2008年高考試題分類（4）（數(shù)學(xué)-數(shù)列）

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D．120二、填空題1．（安徽15）在數(shù)列在中，，，,其中為常數(shù)，則－12．（寧夏13）已知為等差數(shù)列，，，則．153．（江蘇10）將全體正整數(shù)排成一個三角形數(shù)陣：12345678910。。。。。按照以上排列的規(guī)律，第n行（）從左向右的第3個數(shù)為4．（四川16）設(shè)數(shù)列中，，則通項___________。三、解答題1．（安徽21）（本小題滿分12分）設(shè)數(shù)列滿足其中為實數(shù)，且（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式（Ⅱ）設(shè)，,求數(shù)列的前項和；（Ⅲ）若對任意成立，證明解(1)方法一：當(dāng)時，是首項為，公比為的等比數(shù)列。，即。當(dāng)時，仍滿足上式。數(shù)列的通項公式為。方法二由題設(shè)得：當(dāng)時，時，也滿足上式。數(shù)列的通項公式為。(2)由（1）得由（1）知若，則由對任意成立，知。下面證，用反證法方法一：假設(shè)，由函數(shù)的函數(shù)圖象知，當(dāng)趨于無窮大時，趨于無窮大不能對恒成立，導(dǎo)致矛盾。。方法二：假設(shè)，，即恒成立（＊）為常數(shù)，（＊）式對不能恒成立，導(dǎo)致矛盾，2．（北京20）（本小題共13分）數(shù)列滿足，（），是常數(shù)．（Ⅰ）當(dāng)時，求及的值；（Ⅱ）數(shù)列是否可能為等差數(shù)列？若可能，求出它的通項公式；若不可能，說明理由；（Ⅲ）求的取值范圍，使得存在正整數(shù)，當(dāng)時總有．解：（Ⅰ）由于，且．所以當(dāng)時，得，故．從而．（Ⅱ）數(shù)列不可能為等差數(shù)列，證明如下：由，得，，．若存在，使為等差數(shù)列，則，即，解得．于是，．這與為等差數(shù)列矛盾．所以，對任意，都不可能是等差數(shù)列．（Ⅲ）記，根據(jù)題意可知，且，即且，這時總存在，滿足：當(dāng)時，；當(dāng)時，．所以由及可知，若為偶數(shù)，則，從而當(dāng)時，；若為奇數(shù)，則，從而當(dāng)時．因此“存在，當(dāng)時總有”的充分必要條件是：為偶數(shù)，記，則滿足．故的取值范圍是．3．（福建20）（本小題滿分12分）已知｛an｝是正數(shù)組成的數(shù)列，a1=1，且點（）（nN*）在函數(shù)y=x2+1的圖象上.(Ⅰ)求數(shù)列｛an｝的通項公式；(Ⅱ)若列數(shù)｛bn｝滿足b1=1,bn+1=bn+，求證：bn ·bn+2＜b2n+1.解法一：（Ⅰ）由已知得an+1=an+1、即an+1-an=1，又a1=1,所以數(shù)列｛an｝是以1為首項，公差為1的等差數(shù)列.故an=1+(a-1)×1=n.(Ⅱ)由（Ⅰ）知：an=n從而bn+1-bn=2n.bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+···+（b2-b1）+b1=2n-1+2n-2+···+2+1＝=2n-1.因為bn·bn+2-b=(2n-1)(2n+2-1)-(2n-1-1)2=(22n+2-2n+2-2n+1)-(22n+2-2-2n+1-1)=-5·2n+4·2n=-2n＜0,所以bn·bn+2＜b,解法二：（Ⅰ）同解法一.（Ⅱ）因為b2=1,bn·bn+2-b=(bn+1-2n)(bn+1+2n+1)-b=2n+1·bn-1-2n·bn+1-2n·2n+1＝2n（bn+1-2n+1）=2n（bn+2n-2n+1）=2n（bn-2n）=…=2n（b1-2）=-2n〈0，所以bn-bn+2<b2n+14．（廣東21）（本小題滿分14分）設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=1,a2=2,an=(an-1+2an-2)(n=3,4,…)，數(shù)列{bn}滿足b1=1,bn(n=2,3,…)是非零整數(shù)，且對任意的正整數(shù)m和自然數(shù)k，都有-1bm+bm+1+…+bm+11.（1）求數(shù)列{an}和{bn}的通項公式；(2)記cn=nanbn(n=1,2,…)，求數(shù)列{cn}的前n項和Sn.