圖像重建一般方法課件

圖像的投影與重建醫(yī)學(xué)圖像處理MedicalImagingProcessing圖像的投影與重建醫(yī)學(xué)圖像處理MedicalImaging問題的提出問題的提出：可以把圖像處理成數(shù)據(jù)，如果有一組與圖像相關(guān)的數(shù)據(jù)，能否反過來建立圖像？圖像重建一般方法：根據(jù)物體的一些橫截面部分的投影而進(jìn)行的。

問題的提出問題的提出：可以把圖像處理成數(shù)據(jù)，如果有一組概述圖像重建是圖像處理中的一個重要分支，廣泛的應(yīng)用于物體內(nèi)部結(jié)構(gòu)圖像的檢測和觀察中，它是一種無損檢測技術(shù)。應(yīng)用領(lǐng)域廣泛，主要有：醫(yī)療、工業(yè)無損檢測、核醫(yī)學(xué)、電子顯微、無線和雷達(dá)天文學(xué)、光顯微、全息成像學(xué)以及理論視覺等等。重建算法：代數(shù)法、迭代法、傅立葉反投影法、卷積反投影法（運用最廣泛，運算量小、速度快等優(yōu)點）。概述圖像重建是圖像處理中的一個重要分支，廣泛的應(yīng)用于物體1、從維數(shù)上分為：二維圖像重建、三維圖像重建2、從成像方式上分為：發(fā)射斷層成像反射斷層成像透射斷層成像圖像重建分類1、從維數(shù)上分為：圖像重建分類圖像重建分類從采用的射線波長分為：X射線成像超聲成像微波成像核磁共振成像(MRI)激光共焦成像圖像重建分類從采用的射線波長分為：X線成像原理X線的本質(zhì)：電磁輻射常用X線診斷設(shè)備：X線機(jī)、數(shù)字X線攝影設(shè)備（DSA、CR、DR）和X線計算機(jī)斷層掃描設(shè)備（X線CT）等。X線成像原理X線的本質(zhì)：電磁輻射X線的特征X線的特征X線的特征X射線在電磁輻射中的特點屬于高頻率、波長短的射線X射線的頻率約在3×1016～3×1020Hz之間，波長約在10～10-3nm之間

X線診斷常用的X線波長范圍為0.008～0.031nmX線的特征X射線在電磁輻射中的特點屬于高頻率、波長短的射線X線的特征2.X射線與物質(zhì)間的相互作用（1）X射線的穿透作用。其貫穿本領(lǐng)的強(qiáng)弱與物質(zhì)的性質(zhì)有關(guān)

X線的特征2.X射線與物質(zhì)間的相互作用X線的特征2.X射線與物質(zhì)間的相互作用（2）X射線的熒光作用。

X射線是肉眼看不見的，但當(dāng)它照射某些物質(zhì)時，如磷、鉑氰化鋇、硫化鋅、鎢酸鈣等，能夠使這些物質(zhì)的原子處于激發(fā)態(tài)，當(dāng)它們回到基態(tài)時就能夠發(fā)出熒光，這類物質(zhì)稱熒光物質(zhì)。醫(yī)學(xué)中透視用的熒光屏、X射線攝影用的增感屏、影像增強(qiáng)器中的輸入屏和輸出屏都是利用熒光特性做成的。（3）X射線的電離作用。

