2023年研究生入學(xué)考試數(shù)學(xué)三歷年高頻考題帶答案難題附詳解

2023年研究生入學(xué)考試數(shù)學(xué)三歷年高頻考題帶答案難題附詳解（圖片大小可自由調(diào)整）第1卷一.歷年考點試題黑鉆版(共50題)1.設(shè)有4階方陣A滿足條件|3E+A|=0，AAT=2E，|A|＜0，其中E是4階單位陣．求方陣A的伴隨矩陣A*的一個特征值．2.設(shè)的收斂半徑為R=R0＞0，求證冪級數(shù)的收斂域為(-∞，+∞)，3.4.5.6.設(shè)試確定常數(shù)a，b，c，使f(x)在x=0點處連續(xù)且可導(dǎo)．7.冪級數(shù)的收斂域為______．8.設(shè)函數(shù)f(x)，g(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)二階可導(dǎo)且存在相等的最大值，又f(a)=g(a)，f(b)=g(b)，證明：

(Ⅰ)存在η∈(a，b)，使得f(η)=g(η)；

(Ⅱ)存在ξ∈(a，b)，使得f"(ξ)=g"(ξ)。9.設(shè)則級數(shù)的收斂半徑為______．

A．1

B．

C．

D．10.已知f(x)，g(x)連續(xù)可導(dǎo)，且f'(x)=g(x)，g'(x)=f(x)+φ(x)，其中φ(x)為某已知連續(xù)函數(shù)，g(x)滿足微分方程g'(x)-xg(x)=cosx+φ(x)，求不定積分。11.12.設(shè)α，β為四維非零的正交向量，且A=αβT，則A的線性無關(guān)的特征向量個數(shù)為

A.1個B.2個C.3個D.4個13.14.設(shè)X1，X2，…，Xn是總體N(0，σ2)的樣本，則

可以作為σ2的無偏估計量．

(A)

(B)

(C)

(D)15.

16.設(shè)函數(shù)f(x)在[a，b]上連續(xù)，且f(x)單調(diào)增加，證明在(a，b)內(nèi)單調(diào)增加．17.有20位旅客乘民航的送客車自機(jī)場開出，旅客有10個車站可以下車，如到達(dá)一個車站沒有旅客下車就不停車，以X表示停車的次數(shù)，求EX(設(shè)每位旅客在各個車站下車是等可能的，并設(shè)各旅客是否下車是相互獨立的)．18.設(shè)，則a=______，b=______，c=______．19.20.設(shè)隨機(jī)變量則______A.Y～χ2(n)B.Y～χ2(n-1)C.Y～F(n，1)D.Y～F(1，n)21.函數(shù)f(x)=(x2+x-2)|sin2πx|在區(qū)間上不可導(dǎo)點的個數(shù)是______A.3B.2C.1D.022.設(shè)其中f具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，g具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，求23.設(shè)隨機(jī)變量X服從(0，2)上的均勻分布，則隨機(jī)變量Y=X2在(0，4)內(nèi)的概率密度fY(y)=______。24.設(shè)函數(shù)則f(x)在x=0處______A.極限不存在．B.極限存在但不連續(xù)．C.連續(xù)但不可導(dǎo)．D.可導(dǎo)．25.

26.已知α1=(1，2，-1)T，α2=(1，-3，2)T，α3=(4，11，-6)T，若Aα1=(0，2)T，Aα2=(5，2)T，Aα3=(-3，7)T，則A=______。27.設(shè)相互獨立的兩隨機(jī)變量X，Y均服從E(1)分布，則P{1＜min(X，Y)≤2}的值為______A.e-1-e-2．B.1-e-1．C.1-e-2．D.e-2-e-4．28.設(shè)總體X的概率密度(-∞＜x＜+∞)，X1，X2，…，Xn為總體X的簡單隨機(jī)樣本，其樣本方差為S2，則E(S2)=______。29.30.函數(shù)y=f(x)具有下列特征：

