2-3 一元二次不等式（解析版）導(dǎo)學(xué)案（人教A版2019必修第一冊）

2.3一元二次不等式1.經(jīng)歷從實(shí)際情境中抽象出一元二次不等式的過程，了解一元二次不等式的現(xiàn)實(shí)意義．能借助一元二次函數(shù)求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集2.借助一元二次函數(shù)的圖象，了解一元二次不等式與相應(yīng)函數(shù)、方程的聯(lián)系重點(diǎn)：一元二次不等式與相應(yīng)函數(shù)、方程的聯(lián)系難點(diǎn)：含參一元二次不等式的解法閱讀課本內(nèi)容，自主完成下列內(nèi)容。知識(shí)點(diǎn)一一元二次不等式1．把只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是eq\a\vs4\al(2)的不等式，稱為一元二次不等式．2．一元二次不等式的一般形式是ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0(其中a，b，c均為常數(shù)，a≠0)．對一元二次不等式的再理解(1)一元，即只含一個(gè)未知數(shù)，其他元素均為常數(shù)(或參數(shù))；(2)二次，即未知數(shù)的最高次數(shù)必須為2，且其系數(shù)不能為0.下面所給關(guān)于x的幾個(gè)不等式：①3x＋4<0；②x2＋mx－1>0；③ax2＋4x－7>0；④x2<0.其中一定為一元二次不等式的有________．(填序號(hào))答案：②④知識(shí)點(diǎn)二一元二次不等式的解法1．圖象法：由一元二次方程、一元二次不等式及二次函數(shù)的關(guān)系，可以得到解一元二次不等式的一般步驟：(1)化不等式為標(biāo)準(zhǔn)形式：ax2＋bx＋c>0(a>0)或ax2＋bx＋c<0(a>0)；(2)求方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根，并畫出對應(yīng)函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象簡圖；(3)由圖象得出不等式的解集．2．代數(shù)法：將所給不等式化為一般式后借助分解因式或配方法求解．當(dāng)m<n時(shí)，若(x－m)(x－n)>0，則可得x>n或x<m；若(x－m)(x－n)<0，則可得m<x<n.1．在通過圖象獲取解集時(shí)，注意不等式中的不等號(hào)方向、是否為嚴(yán)格不等關(guān)系及Δ＝0時(shí)的特殊情況．2．當(dāng)a＜0時(shí)，解不等式可以從兩個(gè)方面入手：①畫出對應(yīng)圖象進(jìn)行直接判定(此時(shí)圖象開口向下)；②兩邊同乘以－1，把a(bǔ)轉(zhuǎn)化為－a再進(jìn)行求解．思考1．a(chǎn)x2＋bx＋c>0(a>0)的解集為R，則a，b，c應(yīng)當(dāng)滿足的關(guān)系式？提示：Δ＝b2－4ac<0.思考2．a(chǎn)x2＋bx＋c<0(a<0)的解集為R，則a，b，c應(yīng)當(dāng)滿足的關(guān)系式？提示：Δ＝b2－4ac<0.解下列一元二次不等式：(1)x2－2x＋3>0；(2)－x2－3x＋4>0；(3)(x－a)(x－a＋1)<0.答案：(1)R(2){x|－4<x<1}(3)(a－1，a)知識(shí)點(diǎn)三二次函數(shù)與一元二次方程、不等式的解的對應(yīng)關(guān)系判別式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有兩個(gè)相異的實(shí)數(shù)根x1，2＝eq\f(－b±\r(b2－4ac),2a)有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根x1＝x2＝－eq\f(b,2a)沒有實(shí)數(shù)根判別式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a>0)的圖象二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a>0)的零點(diǎn)有兩個(gè)零點(diǎn)x1，2＝eq\f(－b±\r(b2－4ac),2a)有一個(gè)零點(diǎn)x＝－eq\f(b,2a)無零點(diǎn)ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集(－∞，x1)∪(x2，＋∞)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(b,2a)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，＋∞))eq\a\vs4\al(R)ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集(x1，x2)eq\a\vs4\al(?)eq\a\vs4\al(?)1．函數(shù)的角度：一元二次不等式ax2＋bx＋c>0表示二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的函數(shù)值大于0，圖象在x軸的上方；一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集即二次函數(shù)圖象在x軸上方部分的自變量的取值范圍．