數列解題技巧歸納總結打印

等差數列前n項和的最值問題:1、若等差數列CaJ的首項a,?0,公差d.0，則前n項和Sn有最大值。若已知通項an，則Sn最大二；陽蘭0(ii)若已知&=pn2?qn，則當n取最靠近一2的非零自然數時&最大;2p2、若等差數列啣的首項a,<0,公差d0，則前n項和Sn有最小值若已知通項an，則Sn最小二蘭0；耳八01"1二—一若已知Sn=pn2?qn，則當n取最靠近一q的非零自然數時&最小;2p數列通項的求法：⑴公式法：①等差數列通項公式；②等比數列通項公式。⑵已知Sn(即a,*271(a^f(n))求a.，用作差法：務弋罠：?n_2)已知a,L已知a,La2」?，_an=f(n)求，用作商法:anf(1),(n=1)侶，(宀⑶已知條件中既有Sn還有an，有時先求Sn，再求務；有時也可直接求務。⑷若an1-an二f(n)求a.用累加法:a^(a^anj)'-a^)Jl,(a?—a,)a,(n_2)。⑸已知an1=f(n)求an，用累乘法:an=a兒川％a(n_2)an andan-2 a1⑹已知遞推關系求an，用構造法(構造等差、等比數列)特別地，(1)形如a^kan4b、a^kanjbn(k,b為常數)的遞推數列都可以用待定系數法轉化為公比為k的等比數列后，再求an;形如an二kan」kn的遞推數列都可以除以kn得到一個等差數列后，再求an。形如an 的遞推數列都可以用倒數法求通項。kan4+b形如an1二ank的遞推數列都可以用對數法求通項。(7)(理科)數學歸納法。

(8)當遇到務1-a.二"或也二q時，分奇數項偶數項討論，結果可能是分段an_!一、典型題的技巧解法1(8)當遇到務1-a.二"或也二q時，分奇數項偶數項討論，結果可能是分段an_!一、典型題的技巧解法1、求通項公式觀察法。(2)由遞推公式求通項。對于由遞推公式所確定的數列的求解，通?？赏ㄟ^對遞推公式的變換轉化成等差數列或等比數列問題。(1)遞推式為an+1=an+d及an+1=qan(d,q為常數)例1、？已知｛an｝滿足an+1=an+2,而且a1=1。求an。例1、解？van+1-an=2為常數???｛an｝是首項為1,公差為2的等差數列--an=1+2(n-1)即an=2n-1 i11例2、已知｛an｝滿足a*1：—an，而印=2，求a*=?命 1 2遞推式為an+F+f(n)211.例3、已知｛a*｝中a1 ,an1=an『—2 ，求an.二他｝杲以2為諭，公比為§的輻1教列勺 1 1 1解：由已知可知 -內「——1 =1r- 1)(2n1)(2n-1) 22n-12n1令n=1,2,…，(n-1),代入得(n-1)個等式累加，即(a2-a1)+(aa-a2)+…+(an-an-1)★說明？只要和f(1)+f(2)+…+f(n-1)是可求的,就可以由an+1=an+f(n)以n=1,2,…,(n-1)代入，可得n-1個等式累加而求an。q為常數)⑶遞推式為an+i=pan+q(p,例4、｛a.｝中，ai=1，對于n>1(n€N)有anu3an』2，求a解法一：由已知遞推式得因此數列｛a--an+仁an=4?3解法二：上法得｛aan-an-i=4?3,an+1=3an+2,an=3an-1+2。兩式相減：an+1-an=3(an-an-1)n+1-an｝是公比為3的等比數列，其首項為a2-a1=(3X1+2)-1=4n-1van+1=3an+2?A3an+2-an=4?3n-1即an=2?3n-1-1n+1-an｝是公比為3的等比數列，于是有：a2-a1=4,2a3-a2=4?3,a4-a3=4-3,…，把n-1個等式累加得：二an=2?3n-1-1⑷遞推式為an+1=pan+qn(p,q為常數)2 2bn1-bn (bn-bn4)由上題的解法，得：g=3-2(—)"二a.3 3bn2n(5)遞推式為an2pan1qan思路：設an2=pan1qan,可以變形為：an2-an1=■■■■■(ani-：-an),就是=〔。