玻色統(tǒng)計和費米統(tǒng)計

玻色統(tǒng)計和費米統(tǒng)計第1頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月前言三種粒子系統(tǒng)非簡并性條件（經(jīng)典極限條件）玻耳茲曼統(tǒng)計的成功玻耳茲曼統(tǒng)計的遺留問題1，金屬固體的熱容量/低溫固體的熱容量2，空腔熱輻射問題中的“紫外災(zāi)難”第2頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月第1節(jié)熱力學(xué)量的統(tǒng)計表達式回憶：玻耳茲曼統(tǒng)計方法：

1，計算配分函數(shù)Z；

2，通過配分函數(shù)計算熱力學(xué)函數(shù)設(shè)想：量子統(tǒng)計方法：1，計算巨配分函數(shù)；2，通過巨配分函數(shù)計算熱力學(xué)函數(shù)第3頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月一，巨配分函數(shù)考慮玻色分布則內(nèi)能假設(shè)對比兩式，則：[ksai]：稱為巨配分函數(shù)第4頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月二，平均粒子數(shù)和廣義力對比巨配分函數(shù)平均粒子數(shù)廣義力對于PVT系統(tǒng)第5頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月三，熵和因子α用類似玻耳茲曼系統(tǒng)的方法，可計算出玻色系統(tǒng)的熵其中說明：1，對于玻色系統(tǒng)，可通過巨配分函數(shù)計算基本熱力學(xué)函數(shù)U,P,S2，再通過基本熱力學(xué)函數(shù)計算出其它熱力學(xué)量第6頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月四，熱力學(xué)公式玻色系統(tǒng)費米系統(tǒng)巨配分函數(shù)內(nèi)能廣義力/狀態(tài)方程熵第7頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月第2節(jié)弱簡并玻色氣體和費米氣體什么叫弱簡并性氣體？簡并性氣體？非簡并性氣體？弱簡并性氣體的內(nèi)能有何特點？在體積V內(nèi)，dε范圍內(nèi)的微觀狀態(tài)數(shù)：則系統(tǒng)粒子數(shù)為：“＋”表示費米氣體，“－”表示玻色氣體

g表示因自旋引起的狀態(tài)增加第8頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月系統(tǒng)的內(nèi)能為：方便推導(dǎo)起見，令x=βε

考慮代入N和U的積分，即可得到：第9頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月即：說明：1：在弱簡并情況下，內(nèi)能表達式分為兩部分。2：在玻耳茲曼分布的基礎(chǔ)上，考慮到系統(tǒng)的弱簡并性（此時玻色分布和費米分布不能通過簡并性條件利用玻耳茲曼分布的結(jié)果），增加了一項附加內(nèi)能。3：對于費米系統(tǒng)，附加內(nèi)能為正；對于玻色系統(tǒng)，附加內(nèi)能為負。

第10頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月第3節(jié)光子氣體一，空腔熱輻射（普朗克公式）有關(guān)概念：1，“紫外災(zāi)難”2，熱輻射，黑體，絕對黑體，黑體輻射，空腔輻射場第11頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月光子氣體電磁輻射場光子氣體光子是一種準粒子其中k稱為波矢，是電磁波方向2π長度上的波數(shù)。光子的自旋為s=1，為玻色子.玻色系統(tǒng)單態(tài)平均粒子數(shù)：

光子系統(tǒng)有其特殊性第12頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月光子系統(tǒng)的平均粒子數(shù)普朗克公式第13頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月光子系統(tǒng)的平均粒子數(shù)普朗克公式普朗克公式的意義1，瑞利-金斯用傳統(tǒng)理論推導(dǎo)出輻射能量正比于此結(jié)論導(dǎo)致“紫外災(zāi)難”，并且動搖了經(jīng)典物理的基礎(chǔ)。2，普朗克公式考慮光能量按hν傳播——量子力學(xué)的萌芽。第14頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月光子系統(tǒng)的平均粒子數(shù)普朗克公式普朗克公式極限情況1，低頻2，高頻－瑞利-金斯公式，導(dǎo)致“紫外災(zāi)難”－維恩公式，1896年第15頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月二，光子氣體的熱力學(xué)量可根據(jù)玻色分布的理論，先求巨配分函數(shù)，然后再求熱力學(xué)量。可利用普朗克公式直接求出系統(tǒng)的內(nèi)能。內(nèi)能密度的最大值－維恩位移定律，1893年第16頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月第4節(jié)玻色－愛因斯坦凝聚典型的玻色系統(tǒng)——光子氣體一般性的玻色系統(tǒng)有什么性質(zhì)？第17頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月一，愛因斯坦凝聚

費米系，溫度0K時，粒子不集中在基態(tài)玻色系，溫度0K時，粒子都處于基態(tài)，基態(tài)粒子數(shù)N0=NT>0K時，N0=N-N’。N0與N可相比擬T>Tc時，N0趨于零，N’趨于N反過來，當T<Tc時，玻色子會向基態(tài)凝聚

—稱為愛因斯坦凝聚。Tc—凝聚溫度，臨界溫度第18頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月基態(tài)與激發(fā)態(tài)發(fā)生愛因斯坦凝聚時粒子數(shù)的變化第19頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月二，化學(xué)勢

玻色系單量子態(tài)上的平均粒子數(shù)為

第20頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月三，基態(tài)上的粒子數(shù)而當系統(tǒng)溫度大于臨界溫度時，基態(tài)粒子數(shù)可忽略不計

