2021年華僑、港澳、臺聯(lián)考高考數(shù)學(xué)試卷

2021年華僑、港澳、臺聯(lián)考高考數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的。

1.設(shè)集合A={x|-l<x<4},B={x\2<x<5}，則A|j8=()

A.{x|-l<x<4}B.{x|-l<x<5}C.{x|2<x<4}D.{x|2<x<5}

2.z=M的共軌復(fù)數(shù)5=()

2+i

43.

A.-+-/B.---/rD---/

555555.55

函數(shù)式的單調(diào)遞減區(qū)間是（

3.），=1”1-*2）)

A.(-oo,0)B.(0,-f-oo)C.(—1,0)D.(0,1)

4.等差數(shù)列{〃〃}中，若%-%+%-%+%4=1，則僅“｝的前15項和為（）

A.1B.8C.15D.30

L—1/rncmu2sinX4-COSX/、

5.已知tanx=2,貝[J-----------------=()

2sinx-cosx

A.3B.-C.-D.1

353

6.已知向量。=(cos6,sin6),ft=(3,-4),則「?5的最大值是（）

A.7B.5C.4D.1

7.下列函數(shù)中為偶函數(shù)的是（）

A.y=/g(x—l)+/g(x+l)B.y=|sinx+cosx|

C.y=x3D.y=(x+2)2+(2x-l>

8.已知點/>在圓（x+l>+V=2上，貝!JP到直線x+y-5=0距離的最小值為（）

A.屈B.述

C.2忘D.3點

2

9.已知”>A>1,則以下四個數(shù)中最大的是（)

A.10gz.aB.log2h2aC.log3A3aD-log4A4a

10.3位男同學(xué)與3位女同學(xué)隨機(jī)排成一行，其中兩端都不是女同學(xué)的概率為（）

A.-B.-D.1

246

11.設(shè)a,力是兩個平面，直線/與夕垂直的一個充分條件是（）

A.///4且a_L夕B./J_q且a_L?C./u4且D.且a//￡

12.函數(shù)丁=8§2工+$缶工85X圖像的對稱軸是（)

nk兀兀([7、

A.x=—+—(keZ)D?x=---------(kGZ)

2828

jrTT

C.X=k7V-i—(kGZ)D.x=k7r-—{kGZ)

二、填空題：本題共6小題，每小題5分，共30分。

13.已知拋物線C:y2=2px（p>0）的焦點為F，過尸傾斜角為45。的直線與C交于A,8兩

點，且IAB|=8,則〃=.

14.函數(shù)f（x）=72^-4'的定義域是

15.曲線產(chǎn)2'3-6￡-18、+7在點(-2,3)處的切線方程是_.

16.已知函數(shù)/(x)=or'+〃x+csinx-2,且f(-2)=8，貝(J/(2)=____.

17.三棱錐P-/WC中，_B4_L底面43c,S.PA=3,AB=CB=2,AC=2應(yīng)，則側(cè)面PBC

的面積是—.

)2

18.雙曲線］-J=l的左、右焦點分別為月，尸2,點P在直線x-y-10=0上，則

916

I「耳|+|「乙|的最小值為____.

三、解答題：本題共4小題，每小題15分，共60分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或

演算步驟。

19.(15分)記AABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,Z?,c.已知。=2?，b=3,

sin2(B+C)+sin2A=0，求c及cosB.

20.(15分)記數(shù)列｛a,J的前n項和為Sn,已知Sn+1=3S“+2〃+4,且4=4.

(1)證明：a+1｝是等比數(shù)列；

(2)求S”.

21.(15分)已知函數(shù)/(x)=x2-6x+4lnx+m.

(1)求/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)當(dāng)X€(l,+oo)時,/(X)>0，求機(jī)的取值范圍.

-)2

22.(15分)設(shè)橢圓G:=+4=l(a>b>0)與丫軸正半軸的交點為3，右焦點為下.已知

a~h~

B,F在QC:X2+y2-2X-2y=0JZ.

