空間向量平行的坐標(biāo)表示；空間向量垂直的坐標(biāo)表示

【解析】【解答】解：在正方體中，可知且平面，

又平面，所以，由分別為的中點(diǎn)，所以，所以，又，所以平面，又平面，所以平面平面，故A正確；

以點(diǎn)為原點(diǎn)，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，

則，

，得，，

設(shè)平面的法向量為，

則有，解得，

同理可得平面的法向量為，

平面的法向量為，

平面的法向量為，

則，所以平面與平面不垂直，故B錯(cuò)誤；

因?yàn)榕c不平行，所以平面與平面不平行，故C錯(cuò)誤；

因?yàn)榕c不平行，所以平面與平面不平行，故D錯(cuò)誤，

故選：A

【分析】證明平面，即可判斷A；以點(diǎn)為原點(diǎn)，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，分別求出平面，，的法向量，根據(jù)法向量的位置關(guān)系，即可判斷BCD.

7．【答案】A,B,D

【知識(shí)點(diǎn)】直線與平面垂直的判定；直線與平面垂直的性質(zhì)；直線與平面所成的角

【解析】【解答】解：在正方體ABCD-A1B1C1D1中，因?yàn)锽C1⊥B1C，BC1⊥A1B1，所以BC1⊥平面A1B1CD，

所以BC1⊥DA1，BC1⊥CA1，故選項(xiàng)A，B均正確；

設(shè)A1C1∩B1D1=O，因?yàn)锳1C1⊥平面BB1D1D，所以直線BC1與平面BB1D1D所成的角為∠C1BO，

在直角△C1BO中，sin∠C1BO=，故∠C1BO=30°，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

直線BC1與平面ABCD所成的角為∠C1BC=45°，故選項(xiàng)D正確.

故選：ABD

【分析】由直線與平面垂直的判定可得BC1⊥平面A1B1CD，進(jìn)而再由直線與平面垂直的性質(zhì)，從而可判斷AB，根據(jù)直線與平面所成角的定義可判斷CD.

8．【答案】（1）因?yàn)槠矫嫫矫妫?/p>

所以，同理，

所以為直角三角形，

又因?yàn)?，?/p>

所以，則為直角三角形，故，

又因?yàn)?，?/p>

所以平面.

（2）由（1）平面，又平面，則，

以為原點(diǎn)，為軸，過且與平行的直線為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，

則，

所以，

設(shè)平面的法向量為，則，即

令，則，所以，

設(shè)平面的法向量為，則，即，

令，則，所以，

所以，

又因?yàn)槎娼菫殇J二面角，

所以二面角的大小為.

【知識(shí)點(diǎn)】空間中直線與平面之間的位置關(guān)系；用空間向量研究二面角

【解析】【分析】（1）通過證明，來證明平面PAB；

（2）建立空間直角坐標(biāo)系利用空間向量求解二面角的大小．

9．【答案】（1），即，

又平面，平面，

，

由，平面，

平面，

平面，

平面平面

（2）由(1)可知，，兩兩垂直，

由平面平面，平面平面知：

四棱錐的高即為到邊上的高，

，即，

，

又，，

由三棱錐知，，，

由，

故，

在中有，解得

四棱錐的高為1

【知識(shí)點(diǎn)】平面與平面垂直的判定；點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算

【解析】【分析】(1)要證面面垂直即正線面垂直，由已知條件分析易證平面即可證明.

(2)結(jié)合線面垂直等多個(gè)垂直條件，易分析得出四棱錐的高為到邊上的高，根據(jù)兩個(gè)含公共邊的直角三角形，由得到，由已知條件結(jié)合三棱柱結(jié)構(gòu)特點(diǎn)分析解三角形并逐步計(jì)算得出結(jié)果.

10．【答案】（1）證明：連接MN，

在三棱臺(tái)中，

，

∵分別是中點(diǎn)，且

∴，

∴

∴四邊形是平行四邊形

∴，

又∵平面，平面，

∴//平面.

（2）解：連接，過點(diǎn)作交AC于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作交于點(diǎn)E，連接MD，ME，

∵若面且面

∴，，

又∵，

∴四邊形為矩形，

∴，

，

∴，

∴，且，

∴MD⊥面，

∴，且，

∴AC1⊥面，

∴，

∴平面與平面所成夾為，

由，

∴

∴，

在Rt△MDE中，易得

∴，

∴

∴平面與平面所成夾角的余弦值為.

