《1角平分線的尺規(guī)作圖與性質(zhì)》教學(xué)

15.4.1角平分線的尺規(guī)作圖與性質(zhì)義務(wù)教育教科書（滬科）八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)新課引入問題1：在紙上畫一個(gè)角，你能得到這個(gè)角的平分

線嗎？

用量角器度量，也可用折紙的方法．問題2：如果把前面的紙片換成木板、鋼板等，還能用對(duì)折的方法得到木板、鋼板的角平分線嗎？可以新知探究提煉圖形新知探究

問題3：如圖，是一個(gè)角平分儀，其中AB=AD,BC=DC.將點(diǎn)A放在角的頂點(diǎn),AB和AD沿著角的兩邊放下,沿AC畫一條射線AE,AE就是角平分線，你能說明它的道理嗎?ABC(E)D其依據(jù)是SSS，兩全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等.新知探究挑戰(zhàn)第二關(guān)探索新知問題：如果沒有此儀器，我們用數(shù)學(xué)作圖工具，能實(shí)現(xiàn)該

儀器的功能嗎？ABO尺規(guī)作角平分線做一做：請(qǐng)大家找到用尺規(guī)作角的平分線的方法，并說明

作圖方法與儀器的關(guān)系.提示：(1)已知什么？求作什么？(2)把平分角的儀器放在角的兩邊，儀器的頂點(diǎn)與角的頂點(diǎn)重合，且儀器的兩邊相等，怎樣在作圖中體現(xiàn)這個(gè)過程呢?(3)在平分角的儀器中，BC=DC，怎樣在作圖中體現(xiàn)這個(gè)過程呢？(4)你能說明為什么OC是∠AOB的平分線嗎？作法：1.以____為圓心，______長(zhǎng)為半徑畫圓弧，與角的兩邊分別交于M、N兩點(diǎn)；2.分別以點(diǎn)_____為圓心，__________的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩條圓弧交于∠AOB內(nèi)一點(diǎn)____；3.作射線_____；_____就是所求作的∠AOB的平分線.點(diǎn)O任意M、N大于POPOP尺規(guī)作圖ABNMP

Ｏ新知探究新知探究想一想：為什么OP是角平分線呢？BANMP

Ｏ已知：OM=ON，MP=NP.求證：OP平分∠AOB.證明：在△OMP和△ONP中，

OM=ON，

MP=NP，

OP=OP，∴△OMP≌△ONP,（SSS）∴∠MOP=∠NOP,

即OP平分∠AOB.新知探究如何過一點(diǎn)P作已知直線l的垂線呢？

由于兩點(diǎn)確定一條直線，因此我們可以通過在已知直線上作線段的垂直平分線來找出垂線上的另一點(diǎn)，從而確定已知直線的垂線.問題引導(dǎo)過一點(diǎn)作已知直線的垂線新知探究①在直線l

上點(diǎn)P

的兩旁分別截取線段PA，PB，使PA=PB；(1)當(dāng)點(diǎn)P在直線l上.②分別以A，B

為圓心以大于AB

的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)C；③過點(diǎn)C，P作直線CP，則直線CP為所求作的直線.·PABCl這一步的目的是什么？新知探究

(2)當(dāng)點(diǎn)P在直線l外.①以點(diǎn)P

為圓心，以大于點(diǎn)P

到直線l的距離的線段長(zhǎng)為半徑畫弧，交直線l于點(diǎn)A，B；②分別以A，B

為圓心以大于AB

的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)C；③過點(diǎn)C,P作直線CP，則直線CP為所求作的直線.·PABCl第一步的目的是什么？畫弧的半徑為什么要大于P到l的距離？新知探究例1

利用直尺和圓規(guī)作一個(gè)等于45°的角.作法:1.作直線AB；2.過點(diǎn)A作直線AB的垂線AC；3.作∠CAB的平分線AD.∠DAB就是所要求作的角.新知探究1.操作測(cè)量：取點(diǎn)P的三個(gè)不同的位置，分別過點(diǎn)P作PD⊥OA，PE⊥OB,點(diǎn)D、E為垂足，測(cè)量PD、PE的長(zhǎng).將三次數(shù)據(jù)填入下表：2.觀察測(cè)量結(jié)果，猜想線段PD與PE的大小關(guān)系，寫出結(jié)：__________

PDPE第一次第二次第三次

COBAPD=PEPDE實(shí)驗(yàn)：OC是∠AOB的平分線，點(diǎn)P是射線OC上的

任意一點(diǎn)猜想：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等.新知探究驗(yàn)證猜想已知：如圖，∠AOC=∠BOC,點(diǎn)P在OC上，PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分別為D,E.求證：PD=PE.PAOBCDE證明：∵PD⊥OA,PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°.在△PDO和△PEO中，∠PDO=∠PEO，∠AOC=∠BOC，OP=OP，∴△PDO≌△PEO(AAS).∴PD=PE.角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等新知探究