f(0)=1；f'(0)=0，當(dāng)x≠0時，f'(x)＞0；則其圖形如圖所示______．

A．

B．

C．

D．31.設(shè)f(x)在R上連續(xù)，且f(x)≠0，φ(x)在R上有定義，且有間斷點，則下列陳述中正確的個數(shù)是______

①φ[f(x)]必有間斷點．

②[φ(x)]2必有間斷點．

③f[φ(x)]沒有間斷點．A.0．B.1．C.2．D.3．32.33.34.設(shè)某種商品的單價為p時，售出的商品數(shù)量Q可以表示成

其中a，b，c均為正數(shù)，且a＞bC．

(1)求p在何范圍變化時，使相應(yīng)銷售額增加或減少?

(2)要使銷售額最大，商品單價p應(yīng)取何值?最大銷售額是多少?35.下列敘述正確的是______．

A．

B．

C．

D．36.設(shè)α＞0，則級數(shù)______A.絕對收斂B.條件收斂C.發(fā)散D.斂散性與α有關(guān)37.設(shè)隨機(jī)變量X與Y的概率分布相同，X的概率分布為且X與Y的相關(guān)系數(shù)

(Ⅰ)求(X，Y)的概率分布；

(Ⅱ)求P{X+Y≤1}。38.設(shè)A=，B=P1=，P2=，則必有______．A.B=P1P2AB.B=P2P1AC.B=AP1P2D.B=AP2P139.設(shè)f(x)連續(xù)且關(guān)于x=T對稱，a＜T＜b．證明：

40.41.42.設(shè)則______

A．

B．

C．

D．43.設(shè)則f(x)在x=0處A.極限不存在．B.極限存在但不連續(xù)．C.連續(xù)但不可導(dǎo)．D.可導(dǎo)．44.45.設(shè)A為n階矩陣，且A2-2A-8E=O．證明：r(4E-A)+r(2E+A)=n．46.設(shè)求An．47.48.設(shè)隨機(jī)變量X在(1，6)上服從均勻分布，則方程x2+Xx+1=0有實根的概率為______．49.50.設(shè)函數(shù)連續(xù)，且，則______。第1卷參考答案一.歷年考點試題黑鉆版1.參考答案：解：由為A的特征值．由AAT=2E，則A*的一個特征值為2.參考答案：[分析與證明]即證，冪級數(shù)均收斂．任取|x0|＜R0，x0≠0，考察的關(guān)系并利用比較判別法．

注意，給定的x，．由有界，即≤M(n=0，1，2，…)，M＞0為某常數(shù)，于是

由冪級數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)絕對收斂收斂．

由比較原理收斂．3.參考答案：4.參考答案：5.參考答案：[解]

6.參考答案：【解】因為

又f(0)=1，所以即a=2，及c為任意值時，f(x)在x=0處連續(xù)．又因為

令可得時，f'(0)存在．

當(dāng)f(x)在x=0處連續(xù)且可導(dǎo)．7.參考答案：(-1，1)[解析]當(dāng)x=0時，級數(shù)收斂；

當(dāng)x≠0時，

當(dāng)|x|＜1時，冪級數(shù)收斂，且為絕對收斂；而當(dāng)x=±1時，，原級數(shù)發(fā)散，∴收斂域為(-1，1)．8.參考答案：解：(Ⅰ)設(shè)f(x)，g(x)在(a，b)內(nèi)某點c(c∈(a，b))同時取得最大值，則f(c)=g(c)。此時的c就是所求點η，使得f(η)=g(η)。

