《現(xiàn)代控制理論》第3版課后習(xí)題答案

僅供個(gè)人參考《現(xiàn)代控制理論參考答案》1不得用于商業(yè)用途第一章答案1-1試求圖

1-27系統(tǒng)的模擬結(jié)構(gòu)圖，并建立其狀態(tài)空間表達(dá)式。解：系統(tǒng)的模擬結(jié)構(gòu)圖如下：系統(tǒng)的狀態(tài)方程如下：令(

s

)

y

，則

y

x1所以，系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式及輸出方程表達(dá)式為1-2有電路如圖

1-28所示。以電壓

u(t)為輸入量，求以電感中的電流和電容上的電壓作為狀態(tài)變量的狀態(tài)方程，和以電阻

R

2上的電壓作為輸出量的輸出方程。解：由圖，令i1

x1

,

i2

x2

,

uc

x3

，輸出量

y R2

x2x1

x2

C

x有電路原理可知：

L2x

2

R2x

2

x

333R1x1

L1

x1

x

u既得2R2L1L11R1u1L1x3x1Cx2x

2x2x321L

1

LCy R2

x2x1

1x1x3寫成矢量矩陣形式為：4兩輸入u1

，u2，兩輸出

y1

，y2的系統(tǒng)，其模擬結(jié)構(gòu)圖如圖

1-30所示，試求其狀態(tài)空間表達(dá)式和傳遞函數(shù)陣。解：系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式如下所示：4 系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性由下列微分方程描述列寫其相應(yīng)的狀態(tài)空間表達(dá)式，并畫出相應(yīng)的模擬結(jié)構(gòu)圖。.

..y

，x

2

y

，x

3

y

，則有解：令

x

1相應(yīng)的模擬結(jié)構(gòu)圖如下：6(s

1)1-6

（2）已知系統(tǒng)傳遞函數(shù)W

(s),試求出系統(tǒng)的約旦標(biāo)準(zhǔn)型的實(shí)現(xiàn)，并畫出相應(yīng)的模擬結(jié)構(gòu)圖s(s

2)(s

3)2313s3103s(s

2)(s

3)2

(s

3)2s

2

s6(s

1)4解：W

(s)1-7給定下列狀態(tài)空間表達(dá)式1不得用于商業(yè)用途僅供個(gè)人參考x13

x212x12y0

01x02

001

u3‘3x

1x2xx311

0x31畫出其模擬結(jié)構(gòu)圖2求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)解：ss

s

3101

2（2）W

(s)

(sI

A)13-8求下列矩陣的特征矢量

01120276031

0（3）

A解：A的特征方程102362116

012

76I

A3解之得：11,22,331p1121

pp310

1當(dāng)1

時(shí)，

31200

27

6p31p1121p解得：p21p31p11令

p11

1得11p112p1p31P1111p111

，得1

P

21

pp31（或令

p111）1p12222

pp32p1222p60

1當(dāng)2

時(shí)，

312p3200272

11p2解得：p

22322

1p2

,

p令

p

212得41p122p2p32P221不得用于商業(yè)用途僅供個(gè)人參考12p1323p611p2p22p32（或令

p121

，得P22）1p13323

pp330

1當(dāng)3

時(shí)，

312p330027解得：p233p13,

p333p1

3令

p13

1得33p132p3p33P311-9將下列狀態(tài)空間表達(dá)式化成約旦標(biāo)準(zhǔn)型（并聯(lián)分解）（2）y21y21x1x23

x1x33x22

1

7

u1

203130

50

14

2

x11x1x

1x23解：A的特征方程2(

1)(3)2

0412111p2

311

p1121p

3

21pI

A1當(dāng)3

時(shí)，

13p31p3124

101

1p21

p31

p11解之得令

p11

1得111p112p1p31P121114

11

0113當(dāng)3

時(shí)，22p11

p1121p

3

21

pp31

p31221,32解之得

p

12pp

22p令

p12

1得100p12p22p32P2323pp

p131323

pp33當(dāng)1

時(shí)，1

021

13p334

124不得用于商業(yè)用途僅供個(gè)人參考解之得p1

30,

p2

32

p3

3令

p33

1得021p33p13P3p23約旦標(biāo)準(zhǔn)型1-10已知兩系統(tǒng)的傳遞函數(shù)分別為

W1(s)和W2(s)試求兩子系統(tǒng)串聯(lián)聯(lián)結(jié)和并聯(lián)連接時(shí)，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣，并討論所得結(jié)果解：（1）串聯(lián)聯(lián)結(jié)（2）并聯(lián)聯(lián)結(jié);（第

