求離心率的取值范圍策略

求離心率的取值范圍策略圓錐曲線共同的性質(zhì)：圓錐曲線上的點到一個定點F和到一條定直線L（F不在定直線L上）的距離之比是一個常數(shù)e。橢圓的離心率，雙曲線的離心率，拋物線的離心率。求橢圓與雙曲線離心率的范圍是圓錐曲線這一章的重點題型。下面從幾個方面淺談如何確定橢圓、雙曲線離心率e的范圍。利用曲線的范圍，建立不等關(guān)系例1．設(shè)橢圓的左右焦點分別為、，如果橢圓上存在點P，使，求離心率e的取值范圍。解：設(shè)

因為，所以將這個方程與橢圓方程聯(lián)立，消去y，可解得例2．雙曲線在右支上存在與右焦點、左準(zhǔn)線長等距離的點，求離心率e的取值范圍。解：設(shè)在雙曲線右支上，它到右焦點的距離等于它到左準(zhǔn)線的距離，即=二、利用曲線的幾何性質(zhì)數(shù)形結(jié)合，構(gòu)造不等關(guān)系例3．直線L過雙曲線的右焦點，斜率k=2。若L與雙曲線的兩個交點分別在左、右兩支上，求雙曲線離心率的取值范圍。解：如圖1，若，則L與雙曲線只有一個交點；若，則L與雙曲線的兩交點均在右支上，

例4.已知F1、F2分別是雙曲線的左、右焦點，過F1且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A、B兩點。若△ABF2是銳角三角形，求雙曲線的離心率的取值范圍。解：如圖2，因為△ABF2是等腰三角形，所以只要∠AF2B是銳角即可，即∠AF2F1<45°。則三、利用定義及圓錐曲線共同的性質(zhì)，尋求不等關(guān)系例5．已知雙曲線的左右焦點分別為、，點P在雙曲線的右支上，且，求此雙曲線的離心率e的取值范圍。

解：因為P在右支上，所以又

得

所以

又所以例6．已知雙曲線的左、右焦點分別是F1、F2，P是雙曲線右支上一點，P到右準(zhǔn)線的距離為d，若d、|PF2|、|PF1|依次成等比數(shù)列，求雙曲線的離心率的取值范圍。解：由題意得因為，所以，從而

，。又因為P在右支上，所以。

。。四、利用判斷式確定不等關(guān)系例7．例1的解法一：解：由橢圓定義知例8．設(shè)雙曲線與直線相交于不同的點A、B。求雙曲線的離心率e的取值范圍。解：通過以上各例可以看出，在解決“求圓錐曲線離心率的取值范圍”的問題，若能根據(jù)題意建立關(guān)于a、b、c的不等式，即可轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的不等式進行求解。練習(xí)1、設(shè)橢圓（a>b>0）的兩焦點為F1、F2，長軸兩端點為A、B，若橢圓上存在一點Q，使∠AQB=120o，求橢圓離心率e的取值范圍。（<1）.2、設(shè)橢圓（a>b>0）的兩焦點為F1、F2，若橢圓上存在一點Q，使∠F1QF2=120o，求橢圓離心率e的取值范圍。()3、橢圓中心在坐標(biāo)原點，焦點在x軸上，過橢圓左焦點F1的直線交橢圓于P、Q兩點，且OP⊥OQ，求橢圓的離心率e的取值范圍。（）。4、（2000年全國高考題）已知梯形ABCD中，，點E分有向線段所成的比為，雙曲線過C、D、E三點，且以A、B為焦點，當(dāng)時，求雙曲線離心率的取值范圍。2建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)雙曲線方程為，設(shè)其中是梯形的高，由定比分點公式得，把C、E兩點坐標(biāo)分別代入雙曲線方程得，，兩式整理得，從而建立函數(shù)關(guān)系式，由已知得，，解得。5、已知雙曲線上存在P、Q兩點關(guān)于直線對稱，求雙曲線離心率的取值范圍。PQ中點為M