與三角形有關的角

第2講與三角形有關的角、知識重點1．三角形內角和定理(1)定理：三角形三個內角的和等于180°.(2)證明方法：(3)理解與延伸：因為三角形內角和為180°，所以延伸出三角形中很多的角的特定關系如：①一個三角形中最多只有一個鈍角或直角；②一個三角形中最少有一個角不小于60°；③直角三角形兩銳角互余；④等邊三角形每個角都是60°等.(4)作用：已知兩角求第三角或已知三角關系求角的度數(shù)．談重點三角形內角和定理的理解三角形內角和定理是最重要的定理之一，是求角的度數(shù)問題中最基礎的定理，應用非常廣泛．【例1】填空：TOC\o"1-5"\h\z在AABC中，若ZA=80°,ZC=20°,則ZB= °；若ZA=80°,ZB=ZC,則ZC= °；已知AABC的三個內角的度數(shù)之比ZA：ZB：ZC=2：3：5,則ZB= °,ZC= °.2．直角三角形的性質與判定直角三角形的性質：直角三角形的兩個銳角互余．如圖所示，在RtAABC中，如果ZC=90°,那么ZA+ZB=90°.

答案：B直角三角形的判定：有兩個角互余的三角形是直角三角形．如圖所示，在△ABC中，如果ZA+ZB=90°,那么ZC=90。，即△ABC是直角三角形．【例2—2】如圖所示，AB〃CD,直線EF分別交AB,CD于點E,F,ZBEF的平分線與ZDFE的平分線相交于點P,求證：AEPF是直角三角形.3．三角形的外角定義：三角形的一邊與另一邊的延長線組成的角，叫做三角形的外角.如圖，ZACD就是AABC其中的一個外角.特點：①三角形的一個外角和與它同頂點的內角互為鄰補角，這是內、外角聯(lián)系的紐帶．②一個三角形有6個外角，其中兩兩互為對頂角，如圖所示.破疑點三角形外角的理解外角是相對于內角而言的，也是三角形中重要的角，一個角對一個三角形來說是外角，而對于另一個三角形來說可能是內角；三角形的角是指的三角形的內角，這點要注意．【例3】在AABC中，ZA等于和它相鄰的外角的四分之一，這個外角等于ZB的兩倍，那么ZA= ,ZB= ,ZC= .4.三角形外角性質(1)性質：三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內角的和.如圖所示：Z1=ZB+ZC(或