2．方程的角度：一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集的端點(diǎn)值是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根．思考3當(dāng)Δ＝0時(shí)，不等式ax2＋bx＋c≥0(a>0)與ax2＋bx＋c≤0(a>0)的解集分別是什么？提示：R，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(b,2a))))).1．不等式x(x－2)>0的解集為________，不等式x(x－2)<0的解集為________．答案：{x|x<0或x>2}{x|0<x<2}2．已知不等式ax2－bx＋2<0的解集為{x|1<x<2}，則a＋b＝________．答案：4考點(diǎn)一一元二次不等式的解法角度1不含參一元二次不等式的解法例1．（天津市紅橋區(qū)2022-2023學(xué)年高中學(xué)業(yè)水平合格性考試模擬數(shù)學(xué)試題）一元二次不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由一元二次不等式的解法直接求解即可.【詳解】，或故不等式的解集為.故選：A.[總結(jié)反思](1)解一元二次不等式的一般步驟是:①化為標(biāo)準(zhǔn)形式(a>0);②確定判別式Δ的符號(hào),若Δ≥0,則求出該不等式對應(yīng)的一元二次方程的根,若Δ<0,則對應(yīng)的一元二次方程無根;③結(jié)合二次函數(shù)的圖像得出不等式的解集.特別地,若一元二次不等式的左邊能因式分解,則可直接寫出不等式的解集.(2)求解含有參數(shù)的不等式時(shí),首先需要對二次項(xiàng)系數(shù)進(jìn)行討論,再比較(相應(yīng)方程)根的大小,注意分類討論思想的應(yīng)用.【對點(diǎn)演練1】（2023春·福建南平·高二統(tǒng)考期末）已知集合，集合，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】解一元二次不等式化簡集合N，然后利用交集運(yùn)算求解即可.【詳解】因?yàn)?，又，所?故選：B.【對點(diǎn)演練2】（2023春·湖南·高二校聯(lián)考期末）已知集合，，則（）A． B．C． D．【答案】B【分析】計(jì)算并求解集合，，利用交集的定義求解.【詳解】，解得；，解得，所以集合，，所以．故選：B【對點(diǎn)演練3】（2023春·湖南邵陽·高二統(tǒng)考期末）已知全集，設(shè)集合，則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)不等式的解法，分別求得，結(jié)合集合的補(bǔ)集與并集的運(yùn)算，即可求解.【詳解】由集合，可得，所以.故選：C.角度2含參數(shù)一元二次不等式的解法例2．（2023·江蘇·高一假期作業(yè)）解關(guān)于x的不等式【答案】答案見解析【分析】原不等式可化為，分、、三種情況求解即可.【詳解】原不等式可化為.當(dāng)，即時(shí)，或；當(dāng)，即時(shí)，；當(dāng)，即時(shí)，或.綜上，當(dāng)時(shí)，解集為或；當(dāng)時(shí)，解集為；當(dāng)時(shí)，解集為或.【對點(diǎn)演練1】（2023·江蘇·高一假期作業(yè)）已知.(1)當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；(2)解關(guān)于的不等式.【答案】(1)(2)答案見解析【分析】（1）根據(jù)二次不等式的解法求解即得；（2）分類討論求解即可得解.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，不等式化為，解得或.∴不等式的解集為.（2）關(guān)于的不等式，即，當(dāng)時(shí)，得，解集為；當(dāng)時(shí)，無解，解集為空集；當(dāng)時(shí)，得，解集為.綜上所述，當(dāng)時(shí)，解集為；當(dāng)時(shí)，解集為空集；當(dāng)時(shí)，解集為.【對點(diǎn)演練2】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）若，則不等式的解集是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由一元二次不等式的特征即可求解.【詳解】由于，所以,所以不等式的解集，故選：D考點(diǎn)二分式不等式的解法例3．（2023春·浙江金華·高一統(tǒng)考期末）已知集合，則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】解不等式化簡集合B，再利用交集的定義求解作答.【詳解】不等式化為：，解得，即，而，所以.故選：C【對點(diǎn)演練1】（2023春·江蘇南京·高二統(tǒng)考期末）已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】求出集合，利用補(bǔ)集和交集的定義可求得集合.【詳解】因?yàn)榛?，故，又因?yàn)椋瑒t.故選：C.【對點(diǎn)演練2】（2022秋·四川成都·高一石室中學(xué)?？计谥校┎坏仁降慕饧牵?/p>