3版教材）已知如圖

1-22所示的系統(tǒng)，其中子系統(tǒng)

1、2的傳遞函數(shù)陣分別為求系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)解：1-11（第

2版教材）已知如圖

1-22所示的系統(tǒng)，其中子系統(tǒng)

1、2的傳遞函數(shù)陣分別為求系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)解：已知差分方程為試將其用離散狀態(tài)空間表達(dá)式表示，并使驅(qū)動(dòng)函數(shù)u的系數(shù)

b(即控制列陣)為1

1（1）

b解法

1：解法

2：1B

1

1求t,使得T0

11得T11所以0

11T1所以，狀態(tài)空間表達(dá)式為（2）

A=第二章習(xí)題答案2-4用三種方法計(jì)算以下矩陣指數(shù)函數(shù)eA

t

。1

14

1解：第一種方法：令I(lǐng)

A

0則111

0

，即41240

。求解得到13

，2111p1

2p1當(dāng)3

時(shí)，特征矢量

p111

1由App

，得11

pp21131

p3

p1

14

12111不得用于商業(yè)用途僅供個(gè)人參考21p

p11

214

p11

2p13

p即113

p，可令

p1122當(dāng)1p2

2p21時(shí)，特征矢量

p22 2

2由App

，得12121

14

122ppp

22ppp

p即12

224

p12

2p212222

p，可令

p12則T21

12

41

12

411

，

T21第二種方法，即拉氏反變換法：

第三種方法，即凱萊—哈密頓定理由第一種方法可知1

23

，

12-5下列矩陣是否滿足狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的條件，如果滿足，試求與之對應(yīng)的A陣。2e

te

2t

2e

2t（3）

tet

e

2t2e2e

t2t

e

t412e

t

3et12te

e13tet

e3tet

e3t（4）t解：（3）因?yàn)?0

10

1I

，所以該矩陣滿足狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的條件（4）因?yàn)?10

10I

，所以該矩陣滿足狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的條件2-6求下列狀態(tài)空間表達(dá)式的解：1初始狀態(tài)

x

01，輸入

u

t

時(shí)單位階躍函數(shù)。1解：A00

0因?yàn)?B

0

，u

t

I

t2-9有系統(tǒng)如圖

2.2所示，試求離散化的狀態(tài)空間表達(dá)式。設(shè)采樣周期分別為T=0.1s和1s，而u1

和u2

為分段常數(shù)。圖2.2系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖11不得用于商業(yè)用途僅供個(gè)人參考解：將此圖化成模擬結(jié)構(gòu)圖列出狀態(tài)方程則離散時(shí)間狀態(tài)空間表達(dá)式為0TAt由G

T e

At

和

H

T

e

dtB

得：當(dāng)T=1時(shí)1ke

1k

1

e01e10u

kx

k

1x

k1

e

11當(dāng)T=0.1時(shí)e

0.1

00.1k

10x

k

u

ke

0.11

e

1x

k

10.1k

e

0.90.1T11

-1

，

T-1112

2第三章習(xí)題3-1判斷下列系統(tǒng)的狀態(tài)能控性和能觀測性。系統(tǒng)中a,b,c,d的取值對能控性和能觀性是否有關(guān)，若有關(guān)，其取值條件如何？（1）系統(tǒng)如圖3.16所示：解：由圖可得：狀態(tài)空間表達(dá)式為：由于x2

、x3、x4

與u

無關(guān)，因而狀態(tài)不能完全能控，為不能控系統(tǒng)。由于y

只與x3

有關(guān)，因而系統(tǒng)為不完全能觀的，為不能觀系統(tǒng)。（3）系統(tǒng)如下式：解：如狀態(tài)方程與輸出方程所示，A為約旦標(biāo)準(zhǔn)形。要使系統(tǒng)能控，控制矩陣b中相對于約旦塊的最后一行元素不能為0，故有a0,b

0

。要使系統(tǒng)能觀，則C中對應(yīng)于約旦塊的第一列元素不全為0，故有c0,d

0

。3-2時(shí)不變系統(tǒng)試用兩種方法判別其能控性和能觀性。解：方法一：方法二：將系統(tǒng)化為約旦標(biāo)準(zhǔn)形。1

1122T-1B中有全為零的行，系統(tǒng)不可控。CT中沒有全為0的列，系統(tǒng)可觀。3-3

確定使下列系統(tǒng)為狀態(tài)完全能控和狀態(tài)完全能觀的待定常數(shù)

i

和i11不得用于商業(yè)用途僅供個(gè)人參考解：構(gòu)造能控陣：要使系統(tǒng)完全能控，則構(gòu)造能觀陣：112

，即121

0要使系統(tǒng)完全能觀，則13-4設(shè)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)是21

