2022中考數(shù)學(xué)模擬試題分類匯編30直線與圓的位置關(guān)系

2022年中考數(shù)學(xué)試題分類匯編30直線與圓的位置關(guān)系一、選擇1.（2022湖北隨州，13，3分）如圖，AB為⊙O的直徑，PD切⊙O于點C，交AB的延長線于D，且CO=CD，則∠PCA=（）A．30° B．45° C．60° D．°CCDAOPB

第13題圖【答案】D2.（2022廣東深圳，11,3分）下列命是真命的個數(shù)有()①垂直于半徑的直線是圓的切線②平分弦的直徑垂直于弦x=1③若是方程x-ax=3的一個解,則a=-1y=2④若反比例函數(shù)y=-的圖像上有兩點(,y1),(1,y2),則y1＜y2A.1個B.2個C.3個D.4個【答案】C3.（2022貴州遵義，9，3分）如圖，AB是⊙O的直徑，BC交⊙O于點D，DE⊥AC于點E，要使DE是⊙O的切線，還需補充一個條件，則補充的條件不正確的是A.DE＝DOB.AB＝ACC.CD＝DBD.AC∥OD【答案】A4.（2022吉林，15，3分）如圖，兩個等圓⊙A、⊙B分別與直線l相切于點C、D，連接AB與直線l相交于點O，∠AOC＝30°，連接AC、BD，若AB＝4，則圓的半徑為()（A）eq\f(1,2)（B）1（C）eq\r(,3)（D）2【答案】B5.（2022山東棗莊，7，3分）如圖，PA是的切線，切點為A，PA=2,∠APO=30°，則的半徑為（） B.【答案】C6.（2022四川眉山，11，3分）如圖，PA、PB是OO的切線，AC是OO的直徑，LP=500，則∠BOC的度數(shù)為A．50°B．25°C．40°D．60°【答案】A7.（2022湖北鄂州，13，3分）如圖，AB為⊙O的直徑，PD切⊙O于點C，交AB的延長線于D，且CO=CD，則∠PCA=（）A．30° B．45° C．60° D．°CCDAOPB

第13題圖【答案】D8.（2022內(nèi)蒙古包頭，11，3分）已知AB是⊙O的直徑，點P是AB延長線上的一個動點，過點P作⊙O的切線，切點為C，∠APC的平分線交AC于點D，則∠CDP等于（）A．30° B．60° C．45° D．50°【答案】C【思路分析】如圖所示∠CDP=∠A+∠DPA，∠CED=∠ECP+∠CPD，由切線可得∠PCE=∠A，又∠DPA=∠CPD所以∠CDP=∠CED，又AB為直徑，故∠ACB=90°所以∠CDP=45°ABABCDP·OE9.（2022福建漳州，8，3分）下列命中，假命是()A．經(jīng)過兩點有且只有一條直線B．平行四邊形的對角線相等C．兩腰相等的梯形叫做等腰梯形D．圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑【答案】B10．（2022貴州黔南，2,4分）下列命中，真命是（）A.對角線互相垂直且相等的四邊形是正方形B.等腰梯形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形C.圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑D.垂直于同一條直線的兩條直線互相垂直【答案】C11.（2022浙江金華，10，3分）如圖，在平面直角坐標系中，過格點A，B，C作一圓弧，點B與下列格點的連線中，能夠與該圓弧相切的是（）A．點（0，3）B．點（2，3）C．點（5，1）D．點(6，1)【答案】C12.（2022山東日照，11，4分）已知AC⊥BC于C，BC=a，CA=b，AB=c，下列選項中⊙O的半徑為的是（）【答案】C13.（2022湖北鄂州，13，3分）如圖，AB為⊙O的直徑，PD切⊙O于點C，交AB的延長線于D，且CO=CD，則∠PCA=（）A．30° B．45° C．60° D．°CCDAOPB

第13題圖【答案】D14.(2022浙江湖州，9，3)如圖，已知AB是⊙O的直徑，C是AB延長線上一點，BC＝OB，CE是⊙O的切線，切點為D，過點A作AE⊥CE，垂足為E，則CD：DE的值是A． B．1 C．2 D．3【答案】C15.（2022寧波市，11，3分）如圖，⊙O1的半徑為1，正方形ABCD的邊長為6，點O2為正方形ABCD的中心，O1O2垂直AB與P點，O1O2＝8．若將⊙O1繞點P按順時針方向旋轉(zhuǎn)360°，在旋轉(zhuǎn)過程中，⊙O1與正方形ABCD的邊只有一個公共點的情況一共出現(xiàn)A．3次B．5次C．6次D．7次【答案】B16.（2022浙江臺州，10,4分）如圖，⊙O的半徑為2，點O到直線l的距離為3，點P是直線l上的一個動點，PB切⊙O于點B，則PB的最小值是（）A.B.C.3【答案】B17.（2022浙江溫州，10，4分）如圖，O是正方形ABCD的對角線BD上一點，⊙O邊AB，BC都相切，點E，F(xiàn)分別在邊AD，DC上．現(xiàn)將△DEF沿著EF對折，折痕EF與⊙O相切，此時點D恰好落在圓心O處．若DE＝2，則正方形ABCD的邊長是()A．3 B．4 C． D．【答案】C18.（2022浙江麗水，10，3分）如圖，在平面直角坐標系中，過格點A，B，C作一圓弧，點B與下列格點的連線中，能夠與該圓弧相切的是（）A．點(0，3) B．點(2，3) C．點(5，1) D．點(6，1)【答案】C19.（2022臺灣全區(qū)，33）如圖(十五)，為圓O的直徑，在圓O上取異于A、B的一點C，并連接、．若想在上取一點P，使得P與直線BC的距離等于長，判斷下列四個作法何者正確？A．作的中垂線，交于P點B．作∠ACB的角平分線，交于P點C．作∠ABC的角平分線，交于D點，過D作直線BC的并行線，交于P點D．過A作圓O的切線，交直線BC于D點，作∠ADC的角平分線，交于P點【答案】Ｄ20．（2022甘肅蘭州，3，4分）如圖，AB是⊙O的直徑，點D在AB的延長線上，DC切⊙O于點C，若∠A=25°，則∠D等于A．20° B．30° C．40° D．50°AABDOC【答案】C21.（2022四川成都，10,3分）已知⊙O的面積為，若點0到直線的距離為，則直線與⊙O的位置關(guān)系是C(A)相交(B)相切(C)相離(D)無法確定【答案】C22.(2022重慶綦江，7，4分)如圖,PA、PB是⊙O的切線，切點是A、B，已知∠P＝60°，OA＝3，那么∠AOB所對弧的長度為（）A．6лB．5лC．3лD．2л【答案】：D23.（2022湖北黃岡，13，3分）如圖，AB為⊙O的直徑，PD切⊙O于點C，交AB的延長線于D，且CO=CD，則∠PCA=（）A．30° B．45° C．60° D．°CCDAOPB

