數(shù)列中的最值問題

PAGE問題二：數(shù)列中的最值問題數(shù)列中的最值常見題型有：求數(shù)列的最大項或最小項、與有關(guān)的最值、求滿足數(shù)列的特定條件的最值、求滿足條件的參數(shù)的最值、實際問題中的最值及新定義題型中的最值問題等.題型一：求數(shù)列的最大項或最小項求數(shù)列中的最大項的基本方法是：(1)利用不等式組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(an－1≤an，,an≥an＋1))(n≥2)確定數(shù)列的最大項；(2)利用不等式組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(an－1≥an，,an≤an＋1))(n≥2)確定數(shù)列的最小項．(3)利用函數(shù)或數(shù)列單調(diào)性求最大項或最小項.【例1】已知數(shù)列的通項公式為=,求的最大項．【分析】思路1：利用基本不等式求解.思路2：求滿足的的值.【解法一】基本不等式法.==,因為；當(dāng)且僅當(dāng),即n=時,而,且n∈,于是將n=12或13代人,得且最大．【評注】解法一是是利用基本不等式求解,解法二是通過確定滿足的的值,從而找到最大項【小試牛刀】在數(shù)列{an}中,an＝(n＋1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10,11)))eq\s\up12(n)(n∈N*).(1)求證：數(shù)列{an}先遞增,后遞減；(2)求數(shù)列{an}的最大項.(2)解：由(1)知a9＝a10＝eq\f(1010,119)最大.【點評】要證明數(shù)列{an}是單調(diào)的,可利用“{an}是遞增數(shù)列?an＜an＋1,數(shù)列{an}是遞減數(shù)列?an＞an＋1”來證明.注意數(shù)列的單調(diào)性是探索數(shù)列的最大、最小項及解決其他許多數(shù)列問題的重要途徑,因此要熟練掌握上述求數(shù)列單調(diào)性的方法.題型二：數(shù)列前n項和最值問題公差不為0的等差數(shù)列的前n項和的最值問題在高考中常出現(xiàn),題型有小題也有大題,難度不大,求等差數(shù)列前n項和最值的方法有：(1)利用{an}中項的單調(diào)性,求出其正負轉(zhuǎn)折項．(2)利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最值．公差不為0的等差數(shù)列的前n項和Sn＝An2＋Bn(A,B為常數(shù))．(3)利用eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Sn≥Sn－1，,Sn≥Sn＋1))求出Sn的最值.【例2】在等差數(shù)列{an}中,a1＝7,公差為d,前n項和為Sn,當(dāng)且僅當(dāng)n＝8時Sn取最大值,則d的取值范圍是________．【分析】知a1和S8最大,可以求出Sn關(guān)于d的表達式是關(guān)于n的二次函數(shù),再用二次函數(shù)的最值來解決；還可用S8最大推出項的正負和變化規(guī)律,并利用所有正數(shù)項和最大．【解析】(2)方法一(通法)：由于Sn＝7n＋eq\f(n（n－1）,2)d＝eq\f(d,2)n2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(7－\f(d,2)))n,設(shè)f(x)＝eq\f(d,2)x2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(7－\f(d,2)))x,則其圖象的對稱軸為直線x＝eq\f(1,2)－eq\f(7,d).當(dāng)且僅當(dāng)n＝8時Sn取得最大值,故7.5<eq\f(1,2)－eq\f(7,d)<8.5,解得－1<d<－eq\f(7,8).方法二(優(yōu)法)：由題意,得a8>0,a9<0,所以7＋7d>0,且7＋8d<0,即－1<d<－eq\f(7,8).