2021年高考(新課標(biāo))數(shù)學(xué)(理)大一輪復(fù)習(xí)試題：階段示范性金考卷4

精品文檔2021年高考（新課標(biāo)）數(shù)學(xué)（理）大一輪復(fù)習(xí)試題：階段示范性金考卷4一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1.[xx·福建高考]某空間幾何體的正視圖是三角形，則該幾何體不可能是()A.圓柱B.圓錐C.四面體答案：AD.三棱柱αβmmα2.[xx·廣東七校聯(lián)考]已知平面、和直線，給出條件：①∥；②mαm?ααβαβmβ⊥；③；④⊥；⑤∥.能推導(dǎo)出∥的是()A.①④C.②⑤B.①⑤D.③⑤解析：由兩平面平行的性質(zhì)可知兩平面平行，在一個平面內(nèi)的直線必平行于另一個平面，于是選D.答案：DABCD3.在下列四個正方體中，能得出⊥的是()實用文檔精品文檔ABBCDCDABCD解析：A中，直線在平面內(nèi)的投影與垂直，故⊥.答案：Aαβγ4.設(shè)、、為平面，lmnmβ、、為直線，則⊥的一個充分條件為()αβαβlmlnαnβmαA.⊥，∩＝，⊥B.⊥，⊥，⊥αγmαγβγαγβγmαC.∩＝，⊥，⊥D.⊥，⊥，⊥解析：如圖①知A錯；如圖②知C錯；如圖③在正方體中，兩側(cè)面α與β相交于l，都與底面γ垂直，γ內(nèi)的直線m⊥α，但m與β不垂直，故D錯；由n⊥α，n⊥β，得α∥β.又m⊥α，則m⊥β，故B正確．答案：B5.設(shè)α、β、γ是三個互不重合的平面，m、n是兩條不重合的直線，下列命題中正確的是()實用文檔精品文檔A.若α⊥β，β⊥γ，則α⊥γB.若m∥α，n∥β，α⊥β，則m⊥nC.若α⊥β，m⊥α，則m∥βD.若α∥β，m?β，m∥α，則m∥β解析：對于A，若α⊥β，β⊥γ，α，γ可以平行，也可以相交，A錯；對于B，若m∥α，n∥β，α⊥β，則m，n可以平行，可以相交，也可以異面，B錯；對于C，若α⊥β，m⊥α，則m可以在平面β內(nèi)，C錯；易知D正確．答案：D6.[xx·云南昆明模擬]一個幾何體的三視圖如圖所示，正視圖和側(cè)視圖都是等邊三角形．若該幾何體的四個頂點在空間直角坐標(biāo)系O－xyz中的坐標(biāo)分別是(0,0,0)，(2,0,0)，(2,2,0)，(0,2,0)，則第五個頂點的坐標(biāo)可能為()A.(1,1,1)B.(1,1，2)D.(2,2，3)C.(1,1，3)解析：因為正視圖和側(cè)視圖是等邊三角形，俯視圖是正方形，所以該幾何體是正四棱錐，還原幾何體并結(jié)合其中四個頂點的坐標(biāo)，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)O(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，則所求實用文檔精品文檔的第五個頂點的坐標(biāo)為S(1,1，z)，正視圖為等邊三角形，且邊長為2，故其高為3，又正四棱錐的高與正視圖的高相等，故z＝±3，故第五個頂點的坐標(biāo)可能為(1,1，3)或(1,1，－3)，選C.答案：C23，體積為，E27.如圖所示，正四棱錐P－ABCD的底面積為為側(cè)棱PC的中點，則PA與BE所成的角為()A.π6C.π3B.π4D.π2解析：連接AC、BD交于點O，連接OE，OP，易得OE∥PA，∴所求角為∠BEO.∵PO⊥OB，OB⊥OA，∴OB⊥平面PAC，OB⊥OE.由所給條件易得OB＝26，OE＝122，在△OBE中，tan∠OEB＝3，2PA＝π∴∠OEB＝，選C.3答案：C8.[xx·遼寧三校聯(lián)考]某幾何體的三視圖如圖所示，其中俯視圖為扇形，則該幾何體的體積為()實用文檔精品文檔2π3B.π3A.C.2π916πD.9解析：由題知該幾何體為底面半徑為2，高為4的圓錐的31部分，其體積是13π×22×4×39.故選D.116π＝答案：D9.如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為1，線段B1D1上有兩個動點E，F(xiàn)，且EF＝21，則下列結(jié)論中錯誤的是()A.AC⊥BEB.EF∥平面ABCDC.