（3）由(2)得MD⊥面，，

∵，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為d，

即，解得，

∴點(diǎn)到平面的距離為.

【知識(shí)點(diǎn)】直線與平面平行的判定；點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算；二面角的平面角及求法

【解析】【分析】(1)根據(jù)中點(diǎn)及已知數(shù)值的倍數(shù)關(guān)系結(jié)合圖形，易想到利用中位線證明平行四邊形，故而得到，從而證明//平面；

(2)由已知中點(diǎn)與線面垂直結(jié)合三垂線定理找出二面角所在平面角，利用解三角形求出各邊長(zhǎng)即可得出平面角的余弦值.

(3)將點(diǎn)到平面的距離轉(zhuǎn)化成求三棱錐的高，利用等積即可求解.

11．【答案】（1）如圖，連接，，設(shè)，

則，

又，

且，即.

，

由∵AB=2，BC=，代入得

解得，

，即為中點(diǎn)，

又∵的中點(diǎn)分別為，

且，且，

∴且，

∴四邊形DEFO為平行四邊形，∴

又平面，平面，

（2）由(1)得，

且在中，AB=2，，

∴，

又∵，

∴，

∴，

∴，且

∴

又∵，，

，

∴

且

∴平面平面BEF.

（3）如圖，過點(diǎn)O作交AC于點(diǎn)M，連接DM，NF，

由(2)得，

∴二面角的平面角為.

∵，O為BC中點(diǎn)，

∴，且結(jié)合(1)，，

∴，，

∴

在平面ABP中，AD和BE分別是△ABP的兩條中線，

∴N為△ABP的重心，

∴，

在和中，

，

根據(jù)余弦定理

代入可解得，

同理在在和中，

由余弦定理列出方程，可得，

∴，

同理，解得，

又∵，，

易得

∴，解得.

∴在△DOM中，

，

∴

∴二面角的平面角的正弦值為.

【知識(shí)點(diǎn)】直線與平面平行的性質(zhì)；平面與平面垂直的判定；二面角的平面角及求法

【解析】【分析】(1)以條件作為切入點(diǎn)，考慮以，為基底從向量角度表示，并運(yùn)用數(shù)量積為0確判斷點(diǎn)的位置，從而得出F為中點(diǎn)，由多個(gè)中點(diǎn)產(chǎn)生的中位線證明線面平行；

(2)由，故證平面平面BEF只需再證一組線線垂直，利用已知條件的結(jié)合勾股定理可計(jì)算邊長(zhǎng)，進(jìn)而可結(jié)合(1)證，證畢；

(3)結(jié)合(2)及二面角平面角的定義，易作將二面角轉(zhuǎn)化成平面角∠DOM，在△DOM中，結(jié)合已知條件易得其兩邊DO、OM，故求平面角的正弦值只需求第三邊DM，結(jié)合中點(diǎn)及各邊數(shù)據(jù)解三角形求第三邊即得答案.

12．【答案】（1）在直四棱柱中，

，，

∴，

又∵，，

∴，

又∵且，

∴，

∴，

（2）依題意得，AB⊥AD，AB∥CD

∴CD⊥AD

∴，

∴，即.

∴

連接A1B、A1D、BD，作，垂足為E，

∵在底面ABD的投影為AE，

故由三垂線定理可得，

即此時(shí)二面角的為∠AEA1，

∴根據(jù)勾股定理易得

又∵，

∴

∴在中，

∴

∴二面角的大小為.

【知識(shí)點(diǎn)】直線與平面平行的判定；與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題

【解析】【分析】(1)根據(jù)四棱柱幾何特征與已知條件先證面面平行，即，從而得出線面平行；

(2)根據(jù)題意求出幾何體高，由幾何體高分析改幾何體為固定幾何體，可結(jié)合解三角形解得相關(guān)線段長(zhǎng)度，可找出面面夾角所對(duì)平面角并加以計(jì)算得出答案.

13．【答案】（1）連接，，

為中點(diǎn)，，

，，

為等邊三角形，同理也為等邊三角形，

，，

又，，

，

，

（2）不妨設(shè)，

，

，，

由（1）知，

，，

又，，，兩兩垂直，

以E為原點(diǎn)，分別以，，所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖：

則，，，，

，

，，，

四邊形是平行四邊形，

設(shè)平面，平面的法向量為分別為，，

，即，

取，解得，

同理可得，

，

，

二面角的正弦值為

【知識(shí)點(diǎn)】空間中直線與直線之間的位置關(guān)系；用空間向量研究二面角

【解析】【分析】（1）通過證明線面垂直，即，得出線線垂直，即。

（2）為建立直角坐標(biāo)系，先證明，，兩兩垂直，得出二者法向量得出面面夾角的余弦值即得答案。

14．【答案】（1）證明：在直三棱柱中，平面，且，則

以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則、、、、、、、、，則，

易知平面的一個(gè)法向量為，則，故，

平面，故平面.

