2021-2022學(xué)年初中數(shù)學(xué)講義-全等三角形方法課之倍長中線法

2021-2022學(xué)年初中數(shù)學(xué)精品講義-全等三角形方法課之倍長

中線法（解析版）

學(xué)校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.如圖，在等腰直角三角形ABC中，NC=9（r,AC=8,尸為AB邊的中點，點。，E

分別在AC,BC邊上運動，且保持45=CE,連接DE、DF,EF.在此運動變化的過程中，

下列結(jié)論：①是等腰直角三角形；②四邊形CDFE的面積保持不變；③

AD+BE>DE.其中正確的是（）

A.①②③B.①C.②D.①②

【答案】A

【分析】

連接CF,利用SAS可證^ADF^CEF,從而得出DF=FE,ZAFD=NCFE,從而求

出/EFD=90。，即可判斷①；根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得1.「=5q一從而得出四邊

形CDFE的面積為;S,.pc，從而判斷②；延長。6到G使F、G=OF,連接EG,BG,證

出AD=3G和OE=EG,最后根據(jù)三角形的三邊關(guān)系即可判斷③.

【詳解】

解：如圖，連接CF.

VAC=BC,尸為A8的中點，

/.CFA.AB,ZACF=ZBCF=-ACB.

2

,/ZACB=90°,

：.ZA=ZACF=ABCF=45°,

/.CF=AF.

又?.??!￡>=*

:.&ADF/&CEF.

:.DF=FE.AAFD=ZCFE,

?.*ZAFD+ZCFD=90°,

???NCFE+NCFD=90°,

???ZEFD=90°,

???△。印是等腰直角三角形.①正確.

?：AADFRCEF,

,,SJDF=SACEF，

=

?、四邊形CDFE的面積為SqCDF+SdCEF=SACDF+SAMDF=^AFC耳^ABC-

，

,-5“,slfclC=-2ACxfiC2=-x8x8=32,

四邊形CW芯的面積為16,為定值.②正確.

延長。尸到G使FG=DF,連接EG,8G.

VAF=BF,ZAFD=ZBFG,DF=FG,

：./XADF^/XBCF,

：.AD=BG.

?；NEFD=90°,

；?EFLDF,

DE=EG.

在AEBG中，

BG+BE>EG,

：.AD+BE>DE.③正確.

①②③均正確，

故選A.

【點睛】

此題考查的是全等三角形的判定及性偵、等腰直角三角形的判定和三角形的三邊關(guān)系,

掌握構(gòu)造全等三角形的方法是解決的關(guān)鍵.

2.在AABC中，AC=5,中線AZ>=7,則A8邊的取值范圍（）

B

A.2<AB<i2B.4<AB<\2C.9<AB<19D.10<AB<19

【答案】C

【分析】

延長A￡>至E,使。E=A￡>,然后利用“邊角邊”證明△ABO和△EC。全等，根據(jù)全等三

角形對應(yīng)邊相等可得A8=CE,再利用三角形的任意兩邊之和大于第三邊，三角形的任

意兩邊之差小于第三邊求出CE的取值范圍，即為A8的取值范圍.

【詳解】

解：如圖，延長至E,使

A

是△ABC的中線，

：.BD=CD,

在△A8O和△ECO中，

BD=CD

<NAD芹NEDC,

AD=DE

:.AABDWAECD(SAS),

：.AB=CE,

\'AD=7,

；.AE=7+7=14,

V14+5=19,14-5=9,

：.9<CE<19,

即9<AB<\9.

故選：C.

【點睛】

本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的任意兩邊之和大于第三邊，三角形的任

意兩邊之差小于第三邊，“遇中線，加倍延”構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵.

3.如圖，在△ABC中，AB=6,AC=10,BC邊上的中線AD=4,則△ABC的面積

為()

A.30B.24C.2()D.48

【答案】B

【分析】

延長AD到E,使DE=AD,連接CE,利用SAS得出△ADB^AEDC全等，得至I]AB=CE,

利用勾股定理的逆定理得到△ACE為直角三角形，△ABC的面積等于△ACE的面積,

利用三角形的面積公式即可得出結(jié)果.

【詳解】

解：延長AD到E,使DE=AD,連接CE,如圖所示：

：D為BC的中點，

；.DC=BD,

AD=AE

在4ADB與EDC中，■^ADB=ZEDC,

CD=BD

.".△ADB^AEDC(SAS),

ACE=AB=6.

XVAE=2AD=8,AB=CE=6,AO10,

AAC2=AE2+CE2,

/.ZE=90°,

貝SAABC=SAACE=|CE?AE=^X6X8=24；

故選：B.

【點睛】

本題考查的是勾股定理及逆定理，以及全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握勾股定理的

逆定理是解題的關(guān)鍵.

