線性代數(shù)§6.1線性空間的定義與性質(zhì)

§6.1線性空間的定義與性質(zhì)一、線性空間的定義線性空間是線性代數(shù)最基本的概念之一,也是一個(gè)抽象的概念,它是向量空間概念的推廣.線性空間是為了解決實(shí)際問題而引入的,它是某一類事物從量的方面的一個(gè)抽象,即把實(shí)際問題看作向量空間,進(jìn)而通過研究向量空間來(lái)解決實(shí)際問題.

定義:

設(shè)V是一個(gè)非空集合,R為實(shí)數(shù)域.如果對(duì)于任意兩個(gè)元素

,

V,總有唯一的一個(gè)元素

V與之對(duì)應(yīng),稱

為

與

的和(簡(jiǎn)稱加法運(yùn)算),記作

=

+

.

若對(duì)于任一數(shù)

R與任一元素

V,總有唯一的元素

V與之對(duì)應(yīng),稱

為數(shù)

與

的積(簡(jiǎn)稱數(shù)乘運(yùn)算),記作

=

.如果上述的兩種運(yùn)算滿足以下八條運(yùn)算規(guī)律,那么,就稱V為數(shù)域R上的線性空間(或向量空間):(1)加法交換律:a+b=b+a

;(2)加法結(jié)合律:(a+b)+g=a+(b+g)

;(3)零元素:存在O

V,對(duì)任一向量a,有a+O=a;(4)負(fù)元素:對(duì)任一元素a

V,存在

V,有a+

=O,記

=

–a;(5)1

a=

a;(6)數(shù)乘結(jié)合律:k(la)=(lk)a;(7)數(shù)乘對(duì)加法的分配律:k(a+b)=ka+kb;(8)數(shù)量加法對(duì)數(shù)乘的分配律:(k+l)a=ka+la.設(shè)

,

,

,O

V,1,l,k

R,說明1.凡滿足以上八條運(yùn)算規(guī)律的加法及乘數(shù)運(yùn)算統(tǒng)稱為線性運(yùn)算.說明2.向量(線性)空間中的元素稱為向量,但不一定是有序數(shù)組.說明3.判別線性空間的方法:一個(gè)集合,對(duì)于定義的加法和數(shù)乘運(yùn)算不封閉,或者運(yùn)算不滿足八條性質(zhì)的任一條,則此集合就不能構(gòu)成線性空間.(1)如果在一個(gè)集合上定義的加法和乘數(shù)運(yùn)算是通常實(shí)數(shù)間的加,乘運(yùn)算,則只需檢驗(yàn)運(yùn)算的封閉性.線性空間的判定方法:

例1:

實(shí)數(shù)域上的全體m

n矩陣,對(duì)矩陣的加法和數(shù)乘運(yùn)算構(gòu)成實(shí)數(shù)域R上的線性空間,記作Rm

n.Rm

n中的向量(元素)是m

n矩陣.

例2:

次數(shù)不超過n的多項(xiàng)式的全體記作P[x]n,即P[x]n={p(x)=a0+a1x+···+anxn|a0,a1,

···,an

R}對(duì)通常多項(xiàng)式加法,數(shù)乘多項(xiàng)式的乘法構(gòu)成向量空間.通常的多項(xiàng)式加法,數(shù)乘多項(xiàng)式的乘法兩種運(yùn)算滿足線性運(yùn)算規(guī)律.實(shí)際上對(duì)p(x)=a0+a1x+···+anxn,q(x)=b0+b1x+···+bnxn

P[x]n,

R,=(a0+a1x+···+anxn)+(b0+b1x+···+bnxn)=(a0+b0)+(a1+b1)x+···+(an+bn)xnp(x)+q(x)=

(a0+a1x+···+anxn)

p(x)=

a0+

a1x+···+

anxn

P[x]n,所以P[x]n對(duì)線性運(yùn)算封閉.

