高三數(shù)學(xué)第1篇

重點(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn)：①映射與函數(shù)的概念．②函數(shù)的定義域、值域及求法．③分段函數(shù)．難點(diǎn)：①映射定義．②復(fù)合函數(shù)及分段函數(shù)．知識(shí)歸納1．函數(shù)(1)傳統(tǒng)定義：如果在某個(gè)變化過程中有兩個(gè)變量x、y，對(duì)于x在某個(gè)范圍內(nèi)的每一個(gè)確定的值，按照某個(gè)對(duì)應(yīng)法則f，y都有惟一確定的值和它對(duì)應(yīng)，那么y就是x的函數(shù)，記為y＝f(x)．(2)近代定義：函數(shù)是由一個(gè)非空數(shù)集到另一個(gè)非空數(shù)集的映射．(3)函數(shù)的表示法有：解析法、列表法、圖象法．理解函數(shù)概念還必須注意以下幾點(diǎn)：①函數(shù)是一種特殊的映射，集合A、B都是非空的數(shù)的集合．②確定函數(shù)的映射是從定義域A到B上的映射，允許A中的不同元素在B中有相同的象，但不允許B中的不同元素在A中有相同的原象．③兩個(gè)函數(shù)只要定義域、對(duì)應(yīng)法則分別相同，這兩個(gè)函數(shù)就相同．④函數(shù)的定義域是自變量x的取值范圍，是函數(shù)的一個(gè)重要組成部分．同一個(gè)對(duì)應(yīng)法則，由于定義域不相同，函數(shù)的圖象與性質(zhì)一般也不相同．⑤函數(shù)的圖象可以是一條或幾條平滑的曲線，也可以是一些離散的點(diǎn)，一些線段等．⑥f(a)的含義與f(x)的含義不同．f(a)表示自變量x＝a時(shí)所得的函數(shù)值，它是一個(gè)常量；f(x)是x的函數(shù)，通常它是一個(gè)變量．2．映射(1)映射的概念：設(shè)A、B是兩個(gè)集合，如果按照某種對(duì)應(yīng)法則f，對(duì)于集合A中的任何一個(gè)元素，在集合B中都有惟一的元素與它對(duì)應(yīng)，這樣的對(duì)應(yīng)關(guān)系叫做從集合A到集合B的映射，記作f：A→B.(2)象和原象：給定一個(gè)集合A到B的映射，且a∈A，b∈B，如果元素a和元素b對(duì)應(yīng)，那么我們把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象

3．函數(shù)的定義域及其求法(1)函數(shù)的定義域是指使函數(shù)有意義的自變量的取值范圍．(2)根據(jù)函數(shù)解析式求函數(shù)定義域的依據(jù)有：①分式的分母不得為0；②偶次方根的被開方數(shù)不得小于0；③對(duì)數(shù)函數(shù)的真數(shù)必須大于0；④指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的底數(shù)必須大于0且不等于1；⑤三角函數(shù)中的正切函數(shù)y＝tanx余切函數(shù)y＝cotx(x∈R，x≠kπ，k∈Z)等．

