Happy暑假我的作業(yè)君（版）高二理數(shù)第章計數(shù)原理二項式定理

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精第1章1．3二項式定理看一看1．二項式定理(a＋b)n＝Ceq\o\al（0,n)an＋Ceq\o\al(1，n)an－1b＋…＋Ceq\o\al（r,n）an－rbr＋…＋Ceq\o\al(n－1,n)abn－1＋Ceq\o\al(n，n)bn(n∈N＊)．．這個公式所表示的定理叫做二項式定理，右邊的多項式叫做(a＋b)n的二項展開式，其中的系數(shù)Ceq\o\al(r，n)（r＝0,1，2，…，n）叫做二項式系數(shù)．式中的Ceq\o\al（r,n）an－rbr叫做二項展開式的通項，用Tr＋1表示，即展開式的第r項，Tr＋1＝Ceq\o\al（r,n）an－rbr，．2．二項展開式形式上的特點（1）項數(shù)為n＋1．（2）各項的次數(shù)都等于二項式的冪指數(shù)n，即a與b的指數(shù)的和為n．(3)字母a按降冪排列，從第一項開始,次數(shù)由n逐項減1直到零；字母b按升冪排列，從第一項起，次數(shù)由零逐項增1直到n．(4）二項式的系數(shù)從Ceq\o\al(0，n)，Ceq\o\al(1，n)，一直到Ceq\o\al(n－1,n),Ceq\o\al（n，n）．3．二項式系數(shù)的性質(zhì)(1)對稱性:與首末兩端等距離的兩個二項式系數(shù)相等,即Ceq\o\al（m,n）＝Ceq\o\al(n－m,n)．(2）增減性與最大值：二項式系數(shù)Ceq\o\al(k，n）,當k<（n+1)/2時，二項式系數(shù)是遞增的；當k>（n+1）/2時，二項式系數(shù)是遞減的．當n是偶數(shù)時,中間的一項即第eq\f（n，2）＋1項取得最大值．當n是奇數(shù)時，中間兩項即第eq\f（n＋1,2），eq\f(n＋3,2)項相等，且同時取得最大值．（3)各二項式系數(shù)的和：（a＋b)n的展開式的各個二項式系數(shù)的和等于2n，即Ceq\o\al（0，n)＋Ceq\o\al(1，n）＋Ceq\o\al（2，n)＋…＋Ceq\o\al（n,n)＝2n二項展開式中，偶數(shù)項的二項式系數(shù)的和等于奇數(shù)項的二項式系數(shù)的和,即Ceq\o\al（1，n）＋Ceq\o\al(3，n）＋Ceq\o\al(5，n）＋…＝Ceq\o\al(0,n）＋Ceq\o\al（2,n)＋Ceq\o\al（4,n）＋…＝2n－1．溫馨提示：一個防范：切記二項展開式的二項式系數(shù)與該項的(字母）系數(shù)是兩個不同的概念，前者只指Ceq\o\al(r，n)，而后者是字母外的部分．前者只與n和r有關(guān),恒為正，后者還與a，b有關(guān)，可正可負．兩種應用(1）通項的應用:利用二項展開式的通項可求指定的項或指定項的系數(shù)等．(2）展開式的應用:利用展開式①可求解與二項式系數(shù)有關(guān)的求值；②可證明不等式；③可證明整除問題（或求余數(shù)）．想一想1、你能弄清楚二項展開式的二項式系數(shù)與該項的系數(shù)之間的關(guān)系嗎?2、二項式主要可以解決那些問題？練一練1．【2017山西太原五中月考】若的展開式中含有常數(shù)項，則的最小值等于()A．B．C．D．2．【2017江西南昌二中月考】若，則的值為（）A．B．C．D．3．【2017山東煙臺二中月考】已知，則（）A．B．C．D．4．【2017山東煙臺二中月考】已知的展開式中的常數(shù)項是75，則常數(shù)的值為()A．25B．4C．5D．165．【2017河南南陽一中月考】設(shè)，則代數(shù)式的值為(）A．—14B．—7C．7D．146．【2017河北唐山三模】若，則(）A．1B．513C．512D．5117．【2017福建廈門一中考前模擬】的展開式中的奇數(shù)次冪項的系數(shù)之和為32，則的值為（）A．-3B．3C．—5D．58．【2017江西南昌二中月考】的展開式中項的系數(shù)是15，則展開式的所有項系數(shù)的和是______．9．【2017山西西安一中五?！咳?，則的值為__________．10．【2017山東煙臺二中月考】的展開式中,的系數(shù)是____________．(用數(shù)字填寫答案)11．【2017山東煙臺二中月考】已知，求：（1）；（2）(3）12．【2017甘肅寧夏平羅中學期末】已知且展開式中前三項系數(shù)成等差數(shù)列．（1）求；（2)求展開式中二項式系數(shù)最大的項；（3）若，求的值．樂一樂韓信點兵(二）中國有一本數(shù)學古書「孫子算經(jīng)」也有類似的問題：「今有物，不知其數(shù)，三三數(shù)之,剩二,五五數(shù)之，剩三，七七數(shù)之，剩二，問物幾何