性質(zhì)定理：

角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等.應(yīng)用所具備的條件：（1）角的平分線；（2）點(diǎn)在該平分線上；（3）垂直距離.定理的作用：

證明線段相等.應(yīng)用格式：∵OP

是∠AOB的平分線，∴PD=PE（角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等）.推理的理由有三個(gè)，必須寫完全，不能少了任何一個(gè).PD⊥OA,PE⊥OB，BADOPEC判一判：（1）∵如左下圖，AD平分∠BAC（已知），∴

=

，()角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等BDCD×BADC(2)∵

如右上圖，DC⊥AC，DB⊥AB

（已知）.

∴

=

,

()角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等BDCD×BADC新知探究新知探究例2：已知：如圖，在△ABC中，AD是它的角平分線，且BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC.垂足分別為E,F.求證：EB=FC.ABCDEF證明：∵AD是∠BAC的角平分線，DE⊥AB,DF⊥AC，∴

DE=DF,∠DEB=∠DFC=90°.在Rt△BDE

和Rt△CDF中，DE=DF，BD=CD，∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL).∴EB=FC.新知探究例3:如圖，AM是∠BAC的平分線，點(diǎn)P在AM上，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分別是D、E，PD=4cm，則PE=______cm.BACPMDE4溫馨提示：存在兩條垂線段———直接應(yīng)用新知探究ABCP變式：如圖，在Rt△ABC中，AC=BC,∠C＝90°，AP平分∠BAC交BC于點(diǎn)P，若PC＝4,AB=14.（1）則點(diǎn)P到AB的距離為_______.D4溫馨提示：存在一條垂線段———構(gòu)造應(yīng)用新知探究

ABCP變式：如圖，在Rt△ABC中，AC=BC,∠C＝90°，AP平分∠BAC交BC于點(diǎn)P，若PC＝4，AB=14.（2）求△

APB的面積.D（3）求△PDB的周長(zhǎng).由角平分線的性質(zhì)，可知，PD=PC=4，=新知探究1.應(yīng)用角平分線的性質(zhì)：存在角平分線涉及距離問題2.聯(lián)系角平分線的性質(zhì)：面積周長(zhǎng)條件知識(shí)與方法利用角平分線的性質(zhì)所得到的等量關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解課堂小測(cè)1.如圖所示的作圖痕跡作的是（）A.線段的垂直平分線B.過一點(diǎn)作已知直線的垂線C.一個(gè)角的平分線D.作一個(gè)角等于已知角B2.用尺規(guī)作圖作一個(gè)已知角的平分線的示意圖如圖所示，則能說明∠AOC=∠BOC的依據(jù)是（）A.SSSB.ASAC.AASD.角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等ABMNCOA課堂小測(cè)3.請(qǐng)?jiān)趫D中作出線段AD,使其平分∠BAC且長(zhǎng)度等于m．CBAm課堂小測(cè)CNMPABD解：課堂小測(cè)4.△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,且BC=8,BD=5,則點(diǎn)D到AB的距離是

.3ABCDE課堂小測(cè)5.如圖，已知AD∥BC，P是∠BAD與∠ABC的平分線的交點(diǎn)，PE⊥AB于E，且PE=3，求AD與BC之間的距離.解：過點(diǎn)P作MN⊥AD于點(diǎn)M，交BC于點(diǎn)N.∵AD∥BC，∴MN⊥BC，MN的長(zhǎng)即為AD與BC之間的距離.∵AP平分∠BAD,PM⊥AD,PE⊥AB，∴PM=PE.同理，PN=PE.∴PM=PN=PE=3.∴MN=6.即AD與BC之間的距離為6.課堂小測(cè)6.如圖所示，D是∠ACG平分線上的一點(diǎn)．DE⊥AC，DF⊥CG，垂足分別為E，F(xiàn).求證：CE＝CF.證明：∵CD是∠ACG的平分線，DE⊥AC，DF⊥CG，∴DE＝DF.在Rt△CDE和Rt△CDF中，∴Rt△CDE≌Rt△CDF(HL)，∴CE＝CF.課堂小測(cè)7.已知：如圖，OD平分∠POQ，在OP、OQ邊上取OA＝OB，點(diǎn)C在OD上，CM⊥AD于M，CN⊥BD于N.求證：CM＝CN.證明：∵OD平分線∠PO