4.如圖，在平行四邊形A8CD中，CD=249=8,E為AD上一點,F為0C的中點，

則下列結(jié)論中正確的是()

A.BF=4B.ZABC>2ZABFC.ED+BC=EB

D.S四邊形OT7)C=

【答案】D

【分析】

根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可以得到CD=24)=2BC=8,且F為0c的中點，所以

CF=BC=4,由此可判斷A選項；再結(jié)合平行線的性質(zhì)可以得到NCEB=NER4,由此

可判斷8選項；同時延長所和BC交于點P,DF=CF,NDFE=NPFC,ND=NFCP可

以證得△。自所以￡O+8C=CP+8C=8P,由此可以判斷C選項；由于

△DFE=^CFP,所以S四邊形DEBC=SvBEP，由此可以判斷D選項：

【詳解】

???四邊形ABCO是平行四邊形

:.CD=2AD=2BC=8

CF=BC=4

由于條件不足，所以無法證明8尸=4,故A選項錯誤；

CF=BC=4

NCFB=NFBC

DC//AB

NCFB=ZFBC=NFBA

ZABC=2ZABF

故8選項錯誤；

同時延長所和BC交于點P

AD\\BP

ZD=ZFCP

DF=CF

■■在ADFE和ACFP中：,NDFE=NPFC

ZD=ZFCP（ASA）

ADFE.CFP

ED+BC=CP+BC=BP

由于條件不足，并不能證明外=BE,故C選項錯誤;

???ADFEWACFP

S四邊形DE8c

F為￡>C的中點

SyBEP=2SVB"=S四邊形。EBC

故。選項正確;

故選：D.

【點睛】

本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)，以及全等三角形的判定，根據(jù)題意作出相應(yīng)的輔助線

是求解本題的關(guān)鍵.

5.如圖，在A4BC中，AB>AC,A"是中線，AE是角平分線，點廠是AE上任意一

ADFR

點(不與A,E重合)，連接8尸、CF.給出以下結(jié)論：①蕓=笠；②

ACEC

ZDAE=(ZACB-ZABC)；③;(AB-AC)<40<g(AB+AC)；④

AB+CF>AC+BF.其中一定正確的有()

A

BDEC

A.4個B.3個C.2個D.1個

【答案】B

【分析】

SA8SBE

①根據(jù)面積法可得1=1=7萬，從而可得①正確；②由AD是中線，無法

dAAC￡AC匕

得出/D4E=1(/AC8-ZABC),故可判斷②錯誤；③運用SAS證明AA￡>C=AA〃出得

2

AC^MB,在AAM8中運用三角形三邊關(guān)系可得結(jié)論，從而判斷③；④在AB上截取

AN=AC,連接尸N,運用SAS證明A4/W三A4FC得NF=CF,在ABM■中運用三角形

三邊關(guān)系可得結(jié)論，從而判斷④.

【詳解】

解：①過E作EG_LA8于G,EHIAC^H,過A作4K_LBC于K,

金

BDEKC

?JAE是Z&4C角平分線，EGLAB,EHLAC,

..EG=EH,

c-ABEG.

.SgBE__2________&5

c

S"-ACEH4

2

?.?AK_L3C,

???S^B:BEAK,

SMCE=^CE-AK

°LBE-AKNR

.SMBE_2_______

??

S^CE-CEAKCE

2

ABEBMOT花

??就=由，故①正確;

②NBAC+ZACB+ZABC=180°

ABAC=180。-(ZACB+ZABC),

,JAE平分㈤C,

NBAE=ZCAE=-ZBAC=90°」(NACB+ZABC),

22

?.?AO是中線，

無法得出/DAE=-(ZACB-/ABC),故②錯誤；

2

③延長AO到M使DM=4),連接BM,

?/4)是中線，

：.BD=CD,

在AAOC和AMDB中,

AD=MD

<ZADC=NMDB

BD=CD

/^ADC=^MDB(SAS)

:.AC=MB

在AAMB中，

AB-BM<AM<AB+BM

-.■AM^AD+DM^2AD,AC=BM,

:.AB-AC<2AD<AB+AC

:.-(AB-AC)<AD<-(AB+AC),故③正確;

22

④在AB上截取4V=AC,連接尸N,

???A￡是角平分線,

:.ZNAF=ZCAF,

在AAFN和AAFC中,

AN=AC

-ZNAF=ZCAF

AF=AF

MFN=AAFC（SAS）,

NF=CF,

在MN/7中，BF-NF<BN,

BN=AB-AN=AB-AC

:.BF-CF<AB-AC,

即AB+B>AC+8F,故④正確；

綜上①③④正確.

故選B.