例3:

次數(shù)等于n的多項(xiàng)式的全體記作Q[x]n,即Q[x]n={p(x)=a0+a1x+···+anxn|a0,a1,···,an

R,an

0

}對(duì)于通常的多項(xiàng)式加法,數(shù)乘多項(xiàng)式的乘法不構(gòu)成向量空間.多項(xiàng)式加法,數(shù)乘多項(xiàng)式的乘法兩種運(yùn)算對(duì)Q[x]n不滿足線性運(yùn)算的封閉性.實(shí)際上

P[x]n,對(duì)p(x)=a0+a1x+···+anxn

Q[x]n,0

R,0p(x)=0(a0+a1x+···+anxn)

=0+0x+···+0xn=0

Q[x]n.

所以Q[x]n對(duì)線性運(yùn)算不封閉.

例4:正弦函數(shù)的集合S[x]={s(x)=Asin(x+B)|A,B

R}對(duì)于通常的函數(shù)加法及數(shù)乘函數(shù)的乘法構(gòu)成線性空間.對(duì)s1(x)=A1sin(x+B1),s2(x)=A2sin(x+B2)

S[x],

R,由于,s1(x)+s2(x)=A1sin(x+B1)+A2sin(x+B2)=(a1cosx+b1sinx)+(a2cosx+b2sinx)=Asin(x+B)=(a1+a2)cosx+(b1+b2)sinx

S[x],

s1(x)=

A1sin(x+B1)=(

A1)sin(x+B1)

S[x],所以,S[x]是一個(gè)線性空間.

例5:在區(qū)間[a,b]上全體實(shí)連續(xù)函數(shù)構(gòu)成的集合記為C[a,b],對(duì)函數(shù)的加法和數(shù)與函數(shù)的數(shù)量乘法,構(gòu)成實(shí)數(shù)域上的線性空間.(2)一個(gè)集合,如果定義的加法和乘數(shù)運(yùn)算不是通常的實(shí)數(shù)間的加,乘運(yùn)算,則必需檢驗(yàn)是否滿足八條線性運(yùn)算規(guī)律.

例6:正實(shí)數(shù)的全體記作R+,在其中定義加法及乘數(shù)運(yùn)算為:a

b

=

ab,

a=

a

,(

R,a,b

R+)驗(yàn)證R+對(duì)上述加法與乘數(shù)運(yùn)算構(gòu)成(實(shí)數(shù)域R上的)線性空間.證明:對(duì)任意a,b

R+,

R,a

b

=

ab

R+,

a=

a

R+,所以對(duì)R+上定義的加法與乘數(shù)運(yùn)算封閉.下面驗(yàn)證八條線性運(yùn)算規(guī)律:對(duì)任意a,b,c

R+,

k,

l

R,(1)

a

b=ab=ba=b

a;(2)(a

b)

c=(ab)

c=

(ab)c=

a(bc)

=

a

(bc)

=a

(b

c)

;(3)存在零元1

R+,對(duì)任意a

R+,有a1=a1=a;(4)

對(duì)任一元素a

R+,存在負(fù)元素a-1

R+,有a

a–1=a

a–1=1;(5)1

a=

a1

=a;(6)

k

(l

a)=k

al=

(al)k=

akl=

(k

l)

a;(7)

k

(a

b)

=

k

(a

b)

=

(a

b)k

=

akbk(8)(k+l)

a=

ak+l=ak

al=

ak

bk

=k

a

k

b;所以,R+對(duì)所定義的運(yùn)算構(gòu)成線性空間.=ak

al=k

a

l

a.對(duì)于通常的有序數(shù)組的加法及如下定義的數(shù)乘:

(x1,x2,···,xn)T=(0,0,···,0)T不構(gòu)成線性空間.例7:n元實(shí)有序數(shù)組組成的全體Sn={x=(x1,x2,···,xn)T|x1,x2,···,xn

R}但1

x=0

x,故不滿足第(5)條運(yùn)算規(guī)律.即所定義的運(yùn)算不是線性運(yùn)算,所以Sn不是線性空間.顯