數(shù)學(xué)人教A版高中選擇性必修一（2019新編）3-2-1 雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程（教案）

雙曲線的方程【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、雙曲線的定義在平面內(nèi)，到兩個定點(diǎn)、的距離之差的絕對值等于常數(shù)（大于0且）的動點(diǎn)的軌跡叫作雙曲線.這兩個定點(diǎn)、叫雙曲線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離叫作雙曲線的焦距.要點(diǎn)詮釋：1.若去掉定義中的“絕對值”，常數(shù)滿足約束條件：（），則動點(diǎn)軌跡僅表示雙曲線中靠焦點(diǎn)的一支；若（），則動點(diǎn)軌跡僅表示雙曲線中靠焦點(diǎn)的一支；2.若常數(shù)滿足約束條件：，則動點(diǎn)軌跡是以F1、F2為端點(diǎn)的兩條射線（包括端點(diǎn)）；3.若常數(shù)滿足約束條件：，則動點(diǎn)軌跡不存在；4.若常數(shù)，則動點(diǎn)軌跡為線段F1F2的垂直平分線。要點(diǎn)二、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：1.當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：，其中；2.當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：，其中方程Ax2+By2=C（A、B、C均不為零）表示雙曲線的條件方程Ax2+By2=C可化為，即，所以只有A、B異號，方程表示雙曲線。當(dāng)時，雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上；當(dāng)時，雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上。橢圓、雙曲線的區(qū)別和聯(lián)系：橢圓雙曲線根據(jù)|MF1|+|MF2|=2a根據(jù)|MF1|－|MF2|=±2aa＞c＞0，a2－c2=b2（b＞0）0＜a＜c，c2－a2=b2（b＞0），（a＞b＞0），（a＞0，b＞0，a不一定大于b）（a最大）（c最大）標(biāo)準(zhǔn)方程統(tǒng)一為：要點(diǎn)三、求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程①待定系數(shù)法：由題目條件確定焦點(diǎn)的位置，從而確定方程的類型，設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程，再由條件確定方程中的參數(shù)、、的值。其主要步驟是“先定型，再定量”；②定義法：由題目條件判斷出動點(diǎn)的軌跡是什么圖形，然后再根據(jù)定義確定方程?！镜湫屠}】類型一：雙曲線的定義例1.若一個動點(diǎn)P(x，y)到兩個定點(diǎn)A(－1，0)、A′(1，0)的距離差的絕對值為定值a，求點(diǎn)P的軌跡方程，并說明軌跡的形狀．【解析】∵｜AA′｜＝2，∴(1)當(dāng)a＝2時，軌跡方程是y＝0(x≥1或x≤－1)，軌跡是兩條射線．(2)當(dāng)a＝0時，軌跡是線段AA′的垂直平分線x＝0．(3)當(dāng)0＜a＜2時，軌跡方程是＝1，軌跡是雙曲線．舉一反三：【變式1】已知點(diǎn)F1(－4,0)和F2(4,0)，曲線上的動點(diǎn)P到F1、F2距離之差為6，則曲線方程為()A.B.(y>0)C.或D.(x>0)【答案】D【變式2】雙曲線方程：，那么k的取值范圍是（）A.(5，+∞)B.（2,5）C.（-2,2）D．（-2,2）∪(5，+∞)【答案】D【解析】由題意知解得或k>5,故選D?！咀兪?】已知點(diǎn)F1(0,－13)、F2(0,13)，動點(diǎn)P到F1與F2的距離之差的絕對值為26，則動點(diǎn)P的軌跡方程為（）A．y=0B．y=0（x≤－13或x≥13）C．x=0（|y|≥13）D．以上都不對【答案】C例2.已知雙曲線過點(diǎn)A（-2，4）、B（4，4），它的一個焦點(diǎn)是，求它的另一個焦點(diǎn)的軌跡方程.【解析】易知，由雙曲線定義知即①即此時點(diǎn)的軌跡為線段AB的中垂線，其方程為x=1(y≠0)②即此時點(diǎn)的軌跡為以A、B為焦點(diǎn)，長軸長為10的橢圓，其方程為（y≠0）舉一反三：【變式1】已知點(diǎn)P(x,y)的坐標(biāo)滿足，則動點(diǎn)P的軌跡是（）A．橢圓B．雙曲線中的一支C．兩條射線D．以上都不對【答案】B【變式2】動圓與圓x2＋y2＝1和x2＋y2－8x＋12＝0都相外切，則動圓圓心的軌跡為()A．雙曲線的一支B．圓C．拋物線D．雙曲線【答案】A類型二：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程例3．