第三章(3.2-Runge-Kutta-積分法)

3.2Runge-Kutta

積分法

基本思想：用幾個(gè)點(diǎn)上的的一階導(dǎo)函數(shù)值的線性組合來近似代替在某一點(diǎn)的各階導(dǎo)數(shù)，用Taylor級(jí)數(shù)展開式確定線性組合中各加權(quán)系數(shù)。既可避免計(jì)算高階導(dǎo)數(shù)，又可提高數(shù)值積分的精度，這就是Runge-Kutta法的基本思想。

3.2.1Runge-Kutta

數(shù)值積分公式的推導(dǎo)考慮如下一階微分方程假定是(3.12)式的解析解。將展成Taylor級(jí)數(shù)其中于是

其中

為了避免計(jì)算等導(dǎo)數(shù)項(xiàng)，將寫成如下線性組合形式

其中稱為階數(shù)，待定系數(shù)，由下式?jīng)Q定

且定義

下面針對(duì)r的取值進(jìn)行討論。

(1),此時(shí),式(3.15)成為取即得一階RK公式，它就是Euler公式。換句話說，Euler公式是RK公式的特例。(2)

由(3.16)知

將在點(diǎn)展成Taylor級(jí)數(shù)將(3.19)代入到(3,18)，然后再將(3.18)代入(3.15)，得

將(3.20)與(3.14)逐項(xiàng)進(jìn)行比較，令其對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)相等，可得

(3.21)是一個(gè)不定方程組，它有無窮多個(gè)解。

取,可得取可得取可得

式(3.24)正好是改進(jìn)Euler公式。(3)

按前面的推導(dǎo)方法可得常用的3階Runge-Kutta公式

(4)

可得4階Rung-Kutta公式(簡稱RK4公式)如下

稱為第個(gè)Runge-Kutta系數(shù)。RK法的特點(diǎn)：

1需要存儲(chǔ)的數(shù)據(jù)少，占用的存儲(chǔ)空間少；2只需知道初值，即可啟動(dòng)遞推公式進(jìn)行計(jì)算，可自啟動(dòng)；容易實(shí)現(xiàn)變步長運(yùn)算。4每積分一步需要計(jì)算多次右函數(shù)，計(jì)算量大。3.2.2四階Runge-Kutta法的向量公式

對(duì)于高階系統(tǒng)：用向量形式表示階動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的微分方程或狀態(tài)方程。其中是維狀態(tài)向量；是

維向量函數(shù)，而四階Ruung-Kutta的向量表示為

其中是微分方程組中的第個(gè)方程的第個(gè)RK系數(shù)。為了應(yīng)用上的方便，將(3.28)具體列寫如下：

其中為系統(tǒng)階數(shù)，為遞推下標(biāo)。例3.2

已知系統(tǒng)方程取步長，計(jì)算時(shí)的的值解：狀態(tài)方程

（1）所有變量（方程