第21頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月四，凝聚溫度

五，玻色氣體的熱容量

第22頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月六，He4的相變

1938年London用類比的方法解釋He4的超流動性1995年實現(xiàn)了堿金屬87Rb,23Na和7Li蒸汽的玻色凝聚。

考慮高溫時cv=3/2NK，結(jié)果畫在同一個圖里，如右所示。第23頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月第5節(jié)費米理想氣體

一，T=0K時

——費米能第24頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月第5節(jié)費米理想氣體

一，T=0K時

考慮溫度為0K時，上面積分的上下限可確定。則：

再考慮粒子數(shù)可計算出費米氣體的零點能:—費米能，0K時的粒子化學(xué)勢.第25頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月二，T>0K時

三，費米氣體的熱力學(xué)量

第26頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月四，金屬中的自由電子氣體金屬模型：離子——具有一定的結(jié)構(gòu)，骨架；價電子——公有電子，并且考慮電子之間相互作用很弱，以及電子與粒子場受力平均。對于Cu,Ag,Au,堿金屬，每個原子提供一個電子。則：原子數(shù)N=自由電子數(shù)N；金屬體積V=自由電子氣體V；金屬溫度T=自由電子溫度T。第27頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月五，一些概念：費米能，費米溫度，費米動量，費米速度

當T<TF時，可認為費米系統(tǒng)處于低溫，有些獨特的性質(zhì).TF

數(shù)量級約為104K.第28頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月六，金屬中自由電子的熱容量回顧：金屬的熱容量cv=3N0k.其中只包括原子的振動產(chǎn)生的熱容量，為什么自由電子不產(chǎn)生熱容量的貢獻？溫度影響的電子，范圍大約是kT的間隔.受影響的電子數(shù)目大約是：

其中TF費米溫度，通常金屬中大約為104K.則電子的熱容量貢獻與原子的相比，可以不計.第29頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月第6節(jié)固體熱容量

一：固體熱容量的基本實驗定律：1：常溫情形：——杜隆－伯替定律相差5%左右。用能量均分定理可以解釋。上一節(jié)還介紹了電子氣體為什么對熱容量不產(chǎn)生作用。2：低溫情形：實驗結(jié)果：而對于絕緣體γ=0，則項可判斷T3為晶格作用產(chǎn)生的熱容量。固體熱容量理論：1，愛因斯坦理論；2，德拜理論。第30頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月二：愛因斯坦固體熱容量理論：1：愛因斯坦模型：N個原子的振動：相當于圓頻率為ω的3N個簡諧振動。量子理論認為：——晶格振動的愛因斯坦模型2：熱容量公式：設(shè)固體溫度為T，由N個原子組成，均具有圓頻率為ω，根據(jù)愛因斯坦的固體模型，可看成是3N個簡諧振動。第31頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月其中每個簡諧振動的平均能量為：ω——需要根據(jù)不同固體實驗測定。習(xí)慣上定義愛因斯坦溫度θE來代替ω。3：與實驗比較：當T>>θE時，有：當T<<θE時，有：高溫符合實驗結(jié)果：杜?。娑桑坏蜏囟ㄐ苑蠈嶒炓?guī)律cv→0。缺點：不能給出T3的規(guī)律。第32頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月三：德拜理論：1：德拜模型：修改了愛因斯坦模型。認為3N個振子不以同一頻率ω振動，而各自具有不同的頻率ω1，ω2，ω3，……ωα……每個振子的平均能量為：總能量為：從形式上解決了問題，求出U，則：但ω1，ω2，ω3……ωα，均需實驗確定，N為極大的數(shù)量，全確定不可能。需要用其它方法解決此問題。則提出了——德拜頻譜。第33頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月2：德拜頻譜：通過低頻下的電磁波駐波數(shù)目：普朗克公式在低頻下的極限推論。對于固體，有：上式中第一項是彈性駐波在dω內(nèi)的橫波數(shù)目，第二項是縱波數(shù)目，不考慮偏振，相同情況下是橫波數(shù)目的一半。而總駐波數(shù)目為3N，即：ωD——最大駐波圓頻率。由上積分計算得：第34頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月則可用ωD表示g(ω)dω為：——德拜頻譜。ωD——德拜頻率，是待定參量，習(xí)慣上用德拜溫度θD來表示。德拜頻率測量方法：1，測量駐波速率；2，熱容量標定。3：熱容量：考慮ω的連續(xù)分布，求和變?yōu)榉e分：第35頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月代入德拜頻譜其中D(x)稱為德拜函數(shù)第36頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月驗證實驗結(jié)果：高溫時：低溫時：T<<θD，相當于x>>1，則：第37頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月1，試簡要說明什么是愛因斯坦凝聚現(xiàn)象？回答要點：（1）：對玻色系統(tǒng)而言。（2）：T較高時，基態(tài)N0≈0，激發(fā)態(tài)N'(T)≈N。（3）：當T<Tc（臨界溫度，凝聚溫度），N0(T)隨溫度T下降而顯著增加。當T=0K時，N0(T)=N。（4）：在T=Tc處發(fā)生了相變現(xiàn)象，大量玻色子在動量空間凝聚到動量最低的狀態(tài)。第38頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月2，簡要介紹統(tǒng)計物理對固體熱容量試驗定律的解釋?；卮鹨c：（1）：實驗表明：a,高溫時cv=3R（杜?。娑桑?；b,T→0時，cv→0；c,且有在低溫時，cv與T3