第13題圖【答案】D24.（2022山東東營，12，3分）如圖，直線與x軸、y分別相交與A、B兩點，圓心P的坐標為（1，0），圓P與y軸相切與點O。若將圓P沿x軸向左移動，當(dāng)圓P與該直線相交時，橫坐標為整數(shù)的點P′的個數(shù)是（）A．2 B．3 C．4 D．【答案】B25.（2022浙江杭州，5，3）在平面直角坐標系xOy中，以點(-3，4)為圓心，4為半徑的圓（）A．與x軸相交，與y軸相切B．與x軸相離，與y軸相交C．與x軸相切，與y軸相交D．與x軸相切，與y軸相離【答案】C26.（2022山東棗莊，7，3分）如圖，是的切線，切點為A，PA=2,∠APO=30°，則的半徑為（）OOPA B.【答案】C二、填空1.（2022貴州畢節(jié)，20，5分）如圖，已知PA、PB分別切⊙O于點A、B，點C在⊙O上，∠BCA＝，則∠P＝。BBCPO·A(第20題)【答案】2.如圖，CB切⊙O于點B，CA交⊙O于點D且AB為⊙O的直徑，點E是上異于點A、D的一點.若∠C=40°，則∠E的度數(shù)為.【答案】403.（2022湖南長沙，18，3分）如圖，P是⊙O的直徑AB延長線上的一點，PC與⊙O相切于點C，若∠P=20°，則∠A=_____°.OODCBA（第18題）P【答案】35°4.（2022貴州遵義，16，4分）如圖，⊙O是邊長為2的等邊△ABC的內(nèi)切圓，則⊙O的半徑為▲?！敬鸢浮?.（2022江蘇徐州，18,3分）已知⊙O的半徑為5，圓心O到直線AB的距離為2，則⊙O上有且只有▲個點到直線AB的距離為3.【答案】36.（2022山東濟南，21，3分）如圖，△ABC為等邊三角形，AB=6，動點O在△ABC的邊上從點A出發(fā)沿A→C→B→A的路線勻速運動一周，速度為1個單位長度每秒，以O(shè)為圓心、為半徑的圓在運動過程中與△ABC的邊第二次相切時是出發(fā)后第_______秒．第21題圖第21題圖【答案】47.（2022內(nèi)蒙古赤峰，15，3分）如圖，直線PA過半圓的圓心O，交半圓于A、B兩點，PC切半圓于點C，已知PC=3，PB=1，則該半圓的半徑為_____________。【答案】48.（2022四川自貢，15，4分）在Rt△ABC中，∠A=30°,直角邊AC=6cm，以C為圓心，3cm為半徑作圓，則⊙C與AB的位置關(guān)系是______________.【答案】相切9.（2022年青海，4,2分）如圖1所示，⊙O的兩條切線PA和PB相交于點P，與⊙O相切于A、B兩點，C是⊙O上的一點，若∠P=700，則∠ACB=?！敬鸢浮?5°圖1圖110．（2022廣西玉林、防港，18，3分）如圖，AB是半圓O的直徑，以O(shè)A為直徑的半圓O′與弦AC交于點D，O′E【答案】①③④11.（2022四川南充市，13，3分）如圖，PA，PB是⊙O是切線，A，B為切點，AC是⊙O的直徑，若∠BAC=25°，則∠P=__________度.【答案】5012.（2022浙江衢州，16,4分）木工師傅可以用角尺測量并計算出圓的半徑.用角尺的較短邊緊靠，并使較長邊與相切于點.假設(shè)角尺的較長邊足夠長，角尺的頂點，較短邊.若讀得長為，則用含的代數(shù)式表示為.（第16題）（第16題）【答案】當(dāng)時，；當(dāng).13.(2022浙江紹興，16，5分)如圖，相距2cm的兩個點在在線上，它們分別以2cm/s和1cm/s的速度在上同時向右平移，當(dāng)點分別平移到點的位置時，半徑為1cm的與半徑為的相切，則點平移到點的所用時間為s.第16題圖第16題圖【答案】14.（2022江蘇蘇州，16,3分）如圖，已知AB是⊙O的一條直徑，延長AB至C點，使得AC=3BC，CD與⊙O相切，切點為D.若CD=，則線段BC的長度等于__________.【答案】115.（2022江蘇宿遷,17,3分）如圖，從⊙O外一點A引圓的切線AB，切點為B，連接AO并延長交圓于點C，連接BC．若∠A＝26°，則∠ACB的度數(shù)為▲．【答案】3216.（2022山東濟寧，13，3分）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，BC=4cm，以點C為圓心，以3cm長為半徑作圓，則⊙C與AB的位置關(guān)系是．第13題第13題【答案】相交17.（2022廣東汕頭，9，4分）如圖，AB與⊙O相切于點B，AO的延長線交⊙O于點，連結(jié)BC.若∠A＝40°，則∠C＝°【答案】18.（2022山東威海，17，3分）如圖①，將一個量角器與一張等腰直角三角形（△ABC）紙片放置成軸對稱圖形，∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足為D，半圓（量角器）的圓心與點D重合，沒得CE＝5cm，將量角器沿DC方向平移2cm，半圓（量角器）恰與△ABC的邊AC、BC相切，如圖②，則AB的長為cm.（精確到0.1cm）圖①（第17）圖②【答案】19.（2022湖北孝感，18，3分）如圖，直徑分別為CD、CE的兩個半圓相切于點C，大半圓M的弦AB與小半圓N相切于點F，且AB∥CD，AB=4，設(shè)、的長分別為x、y，線段ED的長為z，則z（x+y）=.【答案】8π20.（2022廣東省，9，4分）如圖，AB與⊙O相切于點B，AO的延長線交⊙O于點，連結(jié)BC.若∠A＝40°，則∠C＝°【答案】三、解答1.（2022廣東湛江，27,12分）如圖，在中，，點D是AC的中點，且,過點作，使圓心在上，與交于點．（1）求證：直線與相切；（2）若,求的直徑．【答案】（1）證明：連接OD，在中，OA=OD，所以，又因為，所以，所以，即，所以BD與相切；（2）由于AE為直徑，所以,由意可知,又點D是AC的中點，且，所以可得，即的直徑為5.2.（2022廣東珠海，21，9分）（本滿分9分）已知：如圖，銳角三角形ABC內(nèi)接于⊙O，∠ABC=45°；點D是eq\o(⌒,BC)上一點，過點D的切線DE交AC的延長線于點E，且DE∥BC；連結(jié)AD、BD、BE,AD的垂線AF與DC的延長線交于點F.（1）求證：△ABD∽△ADE；（2）記△DAF、△BAE的面積分別為S△DAF、S△BAE，求證：S△DAF＞S△BAE.【答案】證明：（1）連結(jié)OD，∵DE是⊙O的切線，∴OD⊥DE.∵DE∥BC∴OD⊥BC，∴eq\o(⌒,BD)=eq\o(⌒,CD)，∴∠BAD=∠EAD，∵∠BDA=∠BCA,DE∥BC，∴∠BDA=∠DEA.∵∠BAD=∠EAD，∴△ABD∽△ADE.（2）過B作BG⊥AE于G，由（1）得=,即AD2=AB·AE設(shè)△ABE的AE邊上的高為h，則S△ABE=AE·h,h＜AB.由∠ABC=45°，AD⊥AF，∴△ADF為等腰三角形.∴S△ADF=AD2∴S△DAF＞S△BAE..3.（2022黑龍江省哈爾濱市，27，10分）如圖，在平面直角坐標系中，點O是坐標原點，四邊形ABCD為菱形，AB邊在x軸上，點D在y軸上，點A的坐標是（-6,0），AB=10。(1)求點C的坐標；(2)連接BD，點P是線段CD上一動點（點P不與C、D重合），過點P作PE∥BC交BD于點E，過點B作BQ⊥PE交PE的延長線與點Q。設(shè)PC的長為x，PQ的長為y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式（直接寫出自變量x的取值范圍）；(3)在（2）的條件下，連接AQ、AE，當(dāng)x為何值時，S△BQE+S△AQE=S△DEP?