解：（1）由得又，數(shù)列是首項為1公比為的等比數(shù)列，，由得，由得，…同理可得當(dāng)n為偶數(shù)時，；當(dāng)n為奇數(shù)時，；當(dāng)n為偶數(shù)時當(dāng)n為奇數(shù)時因此當(dāng)n為偶數(shù)時當(dāng)n為奇數(shù)時當(dāng)n為偶數(shù)時當(dāng)n為奇數(shù)時（2）當(dāng)n為偶數(shù)時當(dāng)n為奇數(shù)時當(dāng)n為奇數(shù)時，當(dāng)n為偶數(shù)時，令……①①×得:……②①-②得:當(dāng)n為偶數(shù)時當(dāng)n為奇數(shù)時因此當(dāng)n為偶數(shù)時當(dāng)n為奇數(shù)時5．（江蘇19）（16分）（1）設(shè)是各項均不為零的等差數(shù)列（），且公差，若將此數(shù)列刪去某一項得到的數(shù)列（按原來的順序）是等比數(shù)列：①當(dāng)時，求的數(shù)值；②求的所有可能值；（2）求證：對于一個給定的正整數(shù)，存在一個各項及公差都不為零的等差數(shù)列，其中任意三項（按原來順序）都不能組成等比數(shù)列?！窘馕觥浚罕拘☆}考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的綜合應(yīng)用。（1）①當(dāng)n=4時,中不可能刪去首項或末項，否則等差數(shù)列中連續(xù)三項成等比數(shù)列，則推出d=0。若刪去，則，即化簡得，得若刪去，則，即化簡得，得綜上，得或。②當(dāng)n=5時,中同樣不可能刪去，否則出現(xiàn)連續(xù)三項。若刪去，則，即化簡得，因為，所以不能刪去；當(dāng)n≥6時，不存在這樣的等差數(shù)列。事實上，在數(shù)列中，由于不能刪去首項或末項，若刪去，則必有，這與矛盾；同樣若刪去也有，這與矛盾；若刪去中任意一個，則必有，這與矛盾。(或者說：當(dāng)n≥6時，無論刪去哪一項，剩余的項中必有連續(xù)的三項)綜上所述，。（2）假設(shè)對于某個正整數(shù)n，存在一個公差為d的n項等差數(shù)列，其中（）為任意三項成等比數(shù)列，則，即，化簡得（*）由知，與同時為0或同時不為0當(dāng)與同時為0時，有與題設(shè)矛盾。故與同時不為0，所以由（*）得因為，且x、y、z為整數(shù)，所以上式右邊為有理數(shù)，從而為有理數(shù)。于是，對于任意的正整數(shù)，只要為無理數(shù)，相應(yīng)的數(shù)列就是滿足題意要求的數(shù)列。例如n項數(shù)列1，，，……，滿足要求。6．（江西19）等差數(shù)列的各項均為正數(shù)，，前項和為，為等比數(shù)列,，且．(1)求與；(2)求和：．（1）設(shè)的公差為，的公比為，則為正整數(shù)，，依題意有①解得或(舍去)故（2）∴7．（湖南20）數(shù)列滿足（I）求，并求數(shù)列的通項公式；（II）設(shè)，，，求使的所有k的值，并說明理由。解：（I）因為所以一般地,當(dāng)時，即所以數(shù)列是首項為0、公差為4的等差數(shù)列，因此當(dāng)時，所以數(shù)列是首項為2、公比為2的等比數(shù)列，因此故數(shù)列的通項公式為（II）由（I）知，于是.下面證明:當(dāng)時，事實上,當(dāng)時，即又所以當(dāng)時，故滿足的所有k的值為3,4,5.8．（遼寧20）（本小題滿分12分）在數(shù)列，是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，設(shè)．（Ⅰ）數(shù)列是否為等比數(shù)列？證明你的結(jié)論；（Ⅱ）設(shè)數(shù)列，的前項和分別為，．若，，求數(shù)列的前項和．解：（Ⅰ）是等比數(shù)列． 2分證明：設(shè)的公比為，的公比為，則，故為等比數(shù)列． 5分（Ⅱ）數(shù)列和分別是公差為和的等差數(shù)列．由條件得，即． 7分故對，，…，．于是將代入得，，． 10分從而有．所以數(shù)列的前項和為． 12分9．（全國Ⅰ19）（本小題滿分12分）在數(shù)列中，，．（Ⅰ）設(shè)．證明：數(shù)列是等差數(shù)列；（Ⅱ）求數(shù)列的前項和．解：（1），，，則為等差數(shù)列，，，．（2）兩式相減，得．10．（全國Ⅱ18）（本小題滿分12分）等差數(shù)列中，且成等比數(shù)列，求數(shù)列前20項的和．