若兩個函數(shù)取得最大值的點不同，則有f(c)=maxf(x)，g(d)=maxg(x)，故有

f(c)-g(c)＞0，g(d)-f(d)＜0，

由介值定理，在內(nèi)肯定存在一點η使f(η)-g(η)=0，即f(η)=g(η)。

(Ⅱ)設(shè)F(x)=f(x)-g(x)，由題設(shè)與(Ⅰ)的結(jié)論知，F(xiàn)(x)在[a，b]上連續(xù)，(a，b)內(nèi)二次可導(dǎo)，且存在η∈(a，b)，使F(a)=F(η)=F(b)=0，分別在[a，η]與[η，b]上對F(x)應(yīng)用羅爾定理可得，存在α∈(α，η)，β∈(η，b)，使F'(α)=F'(β)=0，所以F'(x)在[α，β]上滿足羅爾定理的條件，因此根據(jù)羅爾定理知，存在使F"(ξ)=0，即f"(ξ)=g"(ξ)。[解析]如果要證明函數(shù)存在一點的二階導(dǎo)數(shù)等于零，一般的思路是證明函數(shù)兩次滿足羅爾定理。9.參考答案：D[解析]

10.參考答案：

又由

f'(x)=g(x)，g'(x)=f(x)+φ(x)，

于是有[解析]從不定積分的形式，可知應(yīng)利用分部積分法。

[評注]本題不必求解微分方程g'(x)-xg(x)=cosx+φ(x)11.參考答案：12.參考答案：C[解析]令A(yù)X=λX，則A2X=λ2X，因為α,β正交，所以αTβ=βTα=0，A2=αβT·αβT=O，于是λ2X=0，故λ1=λ2=λ3=λ4=0，因為α,β為非零向量，所以A為非零矩陣，故r(A)≥1；又r(A)=r(αβT)≤r(a)=1，所以r(A)=1.

因為4-r(0E-A)=4-r(A)=3，所以A的線性無關(guān)的特征向量是3個，選(C)．13.參考答案：A14.參考答案：A本題以概率統(tǒng)計知識為載體，買質(zhì)考查數(shù)字特征的計算，屬于基礎(chǔ)題．

，故，答案選擇(A)．15.參考答案：A16.參考答案：

因為(x-a)2＞0且f(x)單調(diào)上升，當(dāng)x＞t時，f(x)-f(t)≥0，

所以F'(x)≥0，故F(x)在(a，b)內(nèi)單調(diào)增加．17.參考答案：【解】引入隨機(jī)變量

則X=X1+X2+…+X10，由

知

進(jìn)而18.參考答案：a≠1；b=0；c=0或a=1；b=0；c=-2[解析]由于且存在，則一定有，那么b=0．

當(dāng)a≠1時，．此時c=0．

當(dāng)a=1時，．此時c=-2．19.參考答案：20.參考答案：C[解析]因X～t(n)，故根據(jù)t分布定義知其中U～N(0，1)，V～χ2(n)。于是故選C。21.參考答案：B[解析]設(shè)g(x)=x2+x-2，φ(x)=|sin2πx|，顯然g(x)處處可導(dǎo)，φ(x)處處連續(xù)，有不可導(dǎo)點。形如f(x)=g(x)|φ(x)|，其中g(shù)(x)在x0的某鄰域內(nèi)連續(xù)，φ(x)在x=x0處可導(dǎo)，則f(x)在x0處可導(dǎo)根據(jù)上述結(jié)論，只須驗證φ(x)在不可導(dǎo)點處g(x)是否為零。

φ(x)=|sin2πx|的圖形如圖所示，在內(nèi)只有不可導(dǎo)點其余均可導(dǎo)。

因為所以f(x)=g(x)φ(x)在處不可導(dǎo)，在x=1處可導(dǎo)，其余點均可導(dǎo)，故選B。22.參考答案：解：根據(jù)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)公式，有

于是

23.參考答案：[解析]首先求出在(0，4)上Y的分布函數(shù)FY(y)。在0＜y＜4時，有

故24.參考答案：C[解析]顯然f(0)=0，對于極限，由于當(dāng)x→0時，是無窮小量，為有界變量，故由無窮小量的運算性質(zhì)可知，，即．因此f(x)在x=0處連續(xù)，排除A、B．