）A．或 B．C．或 D．【答案】A【分析】直接解分式不等式即可.【詳解】由或，所以不等式的解集為：或，故選：A.考點(diǎn)三已知不等式的解集求參數(shù)例4．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知不等式的解集為，則下列說法錯(cuò)誤的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)一元二次不等式與二次方程根的關(guān)系，結(jié)合韋達(dá)定理即可求解.【詳解】由不等式的解集為可知：且和是方程的兩個(gè)根，所以由韋達(dá)定理可得，解得，故ACD正確，B錯(cuò)誤，故選：B.【對點(diǎn)演練1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）若不等式的解集是的子集，則a的范圍是（）A．[－4，3] B．[－4，2]C．[－1，3] D．[－2，2]【答案】A【分析】原不等式可化為，后通過討論與1的大小解不等式，結(jié)合解集是的子集可得答案.【詳解】原不等式可化為.當(dāng)a＜1時(shí)，不等式的解集為[a，1]，此時(shí)只要即可，即；當(dāng)a＝1時(shí)，不等式的解為x＝1，此時(shí)符合要求；當(dāng)a＞1時(shí)，不等式的解集為[1，a]，此時(shí)只要即可，即.綜上可得：.故選：A.【對點(diǎn)演練2】（2023春·天津南開·高二南開中學(xué)?？计谀╆P(guān)于的不等式的解集為，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)解：不等式的解集為，得到，且，，進(jìn)而轉(zhuǎn)化不等式求解.【詳解】解：因?yàn)殛P(guān)于的不等式的解集為，所以，且，，所以，，所以化為，解得.故選：A.【對點(diǎn)演練3】（2023·全國·高一假期作業(yè)）若一元二次不等式的解集是，則一元二次不等式的解集是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由題意可得是的兩個(gè)根，且利用韋達(dá)定理可得到，即可對進(jìn)行求解【詳解】由一元二次不等式的解集是可得是的兩個(gè)根，且所以，所以可化為，即，解得或.故選：C【對點(diǎn)演練4】（2022秋·河南省直轄縣級單位·高二統(tǒng)考期末）已知關(guān)于的一元二次不等式的解集為，則關(guān)于的不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由一元二次不等式解集可得、、，再代入求解集即可.【詳解】由題設(shè)，且，則，，所以，即，可得.故選：A【對點(diǎn)演練5】（2023春·山東濱州·高二?？茧A段練習(xí)）若不等式的解集為或，則（）A．， B．，C．， D．，【答案】D【分析】由不等式的解集得出和是方程的兩個(gè)根，代入求解即可得出答案．【詳解】因?yàn)椴坏仁降慕饧癁榛颍院蜁r(shí)，，即，，解得,,故選：D．考點(diǎn)四不等式的恒成立問題角度1一元二次型不等式在R上的恒成立問題例5．（2023春·湖南長沙·高二統(tǒng)考期末）若不等式對任意實(shí)數(shù)x均成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】化簡已知不等式，對進(jìn)行分類討論，結(jié)合一元二次不等式的知識(shí)求得的取值范圍.【詳解】依題意，不等式對任意實(shí)數(shù)x均成立，即不等式恒成立，當(dāng)時(shí)，不等式可化為恒成立，當(dāng)時(shí)，，解得，綜上所述，的取值范圍是.故選：B[總結(jié)反思](1)若不等式ax2+bx+c>0(a≠0)恒成立,則滿足a(2)若不等式ax2+bx+c<0(a≠0)恒成立,則滿足a(3)若不等式ax2+bx+c>0恒成立,則要考慮a=0時(shí)是否滿足.【對點(diǎn)演練1】（2023秋·云南紅河·高一統(tǒng)考期末）不等式對恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】分和兩種情況討論，當(dāng)時(shí)，即可求出參數(shù)的取值范圍.【詳解】①當(dāng)時(shí)，成立，②當(dāng)時(shí)，只需，解得，綜上可得，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：B．【對點(diǎn)演練2】（2023春·江蘇淮安·高二金湖中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）命題：，是假命題，則實(shí)數(shù)的值可能是（

）A． B． C．2 D．【答案】B【分析】由題意可知：，，利用判別式小于0即可求解.【詳解】因?yàn)槊}：，是假命題，所以命題：，是真命題，也即，恒成立，則有，解得：，根據(jù)選項(xiàng)的值，可判斷選項(xiàng)B符合，故選：B.【對點(diǎn)演練3】（2023春·福建泉州·高一福建省永春第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）“關(guān)于的不等式的解集為”的一個(gè)必要不充分條件是（