(3)已知f(x)的定義域是[a，b]，求f[g(x)]的定義域，是指滿足a≤g(x)≤b的x的取值范圍；已知f[g(x)]的定義域是[a，b]指的是x∈[a，b]．求f(x)的定義域，是指在x∈[a，b]的條件下，求g(x)的值域．(4)實(shí)際問題或幾何問題給出的函數(shù)的定義域：這類問題除要考慮函數(shù)解析式有意義外，還應(yīng)考慮使實(shí)際問題或幾何問題有意義．(5)如果函數(shù)是由幾個(gè)部分的數(shù)學(xué)式子構(gòu)成的，那么函數(shù)的定義域是使各部分式子都有意義的實(shí)數(shù)集合．(6)求定義域的一般步驟：①寫出函數(shù)式有意義的不等式(組)；②解不等式(組)；③寫出函數(shù)的定義域．4．函數(shù)的值域(1)函數(shù)值域的定義在函數(shù)y＝f(x)中，與自變量x的值對(duì)應(yīng)的y的值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合叫做函數(shù)的值域．(2)確定函數(shù)值域的原則①當(dāng)函數(shù)y＝f(x)用表格給出時(shí)，函數(shù)的值域是指表格中y的值的集合．②當(dāng)函數(shù)y＝f(x)的圖象給出時(shí)，函數(shù)的值域是指圖象在y軸上的投影對(duì)應(yīng)的y的值的集合．③當(dāng)函數(shù)y＝f(x)用解析式給出時(shí)，函數(shù)的值域由函數(shù)的定義域及其對(duì)應(yīng)法則唯一確定．④當(dāng)函數(shù)由實(shí)際問題給出時(shí)，函數(shù)的值域應(yīng)結(jié)合問題的實(shí)際意義確定．(3)基本初等函數(shù)的值域①y＝kx＋b(k≠0)的值域?yàn)镽.②y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的值域是當(dāng)a>0時(shí)，值域?yàn)?；③y＝(k≠0)的值域是{y|y∈R且y≠0}．④y＝ax(a>0，且a≠1)的值域是(0，＋∞)．⑤y＝logax(a>0，且a≠1)的值域是R.⑥y＝sinx，y＝cosx，y＝tanx的值域分別為[－1,1]，[－1，1]，R.(4)求函數(shù)值域的常見方法①直接法——從自變量x的范圍出發(fā)，通過觀察和代數(shù)運(yùn)算推出y＝f(x)的取值范圍；②配方法——配方法是求“二次型函數(shù)”值域的基本方法，形如F(x)＝af

2(x)＋bf(x)＋c的函數(shù)的值域問題，均可使用配方法．③反函數(shù)法——利用函數(shù)和它的反函數(shù)的定義域與值域的互逆關(guān)系，通過求反函數(shù)的定義域，得到原函數(shù)的值域．形如y＝(a≠0)的函數(shù)的值域，均可使用反函數(shù)法．此外，這種類型的函數(shù)值域也可使用“分離常數(shù)法”求解．④判別式法——把函數(shù)轉(zhuǎn)化成關(guān)于x的二次方程F(x，y)＝0，通過方程有實(shí)根，判別式Δ≥0，從而求得原函數(shù)的值域．形如y＝(a1，a2不同時(shí)為零)的函數(shù)的值域常用此法求解．前提條件：1°函數(shù)的定義域應(yīng)為R；2°分子、分母沒有公因式．⑤換元法——運(yùn)用代數(shù)或三角代換，將所給函數(shù)化成值域容易確定的另一函數(shù)，從而求得原函數(shù)的值域．例如：形如y＝ax＋b±(a、b、c、d均為常數(shù)，且a≠0)的函數(shù)常用此法求解．⑥不等式法——利用基本不等式：a＋b≥2(a、b∈R＋)求函數(shù)的值域．用不等式法求值域時(shí)，要注意均值不等式的使用條件“一正、二定、三相等”．⑦單調(diào)性法——根據(jù)函數(shù)在定義域(或定義域的某個(gè)子集)上的單調(diào)性求出函數(shù)的值域．⑧求導(dǎo)法——當(dāng)一個(gè)函數(shù)在定義域上可導(dǎo)時(shí)，可據(jù)其導(dǎo)數(shù)求最值；⑨數(shù)形結(jié)合法——當(dāng)一個(gè)函數(shù)圖象可作時(shí)，通過圖象可求其值域和最值；或利用函數(shù)所表示的幾何意義，借助于幾何方法求出函數(shù)的值域．5．求函數(shù)的解析式一般有四種情況①根據(jù)某實(shí)際問題需建立一種函數(shù)關(guān)系式，這種情況需引入合適的變量，根據(jù)數(shù)學(xué)的有關(guān)知識(shí)找出函數(shù)關(guān)系式；②有時(shí)題中給出函數(shù)形式，求函數(shù)的解析式，可用待定系數(shù)法，如函數(shù)是二次函數(shù)，可設(shè)為f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，其中a、b、c是待定系數(shù)，根據(jù)題設(shè)條件，列出方程組，解出a、b、c即可；③換元法求解析式，f[h(x)]＝g(x)求f(x)的問題，往往可設(shè)h(x)＝t，從中解出x，代入g(x)進(jìn)行換元來(lái)解；④消元法，已知f(x)滿足某個(gè)等式，這個(gè)等式除f(x)是未知量外，還出現(xiàn)其它未知量，如f(－x)、f等，必須根據(jù)已知等式再構(gòu)造其它等式組成方程組，通過解方程組求出f(x)．誤區(qū)警示1．映射的定義是有方向性的，即從集合A到B與集合B到A的映射是兩個(gè)不同的映射．2．判斷兩個(gè)函數(shù)是否為同一個(gè)函數(shù)，緊扣函數(shù)的兩個(gè)要素是解題關(guān)鍵．只有定義域、對(duì)應(yīng)法則相同的函數(shù)才是同一函數(shù)．3．復(fù)合函數(shù)求定義域時(shí)，常因不能深刻理解函數(shù)定義域的意義而致誤，常見的是把已知f(x)的定義域求f(g(x))的定義域與已知f[g(x)]的定義域求f(x)的定義域混淆．4．解題過程中忽視定義域的限制作用致誤5．忽視實(shí)際問題的實(shí)際意義的限制作用．6．換元法求解析式或函數(shù)值域，換元后易漏掉考慮新元的取值范圍．7．求函數(shù)值域時(shí)，不但要重視對(duì)應(yīng)法則的作用，而且要特別注意定義域的制約作用．如已知f(x)＝log3x

