高中化高三大題練習解題8概率與統(tǒng)計第39練隨機變量及其分布列

高中化學教學同步課件專題8概率與統(tǒng)計第39練隨機變量及其分布列題型分析·高考展望隨機變量及其分布列是高考的一個必考熱點，主要包括離散型隨機變量及其分布列，期望與方差，二項分布及其應用和正態(tài)分布.對本部分知識的考查，一是以實際生活為背景求解離散型隨機變量的分布列和期望；二是獨立事件概率的求解；三是考查二項分布.?？碱}型精析高考題型精練題型一條件概率與相互獨立事件的概率題型二離散型隨機變量的期望和方差題型三二項分布問題常考題型精析題型一條件概率與相互獨立事件的概率例1

(1)(2014·課標全國Ⅱ)某地區(qū)空氣質量監(jiān)測資料表明，一天的空氣質量為優(yōu)良的概率是0.75，連續(xù)兩天為優(yōu)良的概率是0.6，已知某天的空氣質量為優(yōu)良，則隨后一天的空氣質量為優(yōu)良的概率是(

)A.0.8

B.0.75C.0.6

D.0.45解析已知連續(xù)兩天為優(yōu)良的概率是0.6，那么在前一天空氣質量為優(yōu)良的前提下，要求隨后一天的空氣質量為優(yōu)良的概率，答案A(2)(2014·山東)乒乓球臺面被球網分隔成甲、乙兩部分，如圖，甲上有兩個不相交的區(qū)域A，B，乙被劃分為兩個不相交的區(qū)域C，D.某次測試要求隊員接到落點在甲上的來球后向乙回球.規(guī)定：回球一次，落點在C上記3分，在D上記1分，其他情況記0分.對落點在A上的來球，隊員小明回球的落點在C上的概率為

，在D上的概率為

；對落點在B上的來球，小明回球的落點在C上的概率為

，在D上的概率為

.假設共有兩次來球且落在A，B上各一次，小明的兩次回球互不影響.求：①小明兩次回球的落點中恰有一次的落點在乙上的概率；解記Ai為事件“小明對落點在A上的來球回球的得分為i分”(i＝0,1,3)，記Bj為事件“小明對落點在B上的來球回球的得分為j分”(j＝0,1,3)，記D為事件“小明兩次回球的落點中恰有1次的落點在乙上”.由題意，D＝A3B0＋A1B0＋A0B1＋A0B3，由事件的獨立性和互斥性，得P(D)＝P(A3B0＋A1B0＋A0B1＋A0B3)＝P(A3B0)＋P(A1B0)＋P(A0B1)＋P(A0B3)＝P(A3)P(B0)＋P(A1)P(B0)＋P(A0)P(B1)＋P(A0)P(B3)②兩次回球結束后，小明得分之和ξ的分布列與數學期望.解由題意，隨機變量ξ可能的取值為0,1,2,3,4,6，由事件的獨立性和互斥性，得P(ξ＝1)＝P(A1B0＋A0B1)＝P(A1B0)＋P(A0B1)P(ξ＝3)＝P(A3B0＋A0B3)＝P(A3B0)＋P(A0B3)P(ξ＝4)＝P(A3B1＋A1B3)＝P(A3B1)＋P(A1B3)可得隨機變量ξ的分布列為點評(1)利用定義，分別求P(A)和P(AB)，得P(B|A)＝這是通用的求條件概率的方法.(2)借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件數n(A)，再在事件A發(fā)生的條件下求事件B包含的基本事件數，即n(AB)，得P(B|A)＝

..(3)相互獨立事件的概率通常和互斥事件的概率綜合在一起考查，這類問題具有一個明顯的特征，那就是在題目的條件中已經出現一些概率值，解題時先要判斷事件的性質(是互斥還是相互獨立)，再選擇相應的公式計算求解.變式訓練1

