電磁場與電磁波08靜電場2電位

內(nèi)容電位導體對靜電場的影響電位的帕松方程和拉普拉斯方程電位-靜電場的輔助函數(shù)靜電場無旋性（）告訴我們，電場可用一個標量函數(shù)的梯度表示

φ稱為電場的位函數(shù)（電位）。電場為矢量，對應三個標量函數(shù)，而電位φ

為一標量函數(shù)。顯然，計算電位更容易。借助電位求電場的方法，稱為輔助函數(shù)法，廣泛應用于電磁場理論。從靜電場公式不能看出，點電荷的電位為為滿足的任意標量函數(shù)。直接從不能唯一確定電位。實際中，常通過選取電位參考點消除不唯一性。體分布的電位面分布的電位線分布的電位xPzyr0【電壓】兩點間電場的線積分可見，兩點間的電壓等于兩點的電位差，且與積分路徑無關(guān)；如果選取某點Q為電位參考點（電位零點），那么任一場點P的電位就等于該點與參考點之間的電位差：參考點選取具有任意性。實際中，常選擇無限遠、大地表面或接地導體為電位參考點。電壓和電位的物理意義電壓為把單位正的點電荷從一點到另一點電場力做的功電位是把單位正的點電荷從場點移到參考點電場力做的功【電力線】兩點間電場的線積分電力線方程電力線的特點：始于正電荷，終于負電荷；線的疏密對應電場的強弱；垂直于等位面；互不相交。

正電荷

負電荷

點電荷與不接地導體的電場

帶電平行板

問題(1)

電力線是不是點電荷在電場中的運動軌跡（設(shè)此點電荷電場力外不受其它力的作用）？(2)

兩條電力線能否相切？同一條電力線上任意兩點的電位能否相等？(3)

不同電位的兩個等位面能否相交或相切？同一等位面任意兩點的場強是否一定相等？場強在等位面上的切向分量是否一定等于0？電位在帶電面兩側(cè)會不會突變？【例5-1】在真空中xoy平面上有一半徑為a的圓形線電荷，其線密度為，求軸線上離圓心z處點P(0,0,z)的電位和電場強度。解：在圓上取一線元，其上所帶電荷為由于電荷分布的對稱性，該處的電場強度僅有z方向的分量，即應用圓柱坐標系，P點電位為解：取一線元，其上所帶電荷量為，源點到場點P的距離為【例5-2】求電荷密度，半徑為a的均勻帶電圓盤軸線上的電場強度。利用前例中圓形線電荷在軸線上產(chǎn)生的電位的公式，將dr

很小形成的圓環(huán)看成是圓形線電荷，其相應的線電荷密度滿足：解：在圓盤上取一半徑為r、寬為dr的圓環(huán)，由于dr很小，源點到場點P的距離即為，并代入a=r

，則同樣可得整個圓盤上的電荷在P點的電位（z>0）當時，相當與無限大帶電荷平面在其一側(cè)（z>0）附近產(chǎn)生的場：可見，只要z有限，則E是均勻的，且與z無關(guān)。應用圓柱坐標系中的梯度表達式，可得到電場強度為靜電場中的導體導體中帶有可以自由移動的電荷（自由電子、自由離子）；有外靜電場時，導體中的自由電荷受電場力作用移動，積累在導體表面；積累在表面的電荷產(chǎn)生附加電場，在導體內(nèi)與外電場相抵消；達到平衡后，導體內(nèi)電場為零，電荷不再移動，稱為靜電平衡狀態(tài)。【靜電平衡過程】均勻靜電場中導體球的電場－－＋＋靜電場中不接地導體的電場＋＋＋－－－靜電場中接地導體的電場－－－－【導體的靜電特性】靜電平衡后，導體內(nèi)電場強度為0；靜電平衡后，導體是等位體，表面為等位面；靜電平衡后，導體表面的電場強度垂直于導體表面；靜電平衡后，導體的電荷只分布在表面。靜電場中的導體例:真空中有電荷以體密度

均勻分布于一半徑為R的球中，如圖所示。求球內(nèi)、外的電場強度及電位。應用高斯通量定理，有解：（1）求電場強度。以球心為球坐標系原點，因為

分布僅與球坐標系變量r有關(guān)，故電場強度也僅是r的函數(shù)，且方向應是ar方向。選某r半徑球面為閉合面S（也稱高斯面），則在此球面上，如果用球內(nèi)全部電荷Q來表示，以代入可得球內(nèi)任意點的電位為當r=R時為球面電位（2）求電位。選無窮遠處為電位參考點，則球外任一點的電位為例：兩無限大平行板電極，板間距離為d，電壓為U0

，并充滿密度為

0x/d的體電荷。求板間電場強度和極板面上的電荷面密度。解因為

(x)=

0x/d

，僅是x的函數(shù)，故可設(shè)電場強度為E=axE(x),也僅是x的函數(shù)。再設(shè)x=0處電位為0，極板上面電荷密度為

s(0)；在x=d處，電位為U0，極板面電荷密度為

s(d)。顯然，由于兩極板面無限大，板間電場為均勻場，故

s(0)

、

s(d)

均為常數(shù)。作一柱形閉合面，底面積為

S，下底在x=0的極板內(nèi)，上底在x處，側(cè)柱面與ax平行。在此閉合面上應用高斯通量定理，有由：又因為：即：若將閉面S在x處的上底面放到x>d的極板內(nèi)再用高斯通量定理，則有可得即：代入E(x)表達式，有故：電位的帕松方程和拉普拉斯方程帕松方程和拉普拉斯方程是電位滿足的微分方程。帕松方程若無源，則演化為拉普拉斯方程Possion方程Laplace方程【拉普拉斯算子】直角坐標系圓柱坐標系球坐標系例：已知導體球的電位為（無窮遠處的電位為0)U，球的半徑為a，求球外的電位函數(shù)。

解球外的電位滿足拉普拉斯方程，且電場具有球面對稱性，

【應用