湖北省恩施市沙溪民族中學(xué)高三數(shù)學(xué)文摸底試卷含解析

湖北省恩施市沙溪民族中學(xué)高三數(shù)學(xué)文摸底試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)，則的值為（

）A．

－2

B．2

C．

D．參考答案：D2.“”是“”的A．充分而不必要條件

B．必要而不充分條件C．充要條件

D．既不充分也不必要條件參考答案：B3.如圖，虛線部分是平面直角坐標(biāo)系四個(gè)象限的角平分線，實(shí)線部分是函數(shù)y=f（x）的部分圖象，則f（x）可能是（）A．x2sinx B．xsinx C．x2cosx D．xcosx參考答案：B【考點(diǎn)】函數(shù)的圖象．【分析】判斷函數(shù)的奇偶性，結(jié)合函數(shù)圖象的特征，判斷函數(shù)的解析式即可．【解答】解：由函數(shù)的圖象可知函數(shù)是偶函數(shù)，排除選項(xiàng)A，D，因?yàn)閤＞0時(shí)，xsinx≤x恒成立，x2cosx≤x2，即xcosx≤x，x=π時(shí)，不等式不成立，所以C不正確，B正確；故選：B．4.已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，設(shè)其前項(xiàng)和為，則使

成立的最小自然數(shù)等于

（

）

A.83

B.82

C.81

D.80參考答案：C5.若數(shù)列滿足，，則稱數(shù)列為“夢(mèng)想數(shù)列”。已知正項(xiàng)數(shù)列為“夢(mèng)想數(shù)列”，且，則的最小值是（

）A．2 B．4 C．6 D．8參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】等比數(shù)列及等比數(shù)列前n項(xiàng)和D3【答案解析】B依題意可得，則數(shù)列為等比數(shù)列。又，則。，當(dāng)且僅當(dāng)即該數(shù)列為常數(shù)列時(shí)取等號(hào).【思路點(diǎn)撥】先判斷數(shù)列，再根據(jù)所給定義求結(jié)果6.已知a，b，c均為單位向量，a與b的夾角為60°，則(c＋a)·(c－2b)的最大值為A.

B.

C.2

D.3參考答案：B7.已知，則下列區(qū)間為函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間的是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A8.執(zhí)行右面的程序框圖，當(dāng)輸入n=4時(shí)，輸出S的值為

(A)6

(B)13

(C)25

(D)46參考答案：C略9.函數(shù)的圖像大致是（

）參考答案：A試題分析：，所以函數(shù)為偶函數(shù)，所以排除C、D，令時(shí)，，所以排除B，所以答案為A.考點(diǎn)：函數(shù)圖象.10.設(shè)，則的值為(

)A.

B.

C.

D.

參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知是虛數(shù)單位，實(shí)數(shù)滿足則

▲

.參考答案：0略12.函數(shù)（）的最小正周期為_____，最大值為____.

參考答案：略13.已知等比數(shù)列是遞增數(shù)列，是的前項(xiàng)和，若，是方程的兩個(gè)根，則

．參考答案：.6314.是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，則的值是

.參考答案：15.關(guān)于方程有唯一的解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________.參考答案：

16.已知函數(shù)f（x）=，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)An（n，f（n））（n∈N*），向量=（0，1），θn是向量與的夾角，則使得恒成立的實(shí)數(shù)t的最小值為．參考答案：【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．【分析】根據(jù)題意知﹣θn是直線OAn的傾斜角，化==tan（﹣θn）=，再求出+++…+的解析式g（n），利用g（n）＜t恒成立求出t的最小值．【解答】解：根據(jù)題意得，﹣θn是直線OAn的傾斜角，∴==tan（﹣θn）===﹣，∴+++…+=（1﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）=1+﹣﹣=﹣﹣；要使﹣﹣＜t恒成立，只須使實(shí)數(shù)t的最小值為．故答案為：．17.若函數(shù)f（x）=x﹣alnx在點(diǎn)（1，1）處的切線方程為y=1，則實(shí)數(shù)a=．參考答案：1【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出切線的斜率，由條件可得a的方程，即可得到所求值．【解答】解：函數(shù)f（x）=x﹣alnx的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=1﹣，由在點(diǎn)（1，1）處的切線方程為y=1，可得在點(diǎn)（1，1）處的切線斜率為1﹣a=0，解得a=1．故答案為：1．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.(本小題滿分15分)已知．（1）求函數(shù)的圖像在處的切線方程；

