《一元二次不等式及其解法》

一元二次不等式及其解法在2010年溫哥華冬奧會(huì)跳臺(tái)滑雪比賽中，一位跳臺(tái)滑雪運(yùn)動(dòng)員在90米級(jí)跳臺(tái)滑雪時(shí)，想使自己的飛行距離超過(guò)68米．他若以自身體重從起滑臺(tái)起滑，經(jīng)助滑道于臺(tái)端飛起時(shí)的初速度最快為110千米/小時(shí)．那么他能實(shí)現(xiàn)自己的目標(biāo)嗎？2．二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)在Δ＝b2－4ac>0時(shí)，有兩不等實(shí)根，此時(shí)對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c與x軸有________公共點(diǎn)，Δ＝0時(shí)，有兩相等實(shí)根，此時(shí)，對(duì)應(yīng)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c與x軸有________公共點(diǎn)．上下兩個(gè)一個(gè)1．一元二次不等式的概念觀察下列不等式：(1)x2－2x>0；(2)3x2－1≤0；(3)－2x2＋4x－3≥0.它們含有幾未知數(shù)？未知數(shù)的最高次數(shù)是多少？它們有何共同特點(diǎn)？只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式，稱為一元二次不等式．“元”是未知數(shù)，“一元”就是含有一個(gè)未知數(shù)．如：x2－5x<0,2x2＋6x－10>0，－3x2＋5x＋7<0,5x2>3等都是一元二次不等式．注意：(1)在一元二次不等式的表達(dá)式中，一定有條件a≠0，即二次項(xiàng)的系數(shù)不為零．(2)對(duì)于ax2＋bx＋c>0(或<0)的形式，如果不指明是二次不等式，那么它也可能是一次不等式，應(yīng)特別注意分類(lèi)討論．判斷下列不等式中哪些是一元二次不等式．①x2>0；②－x2－x≤5；③x3＋5x－6>0；④mx2－5y<0(m為常數(shù))；⑤ax2＋bx＋c>0.[解析]

①②是．③不是，因?yàn)閤3的最高次數(shù)是3，不符合定義．④不是．當(dāng)m＝0時(shí)，它是一元一次不等式，當(dāng)m≠0，它含有兩個(gè)未知數(shù)x，y.⑤不一定是．當(dāng)a＝0時(shí)，它不符合一元二次不等式的定義；當(dāng)a≠0時(shí)，是．2．一元二次不等式的解法分別畫(huà)出下列幾個(gè)函數(shù)的圖象(草圖)，觀察圖象回答當(dāng)x取何范圍內(nèi)的值時(shí)，y>0，y<0.(1)y＝(x＋1)(x－2)；(2)y＝－(x－3)2；(3)y＝(x＋2)2＋3；(4)y＝－x2＋4x－3.通過(guò)上面的觀察，你發(fā)現(xiàn)了什么？設(shè)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的兩個(gè)不等實(shí)根分別為x1，x2(x1<x2)，則不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集為{x|x<x1或x>x2}，不等式ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集為{x|x1<x<x2}．當(dāng)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的判別式Δ<0時(shí)，此方程無(wú)實(shí)數(shù)根，y＝ax2＋bx＋c的圖象位于x軸上方，所以ax2＋bx＋c>0的解集是R，而ax2＋bx＋c<0的解集是?.2．畫(huà)出函數(shù)y＝x2－2x－3的圖象，觀察圖象．可見(jiàn)(1)x∈________時(shí)，y＝0，方程x2－2x－3＝0的根為_(kāi)_______．(2)x∈________時(shí)，y>0，∴不等式x2－2x－3>0的解集為_(kāi)_______；(3)x∈________時(shí)，y<0，∴不等式x2－2x－3<0的解集為_(kāi)_______．[答案]

(1){－1,3}

x1＝－1，x2＝3

(2){x|x<－1或x>3}

{x|x<－1或x>3}

(3){x|－1<x<3}

{x|－1<x<3}[解析]方程x2－2x－3＝0的兩根分別是x1＝－1，x2＝3，函數(shù)y＝x2－2x－3的圖象如圖所示．由圖象可知，當(dāng)x∈{－1,3}時(shí)，y＝0，方程x2－2x－3＝0的根為x1＝－1，x2＝3.當(dāng)x∈{x|x<－1或x>3}時(shí)，y>0，∴不等式x2－2x－3>0的解集為{x|x<－1或x>3}．當(dāng)x∈{x|－1<x<3}時(shí)，y<0，∴不等式x2－2x－3<0的解集為{x|－1<x<3}．3．解下列不等式．(1)2x2－3x－2>0；(2)－3x2＋6x>2.

解下列不等式：(1)x2－3x＋5>0；(2)－6x2－x＋2≥0；(3)－4x2≥1－4x；(4)2x2－4x＋7<0.一元二次不等式的解法(2015·昆明市質(zhì)檢)設(shè)集合A＝{x|x2－3x－4<0}，B＝{x|x>1}，則A∩B＝(

)A．(1,4)

B．(－1,1)C．(1，＋∞) D．(－1，＋∞)[答案]

A[解析]

A＝{x|－1<x<4}，∴A∩B＝{x|1<x<4}，選A．“三個(gè)二次”關(guān)系的應(yīng)用[方法規(guī)律總結(jié)]

1.一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集的端點(diǎn)值是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根，也是函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．2．注意靈活運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系解決問(wèn)題．

某熱帶風(fēng)暴中心B位于海港城市A東偏南30°的方向，與A市相距400km.該熱帶風(fēng)暴中心B以40km/h的速度向正北方向移動(dòng)，影響范圍的半徑是350km.問(wèn)：從此時(shí)起，經(jīng)多少時(shí)間后A市將受熱帶風(fēng)暴影響，大約受影響多長(zhǎng)時(shí)間？一元二次不等式的實(shí)際應(yīng)用汽車(chē)在行駛中，由于慣性作用，剎車(chē)后還要向前滑行一段距離才能停住，我們稱這段距離為“剎車(chē)距離”．剎車(chē)距離是分析事故的一個(gè)重要因素，在一個(gè)限速40km/h以內(nèi)的彎道上，甲、乙兩車(chē)相向而行，發(fā)現(xiàn)情況不對(duì)，同時(shí)剎車(chē)，但還是相碰了．事后現(xiàn)場(chǎng)測(cè)得甲車(chē)的剎車(chē)略超過(guò)12m，乙車(chē)的剎車(chē)略超過(guò)10m，又知甲、乙兩種車(chē)型的剎車(chē)距離s(m)與車(chē)速x(km/h)之間有如下關(guān)系：s甲＝0.1x＋0.01x2，s乙＝0.05x＋0.005x2.問(wèn)：超速行駛應(yīng)負(fù)主要責(zé)任的是誰(shuí)？[解析]要分清誰(shuí)是應(yīng)付主要責(zé)任者，就需分析行車(chē)速度，要弄清速度問(wèn)題，就要利用剎車(chē)距離函數(shù)與實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，由題意列出不等式甲：0.1x＋0.01x2＞12，乙：0.05x＋0.005x2＞10，∵x＞0，∴解得