(1)求G的方程;

(2)若直線/過點C,交G于M,N兩點，且C為線段MV的中點，求|MN|.

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2.由于本群是集"研究一寫作一發(fā)表（出版r于一體的“橋梁"，

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2021年華僑、港澳、臺聯(lián)考高考數(shù)學(xué)試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的。

1.設(shè)集合4={x|—l<x<4},B={x|2<x<5},則A|j8=()

A.{x|-l<x<4}B.{x|-l<x<5}C.{x|2<x<4}D.{x|2<x<5}

【解析】：???A={x|-l<x<4},/?={A*|2<X<5}/

.?.AUB={X|-1<X<5},

故選：B.

2.7的共軌復(fù)數(shù)三二()

2+i

4.43.

A1+3B.--C.—+—f

555555D[T

2-i(2-z)234.

【解析】：?.z=-----

2+i(2+0(2-/)55

._34.

..Z=-4----1.

55

故選：A.

3.函數(shù).'ylogjl-x2)的單調(diào)遞減區(qū)間是()

A.(—oo,0)B.(0,-K?)C.(-1,0)D.(0,1)

【解析】：設(shè)f=l-d,(-1<X<1),

則y=log2f,

由y=k?g2r為增函數(shù)，

即函數(shù)y=k>g2(l-』)的單調(diào)遞減區(qū)間是函數(shù)f=l-V,(7<x<l),的減區(qū)間，

又函數(shù)/=1-丁，(―I<x<1),的減區(qū)間為(0,1),

2

即函數(shù)y=log2(l-x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(0,1),

故選：D.

4.等差數(shù)列｛4｝中，若生一％+/-%+44=1，則｛"“｝的前15項和為()

A.1B.8C.15D.30

【解析】：等差數(shù)列僅“｝中，

丹-a5+/-qI+414=(42+”8+a14)_(“5+4I)=3%-2a8=1,67s=1,

則｛〃,,｝的前15項和為15x(：+%)=15q=15,

故選：C.

i2sinx+cosx.

5.已知tanx=2mi)

2sinx-cosx

A.3B.-C.-D.-

353

【解析】：由tan%=2,得8SXN0,

.2sinx+cosx_2tanx+12x2+1_5

2sinx-cosx2tanx-12x2-13

故選：B.

6.已知向量1=(cos6,sin6),b=(3,-4),則小b的最大值是()

A.7B.5C.4D.1

【解析】：向量4=(cosasin。),6=(3,-4),

則=3cos9-4sine=5cos(e+e),其中tanQ=d.

?.?5COS(6+9)?5,展6的最大值是5.

故選：B.

7.下列函數(shù)中為偶函數(shù)的是()

A.y=/g(x—l)+/g(x+l)B.y=|sinx+cosx|

C.y=D.y=(x+2/+(2x-l)2

【解析】：對于A,y=/g(xT)+/g(x+l)的定義域為(l,+oo),不關(guān)于原點對稱,故A不正

確；

對于3,y=f(x)=|sinx+cosx|R,但f(-x)Hf(x),故5不正確;

對于C,y=/(x)=V的定義域為/?,/(-%)=-/(x),f(x)為奇函數(shù)，故C不正確；

對于D,y=f(x)=(x+2)2+(2x-1)2=5x2+5,滿足f(-x)=/(x),故y=/(x)為偶函數(shù),

故。正確.

故選：D.

8.已知點P在圓(X+l)2+V=2上，貝至IJ直線x+y—5=0距離的最小值為()

B.當(dāng)

A.72C.2應(yīng)D.3點

6

【解析】：（x+iy+y2=2的圓心C（-1,O）至?。葜本€x+y-5=0的距離等于

故圓（x++丁=2上的動點P到直線x+y-5=0的距離的最小值為3夜-點=2企

故選：C.