）A． B． C． D．或【答案】C【分析】求出滿足題意的充要條件為，然后根據(jù)充分條件以及必要條件的定義，即可得出答案.【詳解】因?yàn)椴坏仁降慕饧癁椋詰?yīng)有，解得.選擇的必要不充分條件的范圍，應(yīng)該大于包含的范圍，顯然只有C項(xiàng)滿足.故選：C.【對點(diǎn)演練4】（2023·全國·高一假期作業(yè)）已知不等式對任意實(shí)數(shù)恒成立，則的取值范圍是（

）A． B．C．或 D．【答案】D【分析】分和，結(jié)合二次函數(shù)的圖象分析得解.【詳解】①若,則恒成立，滿足題意；②,則，,∴.綜上所述.故選：D角度2一元二次型不等式在某區(qū)間上的恒成立問題例6．（2023秋·廣東肇慶·高一廣東肇慶中學(xué)?？计谥校┤裘}“”為真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為不等式在上恒成立，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.【詳解】由命題“”為真命題，即不等式在上恒成立，設(shè)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可得，所以.故選：A.[總結(jié)反思](1)一元二次不等式在給定區(qū)間上的恒成立問題,其本質(zhì)是將不等式恒成立轉(zhuǎn)化為最大(小)值問題,即f(x)≥0(x∈[a,b])恒成立等價(jià)于f(x)min≥0(x∈[a,b]),f(x)≤0(x∈[a,b])恒成立等價(jià)于f(x)max≤0(x∈[a,b]).若所給的不等式能通過恒等變形使參數(shù)與變量分離于不等式的兩端,即變量分離,則可避免分類討論,直接求出參數(shù)范圍.【對點(diǎn)演練1】（2023·江蘇鹽城·?？既＃┟}“任意，”為真命題的一個(gè)充分不必要條件是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】求出命題“任意，”為真命題的充要條件，然后可選出答案.【詳解】由可得，當(dāng)時(shí)，，所以，所以命題“任意，”為真命題的充要條件是，所以命題“任意，”為真命題的一個(gè)充分不必要條件是C，故選：C考點(diǎn)五不等式的有解問題例7．（2021秋·高一課時(shí)練習(xí)）不等式的解集不為空集，則的取值范圍是（

）A． B．C．或 D．或【答案】D【分析】解不等式即得解.【詳解】不等式的解集不是空集,所以,所以，∴或.所以的取值范圍是或.故選：D【對點(diǎn)演練1】（2023·湖南長沙·高二長郡中學(xué)校考學(xué)業(yè)考試）若關(guān)于x的不等式只有一個(gè)整數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】分討論解不等式，根據(jù)只有一個(gè)整數(shù)解建立不等關(guān)系求解即可.【詳解】不等式化為，即，當(dāng)時(shí)，不等式化為，得，有無數(shù)個(gè)整數(shù)解，不符合題意；當(dāng)時(shí)，由關(guān)于x的不等式只有一個(gè)整數(shù)解，可知，不等式的解為，由題意，，解得；當(dāng)時(shí)，不等式的解為或，有無數(shù)個(gè)整數(shù)解，不符合題意．綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是.故選：C【對點(diǎn)演練2】（2023春·湖南長沙·高一長沙市明德中學(xué)?？计谥校┤簦沟貌坏仁匠闪?，則實(shí)數(shù)的取值范圍（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題意可轉(zhuǎn)化為，使成立，求的最小值即可.【詳解】因?yàn)?，使得不等式成立，所以，使得不等式成立，令，，因?yàn)閷ΨQ軸為，，所以，所以，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：D.【對點(diǎn)演練3】（2023·全國·高一專題練習(xí)）若關(guān)于的不等式有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】直接利用判別式即可研究不等式的解的情況.【詳解】若關(guān)于的不等式有解,則，解得.故選：C.【對點(diǎn)演練4】（2023春·寧夏吳忠·高二吳忠中學(xué)?？计谥校┮阎}“，”為真命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題知時(shí)，，再根據(jù)二次函數(shù)求最值即可得答案.【詳解】解：因?yàn)槊}“，”為真命題，所以，命題“，”為真命題，所以，時(shí)，，因?yàn)?，，所以，?dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號(hào).所以，時(shí)，，即實(shí)數(shù)的取值范圍是故選：C【對點(diǎn)演練5】（2023·全國·高三專題練習(xí)）若存在實(shí)數(shù)，使得成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】分別在、和的情況下，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)討論得到結(jié)果.【詳解】①當(dāng)時(shí)，不等式化為，解得：，符合題意；②當(dāng)時(shí)，為開口方向向上的二次函數(shù)，只需，即；③當(dāng)時(shí)，為開口方向向下的二次函數(shù)，則必存在實(shí)數(shù)，使得成立；綜上所述：實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：C.考點(diǎn)六一元二次方程根的分布問題例8．（2022秋·江蘇揚(yáng)州·高一統(tǒng)考階段練習(xí)）已知一元二次方程的兩根都在內(nèi)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)，根據(jù)二次函數(shù)零點(diǎn)分布可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式組，由此可解得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】設(shè)，由題意可得，解得.因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：B.【對點(diǎn)演練1】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知一元二次方程的一根比1大，另一根比1小，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由一元二次方程的根與二次函數(shù)的關(guān)系，即可由二次函數(shù)的性質(zhì)求解.【詳解】記，則為開口向上的二次函數(shù)，要使方程的根一個(gè)大于1一個(gè)小于1，則只需要，解得，故選：C【對點(diǎn)演練2】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）關(guān)于x的方程至少有一個(gè)負(fù)根的充要條件是（

