人教B版高中數(shù)學(xué)必修五《第二章數(shù)列閱讀與欣賞級(jí)數(shù)趣題》-0

等差級(jí)數(shù)趣題一、教材分析1.教材的地位和作用本節(jié)內(nèi)容選自人教版必修五第二章《數(shù)列》章末的閱讀與欣賞“級(jí)數(shù)趣題”，是在數(shù)列、等差數(shù)列、等比數(shù)列以及數(shù)列求和的基礎(chǔ)上進(jìn)行的。結(jié)合中國(guó)古代數(shù)學(xué)中的數(shù)列應(yīng)用問(wèn)題，研究等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前項(xiàng)和公式的由來(lái)以及對(duì)“知三求二”的靈活運(yùn)用，培養(yǎng)學(xué)生古文鑒賞能力與數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理等核心素養(yǎng)。2.教學(xué)目標(biāo)（）熟練掌握等差數(shù)列的概念，通項(xiàng)公式以及前項(xiàng)和公式，能靈活運(yùn)用公式解決等差數(shù)列中“知三求二”問(wèn)題。（2）通過(guò)介紹等差數(shù)列的發(fā)展史與中國(guó)古代數(shù)學(xué)家的成就，引導(dǎo)學(xué)生探究《九章算術(shù)》，《張丘建算經(jīng)》等有趣的數(shù)列應(yīng)用問(wèn)題，讓學(xué)生體會(huì)語(yǔ)文學(xué)科與數(shù)學(xué)知識(shí)之間的融合，感受數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值。（3）通過(guò)師生互動(dòng)，生生交流，激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)熱情，培養(yǎng)學(xué)生積極參與課堂、勤于思考、樂(lè)于表達(dá)的意識(shí)，讓學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考生活，用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)世界。3.重難點(diǎn)分析重點(diǎn)：等差數(shù)列中“知三求二”的理解與應(yīng)用。難點(diǎn)：從古文中抽象出等差數(shù)列問(wèn)題。二、學(xué)情分析本節(jié)課是在數(shù)列一章結(jié)束后進(jìn)行的一節(jié)“閱讀與欣賞”，學(xué)生已經(jīng)熟練掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前項(xiàng)和公式，能適當(dāng)選擇公式解決問(wèn)題。但學(xué)生并不了解等差數(shù)列的發(fā)展歷史，對(duì)公式的運(yùn)用更多體現(xiàn)的是“方程思想”，對(duì)古代數(shù)學(xué)家對(duì)等差數(shù)列所做的貢獻(xiàn)知之甚少。鑒于此，本節(jié)課讓學(xué)生感受等差數(shù)列的歷史淵源，體會(huì)中國(guó)古代數(shù)學(xué)家的智慧與偉大，培養(yǎng)愛(ài)國(guó)情懷。三、教法、學(xué)法分析文史導(dǎo)讀—>啟發(fā)探究—>閱讀交流—>嘗試實(shí)踐——?jiǎng)?wù)對(duì)比感悟四、教學(xué)過(guò)程（一）復(fù)習(xí)回顧，溫故知新1．等差數(shù)列的有關(guān)概念如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列.