X射線雖然不帶電，但具有足夠能量的X光子能夠撞擊原子中軌道電子，使之脫離原子產(chǎn)生一次電離。

電離作用也是X射線損傷和治療的基礎(chǔ)。

X線的特征2.X射線與物質(zhì)間的相互作用X線的特征2.X射線與物質(zhì)間的相互作用（4）X射線的熱作用。

X射線被物質(zhì)吸收，絕大部分最終都將變?yōu)闊崮埽刮矬w溫升。（5）X射線的化學(xué)效應(yīng)(感光作用和著色作用)。

X射線能使多種物質(zhì)發(fā)生光化學(xué)反應(yīng)。例如，X射線能使照相底片感光。（6）X射線的生物效應(yīng)。生物組織經(jīng)一定量的X射線照射，會產(chǎn)生電離和激發(fā)，使細(xì)胞受到損傷、抑制、死亡或通過遺傳變異影響下一代，這種現(xiàn)象稱為X射線的生物效應(yīng)。這個特性可充分應(yīng)用在腫瘤放射治療中。X線的特征2.X射線與物質(zhì)間的相互作用X射線成像原理當(dāng)高速帶電粒子撞擊物質(zhì)受阻而突然減速時，能夠產(chǎn)生X射線。醫(yī)學(xué)影像診斷所用的X線產(chǎn)生設(shè)備是X線管（X-raytube，球管）。1．X射線的產(chǎn)生X射線的產(chǎn)生需要的基本條件是：（1）有高速運動的電子流；（2）有阻礙帶電粒子流運動的障礙物（靶），用來阻止電子的運動，可以將電子的動能轉(zhuǎn)變?yōu)閄射線光子的能量。X射線成像原理當(dāng)高速帶電粒子撞擊物質(zhì)受阻而突然減速時，能夠產(chǎn)X射線成像原理X射線的產(chǎn)生裝置主要包括三部分：X射線管、高壓電源及低壓電源，如圖所示。X射線成像原理X射線的產(chǎn)生裝置主要包括三部分：X射線管、高壓X射線成像原理2.X射線人體成像使用X射線對人體進(jìn)行照射，并對透過人體的X射線信息進(jìn)行采集、轉(zhuǎn)換，并使之成為可見的影像，即為X射線人體成像。（1）X射線影像的形成當(dāng)一束強(qiáng)度大致均勻的X射線投照到人體上時，X射線一部分被吸收和散射，另一部分透過人體沿原方向傳播。由于人體各種組織、器官在密度、厚度等方面存在差異，對投照在其上的X射線的吸收量各不相同，從而使透過人體的X射線強(qiáng)度分布發(fā)生變化并攜帶人體信息，最終形成X射線信息影像。X射線信息影像不能為人眼識別，須通過一定的采集、轉(zhuǎn)換、顯示系統(tǒng)將X射線強(qiáng)度分布轉(zhuǎn)換成可見光的強(qiáng)度分布，形成人眼可見的X射線影像。X射線成像原理2.X射線人體成像X射線成像原理①人體不同密度組織與X線成像的關(guān)系X射線成像原理①人體不同密度組織與X線成像的關(guān)系X射線成像原理②人體不同厚度組織與X線成像的關(guān)系密度和厚度的差別是產(chǎn)生影像對比的基礎(chǔ)，是X線成像的基本條件X射線成像原理②人體不同厚度組織與X線成像的關(guān)系密度發(fā)射斷層成像系統(tǒng)透射斷層成像系統(tǒng)反射斷層成像系統(tǒng)

三種基本的圖像重建系統(tǒng)發(fā)射斷層成像系統(tǒng)三種基本的圖像重建系統(tǒng)發(fā)射斷層成像發(fā)射源在物體內(nèi)部，將具有放射性的離子（放射元素）注入物體內(nèi)部，在物體外部檢測其經(jīng)過物體吸收之后放射量。有正電子發(fā)射成像PET和單正電子發(fā)射斷層成像SPECT發(fā)射斷層成像發(fā)射源在物體內(nèi)部，將具有放射性的離子（放射元素）發(fā)射投影成像正電子發(fā)射成像（PET：PositronEmissionTomography）采用在衰減時放出正電子的放射性離子，放出的正電子很快與負(fù)電子相撞湮滅而產(chǎn)生一對相背運動的光子。相對放置的兩個檢測器接收到這兩個光子就可以確定一條射線，檢測器圍繞物體呈環(huán)形分布，相對的兩個檢測器構(gòu)成一組檢測器對，檢測由一對正負(fù)電子產(chǎn)生的光子。

發(fā)射投影成像正電子發(fā)射成像（PET：PositronEmi正電子負(fù)電子光子光子PET成像系統(tǒng)示意圖檢測器檢測器正電子負(fù)電子光子光子PET成像系統(tǒng)示意圖檢測器檢測器透射投影成像射線穿過物體時在檢測器上得到的值就是射線的投影。