三棱錐A－BEF的體積為定值D.△AEF的面積與△BEF的面積相等解析：由AC⊥平面DBB1D1，可知AC⊥BE，故A正確．由EF∥BD，EF?平面ABCD，知EF∥平面ABCD，故B正確．A到平面BEF實用文檔精品文檔2，且S△＝1BB1×EF＝定值，2的距離即A到平面DBB1D1的距離為2BEF故VA－BEF為定值，即C正確．答案：D10.[xx·安徽高考]一個多面體的三視圖如圖所示，則該多面體的體積為()233476A.B.C.6D.7解析：由三視圖知這個多面體是正方體截去兩個全等的三棱錐后剩余的部分，其直觀圖如圖所示，結(jié)合題圖中尺寸知，正方體的體積為23＝8，111，因此多面體的體積為8－2×61一個三棱錐的體積為32××1×1×1＝623＝，故選A.3答案：A11.在正方體ABCD－A1B1C1D1中，點M為棱AA1的中點，則直線BC1與平面MC1D1所成角的正弦值是()實用文檔精品文檔101530A.C.B.101010D.31010解析：設(shè)正方體的棱長為1，以D點為坐標(biāo)原點，以DA，DC，DD1所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，12則M，D1(0,0,1)，C1(0,1,1)，B(1,1,0)，1，0，→→1111則MD＝－1，0，，MC＝－1，1，，22→＝(－1,0,1)．BC1設(shè)平面MC1D1的法向量為n＝(x，y，z)，→n·MD1－x＋1z＝0，＝0，＝0，2則即→n·MC1－x＋y＋21z＝0，所以取x＝1，則z＝2，y＝0，即n＝(1,0,2)．設(shè)直線BC1與平面MC1D1所成角為θ，→→－＋12n·BC＝10，故選C.則sinθ＝|cos〈n，BC〉|＝＝1→1015×2|n||BC|1實用文檔精品文檔答案：C12.在正方體ABCD－A1B1C1D1中，點E為BB1的中點，則平面A1ED與平面ABCD所成的銳二面角的余弦值為()A.21B.233322C.D.解析：以A為原點建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，設(shè)棱長為1，12則A1(0,0,1)，E1，0，，D(0,1,0)，→→12∴AD＝(0,1，－1)，AE＝，1，0，－11設(shè)平面A1ED的一個法向量為n1＝(1，y，z)，－＝，1yz0y2＝，z＝2.則∴1－z＝0，2∴n1＝(1,2,2)．∵平面ABCD的一個法向量為n2＝(0,0,1)，∴cos〈n1，22＝n〉＝3×13.2即所成的銳二面角的余弦值為2.3答案：B實用文檔精品文檔第Ⅱ卷(非選擇題，共90分)二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在題中的橫線上)13.[xx·忻州期末]已知不重合的直線m、l和不重合的平面α、β，且m⊥α，l?β，給出下列命題：①若α∥β，則m⊥l；②若α⊥β，則m∥l；③若m⊥l，則α∥β；④若m∥l，則α⊥β.其中正確命題的個數(shù)是________．解析：對于①，∵m⊥α，α∥β，∴m⊥β，又l?β，∴m⊥l，①正確；對于②，∵m⊥α，α⊥β，∴m∥β或m?β，又l?β，∴m與l可能相交、平行或異面，②錯誤；對于③，∵m⊥α，m⊥l，∴l(xiāng)∥α或l?α，又l?β，∴α與β有可能相交，也有可能平行，③錯誤；對于④，∵m⊥α，m∥l，則l⊥α，又l?β，∴α⊥β，④正確，∴正確命題的個數(shù)是2.答案：214.[xx·北京西城區(qū)模擬]已知一個正三棱柱的所有棱長均相等，其側(cè)(左)視圖如圖所示，那么此三棱柱正(主)視圖的面積為________．解析：由正三棱柱三視圖還原直觀圖可得正(主)視圖是一個矩形，其中一邊的長是側(cè)(左)視圖中三角形的高，另一邊是棱長．因為側(cè)(左)視圖中三角形的邊長為2，所以高為3，所以正視圖的面積為23.實用文檔精品文檔答案：2315.如圖所示，正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為E到平面ABC1D1的距離是________________．