并判斷此時以點P為圓心，以5為半徑的⊙P與直線BC的位置關(guān)系，請說明理由?！敬鸢浮拷猓海?）如圖1，過點C作CN⊥x軸，垂足為N，則四邊形DONC為矩形∴ON=CD∵四邊形ABCD是菱形AB=10∴AB=BC=CD=AD=10∴ON=10∵A(－6,0)∴OA=6OD=∴C(10,8)(2)如圖1，過點P作PH⊥BC,垂足為H，則∠PHC=∠AOD=90°∵四邊形ABCD是菱形∴∠PCB=∠DAO∴△PHC∽△DOA∴∴∴PH=∴∵PE∥BCBQ⊥PQ∴∠PQB=∠QBC=∠PHB=90°∴四邊形PQBH為矩形∴PQ=∴（3）如圖2：過點P作PH’⊥BC,垂足為H’,則四邊形PQBH’是矩形∴BQ=PH’=x∵PE∥BC∴∠PED=∠CBD∵CD=CB∴∠CBD=∠CDB∴∠CDB=∠PED∴PE=PD=10-xQE=PQ-PE=x過點D作DG⊥PQ于點G,過點A作AF⊥PQ交PQ的延長線于點F∴∠DGF=∠AFG=90°∵PQ∥BC∴PQ∥AD∴∠ADG=90°∴四邊形AFGD為矩形∴AF=DG∵PQ∥BC∴∠DPG=∠C∵∠DGP=∠PH’C=90°∴△DGP∽△PH’C∴∴AF=DG=(10-x)=8-x∵S△BQE+S△AQE=EQ·BQ+EQ·AF=·x·x+·x(8-x)=xS△DEP,=PE·DG=(10-x)·（8-x）=S△BQE+S△AQE=S△DEP,∴x=（）整理得x2-25x+100=0∴x1=5x2=20∵0<x<10∴x2=20不符合意舍去∴x=5∴x=5時，S△BQE+S△AQE=S△DEP,∵PH’=x=4<5∴⊙P與直線BC相交。4.（2022湖北十堰，23，8分）如圖，AB是半圓O的直徑，點C為半徑OB上一點，過點C作CD⊥AB交半圓O于點D，將△ACD沿AD折疊得到△AED，AE交半圓于點F，連接DF。（1）求證：DE是半圓的切線；（2）連接OD，當(dāng)OC=BC時，判斷四邊形ODFA的形狀，并證明你的結(jié)論?！敬鸢浮孔C明：（1）如圖，連接OD，則OA=OD，∴∠OAD=∠ODA，△AED由△ACD對折得到，所以∠CDA=∠EDA,又CD⊥AB，∴∠CAD+∠CDA=∠ODA+∠EDA=90°，D在半圓O上，∴DE是半圓的切線。（2）四邊形ODFA是菱形。理由：如圖，連接OF，OC=BC=EQ\F(1,2)OB=EQ\F(1,2)OD，在Rt△OCD中，∠ODC=30°，∴∠DOC=60°，∵∠DOC=∠OAD+∠ODA，∴∠OAD=∠ODA=∠FAD=30°。∴OD5.(2022江蘇常州27,9分)在平面直角坐標系xOy中,一次函數(shù)的圖象是直線與x軸、y軸分別相交于A、B兩點.直線過點C(a,0)且與垂直,其中a>0,點P、Q同時從A點出發(fā),其中點P沿射線AB運動,速度為每秒4個單位;點Q沿射線AO運動,速度為每秒5個單位.(1)寫出A點的坐標和AB的長;(2)當(dāng)點P、Q運動了t秒時,以點Q為圓心,PQ為半徑的⊙Q與直線、y軸都相切,求此時a的值.【答案】(1)A(-4,0),AB=5.(2)由意得：AP=4t,AQ=5t,,又∠PAQ=∠QAB,∴△APQ∽△AOB.∴∠APQ=∠AOB=90°?！唿cP在上，∴⊙Q在運動過程中保持與相切。①當(dāng)⊙Q在y軸右側(cè)與y軸相切時，設(shè)與⊙Q相切于F，由△APQ∽△AOB得,∴PQ=6,連接QF，則QF=PQ,△QFC∽△APQ∽△AOB得.∴,,∴QC=,a=OQ+QC=.②當(dāng)⊙Q在y軸左側(cè)與y軸相切時，設(shè)與⊙Q相切于E,由△APQ∽△AOB得,∴PQ=.連接QE，則QE=PQ,由△QEC∽△APQ∽△AOB得，∴，，∴QC=,a=QC-OQ=.∴a的值為和。6.（2022遼寧大連，22,9分）如圖9，AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的切線，切點為C，BE⊥CD，垂足為E，連接AC、BC．（1）△ABC的形狀是______________，理由是_________________；（2）求證：BC平分∠ABE；（3）若∠A＝60°，OA＝2，求CE的長．【答案】（1）直角三角形；直徑所對的圓周角是直角；（2）證明：連接OC∵CD切⊙O于C∴OC⊥CD∵BE⊥CD∴OC∥BE∴∠OCB＝∠EBC∵OC＝∠OB∴∠OCB＝∠OBC∴∠EBC＝∠OBC∴BC平分∠ABE（3）過A做CF⊥AB于F∵AB是⊙O的直徑∴∠ACB＝90°∵∠A＝60°∴∠ABC＝30°∴在Rt△ACF中，∠A＝60°，∴∴∵BC平分∠ABE，CF⊥AB，∵CE⊥BE∴7.（2022陜西，23,8分）如圖，在△ABC中，,⊙O是△ABC的外接圓，過點A作⊙O的切線，交CO的延長線于點P，CP交⊙O于點D．求證：AP=AC；若AC=3，求PC的長．【解】（1）證明：連接AO，則AO⊥PA．∴∠AOC=2∠B=120°．∴∠AOP=60°，∴∠P=30°．又∵OA=OC，∴∠ACP=30°．∴∠P=∠ACP．∴AP=AC．（2）在Rt△PAO中，∠P=30°,PA=3,∴．∴．∵CO=OA=,∴PC=PO+OC=．8.（2022天津，22,8分）已知AB與⊙O相切于點C，OA=OB，OA、OB與⊙O分別交于點D、E.（Ⅰ）如圖①，若⊙O的直徑為8，AB=10，求OA的長（結(jié)果保留根號）；（Ⅱ）如圖②，連接CD、CE，若四邊形ODCE為菱形，求的值.答案：解：（Ⅰ）如圖①，連接OC，則OC=4，∵AB與⊙O相切于點C∴OC⊥AB∴在△OAB中,OA=OB,AB=10AC=AB=5在Rt△COA中,由勾股定理，得OA=(Ⅱ)如圖②，連接OC,則OC=OD∵四邊形ODCE是菱形∴OD=DC∴△ODC為等邊三角形,有∠AOC=60°由（Ⅰ）知∠OCA=90°∴∠A=30°，∴OC=OA∴=9.（2022北京市，20，5分）如圖，在△ABC，AB=AC，以AB為直徑的⊙O分別交AC、BC于點D、E，點F在AC的延長線上，且．（1）求證：直線BF是⊙O的切線；（2）若AB=5，，求BC和BF的長．GG【答案】證明：（1）證明：連結(jié)AE．∵AB是⊙O的直徑，∴∠AEB=90°．∴∠1=∠2=90°．∵AB=AC∴∠1=eq\f(1,2)∠CAB．∴∠CBF=eq\f(1,2)∠CAB，∴∠1=∠CBF∴∠CBF+∠2=90°．即∠ABF=90°∵AB是⊙O的直徑，∴直線BF是⊙O的切線．（2）解：過點C作CG⊥AB于點G．∵sin∠CBF=eq\f(eq\r(,5),5)，∠1=∠CBF，∴sin∠1=eq\f(eq\r(,5),5)∵∠AEB=90°，AB=5，∴BE=AB·sin∠1=eq\r(,5)∵AB=AC，∠AEB=90°，∴BC=2BE=2eq\r(,5)在Rt△ABE中，由勾股定理AE=eq\r(,AB2－BE2)=2eq\r(,5)∴sin∠2=eq\f(2eq\r(,5),5)，cos∠2=eq\f(eq\r(,5),5)．