x∈[1,9]，求函數(shù)y＝f(x2)＋f

2(x)的值域時(shí)，函數(shù)y＝f(x2)＋f

2(x)的定義域不再是x∈[1,9]而是x∈[1,3]8．判別式法求值域?qū)Χ它c(diǎn)要進(jìn)行檢驗(yàn)．

9．利用均值不等式時(shí)求值域時(shí)，要注意必須滿足已知條件和不等式一端是常數(shù)，等號(hào)能成立，還要注意符號(hào)．10．熟練掌握求函數(shù)值域的幾種常用方法，要注意這些方法分別適用于哪些類型的函數(shù)．如求函數(shù)y＝x＋與y＝x＋的值域，雖然形式上接近但采用的方法卻不同一、定義法用數(shù)學(xué)概念的基本定義解決相關(guān)問題的方法，稱之為定義法．利用定義解題的關(guān)鍵是把握住定義的本質(zhì)特征．二、求函數(shù)解析式常用的方法1．配湊法當(dāng)已知函數(shù)表達(dá)式比較簡(jiǎn)單時(shí)，可直接應(yīng)用此法．即根據(jù)具體解析式湊出復(fù)合變量的形式，從而求出解析式．[例1]

已知f(2x＋1)＝4x2－6x＋5，求f(x)．解析：∵f(2x＋1)＝4x2－6x＋5＝(2x＋1)2－10x＋4＝(2x＋1)2－5(2x＋1)＋9，∴f(x)＝x2－5x＋9.2．換元法[例2]

已知f(1－cosx)＝sin2x，求f(x)．解析：令t＝1－cosx，則cosx＝1－t∴sin2x＝1－cos2x＝1－(1－t)2＝－t2＋2t∴f(x)＝－x2＋2x但t＝1－cosx∈[0,2]∴f(x)＝－x2＋2x

x∈[0,2]．

總結(jié)評(píng)述：已知f(g(x))是關(guān)于x的函數(shù)，即f[g(x)]＝F(x)，求f(x)的解析式，通常令g(x)＝t，由此能解出x＝φ(t)．將x＝φ(t)代入f[g(x)]＝F(x)中，求得f(t)的解析式，再用x替換t，便得f(x)的解析式．注意，換元后要確定新元t的取值范圍．3．待定系數(shù)法若已知函數(shù)的結(jié)構(gòu)形式，則可用此法．[例3]

