五年級(jí)奧數(shù)數(shù)論中國(guó)剩余定理及棄九法（B級(jí)）學(xué)生版

中國(guó)剩余定理及棄九法中國(guó)剩余定理及棄九法知識(shí)框架知識(shí)框架中國(guó)剩余定理——中國(guó)古代趣題趣題一中國(guó)數(shù)學(xué)名著《孫子算經(jīng)》里有這樣的問(wèn)題：“今有物，不知其數(shù)，三三數(shù)之，剩二，五五數(shù)之，剩三，七七數(shù)之，剩二，問(wèn)物幾何？”答曰：“二十三?！贝祟悊?wèn)題我們可以稱為“物不知其數(shù)”類型，又被稱為“韓信點(diǎn)兵”。韓信點(diǎn)兵又稱為中國(guó)剩余定理，相傳漢高祖劉邦問(wèn)大將軍韓信統(tǒng)御兵士多少，韓信答說(shuō)，每3人一列余1人、5人一列余2人、7人一列余4人、13人一列余6人……。劉邦茫然而不知其數(shù)。我們先考慮下列的問(wèn)題：假設(shè)兵不滿一萬(wàn)，每5人一列、9人一列、13人一列、17人一列都剩3人，則兵有多少？首先我們先求5、9、13、17之最小公倍數(shù)9945（注：因?yàn)?、9、13、17為兩兩互質(zhì)的整數(shù)，故其最小公倍數(shù)為這些數(shù)的積），然后再加3，得9948（人）。孫子算經(jīng)的作者及確實(shí)著作年代均不可考，不過(guò)根據(jù)考證，著作年代不會(huì)在晉朝之后，以這個(gè)考證來(lái)說(shuō)上面這種問(wèn)題的解法，中國(guó)人發(fā)現(xiàn)得比西方早，所以這個(gè)問(wèn)題的推廣及其解法，被稱為中國(guó)剩余定理。中國(guó)剩余定理（ChineseRemainderTheorem）在近代抽象代數(shù)學(xué)中占有一席非常重要的地位。趣題二我國(guó)明朝有位大數(shù)學(xué)家叫程大位，他在解答“物不知其數(shù)”問(wèn)題（即：有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二，問(wèn)物幾何？）時(shí)用四句詩(shī)概括出這類問(wèn)題的優(yōu)秀解法：“三人同行七十稀，五樹(shù)梅花廿一枝，七子團(tuán)圓正月半，除百零五便得知．”這首詩(shī)就是解答此類問(wèn)題的金鑰匙，它被世界各國(guó)稱為“中國(guó)剩余定理”（ChineseRemainderTheorem），是我國(guó)古代數(shù)學(xué)的一項(xiàng)輝煌成果．詩(shī)中的每一句話都表示一個(gè)步驟：三人同行七十稀，是說(shuō)除以3所得的余數(shù)用70乘．五樹(shù)梅花廿一枝，是說(shuō)除以5所得的余數(shù)用21乘．七子團(tuán)圓正月半，是說(shuō)除以7所得的余數(shù)用15乘．除百零五便得知，是說(shuō)把上面乘得的3個(gè)積加起來(lái)，減去105的倍數(shù)，減得差就是所求的數(shù)．此題的中國(guó)剩余定理的解法是：用70乘3除所得的余數(shù)，21乘5除所得的余數(shù)，15乘7除所得的余數(shù)，把這3個(gè)結(jié)果加起來(lái)，如果它大于105，則減去105，所得的差如果仍比105大，則繼續(xù)減去105，最后所得的整數(shù)就是所求．也就是，，為什么70，21，15，105有此神奇效用？70，21，15，105是從何而來(lái)？先看70，21，15，105的性質(zhì)：70被3除余1，被5，7整除，所以70a是一個(gè)被3除余a而被5與7整除的數(shù)；21是5除余1，被3與7整除的數(shù)，因此21b是被5除余b，被3與7整除的數(shù)；同理15c是被7除余c，被3、5整除的數(shù)，105是3，5，7的最小公倍數(shù)．也就是說(shuō)，是被3除余a，被5除余b，被7除余c的數(shù)，這個(gè)數(shù)可能是解答，但不一定是最小的，因此還要減去它們的公倍數(shù)．了解了“剩余定理”的秘密后，對(duì)類似于上面的題目，我們都可以用中國(guó)剩余定理來(lái)解答．核心思想和方法對(duì)于這一類問(wèn)題，我們有一套看似繁瑣但是一旦掌握便可一通百通的方法，下面我們就以《孫子算經(jīng)》中的問(wèn)題為例，分析此方法:今有物，不知其數(shù)，三三數(shù)之，剩二，五五數(shù)之，剩三，七七數(shù)之，剩二，問(wèn)物幾何？題目中我們可以知道，一個(gè)自然數(shù)分別除以3，5，7后，得到三個(gè)余數(shù)分別為2，3，2.