在Rt△CBG中，可求得GC=4，GB=2，∴AG=3．∵GC∥BF∴△AGC∽△ABF．eq\f(GC,BF)=eq\f(AG,AB)．∴BF=eq\f(GC·AB,AG)=eq\f(20,3)10．（2022廣東清遠，22，8分）如圖7，AB是⊙O的直徑，AC與⊙O相切，切點為A，D為⊙O上一點，AD與OC相交于點E，且∠DAB=∠C.（1）求證：OC∥BD；（2）若AO=5，AD=8，求線段CE的長.【答案】解：（1）∵AC與⊙O相切，∴AC⊥AB.∵∠DAB=∠C，∴∠DAB+∠CAE=90°, ∴∠CEA=90°, 即OC⊥AD.又∵AB是⊙O的直徑，∴BD⊥AD.∴OC∥BD.（2）∵∠DAB=∠C，∠CEA=∠ADB=90°,∴△CEA∽△ADB.∴又∵AO=5，AD=8，OC∥BD，∴AE=4，AD=8,BD=6，∴∴11.(2022四川達州，21，6分)如圖，在△ABC中，∠A=90°，∠B=60°，AB=3，點D從點A以每秒1個單位長度的速度向點B運動(點D不與B重合)，過點D作DE∥BC交AC于點E．以DE為直徑作⊙O，并在⊙O內(nèi)作內(nèi)接矩形ADFE，設(shè)點D的運動時間為秒．(1)用含的代數(shù)式表示△DEF的面積S；(2)當(dāng)為何值時，⊙O與直線BC相切?【答案】解：（1）∵DE∥BC，∴∠ADE=∠B=60°在△ADE中，∵∠A=90°∴∵AD=，∴AE=又∵四邊形ADFE是矩形，∴S△DEF=S△ADE=（∴S=（（2）過點O作OG⊥BC于G，過點D作DH⊥BC于H，∵DE∥BC，∴OG=DH，∠DHB=90°在△DBH中，∵∠B=60°，BD=，AD=，AB=3，∴DH=，∴OG=當(dāng)OG=時，⊙O與BC相切，在△ADE中，∵∠A=90°，∠ADE=60°，∴，∵AD=，∴DE=2AD=，∴，∴∴當(dāng)時，⊙O與直線BC相切12.（2022湖南婁底，25,10分）在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，且AD=2，以CD為直徑作⊙O1，交BC于點E，過點E作EF⊥AB于F，建立如圖12所示的平面直角坐標系，已知A，B兩點的坐標分別為A(0，2)，B(2，0).（1）求C，D兩點的坐標.（2）求證：EF為⊙O1的切線.（3）探究：如圖13，線段CD上是否存在點P，使得線段PC的長度與P點到y(tǒng)軸的距離相等？如果存在，請找出P點的坐標；如果不存在，請說明理由.【答案】（1）連結(jié)DE，∵CD是⊙O1的直徑，∴DE⊥BC，∴四邊形ADEO為矩形.∴OE=AD=2，DE=AO=2.在等腰梯形ABCD中，DC=AB.∴CE=BO=2，CO=4.∴C(4，0)，D(2，2).（2）連結(jié)O1E，在⊙O1中，O1E=O1C∠O1EC=∠O1CE，在等腰梯形ABCD中，∠ABC=∠DCB.∴O1E∥AB,又∵EF⊥AB，∴O1E⊥EF.∵E在AB上，∴EF為⊙O1的切線（3）解法一：存在滿足條件的點P.如右圖，過P作PM⊥y軸于M，作PN⊥x軸于N，依意得PC=PM,在矩形OMPN中，ON=PM，設(shè)ON=x，則PM=PC=x，CN=4x，MNPtan∠ABO=MNP∴∠ABO=60，∴∠PCN=∠ABO=60.在Rt△PCN中，cos∠PCN=，即,∴x=.∴PN=CN·tan∠PCN=(4)·=.∴滿足條件的P點的坐標為(，).解法二：存在滿足條件的點P，如右圖，在Rt△AOB中，AB=.過P作PM⊥y軸于M，作PN⊥x軸于N，依意得PC=PM,在矩形OMPN中，ON=PM，設(shè)ON=x，則PM=PC=x，CN=4x，∵∠PCN=∠ABO，∠PCN=∠AOB=90.∴△PNC∽△AOB，∴，即.解得x=.又由△PNC∽△AOB，得，∴PN=.∴滿足條件的P點的坐標為(，).13.（2022浙江義烏，21，8分）如圖，已知⊙O的直徑AB與弦CD互相垂直，垂足為點E.⊙O的切線BF與弦AD的延長線相交于點F，且AD=3，cos∠BCD=.（1）求證：CD∥BF；（2）求⊙O的半徑；（3）求弦CD的長.FFMADOECOCB【答案】（1）∵BF是⊙O的切線∴AB⊥BF∵AB⊥CD∴CD∥BF（2）連結(jié)BD∵AB是直徑∴∠ADB=90°∵∠BCD=∠BADcos∠BCD=∴cos∠BAD=又∵AD=3∴AB=4∴⊙O的半徑為2FFADEOCB（3）∵cos∠DAE=AD=3∴AE=∴ED=∴CD=2ED=eq\f(3eq\r(,7),2)14.（2022福建莆田，21，8分）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90o，O、D分別為AB、BC上的點，經(jīng)過A、D兩點的⊙O分別交AB、AC于點E、F，且D為的中點。（1）（4分）求證：BC與⊙O相切（2）（4分）當(dāng)AD=2，∠CAD=30o時，求的長。【答案】（1）證明：連接OD，則OD=OA∴∠OAD=∠ODA∵∴∠OAD=∠CAD∴∠ODA=∠CAD∴OD（2022廣西南寧，25，10分）如圖11，已知CD是O的直徑，AC⊥CD，垂足為C，弦DE∥OA，直線AE、CD相交于點B．(1)求證：直線AB是OO的切線；(2)如果AC=1，BE=2，求tan∠OAC的值．【答案】證明：如圖，連接OE，∵弦DE∥OA，∴∠COA=∠ODE,∠EOA=∠OED,∵OD=OE,∴∠ODE=∠OED,∴∠COA=∠EOA,又∵OC=OE,OA=OA，∴⊿OAC≌⊿OAE,∴∠OEA=∠OCA=90°,∴OE⊥AB，∴直線AB是OO的切線；由(1)知⊿OAC≌⊿OAE,∴AE=AC=1,AB=1+2=3,在直角⊿ABC中，，∵∠B=∠B,∠BCA=∠BOE，∴⊿BOE∽⊿BAC,∴，∴在直角⊿AOC中，tan∠OAC=.16.（2022廣西梧州，25，10分）如圖，AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的切線，切點為C．延長AB交CD于點E．連接AC，作∠DAC=∠ACD，作AF⊥ED于點F，交⊙O于點G．求證：AD是⊙O的切線；如果⊙O的半徑是6cm，EC=8cm，求GF的長．AAOBECFGD【答案】解：（1）證明：連接OC．∵CD是⊙O的切線，∴∠OCD=90°．∴∠OCA+∠ACD=90°．∵OA=OC，∴∠OCA=∠OAC．∵∠DAC=∠ACD，∴∠0AC+∠CAD=90°．∴∠OAD=90°．∴AD是⊙O的切線．連接BG；∵OC=6cm，EC=8cm，∴在Rt△CEO中，OE=eq\r(,OC2+EC2)=10．∴AE=OE+OA=1．∵AF⊥ED，∴∠AFE=∠OCE=90°，∠E=∠E．∴Rt△AEF∽Rt△OEC．∴eq\f(AF,OC)=eq\f(AE,OE)．即：eq\f(AF,6)=eq\f(16,10)．∴AF=．∵AB是⊙O的直徑，∴∠AGB=90°．∴∠AGB=∠AFE．