這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，符號(hào)表示為anT1-an=d（n￡N*,d為常數(shù)）.2．等差數(shù)列的有關(guān)公式（1）通項(xiàng)公式：an=a1+（n—1）d.⑵前n項(xiàng)和公式：S飛+nn產(chǎn)d=哈膂.n1 2 2（二）文史解讀，初探新知1.級(jí)數(shù)概念等差數(shù)列也叫等差級(jí)數(shù)或算數(shù)級(jí)數(shù)；等比數(shù)列也叫等比級(jí)數(shù)或幾何級(jí)數(shù)；但嚴(yán)格地說(shuō)，級(jí)數(shù)是用“+”連接數(shù)列的各項(xiàng)所得的式子。即a=a+a+???+a+???+ai12 i ni=i2.古代成就我國(guó)古代數(shù)學(xué)家對(duì)數(shù)列概念的認(rèn)識(shí)很早，如《周髀算經(jīng)》、《九章算術(shù)》、《孫子算經(jīng)》、《張丘建算經(jīng)》，以及《前漢書(shū)》、《舊唐書(shū)》等書(shū)中都載有許多很有趣味的數(shù)列問(wèn)題。在《周髀算經(jīng)》中計(jì)算七衡（七個(gè)同心圓）的各直徑周長(zhǎng)、24節(jié)氣的每個(gè)節(jié)氣時(shí)就已應(yīng)用等差數(shù)列通項(xiàng)公式。在《九章算術(shù)》的衰分、均輸，盈不足等章中共載有六個(gè)等差數(shù)列問(wèn)題、四個(gè)等比數(shù)列問(wèn)題，劉徽在《九章算術(shù)注》中創(chuàng)造了等差數(shù)列的計(jì)算公式?！毒耪滤阈g(shù)》是中國(guó)古代的數(shù)學(xué)專(zhuān)著，是"算經(jīng)十書(shū)"（漢唐之間出現(xiàn)的十部古算書(shū)）中最重要的一種?！毒耪滤阈g(shù)》的內(nèi)容十分豐富，全書(shū)采用問(wèn)題集的形式，收有246個(gè)與生產(chǎn)、生活實(shí)踐有聯(lián)系的應(yīng)用問(wèn)題，其中每道題有問(wèn)（題目）、答（答案）、術(shù)（解題的步驟，但沒(méi)有證明），有的是一題一術(shù)，有的是多題一術(shù)或一題多術(shù)。這些問(wèn)題依照性質(zhì)和解法分別隸屬于方田、粟米、衰（音cui）分、少?gòu)V、商功、均輸、盈不足、方程及勾股共九章?！稄埱鸾ㄋ憬?jīng)》，中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作。（約公元5世紀(jì)）現(xiàn)傳本有92問(wèn)，比較突出的成就有最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的計(jì)算，各種等差數(shù)列問(wèn)題的解決、某些不定方程問(wèn)題求解等。（三）閱讀交流，嘗試實(shí)踐題型一：已知n,al和an,求d今有金維，長(zhǎng)五尺，斬本一尺，重四斤；斬末一尺，重二斤.問(wèn)次一尺各重幾何？《九章算術(shù)》）注解：1金維：錐狀金鞭2斬：截下3本：根部4末：頂部學(xué)生閱讀翻譯,提煉已知條件與所求問(wèn)題。［譯文］今有一錐狀金鞭,全長(zhǎng)5尺．截下（根部）1尺,重4斤,截下頂部1尺,重2斤．問(wèn)依次截下其他3尺的重量各是多少？學(xué)生解答,交流討論。術(shù)日：令末重減本重,余即差率也,又置本重,以四間乘之,為下第一衰,副置,以差率減之,每尺各自為衰。副置下第一衰以為法,以本重四斤編乘列衰,各自為實(shí),如法得一斤。劉徽注文中所說(shuō)：“按此術(shù),五尺有四間者,有四差也。令本末相減,余,即四差之凡數(shù)也,以四約之,即得每尺之差。以差減本重,余即次尺之重也。為術(shù)所置,如是而已?！庇纱说玫剑篴n-a1=（n-1）d.