已知雙曲線的兩個焦點(diǎn)F1、F2之間的距離為26，雙曲線上一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離之差的絕對值為24，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程?！窘馕觥坑深}意得2a=24，2c=26。∴a=12，c=13，b2=132－122=25。當(dāng)雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上時，雙曲線的方程為；當(dāng)雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上時，雙曲線的方程為。舉一反三：【變式1】求適合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：（1）已知兩焦點(diǎn),雙曲線上的點(diǎn)與兩焦點(diǎn)的距離之差的絕對值等于8.（2）雙曲線的一個焦點(diǎn)坐標(biāo)為，經(jīng)過點(diǎn).【答案】（1）（2）【變式2】求中心在原點(diǎn)，對稱軸為坐標(biāo)軸，且虛軸長與實(shí)軸長的比為，焦距為10的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.【答案】由已知設(shè),，則()依題意，解得.∴當(dāng)雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上時，雙曲線的方程為當(dāng)雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上時，雙曲線的方程為.【變式3】若以為焦點(diǎn)的雙曲線過點(diǎn)（2，1），則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為______?！敬鸢浮俊咭詾榻裹c(diǎn)的雙曲線過點(diǎn)（2，1），∴設(shè)雙曲線方程為，a＞0，把（2，1）代入，得：，a＞0，解得a2=2，或a2=6（舍），∴該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為。故答案為：。例4．求與雙曲線有公共焦點(diǎn)，且過點(diǎn)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。解法一：依題意設(shè)雙曲線方程為－=1，由已知得，又雙曲線過點(diǎn)，∴，∴故所求雙曲線的方程為.解法二：依題意設(shè)雙曲線方程為，將點(diǎn)代入，解得，所以雙曲線方程為.舉一反三：【變式】已知橢圓與雙曲線有相同的焦點(diǎn)，則a的值為（）A.B.C.4D.10【答案】C【解析】由題意，類型三：雙曲線與橢圓例5.討論表示何種圓錐曲線，它們有何共同特征．【解析】(1)當(dāng)k<9時，25－k>0,9－k>0，所給方程表示橢圓，此時a2＝25－k，b2＝9－k，c2＝a2－b2＝16，這些橢圓有共同的焦點(diǎn)(－4,0)，(4,0)．(2)當(dāng)9<k<25時，25－k>0,9－k<0，所給方程表示雙曲線，此時，a2＝25－k，b2＝k－9，c2＝a2＋b2＝16，這些雙曲線也有共同的焦點(diǎn)(－4,0)，(4,0)．(3)當(dāng)k>25時，所給方程沒有軌跡．舉一反三：【變式】若雙曲線(m>0，n>0)和橢圓(a>b>0)有相同的焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2，M為兩曲線的交點(diǎn)，則|MF1|·|MF2|等于________．【答案】a－m【解析】由雙曲線及橢圓定義分別可得：|MF1|－|MF2|＝①，|MF1|＋|MF2|＝②②2－①2得，4|MF1|·|MF2|＝4a－4m，∴|MF1|·|MF2|＝a－m.例6.求以橢圓3x2＋13y2＝39的焦點(diǎn)為焦點(diǎn)，以直線y＝為漸近線的雙曲線方程．【解析】橢圓可化為，其焦點(diǎn)坐標(biāo)為(，0)，∴所求雙曲線的焦點(diǎn)為(，0)，設(shè)雙曲線方程為：(a>0，b>0)，∵雙曲線的漸近線為，∴，∴，∴，，即所求的雙曲線方程為：.舉一反三：【變式1】設(shè)雙曲線方程與橢圓有共同焦點(diǎn)，且與橢圓相交，在第一象限的交點(diǎn)為A，且A的縱坐標(biāo)為4，求雙曲線的方程.【答案】【變式2】雙曲線與橢圓(a>0，m>b>0)的離心率互為倒數(shù)，那么以a，b，m為邊長的三角形一定是()A．銳角三角形B．直角三角形C．鈍角三角形D．等腰三角形【答案】B【鞏固練習(xí)】選擇題1．若方程表示雙曲線，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是()A．B．C．D．1．答案：C解析：方程表示雙曲線，得或2．