設(shè)二次函數(shù)f(x)滿足f(x＋2)＝f(2－x)，且f(x)＝0的兩實(shí)根平方和為10，圖象過點(diǎn)(0,3)，求f(x)的解析式．解析：設(shè)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)由f(x＋2)＝f(2－x)知，該函數(shù)的圖象關(guān)于直線x＝2對(duì)稱∴＝2，即b＝－4a①又圖象過點(diǎn)(0,3)，∴c＝3②由方程f(x)＝0的兩實(shí)根平方和為10，得(－)2－＝10，即b2－2ac＝10a2③由①、②、③得a＝1，b＝－4，c＝3(a＝0應(yīng)舍去)∴f(x)＝x2－4x＋34．消元法已知f(x)滿足某個(gè)等式，這個(gè)等式除f(x)是未知量外，還出現(xiàn)其他未知量，如f(－x)、f等，必須根據(jù)已知等式再構(gòu)造其他等式組成方程組，通過解方程組求出f(x)．[例4]已知函數(shù)f(x)滿足條件：f(x)＋2f()＝x，則f(x)＝________.分析：由于難以判斷f(x)是何種類型的函數(shù)，故不可能先設(shè)出f(x)的表達(dá)式，但如果把條件中的x換成，即得f()＋2f(x)＝，把f(x)、f()作為一個(gè)整體量，實(shí)際上得到了這兩個(gè)量的方程組．解析：用代換條件方程中的x得f()＋2f(x)＝，把它與原條件式聯(lián)立．點(diǎn)評(píng)：充分抓住已知條件式的結(jié)構(gòu)特征，運(yùn)用x取值的任意性獲得②式是解決此題的關(guān)鍵．若已知2f(x)－f(－x)＝2x－1，你會(huì)求f(x)嗎？5．賦值法此類解法的依據(jù)是：如果一個(gè)函數(shù)關(guān)系式中的變量對(duì)某個(gè)范圍內(nèi)的一切值都成立，則對(duì)該范圍內(nèi)的某些特殊值必成立，結(jié)合題設(shè)條件的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，給變量適當(dāng)取值，從而使問題簡(jiǎn)單化、具體化，從而獲解．[例5]

已知f(0)＝1，f(a－b)＝f(a)－b(2a－b＋1)，求f(x)．解析：令a＝0，則f(－b)＝f(0)－b(－b＋1)＝1＋b(b－1)＝b2－b＋1再令－b＝x，即得：f(x)＝x2＋x＋1.點(diǎn)評(píng)：賦值法的關(guān)鍵環(huán)節(jié)是“賦值”，賦值的方法靈活多樣，既要照顧到已知條件的運(yùn)用和待求結(jié)論的產(chǎn)生，又要考慮所給關(guān)系式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)．如本題另解：令b＝a，則1＝f(0)＝f(a)－a(2a－a＋1)＝f(a)－a(a＋1)＝f(a)－a2－a，∴f(a)＝a2＋a＋1，∴f(x)＝x2＋x＋1.[例6]

求函數(shù)y＝的值域．分析：本題中函數(shù)的定義域?yàn)镽，且分子、分母中至少有一個(gè)為關(guān)于x的二次式，所以可用判別式法；但注意到分子為x的一次式，可在x≠0時(shí)，分子、分母同除以x，用均值定理去求解；導(dǎo)數(shù)法更具有一般性．解析：解法1：(判別式法)∵x∈R，y＝，去分母，并整理得yx2－3x＋4y＝0.當(dāng)y＝0時(shí)，x＝0；當(dāng)y≠0時(shí)，由Δ≥0?－≤y≤，且y≠0.∴所求函數(shù)的值域?yàn)?

點(diǎn)評(píng)：把函數(shù)轉(zhuǎn)化成關(guān)于x的二次方程F(x，y)＝0，通過方程有實(shí)根，判別式Δ≥0，從而求得原函數(shù)的值域，這種方法叫判別式法．形如y＝(a1，a2不同時(shí)為0)的函數(shù)的值域常用此法．此類問題分為兩大類：一類為分子和分母沒有公因式一般可使用判別式Δ≥0解得，但要注意判別式Δ中二次項(xiàng)系數(shù)為零和不為零兩種情況；另一類為分子和分母中有公因式，約去因式回到②方法去解決．