那么我們首先構(gòu)造一個(gè)數(shù)字，使得這個(gè)數(shù)字除以3余1，并且還是5和7的公倍數(shù)。先由，即5和7的最小公倍數(shù)出發(fā)，先看35除以3余2，不符合要求，那么就繼續(xù)看5和7的“下一個(gè)”倍數(shù)是否可以，很顯然70除以3余1類似的，我們?cè)贅?gòu)造一個(gè)除以5余1，同時(shí)又是3和7的公倍數(shù)的數(shù)字，顯然21可以符合要求。最后再構(gòu)造除以7余1，同時(shí)又是3，5公倍數(shù)的數(shù)字，45符合要求，那么所求的自然數(shù)可以這樣計(jì)算：，其中k是自然數(shù)。也就是說(shuō)滿足上述關(guān)系的數(shù)有無(wú)窮多，如果根據(jù)實(shí)際情況對(duì)數(shù)的范圍加以限制，那么我們就能找到所求的數(shù)。例如對(duì)上面的問(wèn)題加上限制條件“滿足上面條件最小的自然數(shù)”，那么我們可以計(jì)算得到所求如果加上限制條件“滿足上面條件最小的三位自然數(shù)”,我們只要對(duì)最小的23加上[3,5,7]即可，即23+105=128。棄九法原理在公元前9世紀(jì)，有個(gè)印度數(shù)學(xué)家名叫花拉子米，寫(xiě)有一本《花拉子米算術(shù)》，他們?cè)谟?jì)算時(shí)通常是在一個(gè)鋪有沙子的土板上進(jìn)行，由于害怕以前的計(jì)算結(jié)果丟失而經(jīng)常檢驗(yàn)加法運(yùn)算是否正確，他們的檢驗(yàn)方式是這樣進(jìn)行的：例如：檢驗(yàn)算式1234除以9的余數(shù)為11898除以9的余數(shù)為818922除以9的余數(shù)為4678967除以9的余數(shù)為7178902除以9的余數(shù)為0這些余數(shù)的和除以9的余數(shù)為2而等式右邊和除以9的余數(shù)為3，那么上面這個(gè)算式一定是錯(cuò)的。上述檢驗(yàn)方法恰好用到的就是我們前面所講的余數(shù)的加法定理，即如果這個(gè)等式是正確的，那么左邊幾個(gè)加數(shù)除以9的余數(shù)的和再除以9的余數(shù)一定與等式右邊和除以9的余數(shù)相同。而我們?cè)谇笠粋€(gè)自然數(shù)除以9所得的余數(shù)時(shí)，常常不用去列除法豎式進(jìn)行計(jì)算，只要計(jì)算這個(gè)自然數(shù)的各個(gè)位數(shù)字之和除以9的余數(shù)就可以了，在算的時(shí)候往往就是一個(gè)9一個(gè)9的找并且劃去，所以這種方法被稱作“棄九法”。所以我們總結(jié)出棄九發(fā)原理：任何一個(gè)整數(shù)模9同余于它的各數(shù)位上數(shù)字之和。以后我們求一個(gè)整數(shù)被9除的余數(shù)，只要先計(jì)算這個(gè)整數(shù)各數(shù)位上數(shù)字之和，再求這個(gè)和被9除的余數(shù)即可。利用十進(jìn)制的這個(gè)特性，不僅可以檢驗(yàn)幾個(gè)數(shù)相加，對(duì)于檢驗(yàn)相乘、相除和乘方的結(jié)果對(duì)不對(duì)同樣適用例如：檢驗(yàn)算式9+9=9時(shí)，等式兩邊的除以9的余數(shù)都是0，但是顯然算式是錯(cuò)誤的但是反過(guò)來(lái)，如果一個(gè)算式一定是正確的，那么它的等式2兩端一定滿足棄九法的規(guī)律。這個(gè)思想往往可以幫助我們解決一些較復(fù)雜的算式迷問(wèn)題。重難點(diǎn)重難點(diǎn)注意：棄九法只能知道原題一定是錯(cuò)的或有可能正確，但不能保證一定正確。例題精講例題精講將自然數(shù)1，2，3，……如果一直寫(xiě)到自然數(shù)100，那么所得的數(shù)除以9的余數(shù)是多少？檢驗(yàn)下面的加法算式是否正確：2638457＋3521983＋6745785＝12907225。假設(shè)=3039162537□6，其中□代表一個(gè)隱藏的數(shù)字，你能找出來(lái)么？假設(shè)=15127743□136，同樣是求□代表的一位數(shù)字。從0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、這十個(gè)數(shù)中，選出九個(gè)數(shù)字，組成一個(gè)兩位數(shù)、一個(gè)三位數(shù)和一個(gè)四位數(shù)，使這三個(gè)數(shù)的和等于2010，那么其中未被選中的數(shù)字是______在右邊的加法算式中，如果不同的漢字代表不同的數(shù)字，使得算式成立，那么四位數(shù)的最大值是______________.一個(gè)數(shù)除以3的余數(shù)是2，除以5的余數(shù)是1，則這個(gè)數(shù)除以15的余數(shù)是