投影重建是利用人體(物體)對射線的能量吸收衰減作用,不同密度的組織具有不同的吸收能力。透射投影成像射線穿過物體時在檢測器上得到的值就是射線的投影。入射線6222入射線6141入射線少透射高密度體多透射入射線低密度體等強(qiáng)度射線穿透不同組織的情況入射線6222入射線6141入射線少透射高密度體多透射入射線透射投影成像圖為等強(qiáng)度的射線透過不同密度分布時的情況，每塊上的數(shù)字表示每塊的密度或衰減，總的衰減是疊加的，其中一條射線束通過均勻密度物質(zhì)的厚塊，另一射線通過不等密度的厚塊組合，但檢測器的記錄相同，因此，投影重建時需要一系列投影才能重建二維圖像。

透射投影成像圖為等強(qiáng)度的射線透過不同密度分布時的情況，每塊上反射斷層成像將入射信號（通常是單色平面波）入射到物體上，通過檢測經(jīng)物體散射（反射）后的信號強(qiáng)度來重建。反射斷層成像將入射信號（通常是單色平面波）入射到物體上，RCT（reflectionCT）雷達(dá)系統(tǒng)獲取的雷達(dá)圖是由物體反射的回波所產(chǎn)生的雷達(dá)接收器在特定角度所接收到的回波強(qiáng)度是地面反射量在一個掃描段的積分（對比CT）投影重建就是要從這個積分獲得地面（反射強(qiáng)度）的圖象RCT（reflectionCT）射線投影成像的基本原理：人體組織對X射線吸收和散射，造成衰減，人體內(nèi)的不同結(jié)構(gòu)，比如脂肪、胰、骨骼對X射線吸收能力有所不同。密度高的物質(zhì)對射線的衰減高于疏松物質(zhì)引起的衰減。入射線組織對射線的吸收散射線散射線射線投影成像的基本原理：入射線組織對射線的吸收散射線散射

當(dāng)X射線照射到人體組織時，通過探測、接收透射線或射線，可以生成生物組織的平面切片圖像，并進(jìn)行處理，從而判斷體內(nèi)的密度分布情況。當(dāng)X射線照射到人體組織時，通過探測、接收透射線或射線投影重建概述概念：投影重建一般指利用物體的多個（軸向）投影圖像重建目標(biāo)圖像的過程。它是一類特殊的圖像處理方法，它輸入的是（一序列）投影圖，而輸出的是重建圖。通過投影重建就可以直接看到原來被投影物體某種特性的空間分布，比直接觀察投影圖要直觀的多。投影重建概述概念：投影重建一般指利用物體的多個（軸向）投影圖應(yīng)用實例：1、投射斷層成像（transmissioncomputedtomography，TCT，簡稱CT）原理：從發(fā)射源射出的射線穿透物體到達(dá)接受器。其中I0——射線源的強(qiáng)度；

K（x）——沿射線方向物體點s的線性衰減系數(shù)