(1)從1,2,3,4,5中任取2個不同的數，事件A＝“取到的2個數之和為偶數”，事件B＝“取到的2個數均為偶數”，則P(B|A)等于(

)B(2)(2014·陜西)在一塊耕地上種植一種作物，每季種植成本為1000元，此作物的市場價格和這塊地上的產量均具有隨機性，且互不影響，其具體情況如下表：作物產量(kg)300500概率0.50.5作物市場價格(元/kg)610概率0.40.6①設X表示在這塊地上種植1季此作物的利潤，求X的分布列；解設A表示事件“作物產量為300kg”，B表示事件“作物市場價格為6元/kg”，由題設知P(A)＝0.5，P(B)＝0.4，∵利潤＝產量×市場價格－成本.∴X所有可能的取值為500×10－1000＝4000,500×6－1000＝2000，300×10－1000＝2000,300×6－1000＝800.＝(1－0.5)×0.4＋0.5×(1－0.4)＝0.5，P(X＝800)＝P(A)P(B)＝0.5×0.4＝0.2，所以X的分布列為X40002000800P0.30.50.2②若在這塊地上連續(xù)3季種植此作物，求這3季中至少有2季的利潤不少于2000元的概率.解

設Ci表示事件“第i季利潤不少于2000元”(i＝1,2,3)，由題意知C1，C2，C3相互獨立，由①知，P(Ci)＝P(X＝4000)＋P(X＝2000)＝0.3＋0.5＝0.8(i＝1,2,3)，3季的利潤均不少于2000元的概率為P(C1C2C3)＝P(C1)P(C2)P(C3)＝0.83＝0.512；3季中有2季的利潤不少于2000元的概率為所以，這3季中至少有2季的利潤不少于2000元的概率為0.512＋0.384＝0.896.題型二離散型隨機變量的期望和方差例2

(2015·山東)若n是一個三位正整數，且n的個位數字大于十位數字，十位數字大于百位數字，則稱n為“三位遞增數”(如137,359,567等).在某次數學趣味活動中，每位參加者需從所有的“三位遞增數”中隨機抽取1個數，且只能抽取一次.得分規(guī)則如下：若抽取的“三位遞增數”的三個數字之積不能被5整除，參加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得－1分；若能被10整除，得1分.(1)寫出所有個位數字是5的“三位遞增數”

；解個位數是5的“三位遞增數”有125,135,145,235,245,345；(2)若甲參加活動，求甲得分X的分布列和數學期望E(X).隨機變量X的取值為：0，－1,1，所以X的分布列為點評離散型隨機變量的期望和方差的求解，一般分兩步：一是定型，即先判斷隨機變量的分布是特殊類型，還是一般類型，如兩點分布、二項分布、超幾何分布等屬于特殊類型；二是定性，對于特殊類型的期望和方差可以直接代入相應公式求解，而對于一般類型的隨機變量，應先求其分布列然后代入相應公式計算，注意離散型隨機變量的取值與概率間的對應.變式訓練2

(2014·遼寧)一家面包房根據以往某種面包的銷售記錄，繪制了日銷售量的頻率分布直方圖，如圖所示.將日銷售量落入各組的頻率視為概率，并假設每天的銷售量相互獨立.(1)求在未來連續(xù)3天里，有連續(xù)2天的日銷售量都不低于100個且另1天的日銷售量低于50個的概率；解設A1表示事件“日銷售量不低于100個”，A2表示事件“日銷售量低于50個”，B表示事件“在未來連續(xù)3天里有連續(xù)2天的日銷售量不低于100個且另一天銷售量低于50個”.因此P(A1)＝(0.006＋0.004＋0.002)×50＝0.6，P(A2)＝0.003×50＝0.15，P(B)＝0.6×0.6×0.15×2＝0.108.(2)用X表示在未來3天里日銷售量不低于100個的天數，求隨機變量X的分布列，期望E(X)及方差D(X).解X可能取的值為0,1,2,3，相應的概率為則X的分布列為X0123P0.0640.2880.4320.216因為X～B(3,0.6)，所以期望E(X)＝3×0.6＝1.8，方差D(X)＝3×0.6×(1－0.6)＝0.72.題型三二項分布問題例3

