電動(dòng)力學(xué)鏡像法

電動(dòng)力學(xué)鏡像法第1頁(yè)，課件共22頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月1.

靜電場(chǎng)標(biāo)勢(shì)及其微分方程2.唯一性定理3.拉普拉斯方程分離變量法4.鏡像法5.格林函數(shù)6.電多級(jí)矩本章內(nèi)容：本章重點(diǎn)：本章難點(diǎn)：分離變量法（柱坐標(biāo)）、電多極子靜電勢(shì)及其特性、分離變量法、鏡象法第2頁(yè)，課件共22頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月§2.1靜電勢(shì)及其微分方程Scalarpotentialanddifferentialequationforelectrostaticfield一、靜電場(chǎng)的標(biāo)勢(shì)二、靜電勢(shì)的微分方程和邊值關(guān)系

三．靜電場(chǎng)的能量本節(jié)主要內(nèi)容第3頁(yè)，課件共22頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月在靜止情況下，電場(chǎng)與磁場(chǎng)無(wú)關(guān)，麥?zhǔn)戏匠探M的電場(chǎng)部分為靜電場(chǎng)的無(wú)旋性是它的一個(gè)重要特性，由于無(wú)旋性，我們可以引入一個(gè)標(biāo)勢(shì)來(lái)描述靜電場(chǎng)，和力學(xué)中用勢(shì)函數(shù)描述保守力場(chǎng)的方法一樣。一、靜電場(chǎng)的標(biāo)勢(shì)這兩方程連同介質(zhì)的電磁性質(zhì)方程是解決靜電問(wèn)題的基礎(chǔ)。第4頁(yè)，課件共22頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月無(wú)旋性的積分形式是電場(chǎng)沿任一閉合回路的環(huán)量等于零，即設(shè)C1和C2為P1和P2點(diǎn)的兩條不同路徑。C1與C2合成閉合回路，因此電荷由P1點(diǎn)移至P2點(diǎn)時(shí)電場(chǎng)對(duì)它所作的功與路徑無(wú)關(guān)，只和兩端點(diǎn)有關(guān)。第5頁(yè)，課件共22頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月把單位正電荷由P1點(diǎn)移至P2點(diǎn)，電場(chǎng)E對(duì)它所作的功為這功定義為P1點(diǎn)和P2點(diǎn)的電勢(shì)差。若電場(chǎng)對(duì)電荷做了正功，則電勢(shì)

下降。由此第6頁(yè)，課件共22頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月由這定義，只有兩點(diǎn)的電勢(shì)差才有物理意義，一點(diǎn)上的電勢(shì)的絕對(duì)數(shù)值是沒(méi)有物理意義的。但在實(shí)際計(jì)算中，為了方便，常常選取某個(gè)參考點(diǎn)，規(guī)定其上的電勢(shì)為零，這樣整個(gè)空間的電勢(shì)就單值地確定了。參考點(diǎn)的選擇是任意的，在電荷分布于有限區(qū)域的情況下，常常選無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)作為參考點(diǎn)。令

()=0有第7頁(yè)，課件共22頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月相距為dl的兩點(diǎn)的電勢(shì)差由于因此，電場(chǎng)強(qiáng)度E等于電勢(shì)

的負(fù)梯度當(dāng)已知電場(chǎng)強(qiáng)度時(shí)，可以求出電勢(shì)；反過(guò)來(lái)，已知電勢(shì)φ時(shí)，通過(guò)求梯度就可以求得電場(chǎng)強(qiáng)度。第8頁(yè)，課件共22頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月點(diǎn)電荷Q激發(fā)的電場(chǎng)強(qiáng)度r為源點(diǎn)到場(chǎng)點(diǎn)的距離。把此式沿徑向由場(chǎng)點(diǎn)到無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)積分，電勢(shì)為下面來(lái)計(jì)算給定電荷分布所激發(fā)的電勢(shì)一組點(diǎn)電荷Qi激發(fā)的電勢(shì)若電荷連續(xù)分布，電荷密度為ρ，設(shè)r為源點(diǎn)x'到場(chǎng)點(diǎn)x的距離，則場(chǎng)點(diǎn)x處的電勢(shì)為第9頁(yè)，課件共22頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月二、靜電勢(shì)的微分方程和邊值關(guān)系電勢(shì)滿足的方程適用于均勻介質(zhì)

泊松方程

導(dǎo)出過(guò)程

拉普拉斯方程

適用于無(wú)自由電荷分布的均勻介質(zhì)第10頁(yè)，課件共22頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2．靜電勢(shì)的邊值關(guān)系(1)兩介質(zhì)分界面0

