數(shù)列解題技巧歸納總結(jié)打印

等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值問題:1、若等差數(shù)列CaJ的首項(xiàng)a,?0,公差d.0，則前n項(xiàng)和Sn有最大值。若已知通項(xiàng)an，則Sn最大二；陽蘭0(ii)若已知&=pn2?qn，則當(dāng)n取最靠近一2的非零自然數(shù)時(shí)&最大;2p2、若等差數(shù)列啣的首項(xiàng)a,<0,公差d0，則前n項(xiàng)和Sn有最小值若已知通項(xiàng)an，則Sn最小二蘭0；耳八01"1二—一若已知Sn=pn2?qn，則當(dāng)n取最靠近一q的非零自然數(shù)時(shí)&最小;2p數(shù)列通項(xiàng)的求法：⑴公式法：①等差數(shù)列通項(xiàng)公式；②等比數(shù)列通項(xiàng)公式。⑵已知Sn(即a,*271(a^f(n))求a.，用作差法：務(wù)弋罠：?n_2)已知a,L已知a,La2」?，_an=f(n)求，用作商法:anf(1),(n=1)侶，(宀⑶已知條件中既有Sn還有an，有時(shí)先求Sn，再求務(wù)；有時(shí)也可直接求務(wù)。⑷若an1-an二f(n)求a.用累加法:a^(a^anj)'-a^)Jl,(a?—a,)a,(n_2)。⑸已知an1=f(n)求an，用累乘法:an=a兒川％a(n_2)an andan-2 a1⑹已知遞推關(guān)系求an，用構(gòu)造法(構(gòu)造等差、等比數(shù)列)特別地，(1)形如a^kan4b、a^kanjbn(k,b為常數(shù))的遞推數(shù)列都可以用待定系數(shù)法轉(zhuǎn)化為公比為k的等比數(shù)列后，再求an;形如an二kan」kn的遞推數(shù)列都可以除以kn得到一個(gè)等差數(shù)列后，再求an。形如an 的遞推數(shù)列都可以用倒數(shù)法求通項(xiàng)。kan4+b形如an1二ank的遞推數(shù)列都可以用對(duì)數(shù)法求通項(xiàng)。(7)(理科)數(shù)學(xué)歸納法。

(8)當(dāng)遇到務(wù)1-a.二"或也二q時(shí)，分奇數(shù)項(xiàng)偶數(shù)項(xiàng)討論，結(jié)果可能是分段an_!一、典型題的技巧解法1(8)當(dāng)遇到務(wù)1-a.二"或也二q時(shí)，分奇數(shù)項(xiàng)偶數(shù)項(xiàng)討論，結(jié)果可能是分段an_!一、典型題的技巧解法1、求通項(xiàng)公式觀察法。(2)由遞推公式求通項(xiàng)。對(duì)于由遞推公式所確定的數(shù)列的求解，通?？赏ㄟ^對(duì)遞推公式的變換轉(zhuǎn)化成等差數(shù)列或等比數(shù)列問題。(1)遞推式為an+1=an+d及an+1=qan(d,q為常數(shù))例1、？已知｛an｝滿足an+1=an+2,而且a1=1。求an。例1、解？van+1-an=2為常數(shù)???｛an｝是首項(xiàng)為1,公差為2的等差數(shù)列--an=1+2(n-1)即an=2n-1 i11例2、已知｛an｝滿足a*1：—an，而印=2，求a*=?命 1 2遞推式為an+F+f(n)211.例3、已知｛a*｝中a1 ,an1=an『—2 ，求an.二他｝杲以2為諭，公比為§的輻1教列勺 1 1 1解：由已知可知 -內(nèi)「——1 =1r- 1)(2n1)(2n-1) 22n-12n1令n=1,2,…，(n-1),代入得(n-1)個(gè)等式累加，即(a2-a1)+(aa-a2)+…+(an-an-1)★說明？只要和f(1)+f(2)+…+f(n-1)是可求的,就可以由an+1=an+f(n)以n=1,2,…,(n-1)代入，可得n-1個(gè)等式累加而求an。q為常數(shù))⑶遞推式為an+i=pan+q(p,例4、｛a.｝中，ai=1，對(duì)于n>1(n€N)有anu3an』2，求a解法一：由已知遞推式得因此數(shù)列｛a--an+仁an=4?3解法二：上法得｛aan-an-i=4?3,an+1=3an+2,an=3an-1+2。兩式相減：an+1-an=3(an-an-1)n+1-an｝是公比為3的等比數(shù)列，其首項(xiàng)為a2-a1=(3X1+2)-1=4n-1van+1=3an+2?A3an+2-an=4?3n-1即an=2?3n-1-1n+1-an｝是公比為3的等比數(shù)列，于是有：a2-a1=4,2a3-a2=4?3,a4-a3=4-3,…，把n-1個(gè)等式累加得：二an=2?3n-1-1⑷遞推式為an+1=pan+qn(p,q為常數(shù))2 2bn1-bn (bn-bn4)由上題的解法，得：g=3-2(—)"二a.3 3bn2n(5)遞推式為an2pan1qan思路：設(shè)an2=pan1qan,可以變形為：an2-an1=■■■■■(ani-：-an),就是=〔。