，即121

01當(dāng)a取何值時(shí)，系統(tǒng)將是不完全能控或不完全能觀的？2當(dāng)a取上述值時(shí)，求使系統(tǒng)的完全能控的狀態(tài)空間表達(dá)式。3當(dāng)a取上述值時(shí)，求使系統(tǒng)的完全能觀的狀態(tài)空間表達(dá)式。s

a(s

1)(s

3)(s

6)yu(s

)解：(1)方法1：W

(s)系統(tǒng)能控且能觀的條件為W(s)沒有零極點(diǎn)對消。因此當(dāng)a=1,或a=3或a=6時(shí)，系統(tǒng)為不能控或不能觀。方法2：系統(tǒng)能控且能觀的條件為矩陣C不存在全為0的列。因此當(dāng)a=1,或a=3或a=6時(shí)，系統(tǒng)為不能控或不能觀。2

當(dāng)a=1,a=3或a=6時(shí)，系統(tǒng)可化為能控標(biāo)準(zhǔn)I型2

根據(jù)對偶原理，當(dāng)a=1,a=2或a=4時(shí)，系統(tǒng)的能觀標(biāo)準(zhǔn)II型為..

.6

y

11

y

6

y

6u3-6已知系統(tǒng)的微分方程為：y試寫出其對偶系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式及其傳遞函數(shù)。解：

a0

6，a1

11，a2

6，a3

3，b0

6系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為傳遞函數(shù)為其對偶系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為：66s

2

11s

6s

3傳遞函數(shù)為W

(s)3-9已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為試求其能控標(biāo)準(zhǔn)型和能觀標(biāo)準(zhǔn)型。6s

8

14s

3s

2s

2s

24s

32s

5解：W

(s)系統(tǒng)的能控標(biāo)準(zhǔn)I型為能觀標(biāo)準(zhǔn)II型為3-10給定下列狀態(tài)空間方程，試判別其是否變換為能控和能觀標(biāo)準(zhǔn)型。11不得用于商業(yè)用途100僅供個(gè)人參考01

1

32解：A213

0

，b1

，C003-11試將下列系統(tǒng)按能控性進(jìn)行分解3111

00 ,

b210 ,

C11

104（1）

A0解：00

001ra4nkM=2<3，系統(tǒng)不是完全能控的。Ab

A

2

b1

3構(gòu)造奇異變換陣

R

：c

R

1

b9Mb0010

3

，R300

，2

R

Ab11

，3其中R

是任意的，只要滿c足R

滿秩。010

0即Rc101

3

00

103得Rc

1011

03-12試將下列系統(tǒng)按能觀性進(jìn)行結(jié)構(gòu)分解312

1

01

0

1

0 ,

b1

10 ,

C10（1）

A31解：由已知得A141

20

1

0 ,

b1

100 ,

C10412

1

24

3

7

41CCACA2則有Nrank

N=2<3，該系統(tǒng)不能觀111

11構(gòu)造非奇異變換矩陣

R

0，有

R

0

2230

011則

R0

3

2

1010

0111不得用于商業(yè)用途僅供個(gè)人參考3-13試將下列系統(tǒng)按能控性和能觀性進(jìn)行結(jié)構(gòu)分解1

0

02

2

3 ,

b

2 ,

C2

0

112解：由已知得MA

Ab1 1

2（1）

A11

12

262

02Ab12rank

M=3，則系統(tǒng)能控rank

N=3，則系統(tǒng)能觀所以此系統(tǒng)為能控并且能觀系統(tǒng)1取Tc

2

22

0213

412c

211

112 26，則T74731

534

4則A10

0

21

015

，

Bc

2

T

b

0

，

c013c

2cT

70

1

43-14求下列傳遞函數(shù)陣的最小實(shí)現(xiàn)。2311

1s

1

1（1）

w

s01

，

B0解：1

111，

cA1

010Bc0

11

0，

cCc，

D1

11

10

000系統(tǒng)能控不能觀取R0

110

1，則0R110

110

R01100

c

，

B?0

1R所以A?1

AR

011

B1C?