【點睛】

此題主要考查了三角形的中線，角平分線以及全等三角形的判定與性質(zhì)，關(guān)鍵是正確畫

出輔助線.

6.如圖，在△ABC中，AB=5,AC=3,AD是BC邊上的中線，AD的取值范圍是（）

A.1<AD<6B.1<AD<4C.2<AD<8D.2<AD<4

【答案】B

【分析】

先延長AO到E,&AD=DE,并連接BE,由于NAQC=/3DE,BD=DC,利用%S

易證VADCWVEDB,從而可得AC=3E,在八山組中，再利用三角形三邊的關(guān)系，可

W2<AE<8,從而易求1<AD<4.

【詳解】

解：延長4。到E,使A￡）=E>E,連接8E,則AE=2AD,

*：AD=DE,ZADC=NBDE,BD=DC,

VADC^VEDB（5A5）,

.?.BE=AC=3,

在△AEB中，AB-BE<AE<AB+BE,

即5-3<24)<5+3,

A1<AT><4.

故選：B.

【點睛】

此題主要考查三角形三邊關(guān)系：兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊.

7.如圖，在“8C中，。為BC的中點，若AC=3,AO=4.則AB的長不可能是（）

【答案】A

【分析】

延長4。到E,使AD=OE,證明AAOC絲然后利用三邊關(guān)系即可得出結(jié)論.

【詳解】

解：延長A。到E,使AD=DE=4,連接BE,

E

?.?。是8c的中點,

：.BD=CD

又NBDE=NCDA

:.AADC%AEDB,

，BE=AC=3

由三角形三邊關(guān)系得，AE-BE<AB<AE+BE

即：5<AB<11

故選：A

【點睛】

此題主要考查了三角形三邊關(guān)系以及全等三角形的判定與性質(zhì)，正確作出輔助線是解答

此題的關(guān)鍵.

8.如圖，在四邊形ABC。中，AB//CD,AB±BD,AB=5,BD=4,CD=3,點E

是AC的中點，則8E的長為（）.

A.2B.1C.75D.3

【答案】C

【分析】

延長BE交C/）延長線于P,可證△AEBgaCEP,求出。P,根據(jù)勾股定理求出BP的

長，從而求出的長.

【詳解】

解：延長BE交CD延長線于P,

\'AB//CD,

：.NEAB=NECP,

在4AEB和^CEP中，

'NEAB=ZECP

<AE=CE

NAEB=NCEP

：./XAEB^ACEP（ASA）

：.BE=PE,CP=AB=5

又；。=3,

：.PD=2,

,:BD=4

?*-BP=dDP2+B?=245

：.BE=^BP=^5.

考查了全等三角形的判定和性質(zhì)和勾股定理，解題的關(guān)鍵是得恰當(dāng)作輔助線構(gòu)造全等,

依據(jù)勾股定理求出BP.

9.在°43b中，BC=2AB,C￡>_LA8于點。，點E為A尸的中點，若NADE=50。,

則DB的度數(shù)是（）

A.50°B.60°C.70°D.80°

【答案】D

【分析】

連結(jié)CE,并延長CE,交BA的延長線于點M根據(jù)已知條件和平行四邊形的性質(zhì)可證

明4所以NE=C￡,N4=CF，再由已知條件COJ_A8于。，NADE=50。，

即可求出N8的度數(shù).

【詳解】

解：連結(jié)CE,并延長CE,交BA的延長線于點N,

?.?四邊形ABCF是平行四邊形，

J.AB//CF,AB=C尸，

:./NAE=NF,

???點E是的AF中點，

：.AE=FE,

在424￡和4CFE中，

'2NAE=NF

"AE=FE,

NAEN=NFEC

:.XNAE妾4CFE(ASA),

：.NE=CE,NA=CF,

"：AB=CF,

:.NA=AB,即BN=2AB,

,:BC=2AB,

:*BC=BN,NN=NNCB,

'：CDA.AB于D,即NNDC=9。。且NE=CE,

：.DE=^NC=NE,

：.NN=NNDE=5Q°=NNCB,

.?./B=80。.

故選：D.

【點睛】

本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，綜合性較強，難度較大，解答本題的關(guān)鍵是正確作出輔

助線，構(gòu)造全等三角形，在利用等腰三角形的性質(zhì)解答.

10.如圖，AA8C中，。為8c的中點，點E為血延長線上一點，交射線AC

于點尸，連接EF,則8E+CF與EF的大小關(guān)系為()

E

A.BE+CF<EFB.BE+CF=EFC.BE+CF>EFD.以上都有可能

【答案】C

【分析】

如圖，延長ED到T,使得DT=DE,連接CT,TF,證明△EDBZZ\TDC(SAS),推

出BE=CT,由CT+CF>FT,可得BE+CF>EF.