1，E是A1B1上的點，則點解析：解法一：以點D為坐標(biāo)原點，DA，DC，DD1所在射線為x，y，z軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)點E(1，a,1)(0≤a≤1)，連接D1E，→→＝則DE＝(1，a,0)．連接A1D，易知A1D⊥平面ABC1D1，則DA11(1,0,1)為平面ABC1D1的一個法向量．→→|D1E·DA1|＝2.∴點E到平面ABC1D1的距離是d＝→2|DA1|解法二：點E到平面ABC1D1的距離，即B1到BC1的距離，易得點B1到BC1的距離為22.實用文檔精品文檔2答案：216.在三棱錐P－ABC中，PA⊥底面ABC，PA＝2，底面△ABC是邊長為2的正三角形，則此三棱錐外接球的半徑為________．解析：底面△ABC是邊長為2的正三角形，PA⊥底面ABC，可得此三棱錐的外接球即為以△ABC為底面、以PA為高的正三棱柱的外接球．∵△ABC是邊長為2的正三角形，∴△ABC的外接圓半徑r＝23，3球心到△ABC的外接圓圓心的距離d＝1，故球的半徑R＝r2＋d2＝72133＝.21答案：3三、解答題(本大題共6小題，共70分．解答說明、證明過程或演算步驟)應(yīng)寫出必要的文字17.[xx·江蘇高考](本小題滿分10分)如圖，在三棱錐D，E，F(xiàn)分別為棱PC，AC，AB的中點．已知PA⊥AC，PA＝6，BC＝8，DF＝5.P－ABC中，求證：(1)直線PA∥平面DEF；(2)平面BDE⊥平面ABC.證明：(1)因為D，E分別為棱PC，AC的中點，所以DE∥PA.實用文檔精品文檔又因為PA?平面DEF，DE?平面DEF，所以直線PA∥平面DEF.(2)因為D，E，F(xiàn)分別為棱PC，AC，AB的中點，PA＝6，BC＝8，所以DE∥PA，DE＝21PA＝3，EF＝BC＝4.12又因為DF＝5，故DF2＝DE2＋EF2，所以∠DEF＝90°，即DE⊥EF.又PA⊥AC，DE∥PA，所以DE⊥AC.因為AC∩EF＝E，AC?平面ABC，EF?平面ABC，所以DE⊥平面ABC.又DE?平面BDE，所以平面BDE⊥平面ABC.18.[xx·江西九江模擬](本小題滿分12分)已知點P在矩形ABCD的邊DC上，AB＝2，BC＝1，點F在AB邊上且DF⊥AP，垂足為E，將△ADP沿AP邊折起，使點D位于D′位置，連接D′B、D′C得四棱錐D′－ABCP.(1)求證：D′F⊥AP；(2)若PD＝1，且平面D′AP⊥平面ABCP，求四棱錐D′－ABCP的體積．實用文檔精品文檔解：(1)證明：∵AP⊥D′E，AP⊥EF，D′E∩EF＝E，∴AP⊥平面D′EF，∴AP⊥D′F.(2)連接PF，∵PD＝1，∴四邊形ADPF是邊長為1的正方形，22.∴D′E＝DE＝EF＝∵平面D′AP⊥平面ABCP，D′E⊥AP，∴D′E⊥平面ABCP，∵S梯形ABCP＝12×(1＋2)×1＝23，D′－ABCP＝D′E·S梯形ABCP42.13∴V＝19.[xx·大連雙基測試](本小題滿分12分)已知三棱柱ABC－A′B′C′中，平面BCC′B′⊥底面ABC，BB′⊥AC，底面ABC是邊長為2的等邊三角形，AA′＝3，E，F(xiàn)分別在棱AA′，CC′上，且AE＝C′F＝2.(1)求證：BB′⊥底面ABC；(2)在棱A′B′上找一點M，使得C′M∥平面BEF，并給出證明．解：(1)證明：如圖，取BC中點O，連接AO，因為三角形ABC實用文檔精品文檔是等邊三角形，所以AO⊥BC，又平面BCC′B′⊥底面ABC，AO?平面ABC，平面BCC′B′∩平面ABC＝BC，所以AO⊥平面BCC′B′，又BB′?平面BCC′B′，所以AO⊥BB′.又BB′⊥AC，AO∩AC＝A，AO?平面ABC，AC?平面ABC，所以BB′⊥底面ABC.(2)如圖，顯然M不是A′，B′，棱A′B′上若存在一點M，使得C′M∥平面BEF，過M作MN∥AA′交BE于N，連接FN，MC′，所以MN∥C′F，即C′M和FN共面，所以C′M∥FN，所以四邊形C′MNF為平行四邊形，所以MN＝2，所以MN是梯形A′B′BE的中位線，M為A′B′的中點．實用文檔精品文檔20.