C

R1

0，

D?00c

01

00

0僅供個(gè)人參考所以最小實(shí)現(xiàn)為A?

m

1，B?m11

，mC?D?，m

00110w

s0?驗(yàn)證：

C?m

sI

AmBm1

?1

1

1s

1

13-15

設(shè)

1

和

2

是兩個(gè)能控且能觀的系統(tǒng)1

試分析由

1

和

2

所組成的串聯(lián)系統(tǒng)的能控性和能觀性，并寫出其傳遞函數(shù)；2試分析由和

所組成的并聯(lián)系統(tǒng)的能控性和能觀性，并寫出其傳遞函數(shù)。

解：1

2（1）1

和2

串聯(lián)當(dāng)

1

的輸出

y1

是

2

的輸入u2

時(shí)，

x32x3

2x1

x2000x321x14

0

x1

u

，

y00

012則rank

M=2<3，所以系統(tǒng)不完全能控。當(dāng)

2

得輸出

y2

是

1

的輸入u1

時(shí)010x13

4

1

x00x0

u

，

y12

102001216因?yàn)镸b

Ab

A

brank

M=3

則系統(tǒng)能控01

24ccAcA22103

1

2因?yàn)镹6

5則系統(tǒng)不能觀4rank

N=2<3（2）

1

和

2

并聯(lián)000x13

4

0

x011不得用于商業(yè)用途1x1

u

，

y12

102僅供個(gè)人參考因?yàn)閞ank

M=3，所以系統(tǒng)完全能控因?yàn)閞ank

N=3，所以系統(tǒng)完全能觀現(xiàn)代控制理論第四章習(xí)題答案4-1判斷下列二次型函數(shù)的符號(hào)性質(zhì)：（1）

Q

(

x

)x

23

x

2

11x2

2

x

x

x

x

2

x

x1

22312

3 1

3（2）

v

(

x

)x

24

x

2x

22

x

x

6

x

x

2

x

x1

22312

3 1

3解：（1）由已知得11 0

，211310

，

3122111

11312117140因此Q

(x

)是負(fù)定的（2）由已知得11 0

，21

1

43

3

0

，11111433

116

01因此Q

(x

)不是正定的4-2已知二階系統(tǒng)的狀態(tài)方程：試確定系統(tǒng)在平衡狀態(tài)處大范圍漸進(jìn)穩(wěn)定的條件。解：方法（1）：要使系統(tǒng)在平衡狀態(tài)處大范圍漸進(jìn)穩(wěn)定，則要求滿足A的特征值均具有負(fù)實(shí)部。即：有解，且解具有負(fù)實(shí)部。a22即：

a11

0且a11a22a12a21e

0為大范圍漸近穩(wěn)定，等價(jià)于AT

P方法（2）：系統(tǒng)的原點(diǎn)平衡狀態(tài)xPAQ

。取Q

I

，令PP12

P22P

P1

12，則帶入

AT

P

PAQ

，得到若2a11

2a21a12

a1111不得用于商業(yè)用途0a22a210

2a122a224(a11a22

)(a11a22a12a21

)0，則此方程組有唯一解。即僅供個(gè)人參考其中det

A

Aa11a22a12a21要求P

正定，則要求a22因此a11

0

，且det

A

04-3試用lyapunov第二法確定下列系統(tǒng)原點(diǎn)的穩(wěn)定性。1x（1）

x2131x1（2）

x11解：（1）系統(tǒng)唯一的平衡狀態(tài)是

x

0

。選取

Lyapunov

函數(shù)為V

(

x

)11不得用于商業(yè)用途x

2

x

20，則e12V

(x)

是負(fù)定的。

x

，有V

(

x

)。即系統(tǒng)在原點(diǎn)處大范圍漸近穩(wěn)定。（2）系統(tǒng)唯一的平衡狀態(tài)是

x

0

。選取

Lyapunov

函數(shù)為V

(

x

)x

2

x

210，則e2V

(x)

是負(fù)定的。

x

，有V

(

x

)4-6設(shè)非線性系統(tǒng)狀態(tài)方程為：。即系統(tǒng)在原點(diǎn)處大范圍漸近穩(wěn)定。試確定平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。解：若采用克拉索夫斯基法，則依題意有：取

P

I很明顯，

Q

(

x

)

的符號(hào)無法確定，故改用李雅普諾夫第二法。選取

Lyapunov

函數(shù)為V

(

x

)

x

21

x2

2

0

，則V

(x)

是負(fù)定的。

x

，有V

(

x

)。即系統(tǒng)在原點(diǎn)處大范圍漸近穩(wěn)定。4-9設(shè)非線性方程：試用克拉索夫斯基法確定系統(tǒng)原點(diǎn)的穩(wěn)定性。解：（1）采用克拉索夫斯基法，依題意有：x

，有V

(

x

)

