132坐標(biāo)系與參數(shù)方程

一、選擇題1．若P(－2，－eq\f(π,3))是極坐標(biāo)系中的一點，則Q(2，eq\f(2π,3))、R(2，eq\f(8π,3))、M(－2，eq\f(5π,3))、N(2,2kπ－eq\f(4π,3))(k∈Z)四點中與P重合的點有____________個()A．1 B．2C．3 D．4[答案]D[解析](－2，－eq\f(π,3))的統(tǒng)一形式(2,2kπ＋eq\f(2π,3))或(－2,2kπ－eq\f(π,3))(k∈Z)，故四個點都與P(－2，－eq\f(π,3))重合．2．拋物線x2－2y－6xsinθ－9cos2θ＋8cosθ＋9＝0的頂點的軌跡是(其中θ∈R)()A．圓 B．橢圓C．拋物線 D．雙曲線[答案]B[解析]原方程變形為：y＝eq\f(1,2)(x－3sinθ)2＋4cosθ.設(shè)拋物線的頂點為(x，y)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3sinθ,y＝4cosθ))，消去參數(shù)θ得軌跡方程為eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,16)＝1.它是橢圓．二、填空題3．(2022·江西理，15)若曲線的極坐標(biāo)方程為ρ＝2sinθ＋4cosθ，以極點為原點，極軸為x軸正半軸建立直角坐標(biāo)系，則該曲線的直角坐標(biāo)方程為________．[答案]x2＋y2－4x－2y＝0[解析]本題主要考查極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化．因為ρ＝2sinθ＋4cosθ，所以ρ2＝2ρsinθ＋4ρcosθ，即x2＋y2＝2y＋4x，即x2＋y2－4x－2y＝0.4．(2022·大連模擬)圓ρ＝eq\r(2)(cosθ＋sinθ)的圓心坐標(biāo)為________．[答案]eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(π,4)))[解析]可化為直角坐標(biāo)方程eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(\r(2),2)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(\r(2),2)))2＝1或化為ρ＝2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4)))，這是ρ＝2rcos(θ－θ0)形式的圓的方程．5．(2022·天津理)已知圓C的圓心是直線eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝t,y＝1＋t))，(t為參數(shù))與x軸的交點，且圓C與直線x＋y＋3＝0相切，則圓C的方程為______．[答案](x＋1)2＋y2＝2[解析]直線為y＝x＋1，故圓心坐標(biāo)為(－1,0)，半徑R＝eq\f(|－1＋3|,\r(2))＝eq\r(2)，則圓的方程：(x＋1)2＋y2＝2.6．(2022·廣東理，14)已知兩曲線參數(shù)方程分別為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\r(5)cosθ,y＝sinθ))(0≤θ<π)和eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(5,4)t2,y＝t))(t∈R)，它們的交點坐標(biāo)為________．[答案]eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(2\r(5),5)))[解析]本題考查參數(shù)方程、參數(shù)方程化普通方程以及求曲線的公共點，求曲線交點只需聯(lián)立方程解方程組即可.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\r(5)cosθ,y＝sinθ))(0≤θ≤π)化為普通方程為eq\f(x2,5)＋y2＝1(0≤y≤1)，而eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(5,4)t2,y＝t))化為普通方程為x＝eq\f(5,4)y2，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x2,5)＋y2＝10≤y≤1,x＝\f(5,4)y2))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1,y＝\f(2\r(5),5)))，即交點坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(2\r(5),5))).三、解答題7．在直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)為極點，x正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρcoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,3)))＝1，M，N分別為C與x軸，y軸的交點．(1)寫出C的直角坐標(biāo)方程，并求M，N的極坐標(biāo)；(2)設(shè)MN的中點為P，求直線OP的極坐標(biāo)方程．[解析](1)由ρcoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,3)))＝1得ρeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)cosθ＋\f(\r(3),2)sinθ))＝1，從而C的直角坐標(biāo)方程為eq\f(1,2)x＋eq\f(\r(3),2)y＝1，即x＋eq\r(3)y＝2，θ＝0時，ρ＝2，所以M(2,0)，θ＝eq\f(π,2)時，ρ＝eq\f(2\r(3),3)，所以Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),3)，\f(π,2))).