淺談生物成長發(fā)育的不同特性

淺談生物成長發(fā)育的不同特性

1對傳染病的模型所有物種都有一個從童年到成人的發(fā)展過程。也就是說，從兒童到成人，從兒童到成熟，在每個發(fā)展階段都表現(xiàn)出不同的特征。例如，兒童群體沒有堅強的生命力和食物能力，生存能力很弱，很容易死亡。成年（成熟）群體不僅具有強大的適應(yīng)性，而且具有很強的適應(yīng)性，即生物在所有生命階段的生理機能（發(fā)病率、死亡率、擴散率、捕食能力等）非常不同。因此，考慮到階段結(jié)構(gòu)的生態(tài)模型具有很強的現(xiàn)實意義。在這方面的工作中，我們研究了兩個階段結(jié)構(gòu)的單一種群模型。證明了該模型正平衡點存在唯一,且是全局漸近穩(wěn)定的,其中,xi(t)表示幼年個體數(shù)目,xm(t)表示成年個體數(shù)目,τ表示從出生到成年的時間間隔.在研究中發(fā)現(xiàn),有些物種如南極鯨等某些海洋生物,其從幼年到成年的成熟時間間隔τ不是一個常數(shù),而是種群數(shù)量的函數(shù),即τ隨著種群數(shù)量的增大而增大.對模型:進行了研究,給出了解有界,正平衡點存在且唯一的條件,以及系統(tǒng)持續(xù)生存的條件.采用不同的方法,對模型(2*)進行了研究,得到了類似的結(jié)果.研究了更一般的模型:給出了正平衡點存在及局部漸近穩(wěn)定的條件.對于傳染病,我們關(guān)心的問題是某種傳染病在某一地區(qū)是漫延下去而成為本地區(qū)的“地方病”呢?還是最終消除.也就是說,是否存在一個閾值,當傳染率超過這個閾值時傳染病會成為地方病,而小于這個閾值時最終消除.[7,第三章]雖然對傳染病模型作了較詳細的討論,但總是假定各個年齡階段的種群個體對某種傳染病有相同的傳染率.然而對某些傳染病,事實并非如此,如麻疹、水豆、幼兒急診等傳染病多發(fā)于幼年(兒童)階段;而傷寒、副傷寒、血吸蟲病、鉤端螺旋體病、白喉、流行性腦脊髓炎等傳染病多在成年人之間傳染流行.因此考慮具有不同傳染率的階段結(jié)構(gòu)的傳染病模型是更具有實際意義的.這方面的工作至今尚無人問津.本文研究具有兩個階段結(jié)構(gòu)的SI傳染病模型.為討論方便,假定幼年個體不感染此病,成年個體分為易感者,染病者.而且此種傳染病平均染病周期相對于種群從幼年到成年的成熟時間很小.其數(shù)學(xué)模型為:初始條件為這里,x1(t)表示t時刻幼年個體的數(shù)目,x2(t)表示t時刻成年易感者個體的數(shù)目,y(t)表示t時刻成年染病者個體的數(shù)目,k,b,α,β,γ,τ是正常數(shù).α表示幼年出生率,γ表示幼年死亡率,β表示成年易感者的死亡率,kk表示傳染病的傳染率,b表示染病者的消除率,τ表示從幼年到成年的時間間隔;e-γτ表示t-τ時刻出生的幼年個體活到t時刻的概率.為保證初始條件的連續(xù)性還假定:2能不能水平實現(xiàn)比較引理1考慮方程若方程(3)有唯一正平衡點x*,即f(x*)=g(x*),且在x∈[0,∞)上滿足:(i)f(x)是嚴格增函數(shù),且f(0)=0;g(x)是嚴格增函數(shù),且g(0)=0,(ii)當x∈(0,x*)時,f(x)>g(x),當x>x*時,f(x)<g(x).則對所有的τ≥0,x*是全局漸近穩(wěn)定的.由此引理可得如下推論:推論設(shè)x(t)是方程的非常數(shù)解,則有,也即對任意ε>0,存在T,當t>T時,有.定理1系統(tǒng)(1)滿足初值x(t)>0,x2(t)>0,y(0)>O,t[-τ,0]的解,當t>0時是正的.證1°先證x2(t)>0,t>0.若不然,則必存在t0,使x2(t0)=0,因為x2(t)>0,t∈[-τ,0],所以t0>0.不妨取t0=inf{t>0:x2(t)=0},必有,但由系統(tǒng)(1)第二個方程知由t0的取法知,與矛盾,故有x2(t)>0,t>0成立.2°再證x1(t)>0,t>0.當0<t≤τ,即-τ<t-τ≤0時,注意到x2(t)>0,t>0由系統(tǒng)(1)第一個方程知x1(t)>-γx1(t)-αe-γτψ2(t-τ),作比較方程因方程(4)的解可以表示為又因為,所以由(4)可知u(t)是嚴格減的,所以在t∈(0,τ],有u(t)>u(τ)=0.