+3)an+1-。B%，則可從*CL4-p=p:p解得a,a*P=-q于是｛an+1-aan｝是公比為B的等比數(shù)列，就轉(zhuǎn)化為前面的類型?！纠?】已知數(shù)列｛%｝中，珀二1,亂$二2,_21【例6】已知數(shù)列｛%｝中，珀二1,亂$二2,(6)遞推式為S與an的關(guān)系式anan0關(guān)系；(2)試用n表示丄)_丄)_n1 *212nn_2 n1Sn1~'Sn=(an-'an1)'(n_2 n1…an1=an上式兩邊同乘以2n+1得2n+1an+i=2nan+2則｛23｝是公差為2的等差數(shù)列上式兩邊同乘以???2nan=2+(n-1)?2=2n2.數(shù)列求和問題的方法(1)、應(yīng)用公式法等差、等比數(shù)列可直接利用等差、等比數(shù)列的前 n項(xiàng)和公式求和，另外記住以下公式對(duì)求和來說是有益的。21+3+5+……+(2n-1)=n【例8】求數(shù)列1,(3+5),(7+9+10,(13+15+17+19,…前n項(xiàng)的和。解？本題實(shí)際是求各奇數(shù)的和，在數(shù)列的前 n項(xiàng)中，共有1+2+…+n='n(n1)個(gè)奇數(shù)，2???最后一個(gè)奇數(shù)為：1+[1n(n+1)-1]x2=n2+n-12因此所求數(shù)列的前n項(xiàng)的和為、分解轉(zhuǎn)化法對(duì)通項(xiàng)進(jìn)行分解、組合,轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列求和?！纠?】求和S=1-(n2-1)+2?(n2-22)+3?(n2-32)+…+n(n2-n2)解?S=n(1+2+3+-+n)-(13+23+33+…+n3)、倒序相加法適用于給定式子中與首末兩項(xiàng)之和具有典型的規(guī)律的數(shù)列， 采取把正著寫與倒著寫的兩個(gè)和式相加，然后求和。例10、求和：Sn=3C：+6C：j+川+3nC；I|例10、解&=0?CO+3U+6C；+川+3nCn、錯(cuò)位相減法山冃運(yùn)用廣可得如果一個(gè)數(shù)列是由-1一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)相乘構(gòu)成的 ，可把和式的兩端同乘以上面的等比數(shù)列的公比，然后錯(cuò)位相減求和.八例11、求數(shù)列1，3x，5x2,…,(2n-1)xn-1前n項(xiàng)的和.解？設(shè)S=1+3+5x+…+(2n-1)x-.???①x=0時(shí)，$=1.當(dāng)x豐0且xm1時(shí)，在式①兩邊同乘以 x得xSn=x+3x2+5x3+…+(2n-1)xn，②①-②，得(1-x)Sn=1+2x+2x2+2x3+…+2xn-1-(2n-1)xn.⑸裂項(xiàng)法：把通項(xiàng)公式整理成兩項(xiàng)(式多項(xiàng))差的形式，然后前后相消。常見裂項(xiàng)方法：1(2n-l)(2n+3)1(2n-l)(2n+3)2n+3在掌握常見題型的解法的同時(shí)，也要注重?cái)?shù)學(xué)思想在解決數(shù)列問題時(shí)的應(yīng)用。二、常用數(shù)學(xué)思想方法1?函數(shù)思想運(yùn)用數(shù)列中的通項(xiàng)公式的特點(diǎn)把數(shù)列問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題解決。【例13】？等差數(shù)列｛an｝的首項(xiàng)ai>0，前n項(xiàng)的和為S,若S=S(l豐k)問n為何值時(shí)S最大？此函數(shù)以n為自變量的二次函數(shù)。Tai>O?S=S(l豐k),二dv0故此二次函數(shù)的圖像開口向下???f(l)=f(k) ■- I…2?方程思想【例14】設(shè)等比數(shù)列｛an｝前n［項(xiàng)和■為6,-若S+S6=2S,求數(shù)列的公比q。分析？本題考查等比數(shù)列的基礎(chǔ)知識(shí)及推理能力。解???依題意可知］串衣為奇數(shù)時(shí),n= 最丸???如果q=1，則S3=3ai,Se=6ai,S)=9ai。由此應(yīng)推出ai=0與等比數(shù)列不符。???qz1TOC\o"1-5"\h\z3 6 3整理得？q(2q-q-1)=0?vqz0此題還可以作如下思考：S6=S+q3S=(1+q3)SS9=S+q3S=S(1+q3+q6),3 3 6 6 3.?.由S3+Ss=2S9可得2+q