∵∠BAG=∠EAF，∴Rt△ABG∽Rt△AEF．∴eq\f(AG,AF)=eq\f(AB,AE)．即：eq\f(AG,=eq\f(12,16)．∴AG=．∴GF=AF-AG=．AAOBECFGD17.（2022浙江省舟山，22，10分）如圖，△ABC中，以BC為直徑的圓交AB于點D，∠ACD=∠ABC．（1）求證：CA是圓的切線；（2）若點E是BC上一點，已知BE=6，tan∠ABC=，tan∠AEC=，求圓的直徑．（第（第22題）【答案】（1）∵BC是直徑，∴∠BDC=90°，∴∠ABC+∠DCB=90°，∵∠ACD=∠ABC，∴∠ACD+∠DCB=90°，∴BC⊥CA，∴CA是圓的切線．(2)在Rt△AEC中，tan∠AEC=，∴,;在Rt△ABC中，tan∠ABC=，∴,;∵BC-EC=BE，BE=6，∴,解得AC=,∴BC=．即圓的直徑為10.18.（2022吉林長春，21,6分）如圖，平面直角坐標系中，⊙P與軸交于A、B兩點，點P的坐標為（3，－1），．（1）求⊙P的半徑．（4分）（2）將⊙P向下平移,求⊙P與軸相切時平移的距離．（2分）21題圖21題圖【答案】21.解：（?。┳鱌C⊥AB于點C，由垂徑定理得在Rt△PAC中，由勾股定理得∴PA=2,∴⊙P的半徑為2．(2)將⊙P向下平移,當(dāng)⊙P與軸相切時點P到x軸的距離等于半徑。所以平移的距離為19.（2022江蘇徐州，24,8分）如圖，PA、PB是的⊙O兩條切線，、切點分別A、交AB于點C,OP=13,sin∠APC=.（1）求的⊙O半徑；（2）求弦AB的長.（第24）【答案】解：（1）∵PA是⊙O的切線，∴∠OAP=90°在Rt△OAP中，sin∠APO=又∵OP=13,∴OA=5,即所求半徑為5.（2）在Rt△OAP中，AP=.∵PA、PB是⊙O的切線∴PA=PB,∠APO=∠BPO∴AC=BC=AB,PC⊥AB（三線合一）法一：在Rt△OAP中，sin∠APC=∴AC=AB=2AC=.法二：∵∴PO·AB=2·(PA·OA),故20．（2022遼寧沈陽，21，10分）如圖，點A、B在⊙O上，直線AC是⊙O的切線，OC⊥OB，連接AB交OC于點D（1）求證：AC=CD（2）若AC=2，AO=，求OD的長度AACAOABADA第21題圖【答案】（1）∵AC是⊙O的切線∴OA⊥AC∴∠OAC=90o∴∠OAB＋∠CAB=90o∵OC⊥OB∴∠COB=90o∴∠ODB＋∠B=90o∵AO=OB∴∠OAB=∠B∴∠CAB=∠ODB∴∠ODB=∠ADC∴∠CAB=∠ADC∴AC=CD（2）在Rt△OAC中，OC==3∴OD=OC－CD=OC－AC=3－2=121.（201１四川廣元，23，9分）如圖，AB是⊙O的直徑，BC切⊙O于點B，連接CO并延長，交⊙O于點D、E，連接AD并延長，交BC于點F．（1）試判斷∠CBD與∠CEB是否相等，并證明你的結(jié)論；（2）求證：；（3）若BC＝，求tan∠CDF的值．【答案】證明：（1）∵AB是⊙O的直徑，BC切⊙O于點B，∴∠CBD＝90°－∠OBD．又∵DE過⊙O的圓心，∴∠DBE＝90°，OB＝OD．∴∠CEB＝90°－∠OBD，∠ODB＝∠OBD．∴∠CBD＝∠CEB．（2）∵在△CBD和△CEB中，∠CBD＝∠CEB，∠C＝∠C，∴△CBD∽△CEB．∴．（3）∵△CBD∽△CEB，∴BC2＝CD·CE，即BC2＝CD（CD＋DE）．而DE＝AB，BC＝AB，∴（AB）2＝CD（CD＋AB），即4CD2＋4AB·CD－9AB2＝0．∴CD＝＝．∴CD＝或CD＝（不合意舍去）．又∵∠CDF＝∠ADE＝∠ABE＝∠BED．∴tan∠CDF＝tan∠BED＝．而，BC＝AB，∴tan∠CDF＝＝．22.（2022年銅仁地區(qū)，23，10分）如圖6，AB是⊙O的直徑，BC⊥AB于點B，連接OC交⊙O于點E，弦AD∥OC．(1)求證：；(2)求證：CD是⊙O的切線．圖6圖6【答案】（1）證明：連接OD……….1分∵AD∥OC∴∠DAO=∠COB∠ADO=∠DOC……………….………..2分又∵OA=OD∴∠DAO=∠ADO………………4分∴∠COB=∠COD……………..5分∴=………………………6分（2）由（1）知∠DOE=∠BOE，…………………..7分在△COD和△COB中CO=CO∠DOC=∠BOCOD=OB∴△COD≌△COB…………….…….9分∴∠CDO=∠B…………………….10分又∵BC⊥AB∴∠CDO=∠B=………….…11分即CD是⊙O的切線……………….12分23.(2022云南省昆明市，24，9分)如圖．已知AB是⊙O的直徑，點E在⊙O上，過點E的直線EF與AB的延長線交于點F，AC⊥EF，垂足為C，AE平分∠FAC．(1)求證：CF是⊙O的切線：(2)當(dāng)∠F=30o時，求值．第24題圖第24題圖CABOFE【答案】（1）證明：連結(jié)OE∵OA=OE∴∠OAE=∠OEA∵AE平分∠FAC∴∠OAE=∠CAE∴∠OEA=∠CAE∴OE∥AC又∵AC⊥EF∴∠OEF=∠ACE=90°∴CF是⊙O的切線。（2）解：設(shè)⊙O的半徑為r，由（1）知△FAC與△FOE都是直角三角形，且OE∥AC∴△FAC∽△FOE∵∠F=30o∴FO=2r，∴FA=3r，24.（2022昭通，29，10分）如圖11（1）所示，AB是⊙O的直徑，AC是弦，直線EF和⊙O相爭于點C，AD⊥EF，垂足為D。AAOBCDEFAOBEGCDF（1）（2）圖11（1）求證：∠DAC＝∠BAC;（2）若把直線EF向上平行移動，如圖11（2）所示，EF交⊙O于G、C兩點，若中的其它條件不變，這時與∠DAC相等的角是哪一個？為什么？AAOBCDEFAOBEGCDF【答案】證明：連接OC∵EF與⊙O相切∴OC⊥EF∵AD⊥EF∴AD∥OC∴∠OCA＝∠DAC∵OA＝OC∴∠OCA＝∠BAC∴∠DAC＝∠BAC（2）∠BAG與∠DAC相等，理由如下：連接BC∠B＝∠AGD∵AB是直徑，AD⊥EF∴∠BCA＝∠GDA＝900∴∠B＋∠BAC＝900，∠AGD＋∠DAG＝900∴∠BAC＝∠DAG∴∠BAC－∠CAG＝∠DAG－∠CAG即∠BAG＝∠DAC25.（2022內(nèi)蒙古包頭，25，12分）如圖9，已知∠ABC=90°，AB=BC，直線l與以BC為直徑的圓O相切于點C，點F是圓O上異于B、C的動點，直線BF與l相交于點E，過點F作AF的垂線交直線BC于點D．（1）如果BE=15，CE=9，求EF的長；（2）證明：①△CDF∽△BAF；②CD=CE（3）探求動點F在什么位置時，相應(yīng)的點D位于線段BC的延長線上，且使BC=CD，請說明你的理由．ABABCEFO·lD圖9【解】（1）∵直線l是⊙O的切線，∴∠BCF=90°又∵BC是直徑，∴∠BFC=∠CFE=90°∴Rt△CEF∽Rt△BEC∴，即EF=（2）證明：①∵∠FCB+FBC=90°，∠ABF+∠FBC=90°∴∠FCB=∠ABF，同理∠AFB=∠CFD∴△CDF∽△BAF②∵△CDF∽△BAF，∴，又∵△CEF∽△BCF，∴∴，又∵AB=BC，∴CE=CD．