【詳解】

解：如圖，延長到T,使得。T=￡>E,連接CT,TF.

■：DE=DT,DF1ET,

:.EF=TF,

在AEDB和中，

DB=DC

-ZEDB=Z.TDC,

DE=DT

:ZDB三HDC(SAS),

:.BE=CT,

-.CT+CF>FT,

：.BE+CF>EF,

故選：C.

【點睛】

本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加

常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題.

二、填空題

11.如圖，AABC中，。為BC的中點，E是A￡＞上一點，連接座并延長交AC于E,

BE=AC,且8尸=9,CF=6,那么AF的長度為

3

【答案】

2

【分析】

延長A。至G使AO=OG,連接8G,得出AAS蘭AGBO,得出4C=8G=8石，所以

得出AA燈是等腰三角形，根據(jù)己知線段長度建立等量關(guān)系計算.

【詳解】

如圖：延長AO至G使AO=QG,連接8G

在AACD和AG8O中：

CD=BD

<ZADC=NBDG

AD=DG

：.MCDwAGBD

:.ZCAD=ZG,AC=BG

9：BE=AC

：.BE=BG

：.4G=/BEG

?:ZBEG=ZAEF

：.ZAEF=ZEAF

，EF=AF

AF+CF=BF-EF

即AF+6=9-EF

【點睛】

倍長中線是常見的輔助線、全等中相關(guān)的角的代換是解決本題的關(guān)鍵.

12.在平行四邊形中，E為邊的中點，S.ZEAF=ZDAE,AF交射線BC于

點F,若AF=13,CF=3,則BF的長度為

【答案】7或19

【分析】

延長AE交BC的延長線于點G,分兩種情況：點F在線段BC上和點F在線段BC的

延長線上，分情況討論即可.

【詳解】

延長AE交BC的延長線于點G,分兩種情況：

①如圖，

四邊形ABCD是平行四邊形，

ADMBC,AD=BC.

NG=乙DAE=ZE4F.ZD=NGCE,

:.GF=AF=13,

:.GC=GF-CF=\3-3=\0.

?.?點E為CD邊的中點，

:.DE=CE,

ZDAE=^G

在&ADE和AGCE中，，NO=NGCE

DE=CE

:./\ADEs^GCE(AAS),

.-.AD=GC=IQ,

:.BC=IO,

：.BF=BC-CF=7；

②如圖,

同理可得GF=AF=13,AAOE三△GCE,

GC=GF+CF^\6,AD=GC=\6,

:.BC=16,

:.BF=BC+CF=\9-,

綜上所述，BF的長度為7或19,

故答案為：7或19.

【點睛】

本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)和全等三角形的判定及性質(zhì)，掌握這些性質(zhì)并分情況討

論是解題的關(guān)鍵.

13.在A4BC中，A9是BC邊上的中線，若AB=7,AC=5,則49長的取值范圍是

【答案】\<AD<6

【分析】

利用中線的性質(zhì)，作輔助線AD=DE,構(gòu)造全等三角形AAOB三AEOC(SAS),再有全等

三角形對應(yīng)邊相等的性質(zhì)，解得C￡=A8=7,最后由三角形三邊關(guān)系解題即可.

【詳解】

如圖，AD為BC邊上的中線，延長AD至點E,使得AD=DE

A

在^ADB和仆EDC中

BD=DC

<ZADB=ZCDE

AD=DE

:.&ADB=AEDC(SAS)

；.CE=AB=7

?：CE-AC<AE<AC+CE

.\7-5<2A￡><7+5

/.1<AD<6

故答案為：1<AD<6.

【點睛】

本題考查三角形三邊的關(guān)系，其中涉及全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，是重要考點,

掌握相關(guān)知識、正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

14.如圖，在A4BC中，AO是8C邊上的中線，AB=5,AC=13,AD=6,則BC=

【答案】2屈

【分析】

延長AO到點E,使OE=A￡>=6,連接CE,證明合△CED(SAS)CE=4?=5,

NBAD=ZE,再根據(jù)勾股定理的逆定理證得NCE￡>=90。，即440=90。，然后利用勾

股定理求解即可.

【詳解】

延長4。到點E,使￡)E=A￡>=6,連接CE,

?.?AO是8c邊上的中線，

；.BD=CD,

在^ABD和XCED中，

BC=CD

<ZADB=NCDE

AD=DE

^ABD=ACED(SAS),

:.CE=AB=5,NBAD=NCED,

■.■AE=2AD=12,CE=5,AC=13,

CE2+AE2=AC2,

NCED=90°,

:.ZBAD=90P,

：.BD2=AB2+AD2>

:.BD=y/^7^=而,

BC=2BD=2屈.