(2)M的直角坐標(biāo)為(2,0)，N的直角坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2\r(3),3)))，所以P點的直角坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(\r(3),3)))，則P點的極坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),3)，\f(π,6)))，所以直線OP的極坐標(biāo)方程為θ＝eq\f(π,6)，ρ∈(－∞，＋∞)．8．(2022·新課標(biāo)理，23)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2cosα，,y＝2＋2sinα.))(α為參數(shù))．M是C1上的動點，P點滿足eq\o(OP,\s\up15(→))＝2eq\o(OM,\s\up15(→))，P點的軌跡為曲線C2.(1)求C2的方程；(2)在以O(shè)為極點，x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，射線θ＝eq\f(π,3)與C1的異于極點的交點為A，與C2的異于極點的交點為B，求|AB|.[解析](1)設(shè)P(x，y)，則由條件知Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)，\f(y,2))).由于M點在C1上，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＝2cosα，,\f(y,2)＝2＋2sinα，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4cosα，,y＝4＋4sinα.))從而C2的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4cosα，,y＝4＋4sinα.))(α為參數(shù))(2)曲線C1的極坐標(biāo)方程為ρ＝4sinθ，曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ＝8sinθ.射線θ＝eq\f(π,3)與C1的交點A的極徑為ρ1＝4sineq\f(π,3)，射線θ＝eq\f(π,3)與C2的交點B的極徑為ρ2＝8sineq\f(π,3).所以|AB|＝|ρ2－ρ1|＝2eq\r(3).一、選擇題1．(2022·安徽理，5)在極坐標(biāo)系中點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,3)))到圓ρ＝2cosθ的圓心的距離為()A．2 \r(4＋\f(π2,9))\r(1＋\f(π2,9)) \r(3)[答案]D[解析]本題主要考查極坐標(biāo)的知識以及極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化，考查兩點間的距離公式，極坐標(biāo)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,3)))化為直角坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2cos\f(π,3)，2sin\f(π,3)))，即(1，eq\r(3))，圓的極坐標(biāo)方程ρ＝2cosθ可化為ρ2＝2ρcosθ，化為直角坐標(biāo)方程為x2＋y2－2x＝0，即(x－1)2＋y2＝1，所以圓心坐標(biāo)為(1,0)，則由兩點間距離公式d＝eq\r(1－12＋\r(3)－02)＝eq\r(3)，故選D.2．(2022·重慶理)直線y＝eq\f(\r(3),3)x＋eq\r(2)與圓心為D的圓eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\r(3)＋\r(3)cosθ，,y＝1＋\r(3)sinθ))(θ∈[0,2π))交于A、B兩點，則直線AD與BD的傾斜角之和為()\f(7,6)π \f(5,4)π\(zhòng)f(4,3)π \f(5,3)π[答案]C[解析]設(shè)直線與圓交于點(eq\r(3)＋eq\r(3)cosθ，1＋eq\r(3)sinθ)∵點在直線y＝eq\f(\r(3),3)x＋eq\r(2)上，∴1＋eq\r(3)sinθ＝eq\f(\r(3),3)(eq\r(3)＋eq\r(3)cosθ)＋eq\r(2)即sin(θ－eq\f(π,6))＝eq\f(\r(2),2)，∵－eq\f(π,6)<θ－eq\f(π,6)<eq\f(11,6)π∴θ－eq\f(π,6)＝eq\f(π,4)或θ－eq\f(π,6)＝eq\f(3,4)π，解得θ1＝eq\f(5,12)πθ2＝eq\f(11,12)π，不妨設(shè)A(eq\r(3)＋eq\r(3)cosθ1,1＋eq\r(3)sinθ1)，B(eq\r(3)＋eq\r(3)cosθ2,1＋eq\r(3)sinθ2)，則kAD＝tanθ1，∴直線AD的傾斜角為θ1＝eq\f(5,12)π，同理直線BD的傾斜角為θ2＝eq\f(11,12)π，∴傾斜角之和為θ1＋θ2＝eq\f(4,3)π.二、填空題3．(2022·陜西理，15C)在直角坐標(biāo)系xOy中，以原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，設(shè)點A，B分別在曲線C1：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3＋cosθ,y＝4＋sinθ))(θ為參數(shù))和曲線C2：ρ＝1上，則|AB|的最小值為________．