2022-2023學(xué)年福建省福州市高二下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年福建省福州市高二下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題一、單選題1．若集合，，則A． B． C． D．【答案】B【分析】先求出集合N，然后進行補集、交集的運算即可．【詳解】N＝{0，1，2，3，4}，?RM＝{x|x≤1}；∴（?RM）∩N＝{0，1}．故選B．【點睛】本題考查補集、交集的運算，描述法、列舉法的定義，熟記交集，補集的定義是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題．2．“”是“”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件【答案】A【分析】根據(jù)對數(shù)與根式的定義域與單調(diào)性，結(jié)合充分與必要條件的定義判定即可.【詳解】則，則，因為是的充分不必要條件，故“”是“”的充分而不必要條件.故選：A3．已知函數(shù)，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)求導(dǎo)法則求解即可.【詳解】由題意，，故.故選：D4．定義：對于定義域內(nèi)的任意一個自變量的值，都存在唯一一個使得成立，則稱函數(shù)為“正積函數(shù)”.下列函數(shù)是“正積函數(shù)”的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)“正積函數(shù)”的定義一一判斷即可.【詳解】對于A，，由，當(dāng)時，則不存在滿足情況，故A不是正積函數(shù)；對于B，，由，則任意一個自變量的值，都存在唯一一個滿足，故B是正積函數(shù)；對于C，，由，得，當(dāng)時，則，，，則不唯一，故C不是正積函數(shù)；對于D，，由，當(dāng)時，則不存在滿足情況，故D不是正積函數(shù).故選:B.5．函數(shù)（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）的圖象大致為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】對比函數(shù)和選項圖像的定義域、奇偶性，即可排除錯誤答案，即可得解.【詳解】由題意得函數(shù)的定義域為，可排除B、C，∵，∴函數(shù)為偶函數(shù)，可排除選項A.故選：D.【點睛】本題考查了函數(shù)圖像的識別，屬于基礎(chǔ)題.6．若函數(shù)有極值，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由題意，有兩個實數(shù)根求解即可.【詳解】∵函數(shù)有極值點，∴有兩個不同實數(shù)根，∴，解得故選：B7．設(shè)，，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由對數(shù)函數(shù)的性可知，再根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)可知，由此即可求出結(jié)果.【詳解】因為，所以，即，又，所以；又，所以，即.故選：B.8．高斯函數(shù)是數(shù)學(xué)中的一個重要函數(shù)，在自然科學(xué)社會科學(xué)以及工程學(xué)等領(lǐng)域都能看到它的身影.設(shè)，用符號表示不大于的最大整數(shù)，如，則叫做高斯函數(shù).給定函數(shù)，若關(guān)于的方程有5個解，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】證明函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)，并根據(jù)時，的圖象畫出，，將方程的解的個數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)的交點個數(shù)，討論的取值，根據(jù)圖像，列出相應(yīng)不等式即可得到實數(shù)的取值范圍.【詳解】所以函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)，當(dāng)時，，則要使得有5個解，即函數(shù)與函數(shù)的圖象有5個交點.當(dāng)時，函數(shù)與函數(shù)，的圖象如下圖所示不滿足題意當(dāng)時，函數(shù)與函數(shù)，的圖象如下圖所示要使得函數(shù)與函數(shù)的圖象有5個交點，則函數(shù)的圖象低于點A，不低于點B故有，解得：故選：D【點睛】本題主要考查了根據(jù)函數(shù)的零點個數(shù)求參數(shù)范圍，屬于難題.二、多選題9．，，，下列命題正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，，則 D．若，則【答案】BD【分析】利用特殊值排除錯誤選項，利用差比較法判斷正確選項.【詳解】A選項，時，，但，A選項錯誤；B選項，由隨的增大而增大可得，B選項正確；C選項，時，，但，C選項錯誤；D選項，若，由不等式兩邊同時乘以負數(shù)則變號可得，且，即，D選項正確.故選：BD10．下列說法正確的是（

）A．若函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為B．函數(shù)是減函數(shù)C．函數(shù)的圖象關(guān)于點成中心對稱D．冪函數(shù)在上為減函數(shù)，則的值為1【答案】CD【分析】對于A，由復(fù)合函數(shù)的定義域的求法判斷；對于B，根據(jù)冪函數(shù)的單調(diào)性進行判斷；對于C，通過平移函數(shù)的圖象判斷函數(shù)的圖象的對稱中心；對于D，通過冪函數(shù)的定義和單調(diào)性得到關(guān)于m的關(guān)系式，進而求解m的值.【詳解】對于A，函數(shù)的定義域為，由得，則函數(shù)的定義域為，A錯誤；對于B，函數(shù)在區(qū)間和上分別是減函數(shù)，在整個定義域內(nèi)不為減函數(shù)，B錯誤；對于C，函數(shù)的圖象的對稱中心為，將函數(shù)的圖象先向左平移2個單位，再向上平移1個單位得到函數(shù)的圖象，則函數(shù)的圖象的對稱中心為，C正確；對于D，因為函數(shù)為冪函數(shù)，所以，解得，D正確.故選：CD11．已知函數(shù)，設(shè)（，2，3）為實數(shù)，，且，則（