（2）解：，，，

設(shè)平面的法向量為，則，

取，可得，.

因此，直線與平面夾角的正弦值為.

（3）解：，，

設(shè)平面的法向量為，則，

取，可得，則，

因此，平面與平面夾角的余弦值為.

【知識(shí)點(diǎn)】直線與平面平行的判定；用空間向量研究直線與平面所成的角；用空間向量研究二面角

【解析】【分析】（1）在直三棱柱中，平面，且，再結(jié)合線面垂直的定義證出線線垂直，則，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，從而得出點(diǎn)的坐標(biāo)，再結(jié)合向量的坐標(biāo)表示得出向量的坐標(biāo)，再利用平面的法向量求解方法得出平面的一個(gè)法向量，則，再結(jié)合數(shù)量積為0兩向量垂直的等價(jià)關(guān)系，故，進(jìn)而證出平面。

（2）利用已知條件結(jié)合向量的坐標(biāo)表示得出向量的坐標(biāo)，再結(jié)合平面的法向量求解方法得出平面的法向量和，再利用數(shù)量積求向量夾角公式和誘導(dǎo)公式得出直線與平面夾角的正弦值。

（3）利用已知條件結(jié)合向量的坐標(biāo)表示得出向量的坐標(biāo)，再結(jié)合平面的法向量求解方法得出平面的法向量和，再利用數(shù)量積求向量夾角公式得出平面與平面夾角的余弦值。

15．【答案】解：（Ⅰ）過點(diǎn)E、D分別做直線、的垂線、并分別交于點(diǎn)交于點(diǎn)G、H．

∵四邊形和都是直角梯形，，，由平面幾何知識(shí)易知，，則四邊形和四邊形是矩形，∴在Rt和Rt，，

∵，且，

∴平面是二面角的平面角，則，

∴是正三角形，由平面，得平面平面，

∵是的中點(diǎn)，，又平面，平面，可得，而，∴平面，而平面．

（Ⅱ）由于平面ABCD，如圖建系.

于是，則.

平面ADE的法向量.

設(shè)BM與平面ADE所成角為θ，

則．

【知識(shí)點(diǎn)】直線與平面垂直的判定；用空間向量研究直線與平面所成的角

【解析】【分析】（Ⅰ）根據(jù)題意證出FN⊥平面ABCD，即可得證；

（Ⅱ）由于平面ABCD，如圖建系，利用空間向量求平面ADE的法向量，代入公式即可求解．

16．【答案】（1）證明：連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接、，

因?yàn)槭侨忮F的高，所以平面，平面，

所以、，

又，所以，即，所以，

又，即，所以，，

所以

所以，即，所以為的中點(diǎn)，又為的中點(diǎn)，所以，

又平面，平面，

所以平面

（2）解：過點(diǎn)作，以AB為軸，AC為軸，AF為z軸建立如圖所示的空問直角坐標(biāo)系.

因?yàn)?，?1)，

義，所以，，所以，，，設(shè)，則，

平面AEB的法向量設(shè)為，所以，所以，設(shè)，則，所以：

平面AEC的法向量設(shè)為，所以，所以，設(shè)，則，阦以：

所以

二面角的平面角為，則，所以二面角的正弦值為。

【知識(shí)點(diǎn)】直線與平面平行的判定；直線與平面平行的性質(zhì)；用空間向量研究二面角

【解析】【分析】（1）連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接、，根據(jù)三角形全等得到，再根據(jù)直角三角形性質(zhì)得到，即可得到為的中點(diǎn)從而得到，即可得證；

（2）過點(diǎn)作，如圖建立平面直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求出二面角的余弦值，再根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系計(jì)算可得；

17．【答案】（1）證明：在四邊形中，作于，于，

因?yàn)椋?/p>

所以四邊形為等腰梯形，

所以，

故，，

所以，

所以，

因?yàn)槠矫?，平面?/p>

所以，

又，

所以平面，

又因平面，

所以

（2）解：由(1)知，PD，AD，BD兩兩垂直，，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，

則

∴

設(shè)平面PAB的法向量為，則

即

不妨設(shè)，則，

設(shè)PD與平面PAB的所成角為θ，則

∴PD與平面PAB的所成的角的正弦值為.