令y′＝0，得x＝±2，y′與y的變化見下表：由表中可得y極?。統(tǒng)|x＝－2＝－，y極大＝y(tǒng)|x＝2＝，這也是最大與最小值，故所求函數(shù)的值域?yàn)?[例1]判斷下列各組中兩個(gè)函數(shù)是否為同一函數(shù)．(1)f(x)＝x2＋2x－1，g(t)＝t2＋2t－1；分析：判斷兩函數(shù)y＝f(x)和y＝g(x)是否為同一函數(shù)的依據(jù)為：定義域、對(duì)應(yīng)法則是否完全相同，若有一方面不同，則它們不是同一函數(shù)．解析：(1)函數(shù)的定義域、對(duì)應(yīng)法則均相同，所以是同一函數(shù)．(2)y＝＝x＋2，但x≠2，故兩函數(shù)定義域不同，所以它們不是同一函數(shù)．(3)函數(shù)f(x)＝·

的定義域?yàn)閧x|x≥0}．而g(x)＝的定義域?yàn)閧x|x≤－2或x≥0}，它們的定義域不同，所以它們不是同一函數(shù)．(4)去掉絕對(duì)值號(hào)可知f(x)與g(x)是同一函數(shù)．

總結(jié)評(píng)述：(1)第(1)小題易錯(cuò)判斷為它們不是同一函數(shù)，錯(cuò)誤的原因在于沒能真正理解函數(shù)的概念．實(shí)際上，在函數(shù)的定義域與對(duì)應(yīng)法則f不變的條件下，自變量用何字母表示，并不影響函數(shù)關(guān)系的確定．(2)函數(shù)的對(duì)應(yīng)法則可以簡(jiǎn)化，例如f(x)＝x與g(x)＝，單從表面上看它們的對(duì)應(yīng)法則表達(dá)式不同，但實(shí)質(zhì)上是相同的．(3)當(dāng)一個(gè)函數(shù)的對(duì)應(yīng)法則和定義域確定后，其值域隨之得到確定，故函數(shù)的三要素(定義域、值域、對(duì)應(yīng)法則)可簡(jiǎn)化為兩要素(定義域、對(duì)應(yīng)法則)，所以兩個(gè)函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)定義域和對(duì)應(yīng)法則相同時(shí)為同一函數(shù)．下列各對(duì)函數(shù)中，相同的是 (

)解析：A中，f(x)的定義域?yàn)镽，g(x)的定義域?yàn)閤≥0，由于定義域不同，故排除A；B中，雖然定義域、值域均相同，但對(duì)應(yīng)法則不同，例f()≠g()，故B也排除；C中值域相同，但定義域未必相同，且對(duì)應(yīng)法則不同，g(x)的圖象可由f(x)圖象向左平移一個(gè)單位得到，因此f(x)與g(x)的圖象不重合，故C也排除；D中將f(x)恒等變形后恰為g(x)，且定義域也相同，故選D.答案：D[例2]

(文)設(shè)M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，下面給出的4個(gè)圖形中能表示定義域M到值域N的函數(shù)關(guān)系的是 (

)解析：圖1中定義域?yàn)閇0,1]與M不同；圖3中值域[0,3]與N不同；圖4中x＝2時(shí)，y＝2或y＝0，不是函數(shù)，只有圖2能表示函數(shù)圖象．故選B.

總結(jié)評(píng)述：欲判斷對(duì)應(yīng)f：A→B是否是從A到B的映射，必須做兩點(diǎn)工作：①明確集合A、B中的元素．②根據(jù)對(duì)應(yīng)判斷A中的每個(gè)元素是否在B中能找到唯一確定的對(duì)應(yīng)元素．(理)函數(shù)f：{1,2,3}→{1,2,3}滿足f(f(x))＝f(x)，則這樣的函數(shù)個(gè)數(shù)共有 (

)A．1個(gè)B．4個(gè)C．6個(gè) D．10個(gè)解析：當(dāng)f(x)＝1，f(x)＝2，f(x)＝3，f(x)＝x時(shí)，滿足條件f(f(x))＝f(x)，這樣的函數(shù)有4個(gè)．當(dāng)f(1)＝1，f(2)＝1時(shí)，必有f(3)＝3，假若f(3)＝2，則f(f(3))＝f(2)＝1≠3，這樣的情況共有CC＝6種．∴共有10種，故選D.如圖所示，①，②，③三個(gè)圖象各表示兩個(gè)變量x，y的對(duì)應(yīng)關(guān)系，則有 (