【小試牛刀】【山西大學(xué)附屬中學(xué)2017級上學(xué)期11月模塊診斷】設(shè)等差數(shù)列的前項和為,且滿足,,則,,…,中最大的項為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】,因此而,所以,選C.題型三：求滿足數(shù)列的特定條件的最值【例3】【2016屆云南師范大學(xué)附屬中學(xué)高三月考四】數(shù)列是等差數(shù)列,若,且它的前n項和有最大值,那么當(dāng)取得最小正值時,n等于（）A．17B．16C．15D．14【分析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)求前項和的最值.【解析】∵數(shù)列的前n項和有最大值,∴數(shù)列為遞減數(shù)列,又,且,又,故當(dāng)時,取得最小正值,故選C．【小試牛刀】【四川省2017年普通高考適應(yīng)性測試】設(shè)數(shù)列各項為正數(shù),且,.（Ⅰ）證明：數(shù)列為等比數(shù)列；（Ⅱ）令,數(shù)列的前項和為,求使成立時的最小值.【答案】（Ⅰ）詳見解析（Ⅱ）6【解析】（Ⅰ）由已知,,則,因為數(shù)列各項為正數(shù),所以,由已知,,得.又,所以,數(shù)列是首項為1,公比為2的等比數(shù)列.題型四：求滿足條件的參數(shù)的最值【例4】【山東省棗莊市2017屆高三上學(xué)期期末】已知為各項均為正數(shù)的數(shù)列的前項和,.（1）求的通項公式；（2）設(shè),數(shù)列的前項和為,若對恒成立,求實數(shù)的最大值.【分析】(1)首先求得的值,然后利用與的關(guān)系推出數(shù)列為等差數(shù)列,由此求得的通項公式；(2)首先結(jié)合（1）求得的表達式,然后用裂項法求得,再根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性求得的最大值．【解析】(1)當(dāng)時,由,得,即.又,解得.由,可知.兩式相減,得,即.由于,可得,即,所以是首項為,公差為的等差數(shù)列,所以.【點評】(1)求解與參數(shù)有關(guān)的問題,一般是分離變量,再構(gòu)造新函數(shù)求解.(2)使用裂項法,要注意正負項相消時,消去了哪些項,保留了哪些項．要注意由于數(shù)列中每一項均裂成一正一負兩項,所以互為相反數(shù)的項合并為零后,所剩正數(shù)項與負數(shù)項的項數(shù)必是一樣多的,切不可漏寫未被消去的項,未被消去的項有前后對稱的特點．【小試牛刀】已知數(shù)列的通項公式為,前項和為,若對任意的正整數(shù),不等式恒成立,則常數(shù)所能取得的最大整數(shù)為.【答案】5【解析】要使恒成立,只需.因,所以,所以,所能取得的最大整數(shù)為5.題型五：實際問題中的最值【例5】為了保障幼兒園兒童的人身安全,國家計劃在甲、乙兩省試行政府規(guī)范購置校車方案,計劃若干時間內(nèi)（以月為單位）在兩省共新購1000輛校車．其中甲省采取的新購方案是：本月新購校車10輛,以后每月的新購量比上一月增加50％；乙省采取的新購方案是：本月新購校車40輛,計劃以后每月比上一月多新購m輛．（Ⅰ）求經(jīng)過n個月,兩省新購校車的總數(shù)S(n)；（Ⅱ）若兩省計劃在3個月內(nèi)完成新購目標(biāo),求m的最小值．【分析】本題主要考查實際問題、等差等比數(shù)列的前n項和公式、不等式的解法等數(shù)學(xué)知識,考查學(xué)生將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的能力,考查學(xué)生分析問題解決問題的能力和計算能力.第一問,通過對題意的分析可知甲方案能構(gòu)成等比數(shù)列,而乙方案能構(gòu)成等差數(shù)列,利用等差等比數(shù)列的前n項和公式分別求和,再相加即可；第二問,利用第一問的結(jié)論,得出且,直接解不等式即可得到m的取值范圍,并寫出最小值.【解析】（Ⅰ）設(shè)an,bn分別為甲省,乙省在第n月新購校車的數(shù)量．依題意,{an}是首項為10,公比為1＋50%＝的等比數(shù)列；{bn}是首項為40,公差為m的等差數(shù)列．{an}的前n項和,{bn}的前n項和.所以經(jīng)過n個月,兩省新購校車的總數(shù)為S(n)＝.