ZZB=Z1-ZC,ZC=Z1-ZB).注意：三角形的外角和不是所有外角的和，是每個頂點處取一個外角，是一半數(shù)目外角的和.⑵作用：①求角的度數(shù)，在外角、不相鄰的兩內角中知道兩角能求第三角，也能求出相鄰內角的度數(shù)；②證明角相等，一般是把外角作為中間關系式證明角相等.析規(guī)律三角形外角的性質的理解①三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩內角和，是由三角形內角和是180°和鄰補角關系推導出來的，是它們應用的延伸，所以用這個性質能得出的結論，用三角形內角和也能推出，但走了彎路.②因為三角形外角是通過圖表現(xiàn)出來的，具有隱蔽性，所以應用時要注意觀察圖形．【例4】如圖，一個直角三角形紙片，剪去直角后，得到一個四邊形，貝kl+Z2=5．三角形外角和定義(規(guī)定)：如圖所示，在每一個頂點上取一個外角，如Zl，Z2，Z3,它們的和叫做三角形的外角和．三角形外角和定理：三角形的外角和等于360°.注意：三角形的外角和不是所有外角的和，是每個頂點處取一個外角，是一半數(shù)目外角的和．【例5】如圖所示.用兩種方法說明Z1+Z2+Z3=360°.點評：同一頂點上的內、外角互為鄰補角是內、外角關系轉換的最基礎的依據(jù).6.三角形內角和定理應用三角形內角和定理是三角形中最重要的定理之一，是三角形中關于角度計算的基礎，也是其他多邊形求角度數(shù)問題必備的基礎知識，目前它的應用方式主要表現(xiàn)在以下幾個方面：已知兩角求第三角這是內角和定理最簡單、直接的應用，一般是直接或間接給出三個內角中的兩角，求第三角，比較簡單，直接用180°減去兩角度數(shù)得出，往往與考查角的單位換算相聯(lián)系.已知三角的比例關系求各角這類題目一般給出三個角的比例關系，通過設未知數(shù)列方程的方法求解，一般是設每一份為x度，用含未知數(shù)的式子分別表示出每一個角的度數(shù)，根據(jù)它們的和是180°列方程求解，然后再求出每一個角的度數(shù).有時是通過求角的度數(shù)判斷三角形的形狀，但熟練后從比例關系中可以直接確定三角形的形狀.已知三角之間相互關系求未知角這類題目一般是已知各角之間的和、差、倍、分等的數(shù)量關系，通過等式變形，用一共同的角表示其他兩角，然后根據(jù)內角和是180°列出等式，求出其中一角，然后再根據(jù)它們之間的數(shù)量關系分別求出另兩角，有時也可以列方程(組)求角的度數(shù)．解技巧利用三角形內角和求三角形的內角運用三角形內角和定理求角的度數(shù)題目形式多樣，方法也不同，要根據(jù)實際靈活運用．7．三角形外角性質的應用外角性質應用：三角形外角性質是三角形角度計算中的重要定理，也是求角度運算中常用的定理.如圖所示，Z1是AABC的一個外角，在Z1,ZB,ZC三個角中，知道任意兩個角就可以求出第三個角．Z1=ZB+ZC；ZB=Z1-ZC；ZC=Z1—ZB.破疑點利用三角形外角的性質求一個角的方法因三角形外角的性質是由三角形內角和與鄰補角定義推出的，所以用外角性質能進行的運算，用三角形內角和也能進行運算，但有外角時，應用外角性質更簡便，所以要改變原來習慣用三角形內角和定理的思維定式，學會運用外角性質定理解決問題．8．三角形內角和定理、外角性質、平行線性質綜合運用三角形內角和定理、外角性質定理都反映了角之間的數(shù)量關系，在求角度數(shù)問題中占有重要地位.同樣平行線中也蘊含了大量的角之間的關系(兩直線平行，內錯角相等、同位角相等、同旁內角互補)，因此它們常常結合在一起，綜合應用，通過角的等量轉化，以求角的度數(shù)或證明角相等.解技巧三角形內角和、外角性質的綜合運用因為三角形的內角、外角以及形成的鄰補角、對頂角等都是通過圖形反映出來的，在已知中不提及，因此運用時要注意觀察圖形，善于發(fā)現(xiàn)各角之間的位置關系，進而確定它們的大小關系．TOC\o"1-5"\h\z【例6—1】在△ABC中，ZA=80°,ZB=60。，則ZC= °.【例6—2】已知在△ABC中，ZA=40°，ZB—ZC=40。，貝^ZB= ，ZC【例6—3】在△ABC中，ZA：ZB：ZC=5：3：2,那么△人30是( ).A.銳角三角形 B.直角三角形C.鈍角三角形 D.任意三角形【例6—4】銳角三角形的三個內角是ZA,ZB，ZC.如果Za=ZA+ZB，Z“=ZB+ZC,Zy=ZC+ZA，那么Za，Z",Zy這三個角中( ).A.沒有銳角 B.有1個銳角C.有2個銳角 D.有3個銳角【例7】填空：(1)如圖(1),P為△ABC中BC邊的延長線上一點，ZA=50°,ZB=70°,則ZACP= °.(2)如圖(2)所示，已知ZABE=142°,ZC=72°,則ZA= °,ZABC=如圖(3),Z3=120°,則Z1—Z2=A．120°A．120°B．240°）．C．300°DC．300°【例8—2】如圖，a〃b，則下列式子中值為180°的是（）.9.運用三角形內角和定理判斷三角形形狀判斷三角形形狀是三角形問題中經(jīng)常遇到的題目，而判定三角形形狀方法多樣，其中運用三角形內角和定理求角，進而判斷三角形形狀是最常用的方法.因為三角形按角分類可以分為三類：鈍角三角形、銳角三角形、直角三角形，此外根據(jù)角的度數(shù)還能判定等腰三角形、等邊三角形，因此根據(jù)三角形內角和定理求出三角形某些角的度數(shù)，不僅可以按角分類判斷三角形的形狀，還可以按邊分類判斷三角形的形狀，進而了解邊的大小關系.解技巧利用三角形內角和確定三角形的形狀運用三角形內角和定理求角判斷三角形形狀問題比求角度問題多一步判斷，但不同點是：判斷形狀不是求出所有角，而是根據(jù)所給三角形各內角關系，求某些關鍵的角，一般是最大角，然后進行判斷．【例9—1】一個三角形三個內角的度數(shù)之比為2：3：7,這個三角形一定是（）.A.直角三角形 B.等腰三角形C.銳角三角形 D.鈍角三角形【例9—2】在A4BC中，若ZA=2ZB=3ZC，試判斷這個三角形的形狀.分析：根據(jù)ZA=2ZB=3ZC，可設ZA=x°，那么ZB=|x°,ZC=|x°,根據(jù)三角形內角和是180°列方程求出x,再求出最大角的大小，即可判斷出三角形的形狀.10．角平分線的夾角與三角形內角關系的探究根據(jù)三角形的內角和，三角形外角與內角的關系及角平分線的意義，可以探究有關角平分線的夾角問題.（1）三角形的兩內角平分線的夾角與內角的關系如圖，在△ABC中，ZABC的平分線與ZACB的平分線交于點O,求ZBOC與ZA之間的關系.