【點睛】

本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理及其逆定理的應(yīng)用，做輔助線構(gòu)造全等三

角形及證得/BAD=NCED=90。是關(guān)鍵.

15.已知△A3C中,AZ)是4A5C的中線,A5=4,AO=5,則邊AC的取值范圍是.

【答案】6<x<14

【分析】

延長AD至點E,使AD=DE,由全等三角形的判定定理得出4ACD^AEBD,故AC=BE,

再由三角形的三邊關(guān)系即可得出結(jié)論.

【詳解】

解：延長AD至點E,使AD=DE,

BD=CD

"ZBDC=NCDA,

AD=DE

.".△ACD^AEBD(SAS),

AAC=BE.

在△ABE中，VAB=4,AE=2AD=10,

10-4<BEC10+4,即6<BE<14,

.,.6<AC<14.

故答案為：6<AC<14.

【點睛】

本題考查了三角形的三邊關(guān)系，熟知三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊

是解答此題的關(guān)鍵.

16.如圖，在△ABC中，NACB=120。，BC=4,D為AB的中點，DCJ_BC,則點A

到直線CD的距離是.

【答案】4

【分析】

根據(jù)垂直的定義得到NBCD=90。，延長CD到H使DH=CD,由線段中點的定義得到

AD=BD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AH=BC=4.

【詳解】

DCXBC,

ZBCD=90°,

,/ZACB=120°,

ZACD=30°,

如圖，延長CD到H使DH=CD,

,/D為AB的中點，

AD=BD,

在AADH與ABCD中，

CD=DH

?AADH=NBDC,

AD=BD

：.AADH=ABCD(SAS),

AH=BC=4,ZAHD=ZBCD=90°,

...點A到CD的距離為4,

故答案為：4.

【點睛】

本題考察全等三角形的判定與性質(zhì)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

17.如圖，平行四邊形ABCD,點F是BC上的一點，連接AF,NFAD=60。，AE平

分NFAD,交CD于點E,且點E是CD的中點，連接EF,已知AD=5,CF=3,則

EF=_.

【答案】4

【分析】

延長AE,BC交于點G,判定AADE絲Z\GCE,即可得出CG=AD=5,AE=GE,再

根據(jù)三線合一即可得到FE1AG,進而得出RtAAEF中，EF=-AF=4.

2

【詳解】

解：如圖，延長AE,BC交于點G,

???點E是CD的中點，

；.DE=CE,

；平行四邊形ABCD中，AD/7BC,

.?.ND=NECG,

又；NAED=/GEC,

.".△ADE^AGCE,

；.CG=AD=5,AE=GE,

又：AE平分/FAD,AD//BC,

NFAE=/DAE=NG=-ZDAF=30°,

2

；.AF=GF=3+5=8,

又；E是AG的中點，

.\FE±AG,

在RtAAEF中，NFAE=30°,

.\EF=-AF=4,

2

故答案為：4.

【點睛】

本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)的

綜合運用，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造全等三角形，利用全等三角形的對應(yīng)邊相等,

對應(yīng)角相等進行推算.

18.如圖，AB\\CD,ZBCD=90°,A8=1,8C=CD=2,E為AD上的中點，貝UBE=

【答案】立

2

【分析】

延長BE交CD于點F,證VABfgVDFE,則BE=EF=；BF,故再在直角三角形BCF

中運用勾股定理求出BF長即可.

【詳解】

解：延長BE交CD于點F,

：AB平行CD,則/A=/EDC,NABE=/DFE,

又E為AD上的中點，，BE=EF,

所以

BE=EF=-BF,AB=DF=\

2

：.CF=\

在直角三角形BCF中，BF=7P7F=>/5.

BE=-BF=—.

22

【點睛】

本題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造三角形全等，找到線段的關(guān)系，然后運用勾股定理求解.

19.如圖，在矩形A8CD中，E,尸分別為邊8,AO的中點，CF與EA、EB分別交

于點例、N.已知A8=8,8c=12,則MN的長為.

【答案】I

【分析】

延長BE,A。交于Q,已知4?=8,8c=12,則CF=Jc。2+DF2=10，因為E為CD

中點，即可得AQDE/ABCE（A4S）,通過AQVFSABNC,根據(jù)對應(yīng)邊成比例可得FN、

CN的長；同理延長CF,交于點W,即可求出CM的長，即可得MN.