）A． B． C．或 D．【答案】B【分析】根據(jù)一元二次方程根的分布以及判別式、韋達(dá)定理得關(guān)系求解.【詳解】當(dāng)方程沒有根時(shí)，，即，解得；當(dāng)方程有根，且根都不為負(fù)根時(shí)，，解得，綜上，，即關(guān)于x的方程沒有一個(gè)負(fù)根時(shí)，，所以關(guān)于x的方程至少有一個(gè)負(fù)根的充要條件是，故選:B.【對點(diǎn)演練3】（2023春·河北保定·高一河北省唐縣第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若一元二次方程（不等于0）有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)一元二次方程有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根可得判別式大于零以及兩根之積小于零，列不等式組即可求解.【詳解】因?yàn)橐辉畏匠蹋ú坏扔?）有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根，設(shè)兩根為，則，解得，故選：A【對點(diǎn)演練4】（2022秋·廣東廣州·高一廣州市第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知關(guān)于的方程在區(qū)間內(nèi)有實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】參變分離可得在區(qū)間內(nèi)有實(shí)根，令，，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出的值域，即可求出參數(shù)的取值范圍.【詳解】解：因?yàn)殛P(guān)于的方程在區(qū)間內(nèi)有實(shí)根，所以在區(qū)間內(nèi)有實(shí)根，令，，所以在上單調(diào)遞減，所以，即，依題意與在內(nèi)有交點(diǎn)，所以.故選：B【對點(diǎn)演練5】（2022秋·江蘇常州·高一常州市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根且，那么的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由一元二次方程根的分布可得，解不等式組可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)，則，解得：，即的取值范圍為.故選：D.考點(diǎn)七一元二次不等式的應(yīng)用角度1一元二次不等式在實(shí)際問題中的應(yīng)用例8．（2023·全國·高一假期作業(yè)）某小型服裝廠生產(chǎn)一種風(fēng)衣，日銷售量（件）與單價(jià)（元）之間的關(guān)系為，生產(chǎn)件所需成本為（元），其中元，若要求每天獲利不少于1300元，則日銷售量的取值范圍是（

）.A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)給定信息，求出利潤關(guān)于的函數(shù)關(guān)系，再列出不等式并求解作答.【詳解】設(shè)該廠每天獲得的利潤為元，則，，，依題意，，解得，所以當(dāng)，且時(shí)，每天獲得的利潤不少于1300元.故選：B【對點(diǎn)演練1】（2023·全國·高一假期作業(yè)）某小型服裝廠生產(chǎn)一種風(fēng)衣，日銷售量x（件）與單價(jià)P（元）之間的關(guān)系為，生產(chǎn)x件所需成本為C（元），其中元，若要求每天獲利不少于1300元，則日銷量x的取值范圍是（