又因為不存在，所以f(x)在x=0處不可導(dǎo)，故選C．25.參考答案：

26.參考答案：[解析]用分塊矩陣把已知條件組合起來，有

因為|α1，α2，α3|=所以矩陣(α1，α2，α3)可逆，于是

27.參考答案：D[解析]P{1＜min(X，Y)≤2}=P{min(X，Y)＞1}-P{min(X，Y)＞2}

=P{X＞1，Y＞1}-P{X＞2，Y＞2}

=P{X＞1}P{Y＞1}-P{X＞2}P{Y＞2}

=e-1·e-1-e-2e·e-2=e-2-e-4．28.參考答案：2[解析]無偏估計

[答案解析]依題意，可得E(X)=

因為樣本方差S2是總體方差的無偏估計，所以E(S2)=D(X)=2。29.參考答案：A30.參考答案：B31.參考答案：B[解析]①錯誤．舉例：設(shè)f(x)=ex，則φ[f(x)]=1在R上處處連續(xù)．

②錯誤．舉例：設(shè)則[φ(x)]2=9在R上處處連續(xù)．

③正確．因為f(x)在R上連續(xù)，而φ(x)的取值必定在R上．

因此選B．32.參考答案：33.參考答案：34.參考答案：設(shè)售出商品的銷售額為R，則

令R'=0，得

當(dāng)時，有R'＞0，所以隨單價P的增加，相應(yīng)的銷售額也增加．

當(dāng)，有R'＜0，所以隨單價P的增加，相應(yīng)的銷售額將減少．

(2)由(1)可知，當(dāng)時，銷售額R取得最大值，最大銷售額為

[考點提示]由經(jīng)濟(jì)意義知，銷售額為R=pQ．銷售額的增減性可由R'(p)的符號來確定．35.參考答案：C[解析]

36.參考答案：C[解析]收斂，故由比較判別法的極限形式知，發(fā)散，正確答案為C．37.參考答案：解：(Ⅰ)由已知

得到又由即所以由得且有E(XY)=1·P{X=1，Y=1}+0·{P{X=0，Y=1}+0·P{X=0，Y=0}+0·P{X=1，Y=0}}=P{X=1，Y=1}=。

再利用聯(lián)合分布與邊緣分布之間的關(guān)系

故(X，Y)的聯(lián)合概率分布為

(Ⅱ)

[解析]求解離散型隨機(jī)變量相關(guān)問題的關(guān)鍵往往在于計算其分布律。一旦有了聯(lián)合分布律，與之相關(guān)的各類計算都會很容易完成。離散型隨機(jī)變量的分布律由兩部分組成：一是取值，二是概率。即對離散型隨機(jī)變量，不管是一維的還是二維的，要計算它的分布，只需弄清楚兩個問題：首先，它的可能取值有哪些；其次，它取每一個值的概率分別是多少。38.參考答案：D[解析]利用初等變換與初等矩陣關(guān)系求之．

AP2表示將A的第3列乘以1加到第2列得到

AP2=

(AP2)P1表示將AP2的第1列與第3列對調(diào)得到

(AP2)P1=39.參考答案：[證明]由f(x)關(guān)于x=T對稱得f(T+x)=f(T-x)，

40.參考答案：041.參考答案：B42.參考答案：A[解析]將x視為常數(shù)，屬基本計算．43.參考答案：C[解析](A)、(B)、(C)、(D)逐項考察：．

無論x→0-還是x→0+，均有．

而f(0)=0，所以f(x)在x=0點連續(xù)，故不選(A)，也不選(B)．考察f(x)在x=0處的可導(dǎo)性．由于f(x)是分段函數(shù)，在分界處的導(dǎo)數(shù)應(yīng)按定義討論之．

由，從而知上述極限不存在，于是f'(0)不存在．選(C)．44