浙江省歷年高考立體幾何大題總匯(題目及答案)

1.（本題滿分15分）如圖，平面⊥平面，是以為斜邊的等腰直角三角形。分別為的中點，。（I）設(shè)是的中點，證明：平面；（II）證明：在內(nèi)存在一點，使⊥平面，并求點到,的距離。2.如圖，在棱長為1的正方體ABCD－A1B1C1D1中，P是側(cè)棱CC1上的一點，CP=m（Ⅰ）試確定m，使得直線AP與平面BDB1D1所成角的正切值為；（Ⅱ）在線段A1C1上是否存在一個定點Q，使得對任意的m，D1Q在平面APD1上的射影垂直于AP，并證明你的結(jié)論。3.如圖甲，△ABC是邊長為6的等邊三角形，E，D分別為AB、AC靠近B、C的三等分點，點G為BC邊的中點．線段AG交線段ED于F點，將△AED沿ED翻折，使平面AED⊥平面BCDE，連接AB、AC、AG形成如圖乙所示的幾何體。 （I）求證BC⊥平面AFG； （II）求二面角B－AE－D的余弦值．.4在如圖所示的幾何體中，平面ABC，平面ABC，，，M是AB的中點．（1）求證：；（2）求CM與平面CDE所成的角DABEFC（第18題）5.如圖，矩形和梯形所在平面互相垂直，，，，．DABEFC（第18題）（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）當(dāng)?shù)拈L為何值時，二面角的大小為？6.如圖，在矩形ABCD中，點E，F(xiàn)分別在線段AB，AD上，AE=EB=AF=沿直線EF將翻折成使平面平面BEF.（I）求二面角的余弦值；（II）點M，N分別在線段FD，BC上，若沿直線MN將四邊形MNCD向上翻折，使C與重合，求線段FM的長.7.如圖，在三棱錐P-ABC中，AB＝AC，D為BC的中點，PO⊥平面ABC，垂足O落在線段AD上，已知BC＝8，PO＝4，AO＝3，OD＝2

（Ⅰ）證明：AP⊥BC；（Ⅱ）在線段AP上是否存在點M，使得二面角A-MC-B為直二面角？若存在，求出AM的長；若不存在，請說明理由。8.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面是邊長為的菱形，∠BAD=120°，且PA⊥平面ABCD，PA=,M，N分別為PB,PD的中點。（1）證明：MN∥平面ABCD；（2）過點A作AQ⊥PC，垂足為點Q，求二面角A-MN-Q的平面角的余弦值。9.如圖，在四面體中，平面，，，．是的中點，是的中點，點在線段上，且．（Ⅰ）證明：平面；（Ⅱ）若二面角的大小為，求的大?。?0.（第16題圖）FACDEB如圖，在五面體中，已知平面，，，，．（第16題圖）FACDEB（1）求證：；（2）求三棱錐的體積．11.如圖，在直三棱柱中，已知，，．（第22題圖）ABCA1B1（第22題圖）ABCA1B1C1（2）求二面角平面角的余弦值．ACDBN12(本小題14分)在等腰梯形中，，，，是的中點．將梯形繞旋轉(zhuǎn)，得到梯形（如圖）．ACDBN（1）求證：平面；（2）求證：平面；（3）求二面角的余弦值．PABCDQM13.（本題滿分14分）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為直角梯形，AD//BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q為AD的中點，M是棱PC上的點，PA=PD=2，BC=ADPABCDQM（I）求證：平面PQB⊥平面PAD；（II）若二面角M-BQ-C為30°，設(shè)PM=tMC，試確定t的值如圖，直角梯形ABCD中，AB//CD，=90°,BC=CD=,AD=BD：EC丄底面丄底面(I)求證：AD丄BF:(II)若線段EC上一點M在平面BDF上的射影恰好是BF的中點N,試求二面角B-MF-C的余弦值.1.證明：（I）如圖，連結(jié)OP，以O(shè)為坐標(biāo)原點，分別以O(shè)B、OC、OP所在直線為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系O，則，由題意得，因，因此平面BOE的法向量為，得，又直線不在平面內(nèi)，因此有平面（II）設(shè)點M的坐標(biāo)為，則，因為平面BOE，所以有，因此有，即點M的坐標(biāo)為，在平面直角坐標(biāo)系中，的內(nèi)部區(qū)域滿足不等式組，經(jīng)檢驗，點M的坐標(biāo)滿足上述不等式組，所以在內(nèi)存在一點，使平面，由點M的坐標(biāo)得點到，的距離為．