第一節(jié)導數(shù)的概念及其應用

第一節(jié)導數(shù)的概念及其應用第1頁，課件共22頁，創(chuàng)作于2023年2月導數(shù)的運算

求下列各函數(shù)的導數(shù)．(1)y＝ax＋x3(a＞0且a≠1)；(2)y＝xsinx＋cosx；(3)第2頁，課件共22頁，創(chuàng)作于2023年2月分析

正確運用求導公式及導數(shù)運算法則求解。解

(1)y′＝(ax＋x3)′＝(ax)′＋(x3)′＝axlna＋3x2.(2)y′＝(xsinx＋cosx)′＝(xsinx)′＋(cosx)′

＝x′sinx＋x(sinx)′－sinx

＝sinx＋xcosx－sinx＝xcosx.(3)y′=

=第3頁，課件共22頁，創(chuàng)作于2023年2月規(guī)律總結

(1)對較復雜的函數(shù)求導時，應先化簡再求導。

(2)公式(ax)′＝axlna，,記憶方法，要類比(ex)′＝ex，(lnx)′＝，同時都多出常數(shù)lna。第4頁，課件共22頁，創(chuàng)作于2023年2月變式訓練1

求下列函數(shù)的導數(shù)第5頁，課件共22頁，創(chuàng)作于2023年2月解析第6頁，課件共22頁，創(chuàng)作于2023年2月

變式訓練2

已知f(x)＝x2＋2f′(1)x，則f′(－1)＝__________?！窘馕觥俊遞′(1)為常數(shù)，∴f′(x)＝[x2＋2f′(1)x]′＝2x＋2f′(1)，∴f′(1)＝－2，f′(－1)＝－2－4＝－6.【答案】－6第7頁，課件共22頁，創(chuàng)作于2023年2月導數(shù)幾何意義的運用已知函數(shù)f(x)＝x3＋x-16(1)求曲線y＝f(x)在點(2，－6)處的切線的方程；(2)直線l為曲線y＝f(x)的切線，且經過原點，求直線l的方程。第8頁，課件共22頁，創(chuàng)作于2023年2月分析

(1)點x＝2處的導數(shù)為切線的斜率，利用點斜式求出方程；(2)先設出切點，利用導數(shù)導出切線的斜率，再用點斜式導出方程后，結合條件求解。第9頁，課件共22頁，創(chuàng)作于2023年2月解

(1)∵f′(x)＝3x2＋1，∴在點(2，－6)處的切線的斜率為k＝f′(2)＝13，∴切線方程為y＋6＝13(x－2)，即y＝13x－32.(2)設切點坐標為(x0，y0)，則直線l的斜率為k＝f′(x0)＝3x02＋1，∴直線l的方程為y＝(3x02＋1)(x－x0)＋x03＋x0－16，又∵直線l過原點，∴0＝(3x02＋1)(－x0)＋x03＋x0－16＝－2x03－16，∴x0＝－2，∴y0＝－26，k＝13，∴直線l的方程為y＝13x.第10頁，課件共22頁，創(chuàng)作于2023年2月規(guī)律總結

(1)解決此類問題一定要分清是“在某點處的切線”，還是“過某點的切線”。(2)解決“過某點的切線”問題，一般是設出切點坐標(x0，y0)，得出切線方程y－y0＝f′(x0)(x－x0)，然后把已知點代入切線方程求(x0，y0)，進而再求出切線方程。第11頁，課件共22頁，創(chuàng)作于2023年2月

變式訓練3

曲線在點處的切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積?！窘馕觥坑蒮′(1)＝2，故切線方程為：

，其在兩坐標軸上的截距分別為，，故直線與兩坐標軸圍成的三角形面積為第12頁，課件共22頁，創(chuàng)作于2023年2月導數(shù)的綜合應用(12分)已知函數(shù)的圖象在點(－1，f(－1))處的切線方程為x＋2y＋5＝0，求y＝f(x)的解析式。分析點(－1，f(－1))既在直線x＋2y＋5＝0上，又在函數(shù)f(x)的圖象上。第13頁，課件共22頁，創(chuàng)作于2023年2月解依題意，－1＋2f(－1)＋5＝0，∴f(－1)＝－2，，即a－2b＝－4.①………3分

………6分又………………7分第14頁，課件共22頁，創(chuàng)作于2023年2月又∵點(－1，f(－1))處的切線斜率為

解①②得

②……10分……12分第15頁，課件共22頁，創(chuàng)作于2023年2月規(guī)律總結函數(shù)圖象的切線是由切點和斜率(即導數(shù)確定的.有關切線問題，需要把握切點特征，和對函數(shù)進行正確求導運算.第16頁，課件共22頁，創(chuàng)作于2023年2月變式訓練4

已知曲線C：y＝x3－3x2＋2x，直線l：y＝kx，且直線l與曲線C相切于點

(x0，y0)(x0≠0)，求直線l的方程及切點的坐標。第17頁，課件共22頁，創(chuàng)作于2023年2月【解析】∵y′＝3x2－6x＋2，直線y＝kx過原點(0,0)及(x0，x03－3x02＋2x0)，解得∴切點為

把切點坐標代入y＝kx得∴切線方程為

即x＋4y＝0.第18頁，課件共22頁，創(chuàng)作于2023年2月1．正確運用公式、法則求函數(shù)導數(shù)是基礎．2．需要準確理解在已知曲線上某點處的切線的兩層含義：一是該點的導數(shù)值等于切線的斜率；二是該點坐標滿足已知的曲線方程．3．如果曲線y＝f(x)在(x0，f(x0))處的切線平行于y軸(此時導數(shù)不存在)，由切線的定義知，切線方程為x＝x0.4．當某點不在曲線上，求過該點的切線方程時，要先設出切點坐標，利用導數(shù)的幾何意義表示出切線方程；再把已知點代入切線方程，從而得出所求的切線方程．第19頁，課件共22頁，創(chuàng)作于2023年2月已知曲線y＝x3上一點P，求過點P的切線方程．錯解

由y′＝x2，得y′|x-2＝4，則所求的切線方程是y－＝4(x－2)，即12x－3y－16＝0.錯解分析本題所求是過點P的切線，雖然點P在曲線上，但過點P的切線不一定以P為切點．所以，過點P但不以P為切點的切線也是符合題意的．第20頁，課件共22頁，創(chuàng)作于2023年2月正解設切點(x0，y0)，則切線方程為y－x03＝x02(x－x0)．∵切線過點P，∴－x03＝x02(2－x0)，解得x0＝－1或