L——輻射的射線

I——穿透物體的射線強(qiáng)度應(yīng)用實例：如果物體是均勻的，則：其中，I代表穿透物體后的射線強(qiáng)度，I0代表沒有物體時射線強(qiáng)度，L是射線在物體內(nèi)部的長度，k代表物體的線性衰減系數(shù)。如果物體是均勻的，則：2、發(fā)射斷層成像（emissioncomputedtomography，ECT）原理：發(fā)射源在物體內(nèi)部。一般是將具有放射性的離子注入物體內(nèi)部，從物體外檢測其放射出來的量。通過這種方法可以了解離子在物體內(nèi)的運動情況和分布，從而可以檢測到與生理有關(guān)的狀況。實例：PET(positronemissiontomography)、SPET(singlepositronemissionCT)。投影重建概述2、發(fā)射斷層成像（emissioncomputedtom3、反射斷層成像（reflectionCT，RCT）原理：利用能量的反射來測定物體的表面特性。實例：雷達(dá)系統(tǒng)，雷達(dá)發(fā)射器從空中向地面發(fā)射無線電波。雷達(dá)接收器在特定的角度所接受到的回波強(qiáng)度是地面反射量在一個掃描階段的積分。投影重建概述3、反射斷層成像（reflectionCT，RCT）投影重概述圖像重建的透射、反射、發(fā)射三種模式示意圖概述圖像重建的透射、反射、發(fā)射三種模式示意圖X-CT成像原理X-CT與X射線攝影相比較有很大區(qū)別，X射線攝影產(chǎn)生的是多器官重疊的平片圖像CT是用X射線對人體層面進(jìn)行掃描，取得信息，經(jīng)計算機(jī)處理而獲得重建圖像，顯示的是斷面解剖圖像，其密度分辨力明顯優(yōu)于X線圖像，可以顯著的擴(kuò)大人體的檢查范圍，提高病變的檢出率和診斷的準(zhǔn)確率X射線平片與CT斷層對比圖X-CT成像原理X-CT與X射線攝影相比較有很大區(qū)別，X射成像技術(shù)X-CT（X-raycomputedtomography,X-CT）是運用掃描并采集投影的物理技術(shù)，以測定X射線在人體內(nèi)的衰減系數(shù)為基礎(chǔ)，采用一定算法，經(jīng)計算機(jī)運算處理，求解出人體組織的衰減系數(shù)值在某剖面上的二維分布矩陣，再將其轉(zhuǎn)為圖像上的灰度分布，從而實現(xiàn)建立斷層解剖圖像的現(xiàn)代醫(yī)學(xué)成像技術(shù)，X-CT成像的本質(zhì)是衰減系數(shù)成像。成像技術(shù)X-CT（X-raycomputedtomogrX-CT成像技術(shù)1.X-CT成像裝置與流程X-CT成像裝置主要由X線管、準(zhǔn)直器、檢測器、掃描機(jī)構(gòu)，測量電路、電子計算機(jī)、監(jiān)視器等部分所組成的。X-CT成像流程是：X線----準(zhǔn)直器（可以大幅度地減少散射線的干擾,并可決定掃描層的厚度）----檢測器-----轉(zhuǎn)變電信號------放大電信號----轉(zhuǎn)變?yōu)閿?shù)字信號----計算機(jī)系統(tǒng)----存入計算機(jī)的存貯器----編碼----顯示圖像X-CT成像技術(shù)1.X-CT成像裝置與流程X-CT成像技術(shù)2.X-CT成像的數(shù)據(jù)采集與處理X-CT成像的數(shù)據(jù)采集是利用X線管和檢測器等的同步掃描來完成的。檢測器是一種X線光子轉(zhuǎn)換為電流信號的換能器。X-CT成像的數(shù)據(jù)采集根據(jù)X-CT成像的物理原理進(jìn)行的。

X線管發(fā)出直線波束X-CT成像技術(shù)2.X-CT成像的數(shù)據(jù)采集與處理X線管發(fā)X-CT的掃描方式CT的各種掃描方式：單束平移-旋轉(zhuǎn)方式；窄扇形束掃描平移-旋轉(zhuǎn)方式；旋轉(zhuǎn)-旋轉(zhuǎn)方式；靜止-旋轉(zhuǎn)方式；共同點是都需要X射線管和檢測器之間進(jìn)行同步掃描機(jī)械運動。X-CT的掃描方式CT的各種掃描方式：第一代CT(ComputedTomography)單個探測器平移－旋轉(zhuǎn)并行光光束