）A．20≤x≤30 B．20≤x≤45C．15≤x≤30 D．15≤x≤45【答案】B【分析】根據(jù)已知條件，先求出該廠每天獲得的利潤的函數(shù)解析式，再結(jié)合每天獲利不少于1300元，列出不等式求解即可．【詳解】設(shè)該廠每天獲得的利潤為y元，則y＝(160－2x)x－(500＋30x)＝－2x2＋130x－500(0＜x＜80)．由題意，知－2x2＋130x－500≥1300，即x2－65x＋900≤0，解得：20≤x≤45，所以日銷量x的取值范圍是20≤x≤45．故選：B．【對點(diǎn)演練2】（2020秋·浙江溫州·高一校考階段練習(xí)）某種汽車在水泥路面上的剎車距離（單位：）和汽車剎車前的車速（單位：）之間有如下關(guān)系：，在一次交通事故中，測得這種車剎車距離大于40，則這輛汽車剎車前的車速至少為（

）（精確到1）A．76 B．77 C．78 D．80【答案】B【分析】設(shè)這輛汽車剎車前的車速，利用題設(shè)中的的關(guān)系式和不等式關(guān)系可得的一元二次不等式，求的范圍可得．【詳解】設(shè)這輛汽車剎車前的車速為，根據(jù)題意，有，移項(xiàng)整理，得，解得．所以這輛汽車剎車前的速度至少為77．故選：B角度2一元二次不等式在幾何問題中的應(yīng)用例9．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在如圖所示的銳角三角形空地中，欲建一個(gè)面積不小于的內(nèi)接矩形花園（陰影部分），則圖中矩形花園的其中一邊的邊長（單位：m）的取值范圍是（

）

A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意，由相似三角形將表示出來，從而表示出，然后求解不等式，即可得到結(jié)果.【詳解】

如圖，過作于，交于，易知，即，則，．所以矩形花園的面積，解得．故選:C．【對點(diǎn)演練】（2022秋·上?！じ咭黄谥校┮话愕?，把稱為區(qū)間的“長度”已知關(guān)于x的不等式有實(shí)數(shù)解，且解集區(qū)間長度不超過3個(gè)單位，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為___________．【答案】【分析】不等式有實(shí)數(shù)解等價(jià)于有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，結(jié)合根的判別式，韋達(dá)定理進(jìn)行求解.【詳解】不等式有實(shí)數(shù)解等價(jià)于有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則，解得：或設(shè)的兩根為，，不妨令，則，由題意得：，解得：，結(jié)合或，所以實(shí)數(shù)k的取值范圍為故答案為：一、單選題1．“”的一個(gè)必要不充分條件是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由集合的包含關(guān)系直接判斷即可.【解析】，因?yàn)?，所以是的必要不充分條件.故選：B.2．已知全集，集合，，則等于（

）．A． B．C． D．【答案】A【分析】通過解二次不等式求出和集合，再求交集即可.【解析】或，故選：A.3．不等式的解集是（

）A． B．C．或 D．或【答案】A【分析】解一元二次不等式時(shí)，若不等號(hào)右側(cè)不是0，應(yīng)先把右側(cè)化為0，再解不等式．【解析】不等式可化為，即，解這個(gè)不等式，得，所以該不等式的解集是．故選：A．4．設(shè)m＋n>0，則關(guān)于x的不等式(m－x)·(n＋x)>0的解集是（

）A．{x|x<－n或x>m} B．{x|－n<x<m}C．{x|x<－m或x>n} D．{x|－m<x<n}【答案】B【分析】不等式變形為最高次項(xiàng)系數(shù)為正，然后比較相應(yīng)二次方程兩根的大小后可不等式的解集．【解析】不等式變形為，方程的兩根為，顯然由得，所以不等式的解為．故選：B．5．一元二次不等式的解集是，則的值是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意可得方程的兩根為和，且，由根與系數(shù)的關(guān)系列方程組，解方程組求得、的值即可求解．【解析】因?yàn)橐辉尾坏仁降慕饧牵苑匠痰膬筛鶠楹?，且，所以，解得：，，所以，故選：D．6．已知p：，q：，且p的一個(gè)充分不必要條件是則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】先化簡命題對應(yīng)的不等式，由p的一個(gè)充分不必要條件是確定包含關(guān)系，建立不等式即可求解.【解析】p：，解得．q：，解得．若p的一個(gè)充分不必要條件是q，則，故，解得，故選：A．7．若關(guān)于x的不等式在區(qū)間(1，5)內(nèi)有解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A．(?，5) B．(5，+) C．(?4，+) D．(?，4)【答案】A【分析】設(shè)，由題意可得，從而可求出實(shí)數(shù)a的取值范圍【解析】設(shè)，開口向上，對稱軸為直線，所以要使不等式在區(qū)間(1，5)內(nèi)有解，只要即可，即，得，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為，故選：A8．已知p：，q：，如果p是q的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】解一元二次不等式，寫出命題p，q所對集合，再由集合的包含關(guān)系即可列式求解.【解析】解不等式得：或，記命題p所對集合，命題q所對集合，由p是q的充分不必要條件得：AB，于是得，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是.故選：B二、多選題9．已知關(guān)于x的不等式的解集為，則（