+3)an+1-。B%，則可從*CL4-p=p:p解得a,a*P=-q于是｛an+1-aan｝是公比為B的等比數列，就轉化為前面的類型?！纠?】已知數列｛%｝中，珀二1,亂$二2,_21【例6】已知數列｛%｝中，珀二1,亂$二2,(6)遞推式為S與an的關系式anan0關系；(2)試用n表示丄)_丄)_n1 *212nn_2 n1Sn1~'Sn=(an-'an1)'(n_2 n1…an1=an上式兩邊同乘以2n+1得2n+1an+i=2nan+2則｛23｝是公差為2的等差數列上式兩邊同乘以???2nan=2+(n-1)?2=2n2.數列求和問題的方法(1)、應用公式法等差、等比數列可直接利用等差、等比數列的前 n項和公式求和，另外記住以下公式對求和來說是有益的。21+3+5+……+(2n-1)=n【例8】求數列1,(3+5),(7+9+10,(13+15+17+19,…前n項的和。解？本題實際是求各奇數的和，在數列的前 n項中，共有1+2+…+n='n(n1)個奇數，2???最后一個奇數為：1+[1n(n+1)-1]x2=n2+n-12因此所求數列的前n項的和為、分解轉化法對通項進行分解、組合,轉化為等差數列或等比數列求和?！纠?】求和S=1-(n2-1)+2?(n2-22)+3?(n2-32)+…+n(n2-n2)解?S=n(1+2+3+-+n)-(13+23+33+…+n3)、倒序相加法適用于給定式子中與首末兩項之和具有典型的規(guī)律的數列， 采取把正著寫與倒著寫的兩個和式相加，然后求和。例10、求和：Sn=3C：+6C：j+川+3nC；I|例10、解&=0?CO+3U+6C；+川+3nCn、錯位相減法山冃運用廣可得如果一個數列是由-1一個等差數列與一個等比數列對應項相乘構成的 ，可把和式的兩端同乘以上面的等比數列的公比，然后錯位相減求和.八例11、求數列1，3x，5x2,…,(2n-1)xn-1前n項的和.解？設S=1+3+5x+…+(2n-1)x-.???①x=0時，$=1.當x豐0且xm1時，在式①兩邊同乘以 x得xSn=x+3x2+5x3+…+(2n-1)xn，②①-②，得(1-x)Sn=1+2x+2x2+2x3+…+2xn-1-(2n-1)xn.⑸裂項法：把通項公式整理成兩項(式多項)差的形式，然后前后相消。常見裂項方法：1(2n-l)(2n+3)1(2n-l)(2n+3)2n+3在掌握常見題型的解法的同時，也要注重數學思想在解決數列問題時的應用。二、常用數學思想方法1?函數思想運用數列中的通項公式的特點把數列問題轉化為函數問題解決?！纠?3】？等差數列｛an｝的首項ai>0，前n項的和為S,若S=S(l豐k)問n為何值時S最大？此函數以n為自變量的二次函數。Tai>O?S=S(l豐k),二dv0故此二次函數的圖像開口向下???f(l)=f(k) ■- I…2?方程思想【例14】設等比數列｛an｝前n［項和■為6,-若S+S6=2S,求數列的公比q。分析？本題考查等比數列的基礎知識及推理能力。解???依題意可知］串衣為奇數時,n= 最丸???如果q=1，則S3=3ai,Se=6ai,S)=9ai。由此應推出ai=0與等比數列不符。???qz1TOC\o"1-5"\h\z3 6 3整理得？q(2q-q-1)=0?vqz0此題還可以作如下思考：S6=S+q3S=(1+q3)SS9=S+q3S=S(1+q3+q6),3 3 6 6 3.?.由S3+Ss=2S9可得2+q