常見統(tǒng)計(jì)分布及其特點(diǎn)

【附錄一】常見分布匯總一、 二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布（BinomialDistribution）,即重復(fù)n次的伯努利試驗(yàn)（BernoulliExperiment）,用E表示隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果，如果事件發(fā)生的概率是P,則不發(fā)生的概率q=1-p,N次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中發(fā)生K次的概率是。二、 泊松poisson分布1、 概念當(dāng)二項(xiàng)分布的n很大而p很小時(shí)，泊松分布可作為二項(xiàng)分布的近似，其中入為np。通常當(dāng)n沱10,pM0.1時(shí)，就可以用泊松公式近似得計(jì)算。2、 特點(diǎn) 期望和方差均為入。3、 應(yīng)用（固定速率出現(xiàn)的事物。）一一在實(shí)際事例中，當(dāng)一個(gè)隨機(jī)事件，例如某電話交換臺(tái)收到的呼叫、來到某公共汽車站的乘客，以固定的平均瞬時(shí)速率入（或稱密度）隨機(jī)且獨(dú)立地出現(xiàn)時(shí)，那么這個(gè)事件在單位時(shí)間（面積或體積）內(nèi)出現(xiàn)的次數(shù)或個(gè)數(shù)就近似地服從泊松分布三、 均勻分布uniform設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的分布函數(shù)F（x）=（x-a）/（b-a），aWxWb則稱隨機(jī)變量X服從［a,b］上的均勻分布，記為X?U［a,b］。四、 指數(shù)分布ExponentialDistribution1、 概念2、 特點(diǎn)一一無記憶性（1） 這種分布表現(xiàn)為均值越小，分布偏斜的越厲害。（2） 無記憶性當(dāng)s,tN0時(shí)有P（T〉s+t|T〉t）=P（T〉s）即，如果T是某一元件的壽命，已知元件使用了七小時(shí)，它總共使用至少s+t小時(shí)的條件概率，與從開始使用時(shí)算起它使用至少s小時(shí)的概率相等。3、 應(yīng)用在電子元器件的可靠性研究中，通常用于描述對(duì)發(fā)生的缺陷數(shù)或系統(tǒng)故障數(shù)的測(cè)量結(jié)果五、 正態(tài)分布Normaldistribution1、 概念2、 中心極限定理與正態(tài)分布（說明了正態(tài)分布的廣泛存在，是統(tǒng)計(jì)分析的基礎(chǔ)）中心極限定理：設(shè)從均值為^、方差為?！?;（有限）的任意一個(gè)總體中抽取樣本量為n的樣本，當(dāng)n充分大時(shí)，樣本均值的抽樣分布近似服從均值為^、方差為o”2/n的正態(tài)分布。3、 特點(diǎn)一一在總體的隨機(jī)抽樣中廣泛存在。4、 應(yīng)用一一正態(tài)分布是假設(shè)檢驗(yàn)以及極大似然估計(jì)法ML的理論基礎(chǔ)定理一：設(shè)X1，X2，X3.。。Xn是來自正態(tài)總體N（u，S2）的樣本，則有樣本均值X~N（u，S2/n）——總體方差常常未知，用t分布較多六、 x2卡方分布（與方差有關(guān)）chi-squaredistribution1、概念若n個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量E?、E?、……、En，均服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布（也稱獨(dú)立Q*同分布于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布），則這n個(gè)服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)變量的平方和；I?構(gòu)成一新的隨機(jī)變量，其分布規(guī)律稱為？卡方?分布（chi-squaredistribution），其中參數(shù)n稱為自由度【注意】假設(shè)隨機(jī)干擾項(xiàng)呈正態(tài)分布。因此，卡方分布可以和RSS殘差平方和聯(lián)系起來。用RSS/52，所得的變量就是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，就服從卡方分布。2、 卡方分布的特點(diǎn)TOC\o"1-5"\h\z2 1（1） 分布的均值為自由度n，記為E0。