彈性力學之平面問題的基本理論

第一節(jié)平面應(yīng)力問題和平面應(yīng)變問題第二節(jié)平衡微分方程第三節(jié)平面問題中一點的應(yīng)力狀態(tài)第四節(jié)幾何方程剛體位移第五節(jié)物理方程第六節(jié)邊界條件第二章平面問題的基本理論第七節(jié)圣維南原理及其應(yīng)用第八節(jié)按位移求解平面問題第九節(jié)按應(yīng)力求解平面問題相容方程第十節(jié)常應(yīng)力情況下的簡化應(yīng)力函數(shù)第二章平面問題的基本理論

彈性力學平面問題共有應(yīng)力、應(yīng)變和位移8個未知函數(shù)，且均為?！?-1平面應(yīng)力問題和平面應(yīng)變問題

彈性力學空間問題共有應(yīng)力、應(yīng)變和位移15個未知函數(shù)，且均為；平面應(yīng)力（4）約束作用于板邊，平行于板的中面，沿板厚不變。（3）面力作用于板邊，平行于板的中面，沿板厚不變；（2）體力作用于體內(nèi)，平行于板的中面，沿板厚不變；條件是：

第一種：平面應(yīng)力問題

平面應(yīng)力（1）等厚度的薄板；坐標系如圖選擇。平面應(yīng)力簡化為平面應(yīng)力問題：

故只有平面應(yīng)力存在。

由于薄板很薄，應(yīng)力是連續(xù)變化的，又無z向外力，可認為：平面應(yīng)力（1）兩板面上無面力和約束作用，故所以歸納為平面應(yīng)力問題：a.應(yīng)力中只有平面應(yīng)力存在；b.且僅為

。平面應(yīng)力（2）由于板為等厚度，外力、約束沿z向不變，故應(yīng)力僅為。（2）體力作用于體內(nèi)，平行于橫截面，沿柱體長度方向不變；平面應(yīng)變第二種：平面應(yīng)變問題條件是：（1）很長的常截面柱體；（3）面力作用于柱面，平行于橫截面，沿柱體長度方向不變；（4）約束作用于柱面，平行于橫截面，沿柱體長度方向不變。坐標系選擇如圖：平面應(yīng)變對稱面故任何z面（截面）均為對稱面。

平面應(yīng)變（1）截面、外力、約束沿z向不變，外力、約束平行xy面，柱體非常長；簡化為平面應(yīng)變問題：（2）由于截面形狀、體力、面力及約束沿向均不變，故應(yīng)力、應(yīng)變和位移均為 。平面應(yīng)變所以割歸納鞠為平隱面應(yīng)篩變問屆題：a.應(yīng)變吸中只肌有平培面應(yīng)輪變分矮量逗存在稻；b.且僅情為留。平面翻應(yīng)變兩種自平面削問題惡的比畜較平面擴應(yīng)變幾何特征受力特征獨立量基本方程平面應(yīng)力一個方向的尺寸<<其它兩個方向的尺寸、有兩個平行板面面力作用在板邊、平行于板面；體力也平行于板面都沿厚度不變；約束作用于板邊平行于板面沿厚度不變平衡微分方程、幾何方程相同物理方程不同平面應(yīng)變一個方向的尺寸>>其它兩個方向的尺寸、橫截面的形狀和尺寸沿長度不變面力、體力、約束都平行于橫截面沿長度不變將平面應(yīng)力問題物理方程中的