(2014·湖北)計劃在某水庫建一座至多安裝3臺發(fā)電機的水電站.過去50年的水文資料顯示，水庫年入流量X(年入流量：一年內上游來水與庫區(qū)降水之和.單位：億立方米)都在40以上.其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超過120的年份有35年，超過120的年份有5年，將年入流量在以上三段的頻率作為相應段的頻率，并假設各年的入流量相互獨立.(1)求未來4年中，至多有1年的年入流量超過120的概率；由二項分布，得在未來4年中，至多有1年的年入流量超過120的概率為(2)水電站希望安裝的發(fā)電機盡可能運行，但每年發(fā)電機最多可運行臺數受年入流量X限制，并有如下關系：年入流量X40<X<8080≤X≤120X>120發(fā)電機最多可運行臺數123若某臺發(fā)電機運行，則該臺年利潤為5000萬元；若某臺發(fā)電機未運行，則該臺年虧損800萬元.欲使水電站年總利潤的均值達到最大，應安裝發(fā)電機多少臺？解記水電站年總利潤為Y(單位：萬元).①安裝1臺發(fā)電機的情形.由于水庫年入流量總大于40，故一臺發(fā)電機運行的概率為1，對應的年利潤Y＝5000，E(Y)＝5000×1＝5000.②安裝2臺發(fā)電機的情形.依題意，當40<X<80時，一臺發(fā)電機運行，此時Y＝5000－800＝4200，因此P(Y＝4200)＝P(40<X<80)＝p1＝0.2；當X≥80時，兩臺發(fā)電機運行，此時Y＝5000×2＝10000，因此P(Y＝10000)＝P(X≥80)＝p2＋p3＝0.8.由此得Y的分布列如下：Y420010000P0.20.8所以，E(Y)＝4200×0.2＋10000×0.8＝8840.③安裝3臺發(fā)電機的情形.依題意，當40<X<80時，一臺發(fā)電機運行，此時Y＝5000－1600＝3400，因此P(Y＝3400)＝P(40<X<80)＝p1＝0.2；當80≤X≤120時，兩臺發(fā)電機運行，此時Y＝5000×2－800＝9200，因此P(Y＝9200)＝P(80≤X≤120)＝p2＝0.7；當X>120時，三臺發(fā)電機運行，此時Y＝5000×3＝15000，因此P(Y＝15000)＝P(X>120)＝p3＝0.1，由此得Y的分布列如下：Y3400920015000P0.20.70.1所以，E(Y)＝3400×0.2＋9200×0.7＋15000×0.1＝8620.綜上，欲使水電站年總利潤的均值達到最大，應安裝發(fā)電機2臺.點評應用公式Pn(k)＝Cpk(1－p)n－k的三個條件：(1)在一次試驗中某事件A發(fā)生的概率是一個常數p；(2)n次試驗不僅是在完全相同的情況下進行的重復試驗，而且各次試驗的結果是相互獨立的；(3)該公式表示n次試驗中事件A恰好發(fā)生了k次的概率.

(2)若比賽結果為3∶0或3∶1，則勝利方得3分，對方得0分；若比賽結果為3∶2，則勝利方得2分，對方得1分.求乙隊得分X的分布列及數學期望.解X的可能的取值為0,1,2,3.∴X的分布列為高考題型精練12345678910高考題型精練解析設甲命中目標為事件A，乙命中目標為事件B，丙命中目標為事件C，則目標被擊中的事件可以表示為A∪B∪C，即擊中目標表示事件A、B、C中至少有一個發(fā)生.12345678910高考題型精練12345678910答案A高考題型精練

12345678910高考題型精練12345678910解析設事件A在一次試驗中發(fā)生的概率為p，∵事件A全不發(fā)生為事件A至少發(fā)生一次的對立事件，答案A高考題型精練3.先后擲兩次骰子(骰子的六個面上分別有1,2,3,4,5,6個點)，落在水平桌面后，記正面朝上的點數分別為x，y，設事件A為“x＋y為偶數”，事件B為“x，y中有偶數且x≠y”，則概率P(B|A)等于(