[答案]3[解析]本小題考查極坐標(biāo)與參數(shù)方程．C1為圓(x－3)2＋(y－4)2＝1，C2為圓x2＋y2＝1.∴|AB|min＝eq\r(32＋42)－1－1＝3.4．(文)(2022·廣東文)在極坐標(biāo)系(ρ，θ)(0≤θ＜2π)中，曲線ρ(cosθ＋sinθ)＝1與ρ(sinθ－cosθ)＝1的交點的極坐標(biāo)為__________．[答案]eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(π,2)))[解析]本題考查了直角坐標(biāo)系與極坐標(biāo)系方程的互化，原極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝1,y－x＝1))eq\o(?,)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0,y＝1))再化為相應(yīng)的極坐標(biāo)系為點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(π,2))).體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想．(理)(2022·廣東理)在極坐標(biāo)系(ρ，θ)(0≤θ<2π)中，曲線ρ＝2sinθ與ρcosθ＝－1的交點的極坐標(biāo)為________．[答案](eq\r(2)，eq\f(3π,4))[解析]由ρ＝2sinθ與ρcosθ＝1得2sinθcosθ＝－1，∴sin2θ＝－1，θ＝eq\f(3π,4)，∴ρ＝2sineq\f(3π,4)＝eq\r(2).5．(文)(2022·湖南文，9)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2cosα，,y＝\r(3)sinα))(α為參數(shù))，在極坐標(biāo)系(與直角坐標(biāo)系xOy取相同的長度單位，且以原點O為極點，以x軸正半軸為極軸)中，曲線C2的方程為ρ(cosθ－sinθ)＋1＝0，則C1與C2的交點個數(shù)為________．[答案]2[解析]本題考查了參數(shù)方程極坐標(biāo)知識．由題意知C1方程為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1，表示橢圓；而C2方程即ρcosθ－ρsinθ＋1＝0表示直線x－y＋1＝0，由C1和C2方程聯(lián)立得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x2,4)＋\f(y2,3)＝1,x－y＋1＝0))，消去y得7x2＋8x－8＝0，由Δ＝64＋4×7×8>0知曲線C1與曲線C2有兩個交點．(理)(2022·上海理，5)在極坐標(biāo)系中，直線ρ(2cosθ＋sinθ)＝2與直線ρcosθ＝1的夾角大小為________．(結(jié)果用反三角函數(shù)表示)[答案]arctaneq\f(1,2)[解析]本題考查極坐標(biāo)系的定義、極坐標(biāo)直線方程、極坐標(biāo)直線方程化普通方程以及兩直線夾角等知識．極坐標(biāo)方程化普通方程時要注意等價性．∵ρ(2cosθ＋sinθ)＝2，由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ可得一般方程為2x＋y＝2.ρcosθ＝1的一般方程為x＝1.直線2x＋y＝2的傾斜角的補(bǔ)角為arctan2，設(shè)兩直線夾角為α，則tanα＝tan(eq\f(π,2)－arctan2)＝cot(arctan2)＝eq\f(1,tanarctan2)＝eq\f(1,2)，∴α＝arctaneq\f(1,2).6．(2022·深圳模擬)在極坐標(biāo)系中，設(shè)P是直線l：ρ(cosθ＋sinθ)＝4上任一點，Q是圓C：ρ2＝4ρcosθ－3上任一點，則|PQ|的最小值是________．[答案]eq\r(2)－1[解析]∵ρ(cosθ＋sinθ)＝4，∴x＋y－4＝0，又ρ2＝4ρcosθ－3，∴x2＋y2－4x＋3＝0，圓C的坐標(biāo)為(2,0)，半徑為r＝1，∴圓心到直線的距離為eq\f(|2＋0－4|,\r(2))＝eq\r(2)，∴|PQ|的最小值是eq\r(2)－1.三、解答題7．(2022·遼寧理，23)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝cosφ，,y＝sinφ，))(φ為參數(shù))，曲線C2的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝acosφ，,y＝bsinφ，))(a>b>0，φ為參數(shù))．在以O(shè)為極點，x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，射線l：θ＝α與C1，C2各有一個交點．當(dāng)α＝0時，這兩個交點間的距離為2，當(dāng)α＝eq\f(π,2)時，這兩個交點重合．(1)分別說明C1，C2是什么曲線，并求出a與b的值．(2)設(shè)當(dāng)α＝eq\f(π,4)時，l與C1，C2的交點分別為A1，B1，當(dāng)α＝－eq\f(π,4)時，l與C1，C2的交點分別為A2，B2，求四邊形A1A2B2B1的面積．[解析](1)C1是圓，C2是橢圓．當(dāng)α＝0時，射線l與C1，C2交點的直角坐標(biāo)分別為(1,0)，(a,0)，因為這兩點間的距離為2，所以a＝3.當(dāng)α＝eq\f(π,2)時，射線l與C1，C2交點的直角坐標(biāo)分別為(0,1)，(0，b)，因為這兩點重合，所以b＝1.(2)C1，C2的普通方程分別為x2＋y2＝1和eq\f(x2,9)＋y2＝1.當(dāng)α