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)學(xué)生翻譯與解答，鍛煉學(xué)生提煉信息、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，熟悉等差數(shù)列通項(xiàng)公式。對(duì)比古代數(shù)學(xué)家的解答過(guò)程，感受劉徽為等差數(shù)列的通項(xiàng)公式所做的貢獻(xiàn)，培養(yǎng)民族自豪感。題型二：已知n,al和d,求Sn今有良馬與駑馬發(fā)長(zhǎng)安，至齊。齊去長(zhǎng)安三千里。良馬初日行一百九十三里，日增一十三里。駑馬初日行九十七里,日減半里。良馬先至齊,復(fù)還迎駑馬。問(wèn)幾何日相逢及各行幾何？（《九章算術(shù)》）學(xué)生閱讀解答,分享展示,教師點(diǎn)評(píng)。術(shù)日:假令十五日,不足三百三十七里半。令之十六日,多一百四十里。以盈、不足維乘假令之?dāng)?shù),并而為實(shí)。并盈不足為法。實(shí)如法而一,得日數(shù)。不盡者,以等數(shù)除之而命分。由此可得：n-1S=[a+ d]nn12 .設(shè)計(jì)意圖：感受數(shù)列求和在古代生活中的應(yīng)用,體會(huì)等差數(shù)列求和公式在解題過(guò)程中的運(yùn)用,對(duì)比方程思想與數(shù)學(xué)推理的聯(lián)系與區(qū)別。題型三：已知n,al和an,求Sn今有女不善織,日減功遲。初日織五尺,末日織一尺,今三十日織訖,問(wèn)織幾何？（《張丘建算經(jīng)》）學(xué)生解答,組長(zhǎng)點(diǎn)評(píng)。術(shù)曰：并初末日織尺數(shù),半之,余,以乘織訖日數(shù),即得?！庇纱丝芍涸O(shè)計(jì)意圖：培養(yǎng)學(xué)生對(duì)等差數(shù)列中“知三求二”問(wèn)題的理解與掌握,體會(huì)數(shù)列求和問(wèn)題在古代生活中的應(yīng)用價(jià)值。題型四：已知n,Sp=a1+a2+…+ap,Sn-Sn-q=an-q+1+an-q+2+…+8門(mén)9+4＜川，求d和ai（i=1,2,…,n）今有竹九節(jié),下三節(jié)容四升,上四節(jié)容三升．問(wèn)中間二節(jié)欲均容,各多少？（《九章算術(shù)》）學(xué)生解讀,交流并解答,展示結(jié)果,教師點(diǎn)評(píng)。術(shù)日：以下三節(jié)分四升為下率,以上四節(jié)分三升為上率。上、下率以少減多,余為實(shí)。實(shí)如法得一升,即衰相去也。下率一升少半升者,下第三節(jié)容也。據(jù)此可得：S-S-S n n-qS——pp設(shè)計(jì)意圖：對(duì)比古今解法,感受古代數(shù)學(xué)家的智慧,體會(huì)方程思想帶來(lái)的解題便利。（四）課堂小結(jié),對(duì)比感悟談一談本節(jié)課你有哪些收獲？設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生表達(dá)本節(jié)課的感悟與收獲,鍛煉學(xué)生的系統(tǒng)概括能力與數(shù)學(xué)表達(dá)能力,在鞏固知識(shí)的基礎(chǔ)上感受等差數(shù)列的發(fā)展歷程,感恩古代數(shù)學(xué)家的偉大貢獻(xiàn)。（五）布置作業(yè),拓展延伸查閱文獻(xiàn)資料,了解古代和中世紀(jì)國(guó)內(nèi)外有關(guān)等差數(shù)列的發(fā)展歷史；查閱書(shū)籍,搜集中國(guó)古代等差數(shù)列問(wèn)題,解決并整理下來(lái)；查找與等比數(shù)列有關(guān)的古今中外趣題,了解等比數(shù)列

的發(fā)展史。楊輝在《詳解九章算法》中給出三個(gè)高階等差數(shù)列的求和公式：12+22+32+…+n2=-n(n+1)(2n+1)6/ ，、/八 ,八1, a -a、a+n-1a2+(a+1)2+(a+2)2 +…+[a+(n-1)]2 =—(a2 +a2+aa+-na+n-13 n n2 n1+3+6+10+…+ 工=n(n+1)(n+2)26宋代沈括對(duì)級(jí)數(shù)繼續(xù)進(jìn)行研究，以上三個(gè)公式只是沈括的一個(gè)公式的特例，由此可見(jiàn)我國(guó)古代數(shù)學(xué)成就之大。（六）板書(shū)設(shè)計(jì)，彰顯結(jié)構(gòu)許=?+(〃—l)d.

=許=?+(〃—l)d.

=n(ai+an)Sn—nai+- a2等差級(jí)數(shù)趣題（六）自我評(píng)價(jià)，反思總結(jié)等差級(jí)數(shù)趣