。

取P

I2120

1

13x

，根據(jù)希爾維斯特判據(jù)，有：1

3x

2則Q(x)13x2

1101

3x210，222

（31x2

1）

0，Q

(x

)的符號(hào)無法判斷。僅供個(gè)人參考34

x41

23

x22（2）李雅普諾夫方法：選取

Lyapunov

函數(shù)為V

(x) 0

，則V

(x)

是負(fù)定的。

x

，有V

(

x

)。即系統(tǒng)在原點(diǎn)處大范圍漸近穩(wěn)定。4-12試用變量梯度法構(gòu)造下列系統(tǒng)的李雅普諾夫函數(shù)解：假設(shè)V

(x

)的梯度為：計(jì)算V

(x

)的導(dǎo)數(shù)為：選擇參數(shù)，試選a11

a22

1,

a12

a21

0

，于是得：2x2x12

1，顯然滿足旋度方程xx

V2

,即xVx1V1x1x20，表明上述選擇的參數(shù)是允許的。則有：如果11

21

222x

x1

20或x

x1

，則V

(x)是負(fù)定的，因此，xx21

21是x

和x

的約束條件。計(jì)算得到V

(x

)為：V

(x

)是正定的，因此在1

21x2

x

即0x1

x22e1范圍內(nèi)，

x

0是漸進(jìn)穩(wěn)定的?，F(xiàn)代控制理論第五章習(xí)題答案5-1已知系統(tǒng)狀態(tài)方程為：試設(shè)計(jì)一狀態(tài)反饋陣使閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)配置為-1，-2，-3。解：依題意有：0

1

122Mb

AbA

b11

1

20rankM3，系統(tǒng)能控。系統(tǒng)0(A,b,C

)的特征多項(xiàng)式為：則將系統(tǒng)寫成能控標(biāo)準(zhǔn)I型，則有x310

10000

u

。k

kk11不得用于商業(yè)用途1

0

2，則系統(tǒng)引入狀態(tài)反饋后，系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：x0

1

x1

2(A bK

)x bu

，其中

K

為13矩陣，設(shè)

KK(A,bK

,C

)的特征多項(xiàng)式為：根據(jù)給定的極點(diǎn)*

值，得到期望特征多項(xiàng)式為：比較

f

( )與f

( )

各對應(yīng)項(xiàng)系數(shù)，可解得：0

kk19

k259則有：K-5

-9-9。僅供個(gè)人參考5-3有系統(tǒng)：畫出模擬結(jié)構(gòu)圖。若動(dòng)態(tài)性能不滿足要求，可否任意配置極點(diǎn)？3若指定極點(diǎn)為-3，-3，求狀態(tài)反饋陣。解（1）系統(tǒng)模擬結(jié)構(gòu)圖如下：（2）系統(tǒng)采用狀態(tài)反饋任意配置極點(diǎn)的充要條件是系統(tǒng)0(A,b,C

)完全能控。0對于系統(tǒng)M b

Ab（3）系統(tǒng)(A,b,C

)有：1

011rankM2，系統(tǒng)能控，故若系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能不滿足要求，可任意配置極點(diǎn)。0(A,b,C

)的特征多項(xiàng)式為：則將系統(tǒng)寫成能控標(biāo)準(zhǔn)I型，則有x012x310u

。k1

k0

，則系統(tǒng)11不得用于商業(yè)用途K(A,bK

,C

)的特征引入狀態(tài)反饋后，系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：

x

(

A bK

)

x bu

，設(shè)

K項(xiàng)式為：根據(jù)給定的極點(diǎn)值，得到期望特征多項(xiàng)式為：比較

f

( )與f

*

( )

各對應(yīng)項(xiàng)系數(shù)，可解得：

k07

k1，K

37

3

。5-4設(shè)系統(tǒng)傳遞函數(shù)為試問能否利用狀態(tài)反饋將傳遞函數(shù)變成若有可能，試求出狀態(tài)反饋K

，并畫出系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖。(s

1)(s(s

1)(s2)2)(s

3)s2s3s

22s2

5s

6解：W

(s)由于傳遞函數(shù)無零極點(diǎn)對消，因此系統(tǒng)為能控且能觀。能控標(biāo)準(zhǔn)I型為令K

k0

k1

k2

為狀態(tài)反饋陣，則閉環(huán)系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式為由于狀態(tài)反饋不改變系統(tǒng)的零點(diǎn)，根據(jù)題意，配置極點(diǎn)應(yīng)為-2，-2，-3，得期望特征多項(xiàng)式為比較f

(*)的