【詳解】

解：延長8E,AD交于Q,

.?.々4)=90°,AD=BC=\2,AD/IBC,

?.?/為中點，:.DF=AF=6,

在HACOE中，CD=AB=8,

由勾股定理得：CF=\/CD2+DF2=10>

VADIIBC,NQ=NEBC,E為CO中點，8=8,

:.DE=CE=4,

NDQE=ZCBE

在&QDE與ABCE中，，ZDEQ=NCEB,

DE=CE

：.AQDE^ABCE(AAS),

ADQ=BC=\2,即QF=r>Q+。尸=18,

?：ADIIBC,:?bQNFsmNC,:.曳="=>

CNBC2

32

VCF=70,AFN=-CF=6fCN=-CF=49

延長CT,8A交于點W,

D

???尸為D4中點，:?DF=AF,

VAWF=ZDCF

在A4FW與\DFC中，'乙4尸W=ZDFC

AF=DF

：.MFW^ADFC（A4S）,AAW=CD=8,

：.BW=BA+AW=16fCF=NF=10,

ACW=20,VABHCD,：.ACME^AWMA,

WMAW233

:.MN=FN+CM-CF

=6+上0

8

=3f

Q

即MN的長度為%

【點睛】

本題考查全等三角形、相似三角形的判定與性質(zhì)相結(jié)合，注意構(gòu)造輔助線構(gòu)造8字型全

等及相似是解題的關(guān)鍵，屬于中等偏難題型.

20.如圖，在正方形A8C。中，MV分別是A。、BC邊上的點，將四邊形A8MW沿直

線MN翻折，使得點4、8分別落在點4、9處，且點8'恰好為線段C。的中點，A'B'

交于點G,作DPLMN于點P,交4ZT于點Q.若AG=4,則PQ=

B

N

【答案】運

5

【分析】

根據(jù)中點這個條件考慮倍長，構(gòu)造出全等三角形，進而結(jié)合翻折得性質(zhì)產(chǎn)生等腰三角形,

綜合等腰三角形的性質(zhì)通過設(shè)未知數(shù)表示各線段，再通過相似三角形建立等式求解正方

形的邊長，最后利用三角函數(shù)值快速求解.

【詳解】

如圖，連接B8B'，延長N8'、交于點尸，則△CNB0AFDB',

ZCB'N=ZFBD=NOGS',

根據(jù)翻折的性質(zhì)可得AFMN為等腰三角形，ZEFM=ZEFN,

作尸E_LMN于點E,設(shè)DB=B，C=x,則正方形邊長為2x,

553

則BB'=MN=>/5X,BN=X,FM=FN=-X,CN=FD=-X,

XX11Y

DG=2x-4,GM=4——,AM=A'M=-,FG=---4

444

,24上

由△AMGs4FB'G,得魯=當(dāng)，則裊=777^-，解得％=6,

卜BFG21"4

~47一

15921

則B'C=6,8'N=—,CN=—,DG=8,OM=—,

222

.\PD=^-DM=^~

55

B'C1

設(shè)NCBH=ZNFE=ZMFE=/MDP=a,則tana=——=-,

BC2

NC3

設(shè)4CB'N=4DGB'=。,則tan￡=^=二，

BC4

此時作?！↗_GO,GH;普,DH=^,

tanptana

W^+3-=8=QH=￡,則QO=&H=^^,

tan/tana5上丫上5

9J5

??.PQ=PD-DQ=-^~

故答案為：處.

5

H

【點睛】

本題考查了正方形的性質(zhì)，翻折的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，及三角函數(shù)的應(yīng)用，

綜合性比較強，難度較大，熟練掌握做輔助線的方法是解決問題的一個關(guān)鍵點，再有就

是結(jié)合圖中構(gòu)造出的全等或相似，準(zhǔn)確列式計算也是本題的一個關(guān)鍵點.

三、解答題

21.課堂上，老師出示了這樣一個問題：

如圖1,點。是AA8C邊BC的中點，A8=5,AC=3,求AO的取值范圍.

圖1圖2

(1)小明的想法是，過點B作交AD的延長線于點E,如圖2,從而通過構(gòu)造

全等解決問題，請你按照小明的想法解決此問題；

(2)請按照上述提示，解決下面問題：

在等腰心AABC中，NB4C=90。，AB=AC,點。邊4c延長線上一點，連接B。，過

點A作于點E,過點A作且AF=AE,連接EF交BC于點G,連

接CF,求證BG=CG.