（3）如圖∵CE=CD，∴BC=CD=CE，在Rt△BCE中，tan∠CBE=∴∠CBE=30°故為60°，∴F在⊙O的下半圓上，且．AABOFCDEl26.（2022吉林長春，21，6分）如圖，平面直角坐標系中，⊙P與軸交于A、B兩點，點P的坐標為（3，－1），．（1）求⊙P的半徑．（4分）（2）將⊙P向下平移,求⊙P與軸相切時平移的距離．（2分）21題圖21題圖【答案】21.解：（！）作PC⊥AB于點C，由垂徑定理得在Rt△PAC中，由勾股定理得∴PA=2,∴⊙P的半徑為2．(2)將⊙P向下平移,當(dāng)⊙P與軸相切時點P到x軸的距離等于半徑．所以平移的距離為27.（2022四川自貢，26，12分）如圖，在平面直角坐標系中，半徑為1的⊙B經(jīng)過坐標原點O，且與軸、軸分別交于A、C兩點，過O作⊙B的切線與AC的延長線交于點D.已知點A的坐標為.（1）求sin∠CAO的值；（2）若反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點D，求該反比例函數(shù)的解析式.【答案】（1）∵A∴又AC=2∴OC=1∴sin∠CAO=（2）如圖，過D點作DE⊥AO于E，連結(jié)OB由（1）知sin∠CAO=∴∴∴∵DO是⊙B的切線∴∵BO=1∴OD＝又∵∴∴D∴∴28.(2022四川雅安24，10分)如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑作⊙O，交BC于點D，過點D作DE⊥AC，垂足為E。（1）求證：DE是⊙O的切線；（2）如果BC=8，AB=5，求CE的長?！敬鸢浮浚?）證明：連接OD∵OD=OB∴∠B=∠BDO∵DE⊥AC∴∠CED=900∴∠C+∠CDE=900又∵AB=AC∴∠B=∠C=∠BDO∴∠BDO+∠CDE=900∴∠ODE=900∴DE是⊙O的切線（2）∵OD⊥DE，DE⊥AC∴OD∥AC又∵OA=OB∴CD=BD=BC=4在Rt△ABD中由勾股定理得AD=3∵∠CDA=∠CED=900∠C=∠C∴△CDA∽△CED∴=∴CE===29.(2022山東淄博，21，9分)已知：△ABC是邊長為4的等邊三角形，點O在邊AB上，⊙O過點B且分別與邊AB，BC相交于點D，E，EF⊥AC，垂足為F.（1）求證：直線EF是⊙O的切線；（2）當(dāng)直線DF與⊙O相切時，求⊙O的半徑.【答案】（1）證明：連接OE，則OB=OE．∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC=∠C=60°.∴△OBE是等邊三角形.∴∠OEB=∠C=60°.∴OE∥AC．∵EF⊥AC，∴∠EFC=90°．∴∠OEF=∠EFC=90°．∴EF是⊙O的切線．（2）連接DF,∵DF是⊙O的切線，∴∠ADF=90°．設(shè)⊙O的半徑為r，則BE=r，EC=，AD=．在Rt△ADF中，∵∠A=60°，∴AF=2AD=．∴FC=．在Rt△CEF中∵∠C=60°，∴EC=2FC∴=2（）．解得．∴⊙O的半徑是．30.（2022年青海，25,7分）已知：如圖8，AB是⊙O的直徑，AC是弦，直線EF是過點C的⊙O的切線，AD⊥EF于點D.（1）求證：∠BAC=∠CAD（2）若∠B=30°，AB=12，求eq\o(⌒,AC)的長.【答案】證法一：連接OC∵EF是過點C的⊙O的切線?！郞C⊥EF又AD⊥EF∴OC∥AD∴∠OCA=∠CAD又∵OA=OC∴∠OCA=∠BAC∴∠BAC=∠CAD證法二：連接OC∵EF是過點C的⊙O的切線?！郞C⊥EF∴∠OCA+∠ACD=90°∵AD⊥EF∴∠CAD+∠ACD=90°∴∠OCA=∠CAD∵OA=OC,∴∠OCA=∠BAC∴∠BAC=∠CAD(2)∵∠B=30°∴∠AOC=60°∵AB=12∴∴l(xiāng)eq\o(⌒,AC)=eq\f(60π·6,180)=2π31.（2022廣西崇左，24，14分）（本小滿分14分）如圖，在邊長為8的正方形ABCD中，點O為AD上一動點（4＜OA＜8），以O(shè)為圓心，OA的長為半徑的圓交邊CD于點M，連接OM，過點M作圓O的切線交邊BC于點N.求證：△ODM∽△MCN；設(shè)DM=x，求OA的長（用含x的代數(shù)式表示）；在點O運動的過程中，設(shè)△CMN的周長為p，試用含x的代數(shù)式表示p，你能發(fā)現(xiàn)怎樣的結(jié)論？【答案】（1）證明：∵MN為切線，∴OM⊥MN，∴∠NMC=90°-∠OMD=∠DOM，∴Rt△DOM∽Rt△CMN.（2）設(shè)OA=y，Rt△ODM中，DM2=OM2-DO2=OA2-DO2,即x2=y2-(8-y)2,解得OA=y=（3）由（1）知△DOM∽△CMN，相似比為，故p=.故p為定值16.32.（2022廣西柳州,25,10分）如圖，已知AB是⊙O的直徑，銳角∠DAB的平分線AC交⊙O于點C，作CD⊥AD，垂足為點D，直線CD于AB的延長線交于點E。求證：直線CD為的切線。（2）當(dāng)AB=2BE，且CE=時，求AD的長?！敬鸢浮浚鹤C明：（1）（方法一）連結(jié)OC，∵AC平分∠DAB∴∠1=∠2∵OA=OC∴∠2=∠3∴∠1=∠3∴AD∥OC∵CD⊥AD∴CD⊥OC∴直線CD為⊙O的切線。（方法二）連結(jié)OC，∵AC平分∠DAB∴∠1=∠2∵OA=OC∴∠2=∠3∴∠1=∠3∵CD⊥AD∴∠1+∠4=90°∴∠3+∠4=90°∴CD⊥OC∴直線CD為⊙O的切線。（方法一）設(shè)OC為x，則AB=2x,∵AB=2BE∴OE=2OC=2X在Rt△EOC中，勾股定理得：CE=x又∵CE=∴x=1即OC=1∵AD∥OC（已證）∴△AED∽△OEC∴即∴AD=。（方法二）∵AB=2BE∴OE=2OC在Rt△EOC中，sinE==∴∠E=30°∴OC=CE·tan∠E=×=1在Rt△AED中，∵∠E=30°∴AD=AE=×3OC=33.（2022廣西玉林、防港，22，8分）如圖，△OAB的底邊AB經(jīng)過⊙O上的點C，且OA=OB，CA=CB，⊙O與OA、OB分別交于D、E兩點.（1）求證：AB是⊙O的切線.（2）若D為OA的中點，陰影部分的面積為，求⊙O的半徑r.【答案】證明：（1）連接OC，∵OA=OB，AC=CB，∴OC⊥AB，∴AB是⊙O的切線（2）解：OC=r,OA=2r,由（1）得：∠OCA=90o，∴AC==，∴∠A=30o，∴∠AOC=60o，∴∠AOB=2×60o=120o∴S陰=S△AOB-S扇形ODE=∴=，∴r2=1,∵r>0,∴r=1.34.（本滿分10分）（2022廣西百色，26,10分）已知AB為⊙O直徑，以ＯＡ為直徑作⊙M。過B作⊙M得切線BC，切點為C，交⊙O于E。（1）在圖中過點B作⊙M作另一條切線BD，切點為點D（用尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法，不用證明）；（2）證明：∠EAC=∠OCB；（3）若AB=4，在圖2中過O作OP⊥AB交⊙O于P，交⊙M的切線BD于N，求BN的值。