代換即可§2辛－2蛾平翅衡微鄉(xiāng)豐分方畜程定義平衡霧微分匆方程--表示晨物體丈內(nèi)任馳一點求的微司分體饑的平等衡條澡件。平面據(jù)問題寸的平枯衡微搶分方鎖程可斑以由浮空間騾問題喚的平果衡微兆分方禁程簡夕化得洞到。平衡斑條件兩種歇平面?zhèn)螁栴}址都有矮平篩面應(yīng)扇力尼。平面掃應(yīng)變約，只脂是（x,久y）的函升數(shù)。姐由平衡彼條件簡化沙即可籃得到糖平面頸問題路的平獻衡微仔分方今程⑵適用它的條鴿件--連續(xù)忍性，挪小變配形；說明對平圍衡微圈分方排程的仔說明扶：⑴辣代表A中所踩有點阻的平惹衡條賭件，因為植（胸，妻）∈A；⑶王應(yīng)力嘗不能注直接壤求出貸；⑷匯對兩筐類平郵面問飯題的劇方程呈相同咳。理論施力學考慮裙整體私的平通衡（秋只決乖定整體的中運動提狀態(tài)昂）。說明⑸比蠻較:材料愁力學考慮羞有限跑體內(nèi)的平田衡（頸近似踏）。彈性哥力學考慮瘋微分梢體世的平村衡（儀精確感）。當惠均平檢衡時寧，保錢證袖，叼平衡巴；反之僚則不磚然。說明所以間彈力侵的平乎衡條壩件是朋嚴格磁的，枯并且融是精米確的排。平面熟問題凡的幾別何方徒程，徐可以產(chǎn)由空局間問導題的聲幾何泰方程警簡化府得到為：說明平面艷問題辮的物棄理方暫程可炭以由壺空間準問題千的物歪理方濱程簡擠化得縮慧到。定義對平雪面應(yīng)照力問凱題，懸由于故其浮物理賭方程載為：定義對平峰面應(yīng)笛變問采題，輛由于故其登物理其方程煮為：定義平面荷應(yīng)力呆物理宏方程肢→平劫面應(yīng)住變物勤理方領(lǐng)程：平面搭應(yīng)變道物理勿方程帥→平浪面應(yīng)畢力物蹦理方魔程：已知坐標悼面上劣應(yīng)力辟，求斜面凡上的要應(yīng)力拒。（久注意橡此面蜻平行柏于z軸，兩即方荷向余莊弦游）問題童的提晝出：§2爺－3扭平洋面問禾題中握一點侄的應(yīng)深力狀俯態(tài)問題由空例間問仰題的砌結(jié)論問題斜面保應(yīng)力晚表示阻：簡化嘆得到斜面勵應(yīng)力(2)求（）將 向法向，切向投影，得設(shè)某或一斜需面為賺主面快，則梅只有由此鉤建立釘方程蟲，求公出:(3滅)求主鐮應(yīng)力斜面趨應(yīng)力(2她-6現(xiàn))將x，y放在昨方想向，孫列出察任一伶斜面時上應(yīng)力扶公式覽，可班以得暈出（棕設(shè)頂）(4貪)求最誕大，暢最小朱應(yīng)力最大摩，最稅小應(yīng)偵力說明融：以牧上均駐應(yīng)用配彈力引符號告規(guī)定偉導出捐。位移良邊界勢條件－－癥設(shè)在未部分稍邊界堅上給拔定位貝移分籮量淚和析,則夜有（在口上)龜。（2漆-1辣4）定義邊界壺條件－－鎖表示才在邊雷界上果位移藏與約零束，訪或應(yīng)涼力與延面力候之間眼的關(guān)鎖系。位移毅邊界功條件§2惜－6富邊簽界條樹件⑵惡若為情簡單柱的固定賠邊，鐮則氣有位移德邊界烈條件離的說配明：（在杜上刊）（觸2-狗14）⑶它是在邊悔界上物體敵保持晴連續(xù)倦性的雨條件，上或位移擱保持阻連續(xù)與性的抵條件。⑴進它是函數(shù)凈方程，要潤求在貍上每丹一點洗，位移禮與對興應(yīng)的處約束外位移狂相等傷。應(yīng)力燒邊界狼條件－－設(shè)在遮上給省定了裁面力膚分量應(yīng)力你邊界轎條件（2逼-1太5）⑴采它是父邊界宮上微彼分體雹的靜仁力平內(nèi)衡條艦件；說明應(yīng)力漫邊界澆條件丈的說煙明：⑶耳式（星2-冷15）只能鍵在邊苗界s上成倉立；⑵蝴它是函數(shù)楚方程，要荒求在藥邊界木上每未一點s上均知滿足鞠，這枕是精抓確的憂條件毯；⑹目所有澡邊界析均應(yīng)竿滿足傷，無暑面力筐的邊紛界（自吐由邊棋）般也必傘須滿哲足。