2.解法１：（１）故。所以。又.故在△，即.故當(dāng)時，直線。（Ⅱ）依題意，要在上找一點，使得.可推測的中點即為所求的點。因為，所以又,故。從而解法二：（１）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A(1,0,0),B(1,1,0),P(0,1,ｍ)，C(0,1,0),D(0,0,0),B1(1,1,1),D1(0,0,1).所以又由的一個法向量.設(shè)與所成的角為，則依題意有：，解得.故當(dāng)時，直線。（２）若在上存在這樣的點，設(shè)此點的橫坐標(biāo)為，則。依題意，對任意的m要使D1Q在平面APD1上的射影垂直于AP。等價于即為的中點時，滿足題設(shè)的要求.3.(Ⅰ)在圖甲中，由△ABC是等邊三角形，E，D分別為AB，AC的三等分點，點G為BC邊的中點，易知DE⊥AF，DE⊥GF，DE//BC．………………2分在圖乙中，因為DE⊥AF，DE⊥GF，AFFG=F，所以DE⊥平面AFG．又DE//BC，所以BC⊥平面AFG．……………………4分(Ⅱ)因為平面AED⊥平面BCDE，平面AED平面BCDE=DE，DE⊥AF，DE⊥GF，所以FA，F(xiàn)D，F(xiàn)G兩兩垂直．以點F為坐標(biāo)原點，分別以FG，F(xiàn)D，F(xiàn)A所在的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．則，，，所以，0)．……6分設(shè)平面ABE的一個法向量為．則，即，取，則，，則．………………8分顯然為平面ADE的一個法向量，所以．………………10分二面角為鈍角，所以二面角的余弦值為．………12分4.方法一：（1）證明：因為AC=BC，M是AB的中點，所以CM⊥AB．又EA⊥平面ABC，所以CM⊥EM．（2）解：過點M作MH⊥平面CDE，垂足是H，連結(jié)CH并延長交ED于點F，連結(jié)MF、MD，∠FCM是直線CM和平面CDE所成的角．因為MH⊥平面CDE，所以MH⊥ED，又因為CM⊥平面EDM，所以CM⊥ED，則ED⊥平面CMF，因此ED⊥MF．設(shè)EA＝a，BD＝BC＝AC＝2a在直角梯形ABDE中，AB＝2a所以DE＝3a，EM＝，MD＝a，得△EMD是直角三角形，其中∠EMD＝90°所以MF＝．在Rt△CMF中，tan∠FCM==1，所以∠FCM=45°，故CM與平面CDE所成的角是45°． 方法二： 如圖，以點C為坐標(biāo)原點，以CA，CB分別作為x軸和y軸，過點C作與平面ABC垂直的直線為z軸，建立直角坐標(biāo)系C-xyz，設(shè)EA=a，則 A（2a，0，0）， B（0，2a，0）， C（2aA（0，2a，2a）， A（a，a （1）證明：因為=（-a，a，-a），=（a，a，0）， 所以 ·=0， 故. （2）解：設(shè)向量n=（1，，）與平面CDE垂直， 則，， 即=0，=0. 因為=（2a,0,a）,=(0,2a,2a), 所以y=2，z=-2， 即n=（1，2，-2）， ， 直線CM與平面CDE所稱的角是45°.5.方法一：DABEFCHG（Ⅰ）證明：過點作交于DABEFCHG可得四邊形為矩形，又為矩形，所以，從而四邊形為平行四邊形，故．因為平面，平面，所以平面．（Ⅱ）解：過點作交的延長線于，連結(jié)．由平面平面，，得平面，從而．所以為二面角的平面角．在中，因為，，所以，．DABEFCDABEFCyzx從而．于是．因為，所以當(dāng)為時，二面角的大小為．方法二：如圖，以點為坐標(biāo)原點，以和分別作為軸，軸和軸，建立空間直角坐標(biāo)系．設(shè)，則，，，，．（Ⅰ）證明：，，，所以，，從而，，所以平面．因為平面，所以平面平面．故平面．（Ⅱ）解：因為，，所以，，從而解得．所以，．設(shè)與平面垂直，則，，解得．又因為平面，，所以，得到．所以當(dāng)為時，二面角的大小為．6.方法一：（Ⅰ）解：取線段EF的中點H，連結(jié) 因為及H是EF的中點， 所以 又因為平面平面BEF，及平面 所以平面BEF。 如圖建立空間直角坐標(biāo)系 則 故 設(shè)為平面的一個法向量 所以 取 又平面BEF的一個法向量 故 所以二面角的余弦值為（Ⅱ）解：設(shè) 因為翻折后，C與A重合，所以CM= 故， 得 經(jīng)檢驗，此時點N在線段BG上 所以 方法二：（Ⅰ）解：取截段EF的中點H，AF的中點G，連結(jié)，NH，GH 因為及H是EF的中點， 所以H//EF。 