(2)設(shè)實(shí)數(shù)，求函數(shù)在上的最大值；（3）證明對(duì)一切，都有成立。參考答案：（1）定義域?yàn)?/p>

又

函數(shù)的在處的切線方程為：，即

（2）令得

當(dāng)，，單調(diào)遞減，當(dāng)，，單調(diào)遞增．在上的最大值

當(dāng)時(shí)，

當(dāng)時(shí)，，

(3)問題等價(jià)于證明，

由(2)可知的最小值是，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得.高考資源網(wǎng)設(shè)，則，易得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到，從而對(duì)一切，都有成立．……15分19.（本小題滿分10分）選修4—5:不等式選講．已知函數(shù)。(Ⅰ)解不等式；(Ⅱ)若，且，求證：.參考答案：（Ⅰ）f(x)＋f(x＋4)＝|x－1|＋|x＋3|＝當(dāng)x＜－3時(shí)，由－2x－2≥8，解得x≤－5；當(dāng)－3≤x≤1時(shí)，f(x)≤8不成立；當(dāng)x＞1時(shí)，由2x＋2≥8，解得x≥3．所以不等式f(x)≤4的解集為{x|x≤－5，或x≥3}．

…………5分（Ⅱ）f(ab)＞|a|f()即|ab－1|＞|a－b|．

……………6分因?yàn)閨a|＜1，|b|＜1，所以|ab－1|2－|a－b|2＝(a2b2－2ab＋1)－(a2－2ab＋b2)＝(a2－1)(b2－1)＞0，所以|ab－1|＞|a－b|．故所證不等式成立．

……………10分20.（本小題滿分14分）

將所有平面向量組成的集合記作，是從到的映射，記作或，其中都是實(shí)數(shù)。定義映射的模為：在的條件下的最大值，記做.若存在非零向量，及實(shí)數(shù)使得，則稱為的一個(gè)特征值.（1）若，求；（2）如果，計(jì)算的特征值，并求相應(yīng)的；（3）若，要使有唯一的特征值，實(shí)數(shù)應(yīng)滿足什么條件？試找出一個(gè)映射，滿足以下兩個(gè)條件：①有唯一的特征值，②,并驗(yàn)證滿足這兩個(gè)條件.參考答案：解：（1）由于此時(shí)，又因?yàn)槭窃诘臈l件下，有

（時(shí)取最大值），所以此時(shí)有?！?分（2）由，可得：，解此方程組可得：，從而。當(dāng)時(shí)，解方程

此時(shí)這兩個(gè)方程是同一個(gè)方程，所以此時(shí)方程有無窮多個(gè)解，為（寫出一個(gè)即可），其中且。當(dāng)時(shí)，同理可得，相應(yīng)的（寫出一個(gè)即可），其中且

………9分（3）解方程組從而向量與平行，從而有應(yīng)滿足：。當(dāng)時(shí)，有唯一的特征值，且。具體證明為：由的定義可知：對(duì)任意的有：，所以為特征值。此時(shí)。滿足：，所以有唯一的特征值。在的條件下，從而有?！?4分21.（本小題滿分12分）交通指數(shù)是指交通擁堵指數(shù)的簡(jiǎn)稱，是綜合反映道路網(wǎng)暢通或擁堵的概念，記交通指數(shù)T.其范圍為[0，10],分別有五個(gè)級(jí)別：T暢通；基本暢通；輕度擁堵；中度擁堵；嚴(yán)重?fù)矶?在晚高峰時(shí)段，從貴陽(yáng)市交通指揮中心選取了市區(qū)20個(gè)交通路段，依據(jù)其交通指數(shù)數(shù)據(jù)繪制的頻率分布直方圖如圖所示.(I)在這20個(gè)路段中，輕度擁堵、中度擁堵的路段各有多少個(gè)？(II)從這20個(gè)路段中隨機(jī)抽出3個(gè)路段，用X表示抽取的中度擁堵的路段的個(gè)數(shù)，求X的分布列及期望.參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】直方圖；離散形隨機(jī)變量的分布列及期望.K6,K8【答案解析】解析：(I)由直方圖得：輕度擁堵的路段個(gè)數(shù)是個(gè)，中度擁堵的路段個(gè)數(shù)是(II)X的可能取值為0，1，2，3，所以X的分布列為【思路點(diǎn)撥】由直方圖可找出各種情況數(shù)據(jù)，再根據(jù)條件求出分布列與期望.22.已知函數(shù)，.（Ⅰ）若在處取得極值，求的值；（Ⅱ）若在區(qū)間上單調(diào)遞增,求的取值范圍；（Ⅲ）討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).參考答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，函數(shù)無零點(diǎn)，當(dāng)或時(shí)，函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn).（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，.因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)遞增，所以在區(qū)間上恒成立.即在區(qū)間上恒成立.

所以.

……8分（III）因?yàn)?，所以?考點(diǎn)：1