⑷脾式（拾2-潛15）中，－－午按應(yīng)銜力符庭號規(guī)如定，，藍－－剛按面請力符差號規(guī)滾定；⑸計位移,應(yīng)力辣邊界劍條件使均為燒每個攝邊界騎兩個，艘分別撒表示暗，砌向的沃條件后；說明若x=結(jié)a為正x面，l燃=1,m算=0,則式郊(d)成為當邊課界面燙為坐燈標面鑼時，坐標爺面若x=瘡-b為負x面，l莫=鳴-1,m訴=0免,則式盯(d)成為應(yīng)力慌邊界駁條件嗎的兩喚種表袋達式象：兩種皇表達勞式⑵在同誤一邊巨界面毅上，艘應(yīng)力遇分量揭應(yīng)等羨于對應(yīng)的秒面力粥分量摘（數(shù)堡值相烘等，腐方向姥一致）闊。即在喪同一熔邊界眼面上洞,應(yīng)那力數(shù)喂值應(yīng)等于蛛面力莫數(shù)值田(給劉定)伶,應(yīng)江力方船向應(yīng)嘆同面力方幣向(財給定愛)。⑴在邊域界點頑取出階微分飲體，石考慮恰其平風衡條件，得戶式（尚2-霸15）⑴友部分春邊界野上為遷位移臟邊界忘條件解，另桑一部呀分邊吵界上貝為應(yīng)康力邊跟界條添件；混合謙邊界耐條件混合菠邊界疲條件袋：⑵扛同一蔑邊界福上，診一個何為位處移邊傘界條鍋件，希另一撫個為竹應(yīng)力筒邊界野條件旱。彈性尊力學蕩問題閣是微島分方悔程的動邊值甲問題忌。應(yīng)政力，帆形變寸，位個移等抬未知終函數(shù)需必須闊滿足A內(nèi)的而方程概和S上的好邊界禽條件繡。主旁要的詞困難碰在于犁難以佩滿足添邊界食條件義?！?捉－7檢圣任維南祝原理蓋及其烈應(yīng)用圣維濫南原攀理可用坑于簡范化小黃邊界令上的赴應(yīng)力語邊界哀條件胳。如果懇把物虛體的一小遺部分姐邊界上的玻面力下，變意換為隱分布筍不同先但靜力窩等效肆的面韻力（主悶矢量學相同息，對蘋同一齡點的委主矩娛也相距同）扮，那么漠，近處的應(yīng)閉力分神量將角有顯綠著的攤改變逮，但遠處所受債的影出響可純以不古計。圣維前南原苗理圣維扔南原李理：圣維搏南原趨理1.圣維腹南原逢理只跨能應(yīng)肥用于一小畫部分陰邊界（小愁邊界延，次傍要邊聞界或茅局部純邊界摸）；圣維短南原枕理的風說明久：4.遠處─緞指“輕近處久”之州外。3.近處─棍指面窗力變甜換范摸圍的遲一，粱二倍的局鋼部區(qū)亦域；2.靜力朋等效─滴指兩重者主紋矢量瓶相同即，對同一退點主霸矩也墨相同抵；圣維氣南原嫂理圣維凡南原碗理表朽明，煩在小邊礦界上進滔行面泉力的皂靜力冰等效芹變換稿后，鴿只影組響近處亮（局贊部區(qū)準域）的應(yīng)碑力，誘對絕廉大部狹分彈峰性體蔬區(qū)域刷的應(yīng)蒜力沒筐有明費顯影柿響。圣維俘南原洽理推撇廣：如果兼物體則一小孔部分義邊界達上的桶面力敬是一個計平衡斑力系（主矢造量及耕主矩閃都等披于零狡），適那么儉，這逗個面幫力就貓只會匯使近匙處產(chǎn)鐘生顯揮著的攻應(yīng)力雪，而匯遠處贊的應(yīng)燥力可免以不顧計。圣維遞南原精理的后應(yīng)用蒼：1.推廣撓解答棄的應(yīng)群用；2.簡化晌小邊刺界上采的邊燦界條突件。應(yīng)用圣維糟南原雄理在斤小邊負界上隱的應(yīng)州用：⑴精確奮的應(yīng)籃力邊酬界條秒件如圖基，考篇慮鳳小除邊界剃，上式等是函楚數(shù)方披程，雁要求懼在邊四界上較任一醉點，梢應(yīng)力鐵與面芬力數(shù)逼值相顯等，生方向介一致策，往蛇往難錄以滿濟足。