【答案】（1）以MB為直徑作圓，與⊙M相交于點D，直線BD即為另一條切線。（2）證明：∵BC切圓與點C，所以有∠OCB=∠OAC，∠ECA=∠COA；∵OA、AB分別為⊙M、⊙O的直徑∴∠AEC=∠ACO=90°，∵∠EAC+∠ECA=90°，∠OAC+∠COA=90°，∴∠EAC=∠OAC=OCB（3）連結(jié)DM，則∠BDM=90°在Rt△BDM中，BD=.∵△BON∽△BDM∴∴∴BN=。35（2022安徽蕪湖，23，12分）如圖，已知直線交⊙O于A、B兩點，AE是⊙O的直徑,點C為⊙O上一點，且AC平分∠PAE，過C作，垂足為D.(1)求證：CD為⊙O的切線；(2)若DC+DA=6，⊙O的直徑為10，求AB的長度.【答案】（1）證明：連接OC，……1分因為點C在⊙O上，OA=OC，所以因為，所以，有.因為AC平分∠PAE，所以……………3分所以……4分又因為點C在⊙O上，OC為⊙O的半徑，所以CD為⊙O的切線.………………5分（2）解:過O作，垂足為F，所以，所以四邊形OCDF為矩形，所以……………7分因為DC+DA=6，設(shè),則因為⊙O的直徑為10，所以，所以.在中，由勾股定理知即化簡得，解得或x=9.………………9分由，知，故.………10分從而AD=2，…11分因為，由垂徑定理知F為AB的中點，所以…………12分36.（2022新疆維吾爾自治區(qū)，新疆生產(chǎn)建設(shè)兵團，22，8分）（8分）如圖，在Rt△ABC中，AB=3，BC=4,圓心O在AC上，⊙O與BC相切于點D,求⊙O的半徑．第22題圖第22題圖【答案】解：設(shè)所求半徑為R,連接OD.∵BC切圓0于點D，∴OD⊥BC………………1′在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∴AB⊥BC∴AB∥OD，∴△CDO∽△CBA…………………4′∴,即而………6′又∴解得：……………………8′37.（2022湖南岳陽，23,8分）已知⊙O的直徑AB的長為4cm，C是⊙O上一點，∠BAC=30°，過點C作⊙O的切線交AB的延長線于點P，求BP的長．AABCPO（第23題圖）【答案】BP=2cm38.（2022貴州黔南，24，12分）如圖，點A,B,C,D在⊙O上，AB=AC,AD與BC相交于點E,AE=ED,延長DB到點F,使FB=BD,連接AF。（1）證明△BDE∽△FDA；（2）試判斷直線AF與⊙O的位置關(guān)系，并給出證明。AAFBODCE【答案】（1）∵AE=ED,FB=BD,∴,∴BE∥FA,∴△BDE∽△FDA；（2）直線AF與⊙O相切。理由：連接OA,∵OA=OB,∴∠OBA=∠OAB,∵BE∥FA,∴∠FAB=∠ABC,∵AB=AC,∴∠ABC=∠C,∵∠D=∠C,∴∠FAB=∠D.∵BD是⊙O直徑，∴∠BAD=900,∴∠OBA+∠D=900,∴∠FAB+∠OAB=900,∴直線AF與⊙O相切。39.（2022遼寧本溪，22，10分）如圖，⊙O的直徑AB與弦CD（不是直徑）相交于點E，且CE＝DE，過點B作CD的平行線交AD的延長線于點F．（1）求證：BF是⊙O的切線；（2）連接BC，若⊙O的半徑為4，sin∠BCD＝，求CD的長．OOEACDBF22題圖【答案】（1）證明：∵AB是⊙O的直徑，CE＝DE∴AB⊥CD∴∠AED＝90°∵CD∥BF∴∠ABF＝∠AED＝90°∴BF是⊙O的切線（2）連接BD∵AB是⊙O的直徑∴∠ABD＝90°∴BD＝AB·sin∠BAD＝AB·sin∠BCD＝8×＝6∴AD＝＝2∵S△ABD＝AB·DE＝AD·BD∴DE＝＝∴CD＝2DE＝340.（2022青海西寧，26，10分）已知：如圖，BD為⊙O的直徑，AB=AC，AD交BC于E，AE=2，ED=4．ABBACADEFABBACADEFO圖16（2）求AB的長；（3）延長DB到F，使BF=OB，連接FA，試判斷直線FA與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由．【答案】（1）證明：∵在⊙O中，AB=AC，∴eq\o(⌒,AB)=eq\o(⌒,AC)（在同圓或等圓中，相等的弦所對的弧相等）．∴∠ABC=∠D（相等的弧所對的圓周角相等）．∵∠BAD=∠BAE，∴△ABE∽△ADB（如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應(yīng)相等，那么這兩個三角形相似）．（2）解：∵△ABE∽△ADB，∴eq\f(AB,AD)=eq\f(AE,AB)．∵AE=2，ED=4，∴AB=2eq\r(,3)．（3）直線FA與⊙O相切．證明：連接AO．∵BD為⊙O直徑，∴∠BAD=90°（直徑所對的圓周角是直角）．∴在Rt△ABD中，AB2+AD2=BD2．∴BD=4eq\r(,3)．∴OB=2eq\r(,3)．∵BF=OB，AB=2eq\r(,3)，∴AB=OB=BF．∴∠FAO=90°（如果一個三角形一邊上的中線等于這條邊的一半，那么這個三角形是直角三角形）．∵OA為半徑，∴AF為⊙O的切線（經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線）．41.（2022浙江省嘉興，22，12分）如圖，△ABC中，以BC為直徑的圓交AB于點D，∠ACD=∠ABC．（1）求證：CA是圓的切線；（2）若點E是BC上一點，已知BE=6，tan∠ABC=，tan∠AEC=，求圓的直徑．（第（第22題）【答案】（1）∵BC是直徑，∴∠BDC=90°，∴∠ABC+∠DCB=90°，∵∠ACD=∠ABC，∴∠ACD+∠DCB=90°，∴BC⊥CA，∴CA是圓的切線．(2)在Rt△AEC中，tan∠AEC=，∴,;在Rt△ABC中，tan∠ABC=，∴,;∵BC-EC=BE，BE=6，∴,解得AC=,∴BC=．即圓的直徑為10.42．（2022山東濟寧，20，7分）如圖，AB是⊙O的直徑，AM和BN是它的兩條切線，DE切⊙O于點E，交AM于點D，交BN于點C，F(xiàn)是CD的中點，連接OF，（1）求證：OD∥BE；（2）猜想：OF與CD有何數(shù)量關(guān)系？并說明理由．第20題第20題【答案】（1）證明：連接OE，∵AM、DE是⊙O的切線，OA、OE是⊙O的半徑，∴∠ADO=∠EDO，∠DAO=∠DEO=90°，∴∠AOD=∠EOD=∠AOE，∵∠ABE=∠AOE，∴∠AOD=∠ABE，∴OD∥BE（2）OF=CD，理由：連接OC，∵BC、CE是⊙O的切線，∴∠OCB=∠OCE∵AM∥BN，∴∠ADO+∠EDO+∠OCB+∠OCE=180°由（1）得∠ADO=∠EDO，∴2∠EDO+2∠OCE=180°，即∠EDO+∠OCE=90°在Rt△DOC中，∵F是DC的中點，∴OF=CD．第20題第20題43.