）A．B．不等式的解集是C．D．不等式的解集為【答案】ABD【分析】根據(jù)不等式的解集判斷出，結(jié)合根與系數(shù)關(guān)系、一元二次不等式的解法判斷BCD選項(xiàng)的正確性.【解析】關(guān)于的不等式的解集為選項(xiàng)正確；且－2和3是關(guān)于的方程的兩根，由韋達(dá)定理得，則，則，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；不等式即為，解得選項(xiàng)正確；不等式即為，即，解得或選項(xiàng)正確.故選：.10．對于給定的實(shí)數(shù)a，關(guān)于x的一元二次不等式的解集可能為（

）A． B． C． D．或【答案】ABC【分析】根據(jù)題意，通過討論與0的大小關(guān)系，求出解集即可.【解析】根據(jù)題意，易知．當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象開口向上，故不等式的解集為或．當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象開口向下，若，不等式的解集為；若，不等式的解集為；若，不等式的解集為．故選：ABC．11．設(shè)全集，集合，，則（

）A． B．C． D．或【答案】BD【分析】先通過一元二次不等式的計(jì)算可得，，再根據(jù)集合的運(yùn)算逐項(xiàng)計(jì)算即可得解.【解析】由題知，，或，所以，故A錯(cuò)誤；，故B正確；，故C錯(cuò)誤；或，故D正確.故選：BD．12．若關(guān)于的不等式的解集為，則能使不等式成立的可以為（

）A． B． C． D．或【答案】BC【分析】根據(jù)不等式的解集求出，，再把的關(guān)系代入不等式即得解.【解析】因?yàn)椴坏仁降慕饧癁椋院褪欠匠痰膬蓚€(gè)根，且，所以.則.由，得，因?yàn)?，所以，解得或，所以不等式的解集為?故選：BC三、填空題13．不等式的整數(shù)解構(gòu)成的集合是_______．【答案】【分析】解出不等式即可求出．【解析】由不等式解得，所以不等式的整數(shù)解構(gòu)成的集合是．故答案為：．14．關(guān)于x的不等式的解集為，則實(shí)數(shù)______．【答案】【分析】由分式不等式的解法，可將其等價(jià)變形為一元二次不等式求解，并通過解集待定系數(shù)得解【解析】解：等價(jià)于，即，若,顯然不等式無解，因此解得,由已知解集為可知故答案為：15．關(guān)于x的不等式的解集是_______．【答案】【分析】因式分解后利用積的符號(hào)法則直接求解.【解析】原不等式可化為：解得：，所以原不等式的解集為：故答案為：.16．研究問題：“已知關(guān)于x的不等式ax2－bx＋c＞0的解集為(1，2)，解關(guān)于x的不等式cx2－bx＋a＞0”，有如下解法：由ax2－bx＋c＞0?a－b＋c＞0.令y＝，則y∈，所以不等式cx2－bx＋a＞0的解集為.類比上述解法，已知關(guān)于x的不等式＋＜0的解集為(－2，－1)∪(2，3)，則關(guān)于x的不等式＋＜0的解集為________．【答案】【分析】根據(jù)題意，將替換x可得所求的方程，并且可知∈(－2，－1)∪(2，3)，從而求出的解集.【解析】關(guān)于x的不等式＋＜0的解集為(－2，－1)∪(2，3)，用－替換x，不等式可以化為＋＝＋＜0，因?yàn)椋?－2，－1)∪(2，3)，所以＜x＜1或－＜x＜－，即不等式＋＜0的解集為∪故答案為：∪【點(diǎn)睛】本