(a)在邊幼界栗上，在小直邊界x=禁l上，茄用下倍列條酷件代者替式(a)的條治件：在同憂一邊出界x=報l上，應(yīng)力粱的主查矢量=面力載的主軍矢量評（給葵定);應(yīng)力抵的主尺矩(M)=面力美的主逐矩（碗給定否）.數(shù)值棕相等,方向聲一致.(b)⑵圣絡(luò)維南鐮原理的應(yīng)喬用─冠積分宮的應(yīng)吳力邊販界條徐件右端褲面力鋤的主及矢量柿，主柴矩的襖數(shù)值劍及方撿向，釘均已霜給定艦；左端格應(yīng)力遙的主畏矢量紋，主鹿矩的洪數(shù)值植及方趁向，甲應(yīng)與鐘面力尊相同配，并盜按應(yīng)燭力的咳方向追規(guī)定灣確定風正負屢號。具體燭列出3個積兼分的儲條件日：即：應(yīng)力宮的主讓矢量書，主姜矩的勉數(shù)值=面力置的主評矢量圖，主片矩的近數(shù)值荷；應(yīng)力雪的主壟矢量吊，主抬矩的塞方向=面力救的主進矢量耽，主揭矩的摩方向痰。式中應(yīng)力盜主矢員量，炸主矩是的正舅方向,正負聞號的確騰定：應(yīng)力虜?shù)闹鞯绞噶拷恼B方向，即姐應(yīng)力轉(zhuǎn)的正平方向錫，應(yīng)力蹤蝶的主院矩的踐正方選向，即遲（正奴應(yīng)力嗚）×（正破的矩早臂）卷的方違向。精確逃的應(yīng)坊力邊腐界條士件削積擋分的控應(yīng)力忌邊界峰條件方程赴個數(shù)23方程賠性質(zhì)函數(shù)躁方程益（難族滿足沸）代數(shù)澡方程券（易亦滿足倚）精確旅性精確梁近悄似適用茅邊界逆大拆，小骨邊界哭小邊斗界比較?。孩湃瞧矫嬲{(diào)應(yīng)力羞問題仇與平軋面應(yīng)異變問遇題，罵除物隸理方鞏程的而彈性控系數(shù)燒須變妖換外博，其翁余完云全相同。發(fā)因此陣，兩翁者的都解答刻相似報,只采須將斤進齡行變穿換。較以下極討論平面顯應(yīng)力免問題。1.濾平面盒問題冠的基瞞本方像程及杜邊界需條件平面噸問題§2挖－8惱按必位移庭求解爸平面棗問題⑵平面應(yīng)力問題平面域A內(nèi)的基本方程:應(yīng)力泥邊界腿條件位移文邊界詞條件（在鹿上）（在平上）S上邊抗界條肚件:8個牧未知論函數(shù)遇必排須滿友足上吼述方啄程和姓邊界攏條件典。按位葡移求問解（位廁移法府）─取喝，錢為基劍本未粒知函飄數(shù)，東從方章程和白邊界貫條件卵中消道去形煮變和莖應(yīng)力零，導漂出只旱含社，荷的乳方程貫和邊偵界條爐件，微從而情求出撐，厲；再售求形針變和蹲應(yīng)力取。2.污解法落─消估元法解法按應(yīng)惠力求廁解（應(yīng)喝力法頁）－－鞋取窗為基下本未債知函廉數(shù)，帆從方歸程和門邊界上條件紹中消答去位挽移和痰形變駁，導過出只滅含應(yīng)迎力的魂方程戚和邊辦界條閱件，況從而脫求出駛應(yīng)力瓦；再鐘求形粱變和符位移淚。這是漢彈力沫問題自的兩絨種基翠本解貴法。3.按位憤移求總解⑵行將其侵他未僵知函鬼數(shù)用研，表沉示：形變用箭，純表示貝─幾擾何方亞程;應(yīng)力先用折形變蠟來表朵示（愈物理摩方程切），再代癢入幾旋何方帶程，狐用鉛，遙表示:⑴腫取倦，站為礎(chǔ)基本晚未知樂函數(shù)殊；按位玩移求蟻解（2根-1紫7）⑶在A中導世出求點，的壩基本諷方程─將首上式代入球平衡品微分胳方程煮，上式愉是用檔，表費示的綢平衡的微分旱方程院。2-恥18位移會邊界梢條件（在作上）（2婦-1爐9）（在羨上）（2畏-1痕4）應(yīng)力針邊界演條件─將旱式(a)代入程應(yīng)力莖邊界純條件，⑷掠在S上的斧邊界梢條件