)A．都表示映射，且①②③表示y為x的函數(shù)B．都表示y是x的函數(shù)C．僅②③表示y是x的函數(shù)D．都不能表示y是x的函數(shù)解析：據(jù)映射及函數(shù)的定義，對(duì)于x的每一個(gè)確定的值，y都有唯一確定的值與之對(duì)應(yīng)．在3個(gè)圖象中，①不能表示映射，也不能表示函數(shù)；②③是映射，也是函數(shù)．答案：C解析：∵1<log23<2，∴3<log23＋2<4.∴f(log23)＝f(log23＋1)＝f(log23＋2)＝f(log212)＝＝

故選A.解析：答案：B

A．(－∞，－2]∪[0,10]B．(－∞，－2]∪[0,1]C．(－∞，－2]∪[1,10]D．[－2,0]∪[1,10]解析：當(dāng)x<1時(shí)，f(x)≥1?(x＋1)2≥1?x≤－2或x≥0，∴x≤－2或0≤x<1.當(dāng)x≥1時(shí)，f(x)≥1?4－≥1?≤3?x≤10，∴1≤x≤10.綜上所述，可得x≤－2或0≤x≤10.故選A.答案：A[例4]

(文)已知f(x)的定義域是[0,1]，求下列函數(shù)的定義域．(1)g(x)＝f(x2)(2)h(x)＝f(x＋m)＋f(x－m)

(m>0)解析：(1)∵f(x)的定義域?yàn)閇0,1]，∴欲使f(x2)有意義，須0≤x2≤1，∴－1≤x≤1.故所求定義域?yàn)閇－1,1]．

①1－m<m即m>時(shí)，無(wú)解．②1－m＝m即m＝時(shí)，x＝③1－m>m即m<時(shí)，m≤x≤1－m.綜上，當(dāng)0<m<時(shí)，函數(shù)h(x)的定義域?yàn)閇m,1－m]，當(dāng)m＝時(shí)，h(x)定義域?yàn)閧}．點(diǎn)評(píng)：對(duì)于復(fù)合函數(shù)f[g(x)]，若f(x)定義域?yàn)锳，則f[g(x)]中，g(x)∈A，由此求出x的取值范圍為f[g(x)]的定義域．解析：

由(2)得x>1或x<－1，因此－2<x<－1或1<x<2，故填(－2，－1)∪(1,2)．已知函數(shù)f(x)＝log2[2x2＋(m＋3)x＋2m]，若f(x)的定義域是R，則實(shí)數(shù)m的取值集合為A；若f(x)的值域是R，則實(shí)數(shù)m的取值集合為B，那么A、B滿足關(guān)系式________．解析：由定義域?yàn)镽得Δ＝(m＋3)2－4×2×2m<0，①由值域?yàn)镽得Δ＝(m＋3)2－4×2×2m≥0，②解不等式①②取并集易得A∪B＝R.答案：A∪B＝R[例5]已知扇形周長(zhǎng)為10cm，求扇形半徑r與扇形面積S的函數(shù)關(guān)系S＝f(r)，并確定其定義域．解析：設(shè)弧長(zhǎng)為l，則l＝10－2r，所以S＝lr＝(5－r)r＝－r2＋5r.

總結(jié)評(píng)述：求由實(shí)際問題確定的函數(shù)的定義域時(shí)，除考慮函數(shù)的解析式有意義外，還要考慮使實(shí)際問題有意義．如本題使函數(shù)解析式有意義的x的取值范圍是x∈R，但實(shí)際問題的意義是矩形的邊長(zhǎng)為正數(shù)，而邊長(zhǎng)是用變量x表示的，這就是實(shí)際問題對(duì)變量的制約．這類函數(shù)與幾何結(jié)合的小綜合題，考查數(shù)形結(jié)合的能力和思維的嚴(yán)密性以及解決實(shí)際問題的能力，符合新課改的要求，將成為今后高考的熱點(diǎn)．等腰梯形ABCD的兩底分別為AD＝2a，BC＝a，∠BAD＝45°，作直線MN⊥AD交AD于M，交折線ABCD于N，記AM＝x，試將梯形ABCD位于直線MN左側(cè)的面積y表示為x的函數(shù)，并寫出函數(shù)的定義域．解析：作BH⊥AD，H為垂足，CG⊥AD，G為垂足，依題意，則有AD＝2a，AG＝a.(1)當(dāng)M位于點(diǎn)H的左側(cè)時(shí)，N在AB上，由于AM＝x，∠BAD＝45°.∴MN＝x.∴y＝S△AMN＝x2

.(2)當(dāng)M位于H、G之間時(shí)，由于AM＝x，∴MN＝，BN＝x－.∴y＝S直角梯形AMNB＝＝ax－.