9.已知a>A>1,則以下四個數(shù)中最大的是（）

A.log,,aB.log”2aC.log,,,3aD.log%,4a

【解析】：令a=4,b=2,

則log/=log24=2,

log2/,2a=log48=-^=|^|=|,

/g421g22

3

log3Z,3a=log612=1+log62<1+log6#=1+g=

2

14

log54a=log816=1+log82=1+-=-

故最大的是log”a,

故選：A.

10.3位男同學(xué)與3位女同學(xué)隨機(jī)排成一行，其中兩端都不是女同學(xué)的概率為（）

A.-B.-C.-D.-

2456

【解析】：3位男同學(xué)與3位女同學(xué)隨機(jī)排成一行，排法總數(shù)N=父，

其中兩端都不是女同學(xué)的排法種數(shù)為用父，

24

則其中兩端都不是女同學(xué)的概率為P=竿44=1

A）5

故選：C.

11.設(shè)a,尸是兩個平面，直線/與a垂直的一個充分條件是（）

A.///尸且a_L/7B.lA.j3S.alj3C./u4且D./J_力且a//月

【解析】：A，當(dāng)///?且aJ■尸時，則/_La或〃/a或/ua，二A錯誤，

B,當(dāng)/_!_夕且aJ_尸時，貝U〃/a或/ua,.1B錯誤，

C,當(dāng)/u6且a_L￡時，貝！|/_La或〃/a或/ua或/與a相交不垂直，,C1錯誤，

D，當(dāng)/■!?且a///?時，則/_Lc,/.。正確，

故選：D.

12.函數(shù)、=??：!犬+5皿》85》圖像的對硒由是（）

Ak兀7t..,、ok兀7t..

A.X=H（左￡Z）B.X=------（4￡Z）

2828

TT7T

C.x=k7c+—（keZ）D.x=k/r（kwZ）

44

【解析】：y=cos2x4-sinxcosx

1+cos2x1._1/.八八、I

=-------+—sin2x=—（sin2x+cos2x）+—

2222

C、1四小加、1

s.m2Cx+——垃cos2x)4--=——sm(2x+—)+一.

22242

由2%+工=工+%%,k&Z，得x=&+—,k&Z.

4282

函數(shù)丫=8$2》+$皿W€?》圖像的對稱5由是》=竺+生伙€2).

28

故選：A.

二、填空題：本題共6小題，每小題5分，共30分。

13.已知拋物線。:〉2=2〃皿7>0)的焦點為尸，過戶傾斜角為45。的直線與C交于A,8兩

點,且IAB|=8,則〃=2.

【解析】：由拋物線的方程可得焦點F(5,0),

由題意可得直線AB的方程為：y=,設(shè)4%,y),僅修，y?),

2

y=2px2

聯(lián)立n,整理可得：/-3川+2=0,

y-x+—4

2

可得：玉+/=3p,

由拋物線的喉可得IA31=%+々+p=3。+p=4P=8,

解得：p=2,

故答案為：2.

14.函數(shù),X)=在㈤-4'的定義域是.

【解析】：???函數(shù)/⑶二百7丁,

2v+1-4'..O,.■.(2r)2-2-2J?0,

二0<212,，工，1,

二函數(shù)/(尤)=，2向-4'的定義域是(-00,1],

故答案為：(-a),1J.

15.曲線丫=2丁-6/-18》+7在點(-2,3)處的切線方程是_30x-y+63=0_.

【解析】：函數(shù).丫=2》3-6/一18X+7的導(dǎo)數(shù)為y=6f-12x-18,

可得曲線在點(-2,3)處的切線的斜率為6x4-(-24)-18=30,

則曲線了=21-6/-18x+7在點(-2,3)處的切線方程為y-3=30(x+2),

即為30x-y+63=0.

故答案為：30x-y+63=0.

16.已知函數(shù)/(x)=or*+hx+csinx-2,且/(-2)=8，貝(J/(2)=_-12_.

【解析】：因為。)=加+〃x+csinx-2,

所以f(-x)+f(x)=-ax'-bx-csmx-2+ax'+bx+csinx-2=Y,

因為/(-2)=8,

所以/(2)=-12.