【答案】(1)1VADV4；(2)見解析

【分析】

(1)根據(jù)已知證明進而求得AC=8E,根據(jù)三角形三邊關(guān)系即可求

得AO的取值范圍；

(2)過點8作。交房的延長線于M,證明VABEAAB,得CF=BE,再證

明8M=CE,進而證明△5MG2△CFG,即可證明8G=CG

【詳解】

(1)\BEHAC

:.ZE=ZEAC

???Z.BDE=ZADC,BD=CD

???ABDE^AADC

??.AC=BE=3

?；AB-BE<AEvAB+BE,即2v2AD<8

/.1<A￡><4

(2)如圖，過點8作//EC交正的延長線于歷，

??,Z2=Z3

??,AF=AE,AF±AE,

/.Z4=ZAEF=45°,

???Zl=180o-ZA￡B-ZA￡F=180o-90o-45o=45°,

?/AB=AC,AE=AF^BAC=NEAF=90°

???ZBAC-ZEAC=ZEAF-ZEAC

即NBAE=NC4/

??VABE^VACF

:.CF=BE,ZAEB=ZAFC=90°

/.Z3=90o-Z4=45°

?/NAEF=Z3=Z4=45°,AE_LBD

.-.Z2=Z3=Z1=45O

:.BE=BM

BM=CF

又?；4BGM=ZCGF,

ABMG^ACFG

BG=CG

【點睛】

本題考查了三角形全等的性質(zhì)與判定，三角形三邊關(guān)系，等腰三角形的性質(zhì)，掌握三角

形全等的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵.

22.(1)閱讀理解：如圖1,在AABC中，若A8=10,BC=8.求AC邊上的中線BO

的取值范圍，小聰同學(xué)是這樣思考的：延長80至E,使。￡=80,連接CE.利用全

等將邊A5轉(zhuǎn)化到CE,在4BCE中利用三角形三邊關(guān)系即可求出中線BD的取值范圍，

在這個過程中小聰同學(xué)證三角形全等用到的判定方法是;中線BD的取值范圍

是.

(2)問題拓展：如圖2,在AA8C中，點。是AC的中點，分別以AB,為直角邊

向4ABC外作等腰直角三角形ABM和等腰直角三角形BCN,其中NA5M=NNBC=

90°,連接探索8。與MN的關(guān)系，并說明理由.

圖2

【答案】(1)SAS；\<BD<9i(2)2BD=MN,BDLMN,理由見詳解

【分析】

(1)由SAS證明AAB。也△(?￡￡>得出CE=AB=10,在ACBE中，由三角形的三邊關(guān)

系即可得出結(jié)論；

(2)延長BO至E,使￡>E=2。，連接CE,由(1)得：&ABD公XCED,由全等三角

形的性質(zhì)得出AB=CE,證出/BCE=NMBN,證明△BCE絲ANBM得

出BE=MN,NEBC=NMNB,則2BD=MN.延長DB交MN于G,證出NBGN=90。，

得出BDLMN.即可.

【詳解】

（1）解：???8。是AC邊上的中線,

:.AD=CD,

在△48。和4CED中，

AD=CD

<ZADB=/CDE,

BD=ED

:?4ABDqACED(SAS),

：.CE=AB=IO1

在△C5E中，由三角形的三邊關(guān)系得：CE-BC<BE<CE-BC,

A10-8<AE<10+8,即2VBEV18,

：.\<BD<9；

故答案為：SA5；\<BD<9；

(2)解：2BD=MN,BDLMN,理由如下：

延長80至￡使DE=BD,連接CE,如圖所示：

E1

由(1)得：2ABD注/\CED,

???NA8O=NE,AB=CE,

ZABM=NNBC=900,

：.ZABC+NM8N=180。，即ZABD+ZCBD+NM5N=180。,

VZE+ZCBD+ZBCE=180°,

:?NBCE=NMBN,

???△48M和^BCN是等腰直角三角形，

：.AB=MB,BC=BN,

:?CE=MB,

在△8CE和△N8M中,

CE=BM

-NBCE=NMBN,

BC=NB

：./\BCE經(jīng)4NBM(.SAS),

:.BE=MN,NEBC=NMNB,

；.2BD=MN.

延長。8交MN于G,

VZ7VBC=90°,

:.NEBC+NNBG=90°,

；./MNB+NNBG=90。,

:.NBGN=90。,

：.BD±MN.

【點睛】

此題是三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形的三邊關(guān)系、等腰

直角三角形的性質(zhì)、角的關(guān)系等知識；本題綜合性強，有一定難度，通過作輔助線證明

三角形全等是解決問題的關(guān)鍵.

23.(1)如圖1,已知AABC中，40是中線，求證：AB+AC>2AD；

(2)如圖2,在AABC中，D,E是8c的三等分點，求證：AB+AC>AD+AEt

(3)如圖3,在AABC中，D,E在邊BC上，且BD=CE.求證：AB+AC>AD+AE.

【答案】(1)見解析；(2)見解析；(3)見解析

【分析】

(1)利用“倍長中線''法，延長A￡>,然后通過全等以及三角形的三邊關(guān)系證明即可；

(2)取DE中點H,連接AH并延長至。點，使得連接QE和QC,通過“倍

長中線”思想全等證明，進而得到A8=CQ,AD=EQ,然后結(jié)合三角形的三邊關(guān)系建立不

等式證明即可得出結(jié)論：

(3)同(2)處理方式一樣，取。E中點M,連接AM并延長至N點，使得

連接NE,CE,結(jié)合“倍長中線”思想證明全等后，結(jié)合三角形的三邊關(guān)系建立不等式證

明即可得出結(jié)論.