[例6]某醫(yī)藥所開發(fā)一種新藥，如果成人按規(guī)定的劑量服用，據(jù)監(jiān)測(cè)：服藥后每毫升血液中的含藥量y與時(shí)間t之間近似滿足如圖所示曲線．(1)寫出服藥后y與t之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)據(jù)測(cè)定：每毫升血液中含藥量不少于4微克時(shí)治療疾病有效，假若某病人一天第一次服藥為7:00，問一天中怎樣安排服藥時(shí)間、次數(shù)效果最佳？解析：(1)由題意知：(2)設(shè)第二次服藥時(shí)在第一次服藥后t1小時(shí)，則－t1＋＝4，t1＝3(小時(shí))．因而第二次服藥應(yīng)在10:00.設(shè)第三次服藥在第一次服藥后t2小時(shí)，則此時(shí)血液中含藥量應(yīng)為兩次服藥后的含藥量的和，即：解得t2＝7(小時(shí))，即第三次服藥應(yīng)在1400.設(shè)第四次服藥應(yīng)在第一次服藥后t3小時(shí)(t3>8)，則此時(shí)第一次服進(jìn)的藥已吸收完，此時(shí)血液中含藥量應(yīng)為第二、三次的和，解得t3＝10.5(小時(shí))．即第四次服藥應(yīng)在17:30(07·湖北)為了預(yù)防流感，某學(xué)校對(duì)教室用藥熏消毒法進(jìn)行消毒．已知藥物釋放過程中，室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量y(毫克)與時(shí)間t(小時(shí))成正比，藥物釋放完畢后，y與t的函數(shù)關(guān)系式為y＝

(a為常數(shù))，如圖所示，根據(jù)圖中所提供的信息，回答下列問題．(1)從藥物釋放開始，每立方米空氣中的含藥量y(毫克)與時(shí)間t(小時(shí))之間的函數(shù)關(guān)系式為____________．(2)據(jù)測(cè)定，當(dāng)空氣中每立方米的含藥量降低到0.25毫克以下時(shí)，學(xué)生方可進(jìn)教室，那么從藥物釋放開始，至少需要經(jīng)過________小時(shí)后，學(xué)生才能回到教室．解析：由圖象可知，當(dāng)0≤t≤0.1時(shí)，y＝10t；答案：

[例7]求下列函數(shù)f(x)的解析式：(1)已知f＝lgx，求f(x)；(2)已知f(x)是一次函數(shù)，且滿足3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求f(x)；(3)已知f(x)滿足2f(x)＋f＝3x，求f(x)．解析：

(2)設(shè)f(x)＝ax＋b，則3f(x＋1)－2f(x－1)＝3ax＋3a＋3b－2ax＋2a－2b＝ax＋b＋5a＝2x＋17，∴a＝2，b＝7，故f(x)＝2x＋7.

求下列函數(shù)的解析式：(1)f(x)為二次函數(shù)且f(0)＝3，f(x＋2)－f(x)＝4x＋2，則f(x)＝________.解析：

(1)設(shè)f(x)＝ax2＋bx＋c

(a≠0)，答案：

(1)x2－x＋3[例8]求下列函數(shù)的值域解析：

(1)

∴值域?yàn)?0,1](2)y＝sin2x＋4cosx＋1＝－cos2x＋4cosx＋2＝－(cosx－2)2＋6∵－1≤cosx≤1.∴cosx＝1時(shí)，ymax＝5，cosx＝－1時(shí)，ymin＝－3.∴－3≤y≤5，值域?yàn)閇－3,5]．無(wú)最小值，故原函數(shù)的值域是(－∞，3]．一、選擇題[答案]

B[答案]