（Ⅱ）若計劃在3個月內(nèi)完成新購目標(biāo),則S(3)≥1000,所以,解得≥277.5.又,所以的最小值為278.【小試牛刀】某企業(yè)為節(jié)能減排,用萬元購進一臺新設(shè)備用于生產(chǎn).第一年需運營費用萬元,從第二年起,每年運營費用均比上一年增加萬元,該設(shè)備每年生產(chǎn)的收入均為萬元.設(shè)該設(shè)備使用了年后,年平均盈利額達到最大值（盈利額等于收入減去成本）,則等于（）A.B.C.D.【答案】A【解析】設(shè)該設(shè)備第的營運費用為萬元,則數(shù)列是以為首項,以為公差的等差數(shù)列,則,則該設(shè)備到第年的營運費用總和為,設(shè)第的盈利總額為萬元,則,因此,該設(shè)備年平均盈利額為,當(dāng)且僅當(dāng)且當(dāng),即當(dāng)時,該設(shè)備年平均盈利額達到最大值,此時,故選A.【遷移運用】1．【2016·遼寧大連統(tǒng)考】數(shù)列{an}中,如果存在ak,使得ak＞ak－1且ak＞ak＋1成立(其中k≥2,k∈N*),則稱ak為數(shù)列{an}的峰值,若an＝－3n2＋15n－18,則{an}的峰值為()A．0B．4C.eq\f(13,3)D.eq\f(16,3)【答案】A【解析】因為an＝－3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n－\f(5,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(3,4),且n∈N*,所以當(dāng)n＝2或n＝3時,an取最大值,最大值為a2＝a3＝0.2.【中原名校豫南九校2017屆第四次質(zhì)量考評】已知等差數(shù)列的公差,是其前項和,若成等比數(shù)列,且,則的最小值是（）A．B．C.D．【答案】A3.【河南省豫北名校聯(lián)盟2017屆高三年級精英對抗賽,】已知在正項等比數(shù)列中,存在兩項滿足,且,則的最小值是（）A．B．2C.D．【答案】A【解析】設(shè)數(shù)列的公比為,則由得,解之得或（舍去）,因為存在兩項滿足,所以,解之得,所以,當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立,所以的最小值是,故選A.4.【天津六校2017屆高三上學(xué)期期中聯(lián)考】已知數(shù)列滿足：,．若,,且數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列,則實數(shù)的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】D5.設(shè)an＝－3n2＋15n－18,則數(shù)列{an}中的最大項的值是()．A.eq\f(16,3)B.eq\f(13,3)C．4 D．0【答案】D【解析】∵an＝－3＋eq\f(3,4),由二次函數(shù)性質(zhì),得當(dāng)n＝2或3時,an最大,最大為0.6.等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,已知a1＝13,S3＝S11,當(dāng)Sn最大時,n的值是()A．5B．6C．7D．8【答案】C【解析一】由S3＝S11,得a4＋a5＋…＋a11＝0,根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì),可得a7＋a8＝0,根據(jù)首項等于13可推知這個數(shù)列遞減,從而得到a7＞0,a8＜0,故n＝7時,Sn最大．【解析二】由S3＝S11,可得3a1＋3d＝11a1＋55d,把a1＝13代入,得d＝－2,故Sn＝13n－n(n－1)＝－n2＋14n,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì),知當(dāng)n＝7時,Sn最大．【解析三】根據(jù)a1＝13,S3＝S11,則這個數(shù)列的公差不等于零,且這個數(shù)列的和先是單調(diào)遞增然后又單調(diào)遞減,根據(jù)公差不為零的等差數(shù)列的前n項和是關(guān)于n的二次函數(shù),以及二次函數(shù)圖象的對稱性,得只有當(dāng)n＝eq\f(3＋11,2)＝7時,Sn取得最大值．