計算機(jī)斷層掃描技術(shù)第一代CT(ComputedTomography)單個探第一代CT1.單束平移-旋轉(zhuǎn)（T/R）方式單束掃描是由一個X射線管和一個檢測器組成，X射線束被準(zhǔn)直成筆直單射線束形式，X射線管和檢測器圍繞受檢體作同步平移-旋轉(zhuǎn)掃描運動。首先進(jìn)行同步平移直線掃描；平移掃完一個指定斷層；掃描系統(tǒng)轉(zhuǎn)過一個角度（一般為1°）；再對同一指定斷層進(jìn)行平移同步掃描；如此進(jìn)行下去，直到掃描系統(tǒng)旋轉(zhuǎn)到與初始值位置成180°角為止，這就是平移旋轉(zhuǎn)掃描方式單束平移-旋轉(zhuǎn)方式第一代CT1.單束平移-旋轉(zhuǎn)（T/R）方式單束平移-旋轉(zhuǎn)方第一代CT1.單束平移-旋轉(zhuǎn)（T/R）方式這種掃描方式的缺點:射線利用率極低，掃描速度很慢，對一個斷層掃描約需5分鐘時間；只適用于物體或動物器官的掃描。單束平移-旋轉(zhuǎn)方式第一代CT1.單束平移-旋轉(zhuǎn)（T/R）方式單束平移-旋轉(zhuǎn)方第二代CT2.窄扇形束掃描平移-旋轉(zhuǎn)（T/R）方式窄扇形束掃描稱為第二代CT掃描。掃描裝置由一個X射線管和6～30個的檢測器組構(gòu)成同步掃描系統(tǒng)。掃描時，X射線管發(fā)出角度為3°～20°的窄扇形射線束，6～30個檢測器同時采樣，并采用平移-旋轉(zhuǎn)掃描方式。窄扇形束掃描平移-旋轉(zhuǎn)方式第二代CT2.窄扇形束掃描平移-旋轉(zhuǎn)（T/R）方式窄扇形束掃2.窄扇形束掃描平移-旋轉(zhuǎn)（T/R）方式這種掃描的主要缺點是：由于檢測器排列成直線，對于X射線管發(fā)出的扇形束來說，扇形束的中心射束和邊緣射束的測量值不相等，需校正，否則掃描會因這種運動而出現(xiàn)運動偽影，影響CT圖像的質(zhì)量。

窄扇形束掃描平移-旋轉(zhuǎn)方式第二代CT2.窄扇形束掃描平移-旋轉(zhuǎn)（T/R）方式窄扇形束掃描平移-旋第二代CT多個探測器平移－旋轉(zhuǎn)小扇形光束(FromG.Wang)第二代CT多個探測器(FromG.Wang)第三代CT多個探測器旋轉(zhuǎn)－旋轉(zhuǎn)大扇形光束第三代CT多個探測器旋轉(zhuǎn)-旋轉(zhuǎn)（R/R）方式

這種掃描稱為第三代CT掃描，掃描裝置由一個X射線管和由250～700個檢測器（或用檢測器陣列）排列成一個可在掃描架內(nèi)滑動的緊密圓弧形。X射線管發(fā)出張角為30°～45°，能覆蓋整個受檢體的寬扇形射線束。由于這種寬扇束掃描一次即能覆蓋整個受檢體，故只需X射線管和檢測器作同步旋轉(zhuǎn)運動。X線管旋轉(zhuǎn)采樣點檢測器軌道檢測器扇形X線束攝影區(qū)域旋轉(zhuǎn)-旋轉(zhuǎn)掃描方式第三代CT旋轉(zhuǎn)-旋轉(zhuǎn)（R/R）方式X線管旋轉(zhuǎn)采樣點檢測器軌道檢測器扇旋轉(zhuǎn)-旋轉(zhuǎn)（R/R）方式這種掃描的缺點是：要對每個相鄰檢測器的接收靈敏度差異進(jìn)行校正，否則由于同步旋轉(zhuǎn)掃描運動會產(chǎn)生環(huán)形偽像。X線管旋轉(zhuǎn)采樣點檢測器軌道檢測器扇形X線束攝影區(qū)域旋轉(zhuǎn)-旋轉(zhuǎn)掃描方式第三代CT旋轉(zhuǎn)-旋轉(zhuǎn)（R/R）方式X線管旋轉(zhuǎn)采樣點檢測器軌道檢測器扇第四代CT環(huán)形探測器發(fā)射源旋轉(zhuǎn)大扇形光束第四代CT環(huán)形探測器靜止-旋轉(zhuǎn)（S/R）方式這種掃描稱為第四代CT掃描方式，掃描裝置由一個X射線管和600~2000個檢測器所組成。在靜止-旋轉(zhuǎn)掃描方式中，每個檢測器得到的投影值，相當(dāng)于以該檢測器為焦點，由X射線管旋轉(zhuǎn)掃描一個扇形面而獲得。檢測器X線管軌跡X線管靜止-旋轉(zhuǎn)掃描方式第四代CT靜止-旋轉(zhuǎn)（S/R）方式檢測器X線管軌跡X線管靜止-旋轉(zhuǎn)掃描靜止-旋轉(zhuǎn)掃描方式的優(yōu)點是：每一個檢測器上獲得多個方向的投影數(shù)據(jù)，能很好地克服寬扇形束的旋轉(zhuǎn)-旋轉(zhuǎn)掃描方式中由于檢測器之間差異所帶來的環(huán)形偽影，掃描速度與靜止-旋轉(zhuǎn)方式相比也有所提高。靜止-旋轉(zhuǎn)掃描方式的優(yōu)點是：螺旋CT工作原理