)12345678910高考題型精練12345678910事件A：“x＋y為偶數”包含事件A1：“x，y都為偶數”與事件A2：“x，y都為奇數”兩個互斥事件，高考題型精練事件B為“x，y中有偶數且x≠y”，所以事件AB為“x，y都為偶數且x≠y”，12345678910答案B高考題型精練

12345678910高考題型精練12345678910ξ的分布列為高考題型精練12345678910高考題型精練123456789105.某次知識競賽規(guī)則如下：在主辦方預設的5個問題中，選手若能連續(xù)正確回答出兩個問題，即停止答題，晉級下一輪.假設某選手正確回答每個問題的概率都是0.8，且每個問題的回答結果相互獨立，則該選手恰好回答了4個問題就晉級下一輪的概率為________.高考題型精練12345678910解析由題設，分兩類情況：①第1個正確，第2個錯誤，第3、4個正確，由乘法公式得P1＝0.8×0.2×0.8×0.8＝0.1024；②第1、2個錯誤，第3、4個正確，此時概率P2＝0.2×0.2×0.8×0.8＝0.0256.由互斥事件概率公式得P＝P1＋P2＝0.1024＋0.0256＝0.128.答案0.128高考題型精練12345678910

高考題型精練

12345678910高考題型精練(1)求甲在4局以內(含4局)贏得比賽的概率；(2)記X為比賽決出勝負時的總局數，求X的分布列和均值(數學期望).解用A表示“甲在4局以內(含4局)贏得比賽”，Ak表示“第k局甲獲勝”，Bk表示“第k局乙獲勝”.12345678910高考題型精練(1)P(A)＝P(A1A2)＋P(B1A2A3)＋P(A1B2A3A4)＝P(A1)P(A2)＋P(B1)P(A2)P(A3)＋P(A1)P(B2)·P(A3)P(A4)12345678910(2)X的可能取值為2,3,4,5.P(X＝2)＝P(A1A2)＋P(B1B2)高考題型精練P(X＝3)＝P(B1A2A3)＋P(A1B2B3)12345678910P(X＝4)＝P(A1B2A3A4)＋P(B1A2B3B4)高考題型精練故X的分布列為12345678910高考題型精練8.已知甲箱中只放有x個紅球與y個白球(x，y≥0，且x＋y＝6)，乙箱中只放有2個紅球、1個白球與1個黑球(球除顏色外，無其他區(qū)別).若從甲箱中任取2個球，從乙箱中任取1個球.(1)記取出的3個顏色全不相同的概率為P，求當P取得最大值時x，y的值；12345678910高考題型精練當且僅當x＝y(tǒng)時等號成立，所以，當P取得最大值時，x＝y(tǒng)＝3.12345678910高考題型精練(2)當x＝2時，求取出的3個球中紅球個數ξ的期望E(ξ).解當x＝2時，即甲箱中有2個紅球與4個白球，所以ξ的所有可能取值為0,1,2,3.12345678910高考題型精練所以，紅球個數ξ的分布列為12345678910高考題型精練9.(2014·福建)為回饋顧客，某商場擬通過摸球兌獎的方式對1000位顧客進行獎勵，規(guī)定：每位顧客從一個裝有4個標有面值的球的袋中一次性隨機摸出2個球，球上所標的面值之和為該顧客所獲的獎勵額.(1)若袋中所裝的4個球中有1個所標的面值為50元，其余3個均為10元，求：①顧客所獲的獎勵額為60元的概率；②顧客所獲的獎勵額的分布列及數學期望.12345678910高考題型精練解設顧客所獲的獎勵額為X.12345678910②依題意，得X的所有可能取值為20,60.高考題型精練即X的分布列為12345678910高考題型精練(2)商場對獎勵總額的預算是60000元，并規(guī)定袋中的4個球只能由標有面值10元和50元的兩種球組成，或標有面值20元和40元的兩種球組成.為了使顧客得到的獎勵總額盡可能符合商場的預算且每位顧客所獲的獎勵額相對均衡，請對袋中的4個球的面值給出一個合適的設計，并說明理由.12345678910高考題型精練12345678910解根據商場的預算，每個顧客的平均獎勵額為60元.所以，先尋找期望為60元的可能方案.對于面值由10元和50元