。一群猴子分桃，桃子共有56個(gè)，每只猴子可以分到同樣多的桃子。但在它們正要分桃時(shí)，又來(lái)了4只猴子，于是重新分配這些桃子，結(jié)果每只猴子分到的桃子數(shù)量相同，那么最后每只猴子分到個(gè)桃子。除以余，除以余，除以余，除以余，，除以余。最小為。不足100名同學(xué)跳集體舞時(shí)有兩種組合：一種是中間一組5人，其他人按8人一組圍在外圈；另一種是中間一組8人，其他人按5人一組圍在外圈。問(wèn)最多有多少名同學(xué)?是一個(gè)三位數(shù).它的百位數(shù)字是4，能被7整除，能被9整除，問(wèn)是多少？一個(gè)八位數(shù)，它被3除余1，被4除余2，被11恰好整除，已知這個(gè)八位數(shù)的前6位是257633，那么它的后兩位數(shù)字是__________。一個(gè)數(shù)除以3余2，除以5余3，除以7余4，問(wèn)滿足條件的最小自然數(shù)____.一個(gè)自然數(shù)在1000和1200之間，且被3除余1，被5除余2，被7除余3，求符合條件的數(shù)．如圖，在一個(gè)圓圈上有幾十個(gè)孔(不到100個(gè))，小明像玩跳棋那樣，從孔出發(fā)沿著逆時(shí)針?lè)较?，每隔幾孔跳一步，希望一圈以后能跳回到A孔．他先試著每隔2孔跳一步，結(jié)果只能跳到B孔．他又試著每隔4孔跳一步，也只能跳到B孔．最后他每隔6孔跳一步，正好跳回到A孔，你知道這個(gè)圓圈上共有多少個(gè)孔嗎?三個(gè)連續(xù)三位數(shù)的和能夠被13整除，且這三個(gè)數(shù)中最大的數(shù)被9除余4，那么符合條件的三位數(shù)中最小的數(shù)最大是。某小學(xué)的六年級(jí)有一百多名學(xué)生．若按三人一行排隊(duì)，則多出一人；若按五人一行排隊(duì)，則多出二人；若按七人一行排隊(duì)，則多出一人．該年級(jí)的人數(shù)是．智慧老人到小明的年級(jí)訪問(wèn)，小明說(shuō)他們年級(jí)共一百多名同學(xué)，老人請(qǐng)同學(xué)們按三人一行排隊(duì)，結(jié)果多出一人，按五人一行排隊(duì)，結(jié)果多出二人，按七人一行排隊(duì)，結(jié)果多出一人，老人說(shuō)我知道你們年級(jí)原人數(shù)應(yīng)該是（）人。三個(gè)連續(xù)的自然數(shù)，從小到大依次是4、7、9的倍數(shù)，這三個(gè)自然數(shù)的和最小是．在200至300之間，有三個(gè)連續(xù)的自然數(shù)，其中，最小的能被3整除，中間的能被7整除，最大的能被13整除，那么這樣的三個(gè)連續(xù)自然數(shù)分別是多少？課堂檢測(cè)課堂檢測(cè)有一個(gè)2000位的數(shù)A能被9整除，數(shù)A的各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和是B，數(shù)B的各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和是C，數(shù)C的各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和是D。求D。小朋友們做游戲，若3人分成一組，則最后余下2人；若4人分成一組，則最后余下3人；若5人分成一組，則最后余下4人。那么一起做游戲的小朋友至少有人。學(xué)習(xí)委員收買練習(xí)本的錢,她只記下四組各交的錢,第一組2.61元,第二組3.19元,第三組2.61元,第四組3.48元,又知道每本練習(xí)本價(jià)格都超過(guò)1角,全班共有_____人.家庭作業(yè)家庭作業(yè)檢驗(yàn)下面的減法算式是否正確：7832145-2167953＝5664192。檢驗(yàn)下面的乘法算式是否正確：46876×9537＝447156412。有2個(gè)三位數(shù)相乘的積是一個(gè)五位數(shù)，積的后四位是5483，第一個(gè)數(shù)各個(gè)位的數(shù)字之和是11，第二個(gè)數(shù)的各個(gè)位數(shù)字之和是16，求兩個(gè)三位數(shù)的和。某個(gè)自然數(shù)除以2余1，除以3余2，除以4余1，除以5也余1，則這個(gè)數(shù)最小是