由比較定理知,當0<t≤τ時,有x(t)>u(t)>0.類似的方法,可以證明,當nτ<t≤(n+1)τ,n0,1,2,…時,x1(t)>0.綜上所述,當t>0時,x1(t)>0.3°最后證y(t)>0,t>0.由系統(tǒng)(1)的第三個方程知定理2滿足初始條件(2)的系統(tǒng)(1)的正解是最終有界的.由定理1知系統(tǒng)(1)的所有解大于零,故僅在,y>0}上考慮.證由系統(tǒng)第二個方程知由比較定理及推論知存在T及ε>0,當t>T時,作V(t)=x1(t)+x2(t)+y(t).V(t)沿系統(tǒng)(1)求導(dǎo)數(shù)得其中,μ=min{γ,b}.由(6)可得當t>T時又因為x1(t)>0,x2(t)>0,y(t)>0.故x1,x2,y最終有界,定理證畢.3y得系統(tǒng)1由此方程組可知系統(tǒng)存在兩個邊界平衡點E0(0,0,0),,其中,當時,存在唯一正平衡點,其中,,,.系統(tǒng)(1)在E0(0,0,0)處的線性系統(tǒng)為:Jacobian特征矩陣為特征方程為顯然A1=-γ,λ2=-b是負根,注意到y(tǒng)=λ和y=αe-(λ+γ)τ必有一正交點,即(7)有一正實根λ3>0,故E0(0,0,0)是不穩(wěn)定的.為求的線性系統(tǒng),作代換.仍用x1,x2,y記X1,X2,Y得系統(tǒng)(1)在E1處的線性系統(tǒng)為:Jocobian特征矩陣為特征方程為顯然λ=-γ是負根,而且λ=αe-γτ(e-λτ-2)的根均具負實部,若不然,則Reλ≥0,但ReA=αe-γτ[e-τReλcos(rImA)-2]<0,此與ReA≥0矛盾.對于,當時,λ<0.此時E1是局部漸近穩(wěn)定,正平衡點E2不存在;當時,λ>0.此時E1不穩(wěn)定,存在正平衡點E2.作代換.仍用x1,x2,y記X1,X2,y得系統(tǒng)(1)在E2處的線性系統(tǒng)為:Jacobian特征矩陣為特征方程為顯然λ=-γ是負根,對于方程記則可簡化為設(shè)λ=iω,ω>0是(11)的一個純虛根,代入(11)分離實部與虛部得消去sin(ωτ)及cos(ωτ)得關(guān)于ω的方程其根的判別式由(10)知n2一m2<0,所以當n2+4p-m2>0時Δ<0,方程(12)無實根;當n+4p-m≤0時,Δ≥0,但此時有n+2p-m<0,于是有,矛盾.故方程(12)無實根.當τ=0時(11)變?yōu)棣?+(m-Ω)λ+p=0,因為m-α>0,所以此方程的根均具有負實部,即當τ=0時,線性系統(tǒng)(9)的零解是漸近穩(wěn)定的,再結(jié)合方程(12)的無根性,由[8,定理3.3.1]知對所有的τ≥0,系統(tǒng)(1)在處的線性系統(tǒng)(9)的零解是漸近穩(wěn)定的.從而說明系統(tǒng)(1)的正平衡點E2是局部漸近穩(wěn)定的.4全局漸近穩(wěn)定的檢驗1定義1設(shè)y(t)是定義在[a,+∞),a∈R上的函數(shù),對給定的常數(shù)y*.如果存在序列tn≥a,當n→+∞時tn→+∞,且y(tn)=y*,n=1,2,…,則稱y(t)是關(guān)于y*振動的.設(shè)表示傳染病的相對感染率,有如下定理定理3當時,系統(tǒng)(1)不存在正平衡點,邊界平衡點E1全局漸近穩(wěn)定,即傳染病最終消除.證正平衡點的不存在性可由前面的分析已知.我們只證邊界平衡點E1是全局漸近穩(wěn)定的.1°先證.由系統(tǒng)(1)第二個方程知,由推論及比較定理知存在T,ω>0,當t>T時,x2(t)≤αβ-1e-γτ+ε.定理條件暗含,可選取適當?shù)摩?使得.則當t>T時,由系統(tǒng)的第三個方程知即.2°再證.(i)若x2(t)是最終單調(diào)的,由于x2(t)是有界的,故存在,,使得,同時由系統(tǒng)第二個方程知存在,結(jié)合x2(t)的有界性知.又因為,于是對系統(tǒng)第二個方程兩邊取極限得0=,即有(ii)若x2(t)是關(guān)于x2振動的,由x2(t)的有界性知,必存在序列{tk},k→+∞時,tk→+∞.使得x2(t)在tk達到局部極大值,即.記則有,且.下面證明.