）A．函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱B．不等式的解集為C．D．【答案】ABD【分析】對A，由可判斷；對B，根據(jù)函數(shù)單調(diào)遞增可求解；對CD，根據(jù)的性質(zhì)畫出函數(shù)圖象，表示出直線的方程，根據(jù)均在直線上方建立不等關(guān)系可得.【詳解】對A，，函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，故A正確；對B，在上單調(diào)遞增，且，則化為，則，解得，故不等式的解集為，故B正確；對CD，，則可得，且關(guān)于點對稱，在上單調(diào)遞增，可得函數(shù)圖象如下：均在直線上方，其中直線的方程為，則可得，，所以，，，即，故C錯誤，D正確.故選：ABD.12．已知函數(shù)是定義域為且周期為4的奇函數(shù)，當(dāng)時，，，則下列結(jié)論正確的是（

）A．B．當(dāng)，的圖象是一條拋物線C．函數(shù)的圖象關(guān)于對稱D．函數(shù)的值域為【答案】ACD【分析】易知，然后利用對稱性與周期性求解可判斷A；再根據(jù)區(qū)間與解析式可得在的圖像，結(jié)合周期性從而判斷BCD．【詳解】對A，當(dāng)時，，對稱軸為，又由于是奇函數(shù)，故當(dāng)時，，結(jié)合周期為4可得的圖象：

故的對稱軸為，，故，，同理，故A正確；對BCD，當(dāng)時，，，當(dāng)時，，，則當(dāng)，，；當(dāng)，，；當(dāng)，，；當(dāng)，，；因為是周期為4的函數(shù)，故也是周期為4的函數(shù)，因此也是周期為4的函數(shù)，函數(shù)圖像如圖所示：

當(dāng)，的圖象是一條線段，故B錯誤；函數(shù)圖像對稱軸為，，易知，時，故C正確；由圖可得，在處有最大值，在處有最小值，所以函數(shù)的值域為，故D正確．故選：ACD三、填空題13．曲線在點處的切線方程是．【答案】【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可.【詳解】由題意，的導(dǎo)函數(shù)，故曲線在點處的切線斜率為，則切線方程.故答案為：14．已知，其中，，，則的最小值為．【答案】16【分析】根據(jù)給定條件，利用“1”的妙用求解作答.【詳解】因為，，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以的最小值為16.故答案為：1615．已知函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)則實數(shù)的取值范圍是．【答案】【分析】根據(jù)題意，利用換元法，令，則在上是增函數(shù)，結(jié)合對數(shù)函數(shù)和二次函數(shù)以及復(fù)合函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系，可知在上是減函數(shù)且恒成立，最后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)進行轉(zhuǎn)化求解即可．【詳解】∵函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，令，則在上是增函數(shù)，而對數(shù)函數(shù)在定義域內(nèi)為減函數(shù)，則由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性滿足“同增異減”，可知在上是減函數(shù)且恒成立，對稱軸.則，即，解得：，所以實數(shù)的取值范圍是.故答案為：.16．若直線分別與曲線，交于，兩點，則線段長度的最小值為．【答案】，其中.【分析】設(shè)，，則，再通過導(dǎo)函數(shù)分析其單調(diào)性即可求解最小值．【詳解】設(shè)，，則，故，，，.故，設(shè)，則在區(qū)間上為增函數(shù)，且當(dāng)時，，且，故在區(qū)間上存在使得，即，故則當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增.故有最小值，其中故答案為：，其中.四、解答題17．已知函數(shù)，．(1)當(dāng)時，求的極小值；(2)若在區(qū)間上單調(diào)遞增，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）先求函數(shù)的定義域和導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)與極值點的關(guān)系求極值點，再求極小值即可；（2）由條件可知在上恒成立，再分離變量構(gòu)造函數(shù)求最值即可求解.【詳解】（1）函數(shù)的定義域為，當(dāng)時，