7.在數(shù)列{an}中,an＝eq\f(n－\r(2013),n－\r(2014)),則該數(shù)列前100項中的最大項與最小項分別是()A．a(chǎn)1,a50 B．a(chǎn)1,a44 C．a(chǎn)45,a44 D．a(chǎn)45,a50【答案】C【解析】an＝eq\f(n－\r(2013),n－\r(2014))＝1＋eq\f(\r(2014)－\r(2013),n－\r(2014)),∴當(dāng)n∈1,44]時,{an}單調(diào)遞減,當(dāng)n∈45,100]時,{an}單調(diào)遞減,結(jié)合函數(shù)f(x)＝eq\f(x－\r(2013),x－\r(2014))的圖象可知,(an)max＝a45,(an)min＝a44,選C.8.【2016屆重慶市南開中學(xué)高三12月月考】已知函數(shù),且,設(shè)等差數(shù)列的前項和為,若,則的最小值為（）A．B．C．D．【答案】【解析】由題意可得等差數(shù)列的通項公式和求和公式,代入由基本不等式可得．由題意可得或解得a=1或a=-4,當(dāng)a=-1時,,數(shù)列{an}不是等差數(shù)列；當(dāng)a=-4時,,,,當(dāng)且僅當(dāng),即時取等號,∵n為正數(shù),故當(dāng)n=3時原式取最小值,故選D．9.【2016屆江蘇省鹽城市鹽阜中學(xué)高三上12月月】等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,已知S10=0,S15=25,則nSn的最小值為．【答案】﹣49【解析】設(shè)等差數(shù)列{an}的首項為a1,公差為d,∵S10=10a1+45d=0,S15=15a1+105d=25,∴a1=﹣3,d=,∴Sn=na1+d=n2﹣n,∴nSn=n3﹣n2,令nSn=f（n）,∴f′（n）=n2﹣n,∴當(dāng)n=時,f（n）取得極值,當(dāng)n＜時,f（n）遞減；當(dāng)n＞時,f（n）遞增；因此只需比較f（6）和f（7）的大小即可．f（6）=﹣48,f（7）=﹣49,故nSn的最小值為﹣49．故答案為：﹣49．10.【2016屆河北省正定中學(xué)高三上第五次月考】已知數(shù)列滿足,,則的最小值為．【答案】11.【2016·湖南衡陽五校聯(lián)考】已知數(shù)列{an}滿足a1＝1,an＋1＝1－eq\f(1,4an),其中n∈N*.(1)設(shè)bn＝eq\f(2,2an－1),求證：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列,并求出{an}的通項公式an.(2)設(shè)cn＝eq\f(4an,n＋1),數(shù)列{cncn＋2}的前n項和為Tn,是否存在正整數(shù)m,使得Tn<eq\f(1,cmcm＋1)對于n∈N*恒成立？若存在,求出m的最小值；若不存在,請說明理由．【解析】(1)bn＋1－bn＝eq\f(2,2an＋1－1)－eq\f(2,2an－1)＝eq\f(2,2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4an)))－1)－eq\f(2,2an－1)＝eq\f(4an,2an－1)－eq\f(2,2an－1)＝2.所以數(shù)列{bn}是等差數(shù)列,a1＝1,b1＝2,因此bn＝2＋(n－1)×2＝2n,由bn＝eq\f(2,2an－1)得an＝eq\f(n＋1,2n).(2)cn＝eq\f(2,n),cncn＋2＝eq\f(4,n（n＋2）)＝2eq\b\lc\((\a\vs4\al\co1(\f(1,n)－))eq\b\lc\\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n＋2))),所以Tn＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,2)－\f(1,n＋1)－\f(1,n＋2)))<3,依題意要使Tn<eq\f(1,cmcm＋1)對于n∈N*恒成立,只需eq\f(m（m＋1）,4)≥3,解得m≥3或m≤－4(舍),所以m的最小值為3.12.