【詳解】

證：(1)如圖所示，延長A。至P點，使得=P。，連接CP,

???AD是△A3C的中線，

???。為BC的中點，BD=CD,

在△48。與△尸C。中，

BD=CD

,NADB=/PDC

AD=PD

：.△ABDgAPCD(SAS),

：.AB=CPf

在AAPC中，由三邊關(guān)系可得AC+POAP,

：.AB+AC>2AD；

A

A

P

(2)如圖所示，取DE中點H,連接A〃并延長至Q點，使得A”二Q〃，連接。石和

QC

???H為DE中點,D、E為BC三等分點、,

:?DH=EH,BD=DE=CE,

:?DH=CH,

在△4班/和4QC”中，

BH=CH

vZBHA=4CHQ

AH=QH

：.△△QCH(SAS),

同理可得：

：?AB=CQ,AD=EQ,

此時，延長AE,交CQ于K點、,

'：AC+CQ=AC+CK-^QKfAC+CK>AKf

：.AC+CQ>AK+QK1

又?：AK+QK=AE+EK+QK,EK+QK>QE,

：.AK+QK>AE+QEf

：.AC+CQ>AK+QK>AE+QEf

U

：AB=CQ9AO二￡。，

：.AB+AC>AD+AE-,

Q

(3)如圖所示，取OE中點M,連接AM并延長至N點，使得AM=NM,連接NE,CE,

為DE中點,

：.DM=EM9

?:BD=CE,

；?BM=CM,

在△A3M和ANCM中，

BM=CM

<ZBMA=NCMN

AM=NM

：.XABMQ△NCM(SAS),

同理可證4ADM妾ANEM,

:.AB=NC,AD=NE,

此時，延長AE,交CN于T點，

■:AC+CN=AC+CT+NT,AC+CT>AT,

：.AC+CN>AT+NTf

又?；AT+NT=AE+ET+NT,ET+NT>NE,

：.AT+NT>AE+NEf

：.AC+CN>AT+NT>AE+NEf

?:AB=NC,AD=NE,

：.AB-^-AC>AD^AE.

A

【點睛】

本題考查全等三角形證明問題中輔助線的添加，掌握“倍長中線”的基本思想，以及熟練

運用三角形的三邊關(guān)系是解題關(guān)鍵.

24.定義：如果三角形三邊的長a、b、c滿足"g=那么我們就把這樣的三角

形叫做“勻稱三角形如：三邊長分別為1,1,1或3,5,7,…的三角形都是“勻稱

三角形

（1）已知“勻稱三角形”的兩邊長分別為4和6,則第三邊長為.

（2）如圖，^ABC^>,AB=AC,以A8為直徑的。。交BC于點D,過點D作DFLAC,

垂足為尸，交A5的延長線于E,求證：EF是。。的切線；

（3）在（2）的條件下，若B爰E=弓5，判斷△AEF是否為“勻稱三角形”？請說明理由.

CF3

【答案】（1）5或8；（2）見解析；（3）AAEF是“勻稱三角形”，見解析

【分析】

（1）設(shè)第三邊長為x,利用“勻稱三角形”的定義，列出方程，但是由于+等

式中，4,6,x均有可能為等式右邊的所以需要分三類討論，最終確定下來的三

邊長必須滿足“三角形兩邊之和大于第三邊“，故最終答案為5或8；

（2）要證明EF為。。切線，連接。。，由于。。是。。半徑，只需要證明ODJLEF,

又由于?？赺LAC,所以只需要證明QD//AC,又由于。為A8中點，只需要證明。為BC

的中點，因為AB是。。直徑，所以又因為A8=AC,所以。為8c的中點，

即可證明；

（3）因為。為8c的中點，仿照“中線倍長”模型，過8作所于如圖2,或

者在DE上截取DM=DF,構(gòu)造ABMD*CFD，所以8M=CF,將r=:轉(zhuǎn)化成生；

CF3BM3

Apnrs

因為BM//AC,所以ABEMS^AEF,可以得至」1大=二7=：7,設(shè)A￡=5X,則AF=3X,

A.FBM3

利用勾股定理求出EF=4x,滿足定義，即可證明.

【詳解】

解：(1)解：設(shè)第三邊長為x,

①當(dāng)4+：+x=6時,解得了=8,

②當(dāng)安尹=苫是，解得*=5,

③當(dāng)土宇=4時，解得x=2,

?/2+4=6,

「?當(dāng)三邊長為2,4,6時，不能構(gòu)成三角形，所以③舍去，

故答案為