求導(dǎo)得，整理得：.令可得，或當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)或時，，函數(shù)單調(diào)遞增；所以當(dāng)時，函數(shù)取極小值，極小值為.（2），則.由已知時，恒成立，所以恒成立，即恒成立，則.設(shè)，則，故在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，故實數(shù)的取值范圍為.18．已知函數(shù)，．(1)若是奇函數(shù)，求不等式的解集；(2)若關(guān)于的方程在區(qū)間上有實數(shù)解，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)奇函數(shù)滿足恒成立求解可得，再根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解不等式即可；（2）將題意轉(zhuǎn)化為在區(qū)間上有實數(shù)解，再換元根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性求解范圍即可.【詳解】（1）是奇函數(shù)則，即，故恒成立，故.當(dāng)時，，定義域為，即或，滿足題意；當(dāng)時，，不滿足題意，故.則即，則，即，，解得.即不等式的解集為；（2）由題意在區(qū)間上有實數(shù)解，即，在區(qū)間上有實數(shù)解.設(shè)，則，，則當(dāng)時取最大值；當(dāng)時取最小值，故.19．已知函數(shù)，關(guān)于的不等式的解集為．(1)求不等式的解集；(2)令，已知的解集為，且，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】(1)根據(jù)二次不等式的解集可得出，的值，代入不等式即可得出結(jié)果.(2)分二次函數(shù)的判別式與0的大小關(guān)系討論，再結(jié)合二次函數(shù)圖象性質(zhì)可得區(qū)間端點與對稱軸的位置關(guān)系列式求解即可.【詳解】（1）的解集為，則1和2是的兩個根，所以代入，解得，由，則，，即的解集為（2）由，又的解集為，且.①當(dāng)判別式時，滿足條件，此時，解得；②當(dāng)判別式時，或，由拋物線圖象性質(zhì)可得，即，解得，則.綜上有.故實數(shù)的取值范圍為20．設(shè)為實數(shù)，函數(shù)，．(1)求的解析式；(2)當(dāng)時，求的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用換元法求解即可；（2）由（1）可得，再分別討論二次函數(shù)對稱軸與區(qū)間中線的大小關(guān)系求解最大值即可.【詳解】（1）令，則，故，即（2）由（1）可得，故，易得拋物線開口向上，對稱軸為，區(qū)間的中線為.故當(dāng)，即時，；當(dāng)，即時，.故.21．漳州市某研學(xué)基地，因地制宜劃出一片區(qū)域，打造成“生態(tài)水果特色區(qū)”.經(jīng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)：某水果樹的單株產(chǎn)量（單位：千克）與施用肥料（單位：千克）滿足如下關(guān)系：，且單株施用肥料及其它成本總投入為元.已知這種水果的市場售價大約為10元/千克，且銷路暢通供不應(yīng)求.記該水果樹的單株利潤為（單位：元）.（1）求函數(shù)的解析式；（2）當(dāng)施用肥料為多少千克時，該水果樹的單株利潤最大？最大利潤是多少？【答案】（1）；（2）3千克，最大利潤是390元.【解析】（1）根據(jù)題意可以直接得到利潤表達式；（2）根據(jù)定義域求每段函數(shù)的利潤最大值比較后可得答案.【詳解】（1）由已知，∴，∴.（2）由（1）得當(dāng)時，，∴當(dāng)時，；當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)時，即時等號成立，∵，∴當(dāng)時，，即當(dāng)施用肥料為3千克時，該水果樹的單株利潤最大，最大利潤是390元.【點睛】易錯點睛：利用基本不等式求最值時，要注意其必須滿足的三個條件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時，必須驗證等號成立的條件，若不能取等號則這個定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯誤的地方.22．已知函數(shù)，．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)當(dāng)時，若存在直線與，的圖象都相切，求的取值范圍及相應(yīng)的條數(shù)．【答案】(1)答案見解析；(2)，當(dāng)時，有一條切線；當(dāng)時，有兩條切線.【分析】（1）求出函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)，再分類討論求解函數(shù)單調(diào)區(qū)間作答.（2）設(shè)出兩個切點坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程，并建立等量關(guān)系，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)探討零點個數(shù)作答.【詳解】（1）依題意，的定義域為，求導(dǎo)得，當(dāng)時，由得，函數(shù)遞增，由得，函數(shù)遞減，當(dāng)時，，函數(shù)在上遞減，當(dāng)時，由得，遞增，由得或，遞減，當(dāng)時，由得，遞增，由得或，遞減，所以當(dāng)時，函數(shù)遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為；當(dāng)時，函數(shù)的遞減區(qū)間為；當(dāng)時，函數(shù)遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為；當(dāng)時，函數(shù)遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為.（2）當(dāng)時，，