=n。（這個(gè)容易證明）（2） 分布的方差為2倍的自由度（2n），記為D（「）=2n。2 j（3） 如果.?「，，?，互相獨(dú)立，則：（獨(dú)立可加減）一；/J—，m?服從?.?；一？分布，自由度?「i一「：？；2 2j—,m?服從?.「?分布，自由度為?「"‘：?3、 圖形特點(diǎn)4、 應(yīng)用定理二，設(shè)XI，X2，X3.。。Xn是來自正態(tài)總體N（u，S2）的樣本，則有樣本均值X~N（u，S2/n）（1）正態(tài)分布以及卡方分布是F檢驗(yàn)的基礎(chǔ)。大量的檢驗(yàn)用到7F檢驗(yàn)：F檢驗(yàn)、三大檢驗(yàn)。七、 t學(xué)生分布（用樣本方差s來標(biāo)準(zhǔn)化） Student's?t-distribution1、 概念（適用于52未知）【理解】把樣本標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)化的U變換前提是方差已知，但總體方差是未知的，所以用樣本方差來代替總體方差。根據(jù)中心極限定理，抽樣服從方差為總體方差除以n的正態(tài)分布。由于在實(shí)際工作中，往往。是未知的，常用s作為。的估計(jì)值，為了與u變換區(qū)別，稱為t變換，統(tǒng)計(jì)量t值的分布稱為t分布（u變換指把變量轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布）【思考】為什么樣本方差比總體方差要?。恳?yàn)橐粋€(gè)是總體方差，一個(gè)是樣本均值的方差。不同2、 特點(diǎn)1）與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布曲線相比，自由度v越小，t分布曲線愈平坦，曲線中間愈低，曲線雙側(cè)尾部翹得愈高；自由度v愈大，t分布曲線愈接近正態(tài)分布曲線，當(dāng)自由度v=8時(shí)，t分布曲線為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布曲線。定理三：設(shè)X1，X2，X3.。。Xn是來自正態(tài)總體N（u，52）的樣本，則有樣本均值X~N（u，52/n），S為樣本方差XU =-t（n-1）SE 【注意】S是樣本方差。中心極限定理說的是樣本均值的方差。八、 F分布F-distribution1、概念F分布定義為：設(shè)X、Y為兩個(gè)獨(dú)立的隨機(jī)變量，X服從自由度為k1的卡方分布，Y服從自由度為k2的卡方分布，這2個(gè)獨(dú)立的卡方分布被各自的自由度除以后的比率這一統(tǒng)計(jì)量的分布2、特點(diǎn)它是一種非對(duì)稱分布；它有兩個(gè)自由度，即n1-1和n2-1，相應(yīng)的分布記為F(n1-1,n2-1),n1-1通常稱為分子自由度，n2-1通常稱為分母自由度；F分布是一個(gè)以自由度?；心一■*)?和？亡一"為參數(shù)的分布族，不同的自由度決定了F分布的形狀。F由代捕任z—F分布的倒數(shù)性質(zhì)：殘差平方和之比通常與F分布有關(guān)。九、邏輯分布logistic(分類評(píng)定模型)一一最早應(yīng)用最廣的離散選擇模型1、 概念2、 特點(diǎn)用作增長(zhǎng)曲線并為二進(jìn)制響應(yīng)建模。在生物統(tǒng)計(jì)和經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域使用。Logistic分布由尺度和位置參數(shù)描述°Logistic分布沒有形狀參數(shù)，也就是說其概率密度函數(shù)只有一個(gè)形狀。下列圖形顯示了不同參數(shù)值對(duì)Logistic分布的效應(yīng)。尺度參數(shù)的效應(yīng)位置參數(shù)的效應(yīng)Logistic分布的形狀與正態(tài)分布的形狀相似，但Logistic分布的尾部更長(zhǎng)。十、伽馬分布1、概念 伽瑪分布(GammaDistribution)是統(tǒng)計(jì)學(xué)的一種連續(xù)概率函數(shù)。Gamma分布中的參數(shù)a稱為形狀參數(shù)(shapeparameter)，^稱為尺度參數(shù)(scaleparameter)o假設(shè)隨機(jī)變量X為等到第a件事發(fā)生所需之等候時(shí)間，密度函數(shù)為特征函數(shù)為伽馬分布的可加性當(dāng)兩隨機(jī)變量服從Gamma分布，且單位時(shí)間內(nèi)頻率相同時(shí)，Gamma數(shù)