螺旋掃描是指在掃描期間，X線管連續(xù)旋轉(zhuǎn)并產(chǎn)生X線束，同時掃描床在縱軸方向連續(xù)移動，這樣，掃描區(qū)域X線束進(jìn)行的軌跡相對被檢查者而言呈螺旋運動，掃描軌跡為螺旋形曲線，這樣可以一次收集到掃描范圍內(nèi)全部容積的數(shù)據(jù)，所以也稱為螺旋容積掃描。

螺旋CT掃描裝置包括探測器、X線管滑環(huán)、機(jī)架與檢查床、控制臺與計算機(jī)。其中滑環(huán)技術(shù)是螺旋掃描的基礎(chǔ)，螺旋掃描是通過滑環(huán)技術(shù)與掃描床的連續(xù)移動相結(jié)合而實現(xiàn)的。螺旋CT工作原理螺旋掃描是指在掃描期間，X線管連續(xù)旋轉(zhuǎn)并螺旋CT工作原理多層螺旋CT，又稱多層CT。它的結(jié)構(gòu)特點是具備多排檢測器和多個數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)。

螺旋掃描及層面投影螺旋CT工作原理多層螺旋CT，又稱多層CT。它的結(jié)構(gòu)特點是具螺多層螺旋CT工作原理多層螺旋CT掃描特點：（1）降低X射線球管損耗。（2）掃描覆蓋范圍更長。（3）掃描時間更短。（4）掃描層厚更薄。

螺多層螺旋CT工作原理多層螺旋CT掃描特點：CT掃描儀掃描速度:50,100ms掃描厚度:1.5,3,6,10mm(FromImatron)CT掃描儀掃描速度:50,100ms(FromIm概述概述投影重建原理基本模型拉東變換傅里葉反變換重建逆投影重建代數(shù)重建技術(shù)綜合重建方法投影重建原理基本模型基本模型

基本模型

圖像重建一般方法課件拉東變換拉東變換圖像重建一般方法課件圖像重建一般方法課件圖像重建一般方法課件上述線積分可寫為：如果借助Delta函數(shù)，上述線積分還可寫為：Radon變換定義上述線積分可寫為：如果借助Delta函數(shù)，上述線積分還可寫為對f(x,y)的2-D傅里葉變換與對f(x,y)先進(jìn)行Radon變換后再進(jìn)行1-D傅里葉變換得到的結(jié)果相等。證明：利用Delta函數(shù)，可將2-D傅里葉變換寫為：Radon變換定義對f(x,y)的2-D傅里葉變換與對f(x,y)先進(jìn)行Rad傅里葉反變換重建傅里葉反變換重建傅里葉變換是最簡單的重建方法。一個三維(或二維)物體，它的二維(或一維)投影的傅里葉變換恰與此物體的傅里葉變換的主體部分相等,而傅里葉變換重建方法也正是以此為基礎(chǔ)的。通過將投影進(jìn)行旋轉(zhuǎn)和部分傅里葉變換可以首先構(gòu)造整個的傅里葉變換的平面，然后只須再通過傅里葉反變換就可以得到重建后的物體。傅里葉變換是最簡單的重建方法。一個三維(或二維)物體，它的二中心切片定理中心切片定理核心就是將和聯(lián)系在一起。定義：密度函數(shù)f(x,y)在某一方向上的投影函數(shù)的一維傅立葉變換函數(shù)是原密度函數(shù)f(x,y)的二維傅立葉變換函數(shù)在平面上沿同一方向且過原點的直線上的值。中心切片定理中心切片定理核心就是將和圖形解釋在二維頻率域中過原點的與μ軸夾角為θ的直線上的值就是投影函數(shù)的一維傅立葉變換的函數(shù)值。圖形解釋在二維頻率域中過原點的與μ軸夾角為θ的直線上的值證明舉例：如圖所示，對于二維密度函數(shù)沿x方向取其投影函數(shù)，∵證明中沿μ=0直線上的值是：此種方式證明了θ=90°時，中心切片定理是成立的。中沿μ=0直線上的值是：當(dāng)θ≠90°時，如上圖所示。在(x,y)平面中，投影線L的方程為。若以極坐標(biāo)方式表示直線L的方程可表示為由于投影函數(shù)的值是密度函數(shù)沿投影線的線積分值，即：當(dāng)θ≠90°時，如上圖所示。在(x,y)平面中，投影線L的方即：