故答案為：-12.

17.三棱錐P-A8C中，必J_底面A8C，且/%=3,AB=CB=2,AC=2應(yīng)，則側(cè)面/汨C

的面積是_岳

【解析】：如圖：

?.,"J■底面ABC,

CBu底面ABC,

.-.PAVBC,

又AB=CB=2,AC=20,gpAB2+BC2=AC2,

可得8C_LAB,

AB(^\PA=A,

A3u平面2$,

APu平面M,

.?.8C_L平面E4B,

P8u平面長3,

底面ABC,PA1.AB,

「8=6+2、=屈,

在RtAPBC中，BC=2,

^fMiWPBc=2XBCxPB=&x2x=^3.

故答案為：713.

18.雙曲線(-《=1的左、右焦點分別為月，K,點尸在直線x-y-10=0上，則

916

IP耳I+1"I的最小值為_5加_.

【解析】：由雙曲線］-g=l的方程可得左右焦點小-5,0),鳥(5,0)

916

設(shè)廠(加,〃)為F2關(guān)于直線x-y-1。=。的對稱點，

'^-^-10=0

貝〃22，可得加=10,〃=一5,

—^-=-1

tn-5

連接打尸與直線x-y-IO=O的交點為。，則

|P6|+1.」。耳|+1QRRQ4|+1R片?|=J(10+5)2+(-5尸=5M,

故答案為：5M.

三、解答題：本題共4小題，每小題15分，共60分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或

演算步驟。

19.(15分)記A4BC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為“，匕，c.已知a=2#,b=3,

sin2(B+C)+>/2sin2A=0，求c及8sB.

【解析】：?.,A+B+C=i,sin2(8+C)+應(yīng)sin2A=0,

sin2A+2>/2sinAcosA=0,

,.,sin,

/.sinA=-2-72cosA,

cosAvO,A為專屯角，

又?.?sin2A+8s2A=1,

,1?42&

..cosA=一一,sinA=-----,

33

由正弦定理可得，一L=―也，即逑=/-,解得sinB=*,

sinAsinB2及sinB3

"V

X-/sin2B+cos2B=l,區(qū)為銳角，

cosB=

3

cosB=,即絲士『=當(dāng),化簡整理可得，C2-8C+15=0,解得c=3或

lac4V6c3

?/ZA>ZC,

5>2#,

—3i

故c=3,cosB=—.

3

20.（15分）記數(shù)列｛an｝的前〃項和為Sn.已知5,川=3S“+2J+4、且q=4.

（1）證明：a+D是等比數(shù)列;

（2）求s〃.

【解答】（1）證明：已知S〃討=3S.+2〃+4,①

則S,,=3S,i+2(〃-l)+4,②

由①一②可得：%=3?！?2,(〃..2),

又4=4,

貝！IS?=4+%=3x4+6,

即a2=14,

則a2=+2,

即％=34+2,(〃eN+),

貝?。?+1=3(4+1),

又4+1=5,

即｛為+1｝是以5為首項，3為公比的等比數(shù)列；

(2)解：由(1)可得：a,,+1=5x3"-',

即Q=5X3"T_I,

貝?。軸“=5(3°+了+...+3"T)_“=5(；；)_〃=5(3；l)_〃.

21.(15分)已知函數(shù)/(尤)=工2-6x+4/m;+〃7.

(1)求的單調(diào)區(qū)間;

(2)當(dāng)％w(l,+oo)時,f(x)>0，求機(jī)的取值范圍.

【解析】：(1)已知函數(shù)/(工)=￡一6%+4柩+〃2,

則r(x)=2x+g_6=2十6x+4=2。l)(x2),,

%>()

XXX

令廣(x)>0,解得：0<x<l或x>2,

令/'(x)<0,解得：l<x<2,

即f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(0,1),(2,3),單調(diào)減區(qū)間為(1,2)；

(2)由(1)可得：函數(shù)