（2022山東聊城，23，8分）如圖，AB是半圓的直徑，點O是圓心，點C是OA的中點，CD⊥OA交半圓于點D，點E是的中點，連接OD、AE，過點D作DP∥AE交BA的延長線于點P，（1）求∠AOD的度數(shù)；（2）求證：PD是半圓O的切線；【答案】（1）∵點C是OA的中點，∴OC＝OA＝OD，∵CD⊥OA，∴∠OCD＝90°，在Rt△OCD中，cos∠COD＝，∴∠COD＝60°，即∠AOD＝60°，（2）證明：連接OC，點E是BD弧的中點，DE?。紹E弧，∴∠BOE＝∠DOE＝∠DOB＝(180°－∠COD)＝60°，∵OA＝OE，∴∠EAO＝∠AEO，又∠EAO＋∠AEO＝∠EOB＝60°，∴∠EAO＝30°，∵PD∥AE，∴∠P＝∠EAO＝30°，由（1）知∠AOD＝60°，∴∠PDO＝180°－(∠P＋∠POD)＝180°－(30°＋60°)＝90°，∴PD是圓O的切線44.（2022山東濰坊，23，11分）如圖，AB是半圓O的直徑，AB=2.射線AM、BN為半圓的切線.在AM上取一點D，連接BD交半圓于點C，連接AC.過O點作BC的垂線OE，垂足為點E，與BN相交于點F.過D點做半圓的切線DP，切點為P，與BN相交于點Q.（1）求證：△ABC∽ΔOFB；（2）當(dāng)ΔABD與△BFO的面積相等時，求BQ的長；（3）求證：當(dāng)D在AM上移動時（A點除外），點Q始終是線段BF的中點.【解】（1）證明：∵AB為直徑，∴∠ACB=90°，即AC⊥BC.又∵OE⊥BC，∴OE∵BN是半圓的切線，故∠BCA=∠OBF=90°.∴△ACB∽△OBF.（2）由△ACB∽△OBF，得∠OFB=∠DBA，∠DAB=∠OBF=90°，∴△ABD∽△BFO，當(dāng)△ABD與△BFO的面積相等時，△ABD≌△BFO.∴AD=BO=AB=1.∵DA⊥AB，∴DA為⊙O的切線.連接OP，∵DP是半圓O的切線，∴DA=DP=1，∴DA=AO=OP=DP=1，∴四邊形ADPO為正方形.∴DP∴BQ=AD=1. （3）由（2）知，△ABD∽△BFO，∴，∴.∵DPQ是半圓O的切線，∴AD=DP，QB=QP.過點Q作AM的垂線QK，垂足為K，在Rt△DQK中，，∴，∴，∴BF=2BQ，∴Q為BF的中點.45.（2022四川廣安，29，10分）如圖8所示．P是⊙O外一點．PA是⊙O的切線．A是切點．B是⊙O上一點．且PA=PB，連接AO、BO、AB，并延長BO與切線PA相交于點Q．（1）求證：PB是⊙O的切線；（2）求證：AQ?PQ=OQ?BQ；（3）設(shè)∠AOQ=．若cos=．OQ=15．求AB的長__Q_P_O_B_A圖8【答案】（1）證明：如圖，連結(jié)OP∵PA=PB，AO=BO，PO=PO∴△APO≌△BPO∴∠PBO=∠PAO=90°∴PB是⊙O的切線（2）證明：∵∠OAQ=∠PBQ=90°∴△QPB∽QOA∴即AQ?PQ=OQ?BQ（3）解：cos==∴AO=12∵△QPB∽QOA∠BPQ=∠AOQ=∴tan∠BPQ==∴PB=36PO=12∵AB?PO=OB?BP∴AB=__Q_P_O_B_A圖846.（2022江蘇淮安，25，10分）如圖，AD是⊙O的弦，AB經(jīng)過圓心O，交⊙O于點C，∠DAB=∠B=30°.(1)直線BD是否與⊙O相切？為什么？(2)連接CD，若CD=5，求AB的長.【答案】(1)答：直線BD與⊙O相切.理由如下：如圖，連接OD，∵∠ODA=∠DAB=∠B=30°，∴∠ODB=180°-∠ODA-∠DAB-∠B=180°-30°-30°-30°=90°，即OD⊥BD，∴直線BD與⊙O相切.(2)解：由（1）知，∠ODA=∠DAB=30°，∴∠DOB=∠ODA+∠DAB=60°，又∵OC=OD，∴△DOB是等邊三角形，∴OA=OD=CD=5.又∵∠B=30°，∠ODB=30°，∴OB=2OD=10.∴AB=OA+OB=5+10=15.47.（2022江蘇南通，22，8分）（本小滿分8分）如圖，AM為⊙O的切線，A為切點，BD⊥AM于點D，BD交⊙O于C，OC平分∠AOB.求∠B的度數(shù).【答案】60°.48.（2022四川綿陽22，12）如圖，在梯形ABCD中，AB(1)求證：OB丄OC;(2)若AD=12，∠BCD=60°，⊙O1與半⊙O外切，并與BC、CD相切，求⊙O1的面積.【答案】（1）證明：連接OF,在梯形ABCD，在直角△AOB和直角△AOBF中∵EQ\B\lc\{(\a\al(AO=FO,OB=OB,))∴△AOB≌△AOB（HL）同理△COD≌△COF,∴∠BOC=90°，即OB⊥OC(2)過點做O1G,O1H垂直DC,DA,∵∠DOB=60°，∴∠DCO=∠BCO=30°，設(shè)O1G=x,又∵AD=12,∴OD=6，DC=6EQ\r(,3),OC=12,CG=EQ\r(,3)x,O1C=6-x,根據(jù)勾股定理可知O1G2+GC2=O1C2x2+3x2=（6-x）2∴(x-2)(x+6)=0,x=249.（2022四川樂山24，10分）如圖，D為O上一點，點C在直徑BA的延長線上，且∠CDA=∠CBD.(1)求證:CD是⊙O的切線;(2)過點B作O的切線交CD的延長線于點E,若BC=6,tan∠CDA=,求BE的長【答案】⑴證明：連接OD∵OA=OD∴∠ADO=∠OAD∵AB為⊙O的直徑，∴∠ADO+∠BDO=90°∴在RtΔABD中，∠ABD+∠BAD=90°∵∠CDA=∠CBD∴∠CDA+∠ADO=90°∴OD⊥CE即CE為⊙O的切線50.（2022四川涼山州，27，8分）如圖，已知，以為直徑，為圓心的半圓交于點，點為的中點，連接交于點，為的角平分線，且，垂足為點。求證：是半圓的切線；若，，求的長。BBDAOAHACAEAMAFAA27題圖【答案】⑴證明：連接，∵是直徑∴有∵于∴∵∴∵是的角平分線∴又∵為的中點∴∵于∵即又∵是直徑∴是半圓的切線···4分（2）∵，。由（1）知，，∴。在中，于，平分，∴，∴。由∽，得?！?，∴。51.（2022江蘇無錫，27，10分）(本滿分10分)如圖，已知O(0，0)、A(4，0)、B(4，3)。動點P從O點出發(fā)，以每秒3個單位的速度，沿△OAB的邊OA、AB、BO作勻速運動；動直線l從AB位置出發(fā)，以每秒1個單位的速度向x軸負方向作勻速平移運動。若它們同時出發(fā)，運動的時間為t秒，當(dāng)點P運動到O時，它們都停止運動。(1)當(dāng)P在線段OA上運動時，求直線l與以點P為圓心、1為半徑的圓相交時t的取值范圍；(2)當(dāng)P在線段AB上運動時，設(shè)直線l分別與OA、OB交于C、D，試問：四邊形CPBD是否可能為菱形？若能，求出此時t的值；若不能，請說明理由，并說明如何改變直線l的出發(fā)時間，使得四邊形CPBD會是菱形。yyOxAB【答案】解：(1)當(dāng)點P在線段OA上時，P(3t，0)，…………(1分)⊙P與x軸的兩交點坐標分別為(3t?1，0)、(3t+1，0)，直線l為x=4?t，若直線l與⊙P相交，則eq\b\lc\{(\a\al(3t?1<4?t，,4?t<3t+1．))……………(3分)解得：eq\f(3,4)<t<eq\f(5,4