【知識(shí)點(diǎn)】直線與平面垂直的判定；直線與平面垂直的性質(zhì)；用空間向量研究直線與平面所成的角

【解析】【分析】（1）作于，于，利用勾股定理證明AD⊥BD，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可得，從而可得平面，再根據(jù)線面垂直的性質(zhì)即可得證；

（2）依題意建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，利用向量法即可得出答案.

18．【答案】（1）證明：因?yàn)?，E為的中點(diǎn)，所以；

在和中，因?yàn)椋?/p>

所以，所以，又因?yàn)镋為的中點(diǎn)，所以；

又因?yàn)槠矫?，，所以平面?/p>

因?yàn)槠矫?，所以平面平?

（2）解：連接，

由（1）知，平面，因?yàn)槠矫妫?/p>

所以，所以，

當(dāng)時(shí)，最小，即的面積最小.

因?yàn)?，所以?/p>

又因?yàn)?，所以是等邊三角形?/p>

因?yàn)镋為的中點(diǎn)，所以，，

因?yàn)?，所以?/p>

在中，，所以.

以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則，所以，

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，

則，取，則，

又因?yàn)?，所以?/p>

所以，

設(shè)與平面所成的角的正弦值為，

所以，

所以與平面所成的角的正弦值為.

【知識(shí)點(diǎn)】平面與平面垂直的判定；用空間向量研究直線與平面所成的角

【解析】【分析】（1）根據(jù)已知關(guān)系證明，得到，結(jié)合等腰三角形三線合一得到垂直關(guān)系，結(jié)合面面垂直的判定定理即可證明；

（2）根據(jù)勾股定理逆用得到，從而建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合線面角的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可.

19．【答案】（I）設(shè)點(diǎn)P為AB中點(diǎn)，由于P為AB中點(diǎn)，N為AC中點(diǎn)所以PN為中位線

又M為AB中點(diǎn)，PM是正方形的中位線

所以

∵面∥面

又面

∴平面

（II）選擇條件①，∵面面

面面，面面

又

∴，又由①：

∴面

∵面

故兩兩垂直

以B為原點(diǎn)，為軸正方向，為軸正方向，為軸正方向建立坐標(biāo)系

則BMN的法向量

AB與面BMN所成角的正弦等于與所半余弦的絕對(duì)值，即

故所求正弦為.

【知識(shí)點(diǎn)】直線與平面平行的判定；平面與平面平行的判定；用空間向量研究直線與平面所成的角

【解析】【分析】（1）記AB中點(diǎn)為P，由已知條件可得，，推出面面，從而推出平面；

（2）選擇條件①，由面面，推出，再根據(jù)，，推出面，得到兩兩垂直，以B為原點(diǎn)建立如圖空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解線面夾角正弦值即可.

20．【答案】（1）因?yàn)椋?/p>

所以，設(shè)A到平面的距離為h；

則

（2）設(shè)D為的中點(diǎn)，且，

由于BC⊥平面

因?yàn)槠矫?，所以?/p>

在直角中，，連接，過A作，則平面，而平面，故.

由，

所以，

由，

以B為原點(diǎn)，向量，，分別為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則

所以

設(shè)平面ABD的一個(gè)法向量，

，令，則有.

設(shè)平面BCD的一個(gè)法向量，

令，則有

所以

所以二面角的正弦值為.

【知識(shí)點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積；平面與平面垂直的性質(zhì)；用空間向量研究二面角

【解析】【分析】（1）由題意易得，再結(jié)合棱錐的體積公式求得h；

（2）根據(jù)平面與平面垂直的性質(zhì)可得BC⊥平面ABB1A1，再由直線與平面垂直的性質(zhì)可得BC⊥AB，BC⊥A1B，再建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，分別求得平面ABD，平面BCD的法向量，，再求得，即可得答案.

21．【答案】（1）取的中點(diǎn)為，連接.

因?yàn)?，，則，

而，故.

在正方形中，因?yàn)?，故，故?/p>

因?yàn)?，故，故為直角三角形且?/p>

因?yàn)?，故平面?/p>

因?yàn)槠矫?，故平面平?

（2）在平面內(nèi)，過作，交于，則，

結(jié)合（1）中的平面，故可建如圖所示的空間坐標(biāo)系.

則，故.

設(shè)平面的法向量，

則即，取，則，

故.

而平面的法向