PQ電荷沿法線方向移動(dòng),切線分量不做功，沿法線方向做功為零（因電場(chǎng)有限，且間距趨于零）第11頁(yè)，課件共22頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第12頁(yè)，課件共22頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月導(dǎo)體的特殊性1、導(dǎo)體內(nèi)部不帶電，電荷只能分布于導(dǎo)體表面上；2、導(dǎo)體內(nèi)部電場(chǎng)為零；3、導(dǎo)體表面上電場(chǎng)必沿法線方向，因此導(dǎo)體表面為等勢(shì)面，整個(gè)導(dǎo)體的電勢(shì)相等。設(shè)導(dǎo)體表面所帶電荷面密度為σ，設(shè)它外面的介質(zhì)電容率為ε，導(dǎo)體表面的邊界條件為導(dǎo)體1自由電荷σε介質(zhì)2（2）導(dǎo)體表面上的邊值關(guān)系第13頁(yè)，課件共22頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月三．靜電場(chǎng)的能量一般方程：

能量密度

總能量

僅討論均勻介質(zhì)若已知

總能量為

導(dǎo)出過(guò)程：第14頁(yè)，課件共22頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月討論：（1）適用于靜電場(chǎng)，線性介質(zhì)；（2）適用于求總能量；（3）不能把看成是電場(chǎng)能量密度，它只能表示能量與存在著電荷分布的空間有關(guān)。真實(shí)的靜電能量是以密度的形式在空間連續(xù)分布，場(chǎng)強(qiáng)大的地方能量也大，不僅在電荷分布區(qū)域內(nèi)；（4）中的是由電荷分布激發(fā)的電勢(shì)；（5）在靜電場(chǎng)中，電場(chǎng)決定于電荷分布，在場(chǎng)內(nèi)沒(méi)有獨(dú)立的運(yùn)動(dòng)，因而場(chǎng)的能量就由電荷分布所決定；（6）若全空間充滿了介電常數(shù)為ε的均勻介質(zhì)，可以得到電荷分布ρ所激發(fā)的電場(chǎng)總能量式中r為與點(diǎn)的距離。第15頁(yè)，課件共22頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月此題也可用高斯定理（積分形式）求解。

=

=

電荷分布在有限區(qū)，參考點(diǎn)選在無(wú)窮遠(yuǎn)。根據(jù)對(duì)稱性，導(dǎo)體產(chǎn)生的場(chǎng)具有球?qū)ΨQ性，電勢(shì)也應(yīng)具有球?qū)ΨQ性。當(dāng)考慮較遠(yuǎn)處場(chǎng)時(shí)，導(dǎo)體球可視為點(diǎn)電荷。滿足

例1：帶電Q的導(dǎo)體球（半徑為a）產(chǎn)生的電勢(shì)。第16頁(yè)，課件共22頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月[例2]求帶電量Q、半徑為a的導(dǎo)體球的靜電場(chǎng)總能量。解整個(gè)導(dǎo)體為等勢(shì)體,導(dǎo)體球的電荷分布于球面上因此靜電場(chǎng)總能量為方法之一:按電荷分布方法之二:按電場(chǎng)分布因?yàn)榍騼?nèi)電場(chǎng)為零，故只須對(duì)球外積分第17頁(yè)，課件共22頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月[例3]求均勻電場(chǎng)的電勢(shì)。Solution:因?yàn)榫鶆螂妶?chǎng)中每一點(diǎn)強(qiáng)度相同，其電力線為平行直線，選空間任一點(diǎn)為原點(diǎn)，并設(shè)原點(diǎn)的電勢(shì)為。如果，oxpθy第18頁(yè)，課件共22頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

[例4]均勻帶電的無(wú)限長(zhǎng)直導(dǎo)線的電荷線密度的τ，求空間的電勢(shì)。場(chǎng)點(diǎn)pRozz'電荷源Solution:選取柱坐標(biāo)：源點(diǎn)的坐標(biāo)為（0,z），場(chǎng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（R,0），電荷元到P點(diǎn)的距離無(wú)窮大的積分結(jié)果與電荷不是有限區(qū)域內(nèi)分布有關(guān)。計(jì)算兩點(diǎn)P和P0的電勢(shì)差可以不出現(xiàn)無(wú)窮大。設(shè)P0點(diǎn)與導(dǎo)線的垂直距離為R0，則P點(diǎn)與P0點(diǎn)的電勢(shì)差為第19頁(yè)，課件共22頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月若選P0為參考點(diǎn)（即），則第20頁(yè)，課件共22頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例題5:電偶極子產(chǎn)生的電勢(shì)P點(diǎn)電勢(shì)：（無(wú)窮遠(yuǎn)為零點(diǎn)）構(gòu)成的系統(tǒng)，其偶極矩

求近似值：解：電偶極子：兩個(gè)相距為的同量異號(hào)點(diǎn)電荷同理

2222cos2coscos211RllRlrrrrrrqqq?-?-=--++--+Pzxy-QQ第21頁(yè)，課件共22頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月若電偶極子放在均勻介質(zhì)中（無(wú)限大介質(zhì)）