結論：三角形兩內角的平分線所夾的鈍角等于90°加上第三角的一半，即ZBOC=90°+2za(2)三角形兩外角的平分線的夾角與內角的關系如圖，在△ABC中，BP，CP分別是△ABC的外角ZDBC和ZECB的平分線，試探究ZBPC與ZA的關系.結論：三角形的兩個外角的平分線所夾的銳角等于90°減去第三個角的一半，即ZBPC=90°—^ZA.一個內角平分線與一個外角平分線的夾角與內角的關系如圖，在△ABC中，CE平分ZACB,BE是△ABC的外角ZABD的平分線，試探究ZBEC與ZA的關系.結論：三角形的一個內角平分線與外角平分線相交成的銳角等于第三個內角的一半，即/1//bec=2，a.【例10—1】如圖，已知△ABC,ZABC的平分線與ZACB的平分線交于點0,求ZBOC與ZA之間的關系.【例10【例10—2】的度數(shù)是().A．80°分析：根據(jù)角平分線意義和三角形內角和定理，采用整體代入方法，由ZBOC=180°-(Z0BC+Z0CB),經(jīng)過代換得，ZB0C=180°-2ZABC-2ZACB=180°-1(ZABC+ZACB)=180°-|(180°-ZA)，化簡得出結論.如圖，BO,CO分別是ZABC，ZACB的兩條平分線，ZA=100°，貝JZBOC例10－3】如圖所示,ZABC的平分線和△ABC的外角ZACE的平分線交于點D,ZD=30°，ZA的度數(shù)是 ；當ZD= 時，Z例10－3】由于每個角的度數(shù)都不知道，所以需要將五個角轉化到同一個三角形中解決，解決此問題有多種方法，①如圖(2),連接BC,根據(jù)三角形內角和定理和對頂角相等，可將ZA+ZB+ZC+ZD+ZE轉化到△ABC中求解；②如圖(3),延長BD，交AC于F,根據(jù)三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和，可將ZA+ZB+ZC+ZD+ZE轉化到△COF中求解；③如圖(4),也可以延長CE交AB于G，運用三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩內角和，將ZA+ZB+ZC+ZD+ZE轉化到ABOG中求解；④向兩方延長DE也能構造出三角形求解．圖⑶ 圖⑷【例11】如圖⑴所示是小亮的爸爸帶回家的一種零件示意圖，它要求ZBDC=140°才合格，小明通過測量得ZA=90°,ZB=19°,ZC=40°后就下結論說此零件不合格，于二、綜合練習一、選擇題1．三角形的三個外角之比為2:3:4，則與之相應的三個內角之比為（ ）A.2:3:4b.4:3:2c.5:3:1D.1:3:5

2.如圖4,工人師傅砌門時，常用木條EF固定矩形門框ABCD,使其不變形，這種做法大小不同的三角形的個數(shù)是（）的根據(jù)是（ ）A.兩點之間直線段最短C.矩形四個角都是直角的根據(jù)是（ ）A.兩點之間直線段最短C.矩形四個角都是直角B.矩形的穩(wěn)定性D.三角形的穩(wěn)定性3.如圖5,Z1,Z2,Z3,A.Z1€Z2二Z3€Z4Z4恒滿足的關系式是（B.Z1€Z2二Z4—Z3圖4 圖5）C.Z1€Z4二Z2€C.Z1€Z4二Z2€Z3 d.Z1€Z4二Z2-Z34.如圖6,Z1€Z2€Z3€Z4€Z5€Z6等于（ ）5.如圖7,在AABC中，D是AB上的一點，E是AC上一點，BE,CD相交于F,ZA=70,ZACD=20,/ABE=28,則ZCFE的度數(shù)為（ ）A.62B.68C.78D.90如圖2,以BC為公共邊的三角形的個數(shù)是（ ）A.2B.3C.4D.5若三條線段中a=3,b=5,c為奇數(shù)，那么由ab,c為邊組成的三角形共有（ ）A.1個 B.3個 C.無數(shù)多個 D.無法確定8.如果線段a,b,c能組成三角形，那么它們的長度比可能是（ ）A.1:2:4 B.1:3:4C.3:4:7D.2:3:49.不一定能構成三角形的一組線段的長度為（ ）A.3,7,5C.5,5,a（0<a<10? D.a2，b210?已知有長為1,2,3的線段若干條，任取其中3樣構造三角形，則最多能構成形狀或A.5B.7C.8 D.10二、填空題如圖1,ZABC的平分線交ZACB的平分線于l，若ZA=60,則ZBIC= o一個三角形中最多有 個內角是鈍角，最多可有 個角是銳角.TOC\o"1-5"\h\z三角形兩個外角的和等于第三個內角的4倍，則第三個內角等于 .如圖