[xx·武漢調(diào)研](本小題滿分12分)如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，AA1＝3，D是BC的中點，點E在棱BB1上運動．(1)證明：AD⊥C1E；(2)當(dāng)異面直線AC，C1E所成的角為60°時，求三棱錐C1－A1B1E的體積．解：(1)證明：∵AB＝AC，D是BC的中點，∴AD⊥BC.①又在直三棱柱ABC－A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，AD?平面ABC，∴AD⊥BB1.②由①，②得AD⊥平面BB1C1C.由點E在棱BB1上運動，得C1E?平面BB1C1C，∴AD⊥C1E.(2)∵AC∥A1C1，∴∠A1C1E是異面直線AC，C1E所成的角，由題設(shè)，∠A1C1E＝60°.∵∠B1A1C1＝∠BAC＝90°，∴A1C1⊥A1B1，又AA1⊥A1C1，實用文檔精品文檔從而A1C1⊥平面A1ABB1，于是A1C1⊥A1E.故C1E＝A1C1＝22，又B1C1＝AC＋AB＝2，22cos60°1111∴B1E＝C1E－BC＝2.221113113223從而VC1－A1B1E＝S△A1B1E×A1C1＝××2×2×2＝.21.[xx·陜西高考](本小題滿分12分)四面體ABCD及其三視圖如圖所示，過棱AB的中點E作平行于AD，BC的平面分別交四面體的棱BD，DC，CA于點F，G，H.(1)證明：四邊形EFGH是矩形；(2)求直線AB與平面EFGH夾角θ的正弦值．解：(1)證明：由該四面體的三視圖可知，BD⊥DC，BD⊥AD，AD⊥DC，BD＝DC＝2，AD＝1.由題設(shè)，BC∥平面EFGH，平面EFGH∩平面BDC＝FG，平面EFGH∩平面ABC＝EH，∴BC∥FG，BC∥EH，∴FG∥EH.同理EF∥AD，HG∥AD，∴EF∥HG，∴四邊形EFGH是平行四邊形．實用文檔精品文檔又∵AD⊥DC，AD⊥BD，∴AD⊥平面BDC，∴AD⊥BC，∴EF⊥FG，∴四邊形EFGH是矩形．(2)解法一：如圖，以D為坐標(biāo)原點建立空間直角坐標(biāo)系，則D(0,0,0)，A(0,0,1)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，→DA→→＝(0,0,1)，BC＝(－2,2,0)，BA＝(－2,0,1)．設(shè)平面EFGH的法向量n＝(x，y，z)，∵EF∥AD，F(xiàn)G∥BC，→→∴n·DA＝0，n·BC＝0，z＝0，得取n＝(1,1,0)，－2x＋2y＝0，→→∴sinθ＝|cos〈BA，n〉|＝BA·n25×2105＝＝.→|BA||n|解法二：如圖，以D為坐標(biāo)原點建立空間直角坐標(biāo)系，則D(0,0,0)，A(0,0,1)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，∵E是AB的中點，∴F，G分別為BD，DC的中點，12，F(xiàn)(1,0,0)，G(0,1,0)．得E1，0，實用文檔精品文檔→→→，F(xiàn)G＝(－1,1,0)，BA＝(－2,0,1)．12∴FE＝0，0，設(shè)平面EFGH的法向量n＝(x，y，z)，→→則n·FE＝0，n·FG＝0，1z＝0，2得取n＝(1,1,0)，－x＋y＝0，＝→→∴sinθ＝|cos〈BA，n〉|＝BA·n25×2105＝.→|BA||n|22.[xx·重慶高考](本小題滿分12分)如圖，四棱錐P－ABCD中，底面是以O(shè)為中心的菱形，PO⊥底面ABCD，AB＝2，∠BAD＝π3，M為BC上一點，且BM＝12，MP⊥AP.(1)求PO的長；(2)求二面角A－PM－C的正弦值．解：(1)如圖，連接AC，BD，因為ABCD為菱形，則AC∩BD＝→→→O，且AC⊥BD.以O(shè)為坐標(biāo)原點，OA，OB，OP的方向分別為x軸，y軸，z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系O－xyz.因為∠BAD＝，故OA＝AB·cosπ6＝3，OB＝AB·sin＝1，π3π6實用文檔精品文檔→所以O(shè)(0,0,0)，