B2．(文)函數(shù)f(x)＝ 的定義域是 (

)A．(－∞，0] B．[0，＋∞)C．(－∞，0) D．(－∞，＋∞)[答案]

A[解析]

f(x)＝ 有意義，∴2x≤1，∴x≤0.A．(－∞，0) B．(0，＋∞)C．(－∞，0] D．[0，＋∞)[答案]

CA．－1

B．0

C．1

D．3[答案]

C[解析]

f(－9)＝f(－6)＝f(－3)＝f(0)＝f(3)＝log33＝1.4．(文)函數(shù)f(x)＝3x(0<x≤2)的反函數(shù)的定義域?yàn)? (

)A．(0，＋∞) B．(1,9]C．(0,1) D．[9，＋∞)[答案]

B[解析]

∵f(x)＝3x在(0,2]上為增函數(shù)，∴30<3x≤32，即3x∈(1,9]，∴f－1(x)的定義域?yàn)?1,9]，故選B.(理)(09·全國(guó)Ⅰ)已知函數(shù)f(x)的反函數(shù)為g(x)＝1＋2lgx(x>0)，則f(1)＋g(1)＝ (

)A．0

B．1

C．2

D．4[答案]

C[解析]

∵g(1)＝1，f(x)與g(x)互為反函數(shù)，∴f(1)＝1，∴f(1)＋g(1)＝2.5．(文)定義域?yàn)镽的函數(shù)y＝f(x)的值域?yàn)閇a，b]，則函數(shù)y＝f(x＋a)的值域?yàn)? (

)A．[2a，a＋b] B．[0，b－a]C．[a.b] D．[－a，a＋b][答案]

C[解析]

函數(shù)的值域由其定義域和對(duì)應(yīng)法則唯一確定．本題的兩個(gè)函數(shù)y＝f(x)和y＝f(x＋a)對(duì)應(yīng)法則相同而x與(x＋a)的范圍也相同．故值域相同．.(理)若函數(shù)f(x)＝的定義域?yàn)镽，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是 (

)A．0<m<4 B．0≤m≤4C．m≥4 D．0<m≤4[答案]

B[解析]

①m＝0時(shí)，f(x)＝1，定義域?yàn)镽.②時(shí)，得0<m≤4.故選B.二、填空題6．(文)(09·浙江)某地區(qū)居民生活用電分為高峰低谷兩個(gè)時(shí)間段進(jìn)行分時(shí)計(jì)價(jià)．該地區(qū)的電網(wǎng)銷售電價(jià)表如下：高峰時(shí)間段用電價(jià)格表高峰月用電量(單位：千瓦時(shí))高峰電價(jià)(單位：元/千瓦時(shí))50及以下的部分0.568超過50至200的部分0.598超過200的部分0.668若某家庭5月份的高峰時(shí)間段用電量為200千瓦時(shí)，低谷時(shí)間段用電量為100千瓦時(shí)，則按這種計(jì)費(fèi)方式該家庭本月應(yīng)付的電費(fèi)為________元(用數(shù)字作答)．低谷時(shí)間段用電價(jià)格表低谷月用電量(單位：千瓦時(shí))低谷電價(jià)(單位：元/千瓦時(shí))50及以下的部分0.288超過50至200的部分0.318超過200的部分0.388[答案]

148.4[解析]

高峰時(shí)段電費(fèi)a＝50×0.568＋(200－50)×0.598＝118.1(元)．低谷時(shí)段電費(fèi)b＝50×0.288＋(100－50)×0.318＝30.3(元)故該家庭本月應(yīng)付的電費(fèi)為a＋b＝148.4(元)．(理)(09·四川)設(shè)V是已知平面M上所有向量的集合．對(duì)于映射f：V→V，a∈V，記a的象為f(a)．若映射f：V→V滿足：對(duì)所有a、b∈V及任意實(shí)數(shù)λ、μ都有f(λa＋μb)＝λf(a)＋μf(b)，則f稱為平面M上的線性變換．現(xiàn)有下列命題：①設(shè)f是平面M上的線性變換，a、b∈V，則f(a＋b)＝f(a)＋f(b)；②若e是平面M上的單位向量，對(duì)a∈V