解：設(shè)數(shù)列的公差為，則，，． 3分由成等比數(shù)列得，即，整理得，解得或． 7分當(dāng)時，． 9分當(dāng)時，，于是． 12分11．(山東20)（本小題滿分12分）將數(shù)列中的所有項按每一行比上一行多一項的規(guī)則排成如下數(shù)表：記表中的第一列數(shù)構(gòu)成的數(shù)列為，．為數(shù)列的前項和，且滿足．（Ⅰ）證明數(shù)列成等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；（Ⅱ）上表中，若從第三行起，第一行中的數(shù)按從左到右的順序均構(gòu)成等比數(shù)列，且公比為同一個正數(shù)．當(dāng)時，求上表中第行所有項的和．（Ⅰ）證明：由已知，當(dāng)時，，又，所以，即，所以，又．所以數(shù)列是首項為1，公差為的等差數(shù)列．由上可知，即．所以當(dāng)時，．因此（Ⅱ）解：設(shè)上表中從第三行起，每行的公比都為，且．因為，所以表中第1行至第12行共含有數(shù)列的前78項，故在表中第13行第三列，因此．又，所以．記表中第行所有項的和為，則．12．（上海21）（本題滿分18分）本題共有3個小題，第1小題滿分４分，第2小題滿分６分，第3小題滿分8分．已知數(shù)列：，，，（是正整數(shù)），與數(shù)列：，，，，（是正整數(shù)）．記．（1）若，求的值；（2）求證：當(dāng)是正整數(shù)時，；（3）已知，且存在正整數(shù)，使得在，，，中有4項為100．求的值，并指出哪4項為100．【解】（1） ………………..2分 ∵ ………………..4分【證明】（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)當(dāng)n=1時，等式成立….6分假設(shè)n=k時等式成立，即那么當(dāng)時，………8分 等式也成立.根據(jù)①和②可以斷定：當(dāng)…...10分 【解】（3） ………..13分 ∵4m+1是奇數(shù)，均為負數(shù)， ∴這些項均不可能取到100.………..15分 此時，為100.…………18分13．（四川21）（本小題滿分12分）設(shè)數(shù)列的前項和為，（Ⅰ）求（Ⅱ）證明：是等比數(shù)列；（Ⅲ）求的通項公式【解】：（Ⅰ）因為，所以由知得①所以（Ⅱ）由題設(shè)和①式知所以是首項為2，公比為2的等比數(shù)列。（Ⅲ）14．(天津20)（本小題滿分12分）已知數(shù)列中，，，且．（Ⅰ）設(shè)，證明是等比數(shù)列；（Ⅱ）求數(shù)列的通項公式；（Ⅲ）若是與的等差中項，求的值，并證明：對任意的，是與的等差中項．（Ⅰ）證明：由題設(shè)，得，即．又，，所以是首項為1，公比為的等比數(shù)列．（Ⅱ）解：由（Ⅰ），，，……．將以上各式相加，得．所以當(dāng)時，上式對顯然成立．（Ⅲ）解：由（Ⅱ），當(dāng)時，顯然不是與的等差中項，故．由可得，由得，①整理得，解得或（舍去）．于是．另一方面，，．由①可得．所以對任意的，是與的等差中項．15．（浙江18）（本題14分）已知數(shù)列的首項，通項（為常數(shù)），且成等差數(shù)列，求：（Ⅰ）的值；（Ⅱ）數(shù)列的前項的和的公式。（Ⅰ）解：由，得，又，，且，得，解得，．（Ⅱ）解：．16．（重慶22）（本小題滿分12分，（Ⅰ）小問6分.（Ⅱ）小問6分）設(shè)各項均為正數(shù)的數(shù)列{an}滿足.（Ⅰ）若求a3,a4,并猜想a2008的值（不需證明）;（Ⅱ）若對n≥2恒成立，求a2的值.解：（I）因a1=2,a2=2-2,故由此有a1=2(-2)0,a2=2(-2)4,a3=2(-2)2,a4=2(-2)3,從而猜想an的通項為,所以a2xn=.(Ⅱ)令xn=log2an.則a2=2x2,故只需求x2的值。設(shè)Sn表示x2的前n項和，則a1a2…an=,由2≤a1a2…an＜4得≤Sn＝x1+x2+…+xn＜2(n≥2).因上式對n=2成立，可得≤x1+x2，又由a1=2,得x1＝1,故x2≥.由于a1=2，(n∈N*),得(n∈N*),即，因此數(shù)列｛xn+1+2xn｝是首項為x2+2,公比為的等比數(shù)列，故xn+1+2xn=(x2+2)(n∈N*).將上式對n求和得Sn+1－x1+2Sn=(x2+2)(1++…+)=(x2+2)(2－)（n≥2）.因Sn＜2，Sn+1＜2（n≥2）且x1=1,故(x2+2)