上式中，δ函數(shù)稱為δ線函數(shù)，δ函數(shù)的篩選性質(zhì)即：密度函數(shù)與此δ線函數(shù)相乘后積分，就是把二維密度函數(shù)在此直線上的值篩選出來，所以上式實際上可看作為沿投影線的一維積分。對F(u,v)用極坐標(biāo)表示。其中密度函數(shù)與此δ線函數(shù)相乘后積分，就是把二維密度函數(shù)在此直線上上式中的指數(shù)部分可改寫為（由δ函數(shù)的篩選性質(zhì)得出）：則：上式中的指數(shù)部分可改寫為（由δ函數(shù)的篩選性質(zhì)得出）：上式說明：沿β角方向的投影函數(shù)的一維傅立葉變換的結(jié)果，就是密度函數(shù)f(x,y)的二維傅立葉變換函數(shù)在相同角度下過原點的直線上的值。這就是中心切片定理的證明。上式說明：沿β角方向的投影函數(shù)的一維傅立葉變換7.3傅里葉反變換重建

1、基本步驟和定義

(1)建立數(shù)學(xué)模型，其中已知量和未知量都是連續(xù) 實數(shù)的函數(shù)

(2)利用反變換公式（可有多個等價的）解未知量

(3)調(diào)節(jié)反變換公式以適應(yīng)離散、有噪聲應(yīng)用的需求 重建算法：設(shè)圖象區(qū)被1個直角網(wǎng)格所覆蓋，K為X方向 上的點數(shù)，L為Y方向上的點數(shù) 要通過M

N個測量值g(m

s,n

)估計出在 K

L個采樣點的f(k

x,l

y)7.3傅里葉反變換重建7.3傅里葉反變換重建

1、基本步驟和定義 考慮在s和

上都均勻采樣的情況

M個間距為

s的射線，N個相差

的角度 類似定義

K+和K–

L+和L–

一系列射線覆蓋圓 選取 和7.3傅里葉反變換重建傅里葉反變換重建

2、傅里葉變換投影定理

投影定理：

f(x,y)以

角進(jìn)行投影的傅里葉變換等于f(x,y)的傅里葉變換在傅里葉空間(R,

)處的值

f(x,y)在與X軸成

角的直線上投影的傅里葉變換是f(x,y)的傅里葉變換在朝向角

上的1個截面傅里葉反變換重建傅里葉反變換重建

2、傅里葉變換投影定理

投影定理：

對投影（Radon變換）的1-D傅里葉變換可得到定義在傅里葉空間的極坐標(biāo)網(wǎng)格

傅里葉反變換重建圖像重建如果我們在不同角度下取得足夠多的投影函數(shù)數(shù)據(jù)，并作它們的傅立葉變換，那么變換后的數(shù)據(jù)將充滿整個（u,v)平面。一旦頻域函數(shù)F(u,v)或的全部值都得到后將其作一次傅立葉反變換，就能得到原始的密度函數(shù)f(x,y)。這就是所需要重建的圖像。圖像重建如果我們在不同角度下取得足夠多的投影函數(shù)數(shù)據(jù)，并作它投影重建原理過程f(x,y)