按位移求解時，，必須滿足A內(nèi)的方程(2-18)和位移邊界條件(2-14)或應(yīng)力邊界條件(2-19)。歸納：按位剛移求劑解（咬位移礎(chǔ)法）邊的優(yōu)絹缺點扛：求函夢數(shù)式緞解答饞困難鞭，但在男近似片解法坊（變軍分法絹，差執(zhí)分法廊，有訂限單培元法跳）中當有著滋廣泛磁的應(yīng)把用。適用子性廣袖─可適喬用于神任何仗邊界宗條件僅。（1群）取崇為堡基本弦未知尼函數(shù)頌；基本需方程§2淚－9按應(yīng)惑力求學解平厲面問脂題相容望方程1.按應(yīng)驚力求值解平俗面應(yīng)逃力問連題（2踏）其她他未望知函漠數(shù)用與應(yīng)力淺來表緒示:按應(yīng)萄力求舍解位移用形變應(yīng)力表示，須通過積分，不僅表達式較復(fù)雜，而且包含積分帶來的未知項，因此位移邊界條件用應(yīng)力分量來表示時既復(fù)雜又難以求解。故在按應(yīng)力求解時，只考慮全部為應(yīng)力邊界條件的問題。

形變用應(yīng)力表示（物理方程）。⑶門在A內(nèi)求鏈解應(yīng)陡力的雁方程(2止-2臨0)從幾呈何方棵程中粒消去蜂位移狡，麻，得相容巷方程駛（形燦變協(xié)炮調(diào)條縫件）：補充臥方程─從逗幾何依方程猜，物范理方姥程中屑消去爹位移塵和形贈變得蓬出貢:平衡耀微分森方程（2個）軌。啊(2嚴-1)代入局物理墳方程代，消壓去形劃變，陪并應(yīng)兔用平趴衡微分稅方程盲進行皺簡化茂，便拉得用應(yīng)凍力表繭示的脖相容方程：其中(4憲)應(yīng)力辦邊界礎(chǔ)條件到－－搞假定全部凍邊界雹上均步為應(yīng)僅力邊醫(yī)界條蜜件。（2縣-2均1）（1象）A內(nèi)的溜平衡奏微分查方程裂（2死-1詳）；（2哪）A內(nèi)的慎相容察方程竊（2轉(zhuǎn)-2禁1）農(nóng)；（3掛）邊該界且上的薄應(yīng)力攜邊界英條件豆（2吼-1殿5）堵；（4寨）對待于多贈連體古，還笛須滿背足位差移的牽單值貨條件（慌見第慚四章夸）。歸納：（1晝）-教（4移）也呈是校接核應(yīng)貝力分闖量是翁否正踢確的從全部犧條件。按應(yīng)薄力求辛解平資面應(yīng)青力問脹題，應(yīng)力扁必俗須滿岸足下絹列條溝件：2.安形變拐協(xié)調(diào)疾條件追（相勤容方錦程）耳的物栽理意渡義⑴什形變殊協(xié)調(diào)釘條件閑是位辭移連鹿續(xù)性致的必缸然結(jié)糊果。扮連續(xù)妖體→晝位移獅連續(xù)葬→幾等何方刺程→富形變曲協(xié)調(diào)烈條件背。⑵捆形變切協(xié)調(diào)男條件交是與倒形變滋對應(yīng)濾的位逮移存挖在且勻連續(xù)賓的必糠要條槽件。形變怪協(xié)調(diào)→對軌應(yīng)的飽位移岡存在淡→位版移必身然連濃續(xù)；形變街不協(xié)求調(diào)→對潮應(yīng)的專位移息不存掏在→胖不是倦物體俱實際千存在宗的形司變→搜微分邀體變客形后衣不保撕持連宿續(xù)。⑴般相容受方程(2街-2差2)1.常體帽力情幸況下迷按應(yīng)哪力求裳解的木條件(2缺-1蠻)⑵平衡償微分膊方程按應(yīng)修力函縣數(shù)求扶解§2狹－1畢0社常體紅力情貌況下案的簡方化應(yīng)力代函數(shù)⑶在應(yīng)力犬邊界忙條件(S)命(2素-1忽5)⑷多連籍體中掩的位乳移單原值條舌件。在⑴-⑶條秧件下乓求解笨的全主部條丹件中全均不爽包含并彈性踐常數(shù)槽，故哨與彈監(jiān)性常迅數(shù)無嬌關(guān)。2.在⑴將常體糞力,而⑵單巨連體勢,⑶痕全部里為應(yīng)西力邊繩界條日件（純）棋下的馳應(yīng)力察特征親：結(jié)論蹄：①不主同材音料的饅應(yīng)力雕(瘦)眨的理雄論解賤相同，餅用試烏驗方伙法求士應(yīng)力覆時，場也可驕