若不然則有由系統(tǒng)第二個方程知,在tk處有記.取{tk}的子列,仍用{tk}記之,使得tk+1>tk+τ,且,.于是,當k→+∞時,對(15)式兩邊取極限,注意到及(14)式,有于是有x2>x2,這與tk的取法及(13)式矛盾,所以有,即.用類似上述方法可以證明.故有.3°證明.由系統(tǒng)第一個方程知存在T,當t>T>τ時,運用性質(zhì):如果,則有故有所以.綜合10,20,30知E1是全局漸近穩(wěn)定的,也就是說傳染病將最終消除.5引理和證明本節(jié)證明,若系統(tǒng)(1)存在正平衡點E2,則是全局漸近穩(wěn)定的,從而說明此種傳染病不會消除而成為地方病.在證明之前先證明系統(tǒng)(1)在正平衡點存在的條件下是一致持續(xù)生存的.下面先介紹一些必要的概念和引理.定義2如果存在常數(shù)0<m<M,使得系統(tǒng)(1)的正解滿足則稱系統(tǒng)(1)是一致持續(xù)生存的.設(shè)X是一個完備度量空間,假設(shè).且.T(t)是X上的C0半群,且滿足記,Ab是Tb(t)的全局吸引子.定義3設(shè)M是X的一個非空不變子集,如果在M的一個領(lǐng)域內(nèi)M是最大的不變集,則稱M是孤立的不變集.定義4設(shè)M1,M2是孤立的不變集,若存在一個軌線{x(t)},使得和,則記M1→M2.若M1-M2→…→Mk,Mk=M1,則稱它是一個環(huán).定義5設(shè),如果,Mi是兩兩不相交的緊集,每一個Mi對Tb是孤立不變集,對T也是孤立不變集,則稱Ab是孤立的,而稱{M1,M2,…,Mn}是的一個孤立的覆蓋,如果{M1,M2,…,Mn}任何一個子集不能形成一個環(huán),則稱{M1,M2,…,Mn}是非循環(huán)覆蓋.引理2假設(shè)T(t)滿足(16),且滿足(ⅰ)存在t0>0,當t>t0,時T(t)是緊的,(ⅱ)T(t)在X中耗散,(ⅲ)是孤立的,且有一個非循環(huán)覆蓋,x∈Ab(iv)W(Mi)nX0=,i=1,2,…n,則X0是一致排斥X0,即存在ε>0,使得任意的x∈X0,有,X0)≥ε,d是T(t)x到集合X0的距離.引理3當時,系統(tǒng)(1)存在唯一正的平衡點,且系統(tǒng)是一致持續(xù)生存的.證正平衡點的存在性及唯一性由前面平衡點的分析可得,下證系統(tǒng)是一致持續(xù)生存的.先證明平面(x1-x2),(x1一y)一致排斥系統(tǒng)(1)的正解.取要證存在ε0>0,使得系統(tǒng)(1)從X0出發(fā)的解x(t),有,只須驗證引理條件全部滿足.容易看出X0是系統(tǒng)(1)不變集,由定理1知X0是不變集.由[8,定理2.2.8]知條件(i)成立;由定理2知條件(ii)成立;下面只須驗證條件(iii)及條件(iv)成立.在X0上系統(tǒng)(1)有兩個常數(shù)解E0(0,0,0),.在平面(x1-x2)上系統(tǒng)(1)變?yōu)?由[3,定理2]知,是全局漸近穩(wěn)定的,也即系統(tǒng)(1)從X1內(nèi)出發(fā)的解(x1(t),x2(t),y(t))都有(x1(t),x2(t),y(t))→.在平面(x1-y)上系統(tǒng)(1)變?yōu)?顯然有當t→+∞時,x1(t)→0,y(t)→0,即系統(tǒng)(1)從平面X2出發(fā)的解(x1(t),x2(t),y(t)),都有(x1(t),x2(t),y(t))→E0(0,0,0).又因為E0在平面X2上是孤立的奇點,E1在平面X1上是孤立的奇點,因此如果E0,E1是系統(tǒng)(1)的孤立不變集,則{E0,E1}是孤立的,且是一個非循環(huán)覆蓋.容易知道E0是孤立不變的,E1的孤立不變性可由下面驗證條件(iv)而知.對于條件(iv),只驗證可類似得到.假設(shè),則系統(tǒng)(1)存在從X0內(nèi)出發(fā)的解,,使得當t充分大時有.于是有,也就是說任給e>0,存在to>0,當t>t0+τ時,于是有這與系統(tǒng)的解有界矛盾.故有W.用類似的方法可得到.至此引理條件全部滿足,從而說明平面(x1-x2),(x1-y)對系統(tǒng)(1)從X0出發(fā)的解(x1(t),x2(t),y(t))是一致排斥,即存在ε0>0使得下面證明