以橢圓的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)，以這個橢圓的長軸的端點(diǎn)為焦點(diǎn)的雙曲線方程是()A.B．C.D.2.答案：B解析：雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上，且a＝1，c＝2，∴b2＝3，雙曲線方程為.3．雙曲線的實(shí)軸長是虛軸長的2倍，則實(shí)數(shù)m=()A.1B.C.D.1或3.答案：A解析：雙曲線化為，實(shí)軸上是虛軸上的2倍，化為，解得m=14．設(shè)θ∈(，π)，則關(guān)于x、y的方程所表示的曲線是()A．焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線B．焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線C．焦點(diǎn)在y軸上的橢圓D．焦點(diǎn)在x軸上的橢圓4.答案：C解析：方程即是，因θ∈(，π)，∴sinθ>0，cosθ<0，且－cosθ>sinθ，故方程表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓5．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，若雙曲線的左支上有一點(diǎn)M到右焦點(diǎn)F2的距離為18，N是MF2的中點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則|NO|等于()A.B．1C．2D．45.答案：D解析：NO為△MF1F2的中位線，所以|NO|＝|MF1|，又由雙曲線定義知，|MF2|－|MF1|＝10，因?yàn)閨MF2|＝18，所以|MF1|＝8，所以|NO|＝46．已知是雙曲線上的一點(diǎn)，是的兩個焦點(diǎn)，若,則的取值范圍是（）A.B.C.D.6.答案：A解析：∵，∴c2=2+1=3，∴，先找使得的點(diǎn)M坐標(biāo)，即∵，∵聯(lián)立可得，，∴法二：設(shè)M（x0，y0），則∵，∴∴，∵x02=2+2y02，即3y02＜1∴∴二、填空題7．設(shè)F1、F2是雙曲線的兩個焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線上，且，則的值為.7.答案：4解析：設(shè)，則，所以2mn=24-16=8，所以mn=48．過原點(diǎn)的直線l與雙曲線的左右兩支分別相交于A，B兩點(diǎn)，是雙曲線C的左焦點(diǎn)，若|FA|+|FB|=4，.則雙曲線C的方程為________．8．解析：設(shè)|FB|=x，則|FA|=4－x，∵過原點(diǎn)的直線l與雙曲線的左右兩支分別相交于A，B兩點(diǎn)，是雙曲線C的左焦點(diǎn)，∴，∵，∴x2+(4－x)2=12，∴x2－4x+2=0，∴，∴，∴，∴，∴b=1，∴雙曲線C的方程為9．如果橢圓與雙曲線的焦點(diǎn)相同，那么a＝________.9．答案：1解析：由題意得a>0，且4－a2＝a＋2，∴a＝110．一動圓過定點(diǎn)A(－4,0)，且與定圓B：(x－4)2＋y2＝16相外切，則動圓圓心的軌跡方程為________．10.答案：(x≤－2)解析：設(shè)動圓圓心為P(x，y)，由題意得：|PB|－|PA|＝4<|AB|＝8，由雙曲線定義知，點(diǎn)P的軌跡是以A、B為焦點(diǎn)，且2a＝4，a＝2的雙曲線的左支．三、解答題11.若橢圓(m>n>0)和雙曲線(a>0，b>0)有相同的焦點(diǎn)，P是兩曲線的一個交點(diǎn)，求|PF1|·|PF2|的值.11.解析：不妨設(shè)點(diǎn)P為雙曲線右支上的點(diǎn)，由橢圓定義得|PF1|＋|PF2|＝，由雙曲線定義得|PF1|－|PF2|＝.∴|PF1|＝，|PF2|＝；同理可求P為左支上的點(diǎn)時情況，都能得到：|PF1|·|PF2|＝m－a.12．如圖，已知雙曲線的離心率為2，F(xiàn)1，F(xiàn)2為左、右焦點(diǎn)，P為雙曲線上的點(diǎn)，∠F1PF2＝60°，，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．12.解析：設(shè)雙曲線方程為，∵e＝＝2，∴a＝由雙曲線定義：|PF1|－|PF2|＝2a＝c.由余弦定理得：|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos∠F1PF2＝(|PF1|－|PF2|)2＋2|PF1|·|PF2|(1－cos60°)，∴4c2＝c2＋|PF1|·|PF2|，又＝|PF1|·|PF2|·sin60°＝，得|PF1|·|PF2|＝48，即c2＝16，∴a2＝4，b2＝12，所求方程為.13．在面積為1的△PMN中，tan∠PMN＝，tan∠MNP＝－2，建立適當(dāng)坐標(biāo)系．求以M、N為焦點(diǎn)且過點(diǎn)P的雙曲線方程．13.解析：解法一：以MN所在直線為x軸，MN的中垂線為y軸建立直角坐標(biāo)