又因為平面EF平面BEF， 所以H`平面BEF， 又平面BEF， 故， 又因為G，H是AF，EF的中點， 易知GH//AB， 所以GH， 于是面GH 所以為二面角—DF—C的平面角， 在中， 所以 故二面角—DF—C的余弦值為。（Ⅱ）解：設(shè)， 因為翻折后，G與重合， 所以， 而 得 經(jīng)檢驗，此時點N在線段BC上， 所以7.解：（Ⅰ）證：AB＝AC，D為BC的中點，BC⊥ADPO⊥平面ABCPO⊥BC，而PO∩AD=OBC⊥平面ADPAP⊥BC（Ⅱ）當(dāng)CM⊥AP時，二面角A-MC-B為直二面角，，，，AM⊥平面MBC平面AMC⊥平面MBC方法二：8.（Ⅰ）因為，分別是，的中點，所以是的中位線，所以又因為平面，所以平面．（Ⅱ）方法一：連結(jié)交于，以為原點，，所在直線為，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示在菱形中，，得，．又因為平面，所以．在直角中，，，，得，．由此知各點坐標(biāo)如下，，，，，，，，．設(shè)為平面的法向量．由，知取，得設(shè)為平面的法向量．由，知取，得于是．所以二面角的平面角的余弦值為．方法二：在菱形中，，得，，有因為平面，所以，，，所以．所以．而，分別是，的中點，所以，且．取線段的中點，連結(jié)，，則，，所以為二面角的平面角．由，，故在中，，，得．在直角中，，得，，，在中，，得．在等腰中，，，得．在中，，，，得．所以二面角的平面角的余弦值為．9.方法一：（Ⅰ）取中點，在線段上取點，使得，連結(jié)，，因為，所以，且．因為，分別為，的中點，所以是的中位線，所以，且．又點是的中點，所以，且．從而，且．所以四邊形為平行四邊形，故又平面，平面，所以平面．（Ⅱ）作于點，作于點，連結(jié)因為平面，平面，所以，又，，故平面，又平面，所以．又，，故平面，所以，．所以為二面角的平面角，即．設(shè)．在中，，，．在中，．在中，．所以．從而，即．方法二：（Ⅰ）如圖，取中點，以為原點，，所在射線為，軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系．由題意知，，．設(shè)點的坐標(biāo)為，因為，所以．因為是的中點，故．又是的中點，故．所以．又平面的一個法向量為，故．又平面，所以平面．（Ⅱ）設(shè)為平面的一個法向量．由，知，取，得．又平面的一個法向量為，于是，即．（1）又，所以，故，即．（2）聯(lián)立（1），（2），解得（舍去）或．H（第16題圖）FAH（第16題圖）FACDEB又是銳角，所以．10（1）因為，平面，平面，所以平面，………………3分又平面，平面平面，所以．………………6分（2）在平面內(nèi)作于點，因為平面，平面，所以，又，平面，，所以平面，所以是三棱錐的高．………………9分在直角三角形中，，，所以，因為平面，平面，所以，又由（1）知，，且，所以，所以，……12分所以三棱錐的體積．……14分11.如圖，以為正交基底，建立空間直角坐標(biāo)系．（第22題圖）ABCA1B1C1則，，，（第22題圖）ABCA1B1C1，．（1）因為，所以異面直線與夾角的余弦值為．…………4分（2）設(shè)平面的法向量為，則即取平面的一個法向量為；所以二面角平面角的余弦值為．…………10分12.（1）證明：因為，是的中點所以，又所以四邊形是平行四邊形，所以又因為等腰梯形，，xzyACDBxzyACDBN所以，即由已知可知平面平面，因為平面平面所以平面……4分（2）證明：因為，，所以平面平面又因為平面,所以平面………………8分（3）因為平面,同理平面，建立如圖如示坐標(biāo)系設(shè)，則,,，，…9分則，設(shè)平面的法向量為，有，得設(shè)平面的法向量為，有得………………12分所以………………13分由圖形可知二面角為鈍角所以二面角的余弦值為．…14分13.（I）∵AD//BC，BC=AD，Q為AD的中點，∴四邊形BCDQ為平行四邊形，∴CD//BQ．∵∠ADC=90°∴∠AQB=90°即QB⊥AD．又∵平面PAD⊥平面ABCD且平面PAD∩平面ABCD=AD，∴BQ⊥平面PAD．∵BQ平面PQB，∴平面PQB⊥平面PAD．……5分（II）∵PA=PD，Q為AD的中點，∴PQ⊥AD．∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，∴PQ⊥平面