人教版高中數(shù)學必修第二冊拋物線的幾何性質221400

拋物線的幾何性質教學目標〔1〕靈活運用拋物線的定義及其幾何性質解題；〔2〕會處理拋物線與直線、圓等曲線組合的綜合問題；〔3〕會證明拋物線的簡單幾何性質．教學重點，難點拋物線的幾何性質，以及拋物線與直線的位置關系．教學過程一．問題情境1．情境：復習回顧：拋物線的定義及幾何性質．二．學生活動（-m,0）練習：①拋物線mx+ny2=0（m?n豐0）的頂點坐標是（0，0），焦點坐標是4n ,mx二一Iml準線方程是 4n,離心率是1,通徑長n．②拋物線y2=2X上的兩點A、B到焦點的距離之和為5,那么線段AB的中點的橫坐標是2．③頂點在原點，焦點在x軸上的拋物線，截直線2X-y―4=0所得的弦長為，求拋物線的方程.（答案：y2=4X或y2=-36X）解：設拋物線的方程為y2=2QX（">0）.Iy2=2aX,由12X-y-4=0,消去y,得2X2—(8+a)X+8=0(1)那么A=(8+a)2-4×2×8=a2+16a>0,解得a<-16或a>0.8+a

X+X= ,設方程⑴的兩根為X1，X2，那么12 2，X1X2=4由題知，弦長=MKFTξ)2二%'K|TX2|一、/5、：(x+X)2-4XX-二W.2+16a=3.5\ 1 2 12 2,即a2+16a-36=0,解得a=2或a=-18.因此所求的拋物線方程為＞2=4X或w=-36X.三.數(shù)學運用1.例題：例1.斜率為1的直線l經過拋物線＞2=4X的焦點F,且與拋物線相交于4B兩點,求線段AB的長.解：法一如練習③法二設直線方程為y=X-1,A(Xi,乂)、B(X2,＞2)，IABI=IAFI+1FBI=IACI+1BDI=X+p+X+p=X+X+P那么由拋物線定義得 122212 ,JW=4X,又A(xJyjB(X2,y2)是拋物線與直線的交點，由I丁=X-1,得X2-6X+1=0,那么x1+X2=6，所以iABi=8.焦點弦的長度iAbi=P+x1+X2.〔由學生找出其他三種情況的焦點弦的長度〕練習：過拋物線＞2=8X的焦點，作傾斜角為45的直線，那么被拋物線截得的弦長為^求證：以通過拋物線焦點的弦為直徑的圓必與拋物線的準線相切證明：〔法一〕設拋物線方程為＞2=2PX,過焦點F的弦AB為直徑的圓的圓心M,2F(P0) X尸一p那么焦點,準線乙12.設以A、B、M在準線上m-7δ-tM1∕/ 不5 BlN 立的射影分別是A、,m1,那么IAA11+1BB1I=IAFI+1BFI=IABI,又IAAI+1BBI=2IMMI又1 1 1，IMMI=-IABI??.12 ，即iMMii為以AB為直徑的圓的半徑，且準線11MM1，???命題成立.F(p,0) X=—p〔法二〕設拋物線方程為12=2PX，那么焦點2，準線2.過點F的拋物線的弦的兩個端點a(x1,X)，B(X2,>2)，線段Ab的中點M(>>o)，那么,…，PPIABI=X++X+=X+X+p12 2 2 12r=—IABI=?(X+X+p)???以通過拋物線焦點的弦為直徑的圓的半徑 2 21 2.P JPX+XP1/ 、X=- d=X+ = 2+ =—(X+X+P)點M到準線2的距離02 2 2212 ,???圓M與準線相切.例3.正三角形的一個頂點位于坐標原點，另外兩個頂點在拋物線>2=2PX(P>0)上，求這個正三角形的邊

長.解：設正三角形^AB的頂點A、B在拋物線上，且設點A(X1,y1),B(X2,y2)，那么y12=2PX1，y2=2PX 又IOAI=IOBI2 2,人所以X2+y2=X2+y21 1 2 2，,即(X2 2)+2P(X-X)=O(x-x)(x+x+2p)=01 2 1 2??λ>0x>02p〉0 ?x=x, 1 , 2 , , ?? 1 2*由此可得CMy21，即線段AB關于X軸對稱.&=tan30°=-因為％軸垂直于AB,且乙4。％=30。，所以' 3X1S,.?,yι=2^p...IA8l=2y4島例4.定長為3的線段AB的兩端點在拋物線W=X上移動，設點M為線段AB的中點，求點M到y(tǒng)軸的最小距離.1 1F(-,0) X=—解：拋物線焦點4 ,準線/： 4,設點A、B、/在準線/上的射影分別是ABM港占M(X,y)那么IAAJ+I6qI=IAF?+?BFl≥lABI,?MM?=-(?AA?+?BB?)≥-?AB?又12I?2IMM=x+-IgC又I04,I3,1、3 、5 5X+—之一 X≥— —?