【天津六校2017屆高三上學(xué)期期中聯(lián)考】已知各項都是正數(shù)的數(shù)列的前項和為,,（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)數(shù)列滿足：,,數(shù)列的前項和,求證：；（3）若對任意恒成立,求的取值范圍.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）詳見解析（Ⅲ）【解析】（1）時,是以為首項,為公差的等差數(shù)列（2）,,即（3）由得,當(dāng)且僅當(dāng)時,有最大值,13.【中原名校豫南九校2017屆第四次質(zhì)量考評】設(shè)等差數(shù)列的前項和為,且.（1）求的通項公式；（2）若不等式對所有的正整數(shù)都成立,求實數(shù)的取值范圍.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）14.【河南省豫北名校聯(lián)盟2017屆高三年級精英對抗賽】已知各項均不相等的等差數(shù)列的前五項和,且成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若為數(shù)列的前項和,且存在,使得成立,求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）設(shè)數(shù)列的公差為,則即又因為,所以所以.（2）因為,所以.因為存在,使得成立,所以存在,使得成立,即存在,使成立.又,（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號）,所以.即實數(shù)的取值范圍是.15.已知等差數(shù)列滿足：,且,,成等比數(shù)列.（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式；（Ⅱ）記為數(shù)列的前項和,是否存在正整數(shù)n,使得？若存在,求的最小值；若不存在,說明理由.【解析】（Ⅰ）設(shè)數(shù)列的公差為,依題意,,,成等比數(shù)列,故有,化簡得,解得或.當(dāng)時,；當(dāng)時,,從而得數(shù)列的通項公式為或.16.已知首項為eq\f(3,2)的等比數(shù)列{an}不是遞減數(shù)列,其前n項和為Sn(n∈N*),且S3＋a3,S5＋a5,S4＋a4成等差數(shù)列．(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項公式；(Ⅱ)設(shè)Tn＝Sn－eq\f(1,Sn)(n∈N*),求數(shù)列{Tn}的最大項的值與最小項的值．【解析】(1)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,因為S3＋a3,S5＋a5,S4＋a4成等差數(shù)列,所以S5＋a5－S3－a3＝S4＋a4－S5－a5,即4a5＝a3,于是q2＝eq\f(a5,a3)＝eq\f(1,4).又{an}不是遞減數(shù)列且a1＝eq\f(3,2),所以q＝－eq\f(1,2).故等比數(shù)列{an}的通項公式為an＝eq\f(3,2)×＝(－1)n－1·eq\f(3,2n).(Ⅱ)由(Ⅰ)得Sn＝1－＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,2n)，n為奇數(shù)，,1－\f(1,2n)，n為偶數(shù).))當(dāng)n為奇數(shù)時,Sn隨n的增大而減小,所以1<Sn≤S1＝eq\f(3,2),故0<Sn－eq\f(1,Sn)≤S1－eq\f(1,S1)＝eq\f(3,2)－eq\f(2,3)＝eq\f(5,6).當(dāng)n為偶數(shù)時,Sn隨n的增大而增大,所以eq\f(3,4)＝S2≤Sn<1,故0>Sn－eq\f(1,Sn)≥S2－eq\f(1,S2)＝eq\f(3,4)－eq\f(4,3)＝－eq\f(7,12).綜上,對于n∈N*,總有－eq\f(7,12)≤Sn－eq\f(1,Sn)≤eq\f(5,6).所以數(shù)列{Tn}最大項的值為eq\f(5,6),最小項的值為－eq\f(7,12).17.【2016屆上海市七校高三上12月聯(lián)考】公差不為零的等差數(shù)列{an}中,a1、a2、a5成等