九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊專題11 圓的相關(guān)概念和性質(zhì)（熱考題型）-解析版

/專題11圓的相關(guān)概念和性質(zhì)【思維導(dǎo)圖】◎考點(diǎn)題型1圓的基礎(chǔ)概念圓的概念：在一個(gè)平面內(nèi)，線段繞它固定的一個(gè)端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn)所形成的圖形叫圓．這個(gè)固定的端點(diǎn)叫做圓心，線段叫做半徑．以點(diǎn)為圓心的圓記作⊙O，讀作圓O．特點(diǎn)：圓是在一個(gè)平面內(nèi)，所有到一個(gè)定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)組成的圖形．確定圓的條件：圓心；半徑，其中圓心確定圓的位置，半徑長確定圓的大小．補(bǔ)充知識(shí)：1）圓心相同且半徑相等的圓叫做同圓；2）圓心相同，半徑不相等的兩個(gè)圓叫做同心圓；3）半徑相等的圓叫做等圓．例．（2022·青海海東·九年級(jí)期末）下列說法中錯(cuò)誤的是（

）A．直徑是弦 B．經(jīng)過不在同一直線上三點(diǎn)可以確定一個(gè)圓C．三角形的外心到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等 D．兩個(gè)半圓是等弧【答案】D【分析】根據(jù)圓的性質(zhì)：弦的定義、確定圓的條件、外心性質(zhì)、弧的定義逐一判斷解答．【詳解】解：A.直徑是弦，故A正確；B.經(jīng)過不在同一直線上三點(diǎn)可以確定一個(gè)圓，故B正確；C.三角形的外心到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，故C正確；D.兩個(gè)半圓不一定是等弧，故D錯(cuò)誤，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查圓的性質(zhì)，是基礎(chǔ)考點(diǎn)，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．變式1．（2021·全國·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）、是半徑為的上兩個(gè)不同的點(diǎn)，則弦的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)圓的基本性質(zhì)可直接進(jìn)行求解．【詳解】∵圓中最長的弦為直徑，∴．∴故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查弦的概念，正確理解圓的弦長概念是解題的關(guān)鍵．變式2．（2021·四川涼山·中考真題）點(diǎn)P是內(nèi)一點(diǎn)，過點(diǎn)P的最長弦的長為，最短弦的長為，則OP的長為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)直徑是圓中最長的弦，知該圓的直徑是10cm；最短弦即是過點(diǎn)P且垂直于過點(diǎn)P的直徑的弦；根據(jù)垂徑定理即可求得CP的長，再進(jìn)一步根據(jù)勾股定理，可以求得OP的長．【詳解】解：如圖所示，CD⊥AB于點(diǎn)P．根據(jù)題意，得AB=10cm，CD=6cm．∴OC=5，CP=3∵CD⊥AB，∴CP=CD=3cm．根據(jù)勾股定理，得OP==4cm．故選B．【點(diǎn)睛】此題綜合運(yùn)用了垂徑定理和勾股定理．正確理解圓中，過一點(diǎn)的最長的弦和最短的弦．變式3．（2020·陜西·咸陽市秦都區(qū)教育局七年級(jí)階段練習(xí)）一個(gè)圓柱的側(cè)面展開圖是長方形，這個(gè)長方形的一組鄰邊長分別是6和8，則這個(gè)圓柱的底面半徑是（）A．3 B． C． D．或【答案】D【分析】圓柱體的側(cè)面展開圖為長方形，其中一條邊長為底面圓周長，另一條邊為圓柱體的高，分類討論，（1）當(dāng)6為底面圓周長時(shí)，（2）當(dāng)8為底面圓周長時(shí)，分別計(jì)算出底面半徑即可．【詳解】（1）當(dāng)6為底面圓周長時(shí)，6=，r=；

（2）當(dāng)6為底面圓周長時(shí)，8=，r=．所以r=或．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查圓柱體的側(cè)面展開圖以及圓的周長公式，由于底面圓周長的不確定，本題關(guān)鍵在于分類討論．◎考點(diǎn)題型2弦、弧、弦心距弦的概念：連結(jié)圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦。經(jīng)過圓心的弦叫做直徑，并且直徑是同一圓中最長的弦．弧的概念：圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧，簡稱弧．以為端點(diǎn)的弧記作，讀作弧AB．在同圓或等圓中，能夠重合的弧叫做等?。畧A的任意一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)把圓分成兩條弧，每一條弧都叫做半圓．在一個(gè)圓中大于半圓的弧叫做優(yōu)弧，小于半圓的弧叫做劣?。倚木喔拍睿簭膱A心到弦的距離叫做弦心距．弦心距、半徑、弦長的關(guān)系：（考點(diǎn)）QUOTE半徑2例．（2022·河北唐山·九年級(jí)期末）如圖所示，AB是⊙O的直徑，，∠COD＝34°，則∠A的度數(shù)是（

）A．51° B．56° C．68° D．78°【答案】A【分析】先利用圓心角與所對(duì)弧的關(guān)系求出圓心角∠BOE度數(shù)，再用圓周角定理求解即可．【詳解】解：∵∴∠DOC=∠DOE=∠BOC=34°，∴∠BOE=∠DOC+∠DOE+∠BOC=102°，∴∠A=∠BOE=51°，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查圓心角與所對(duì)弧的關(guān)系，圓周角定理，熟練掌握圓周角定理是解題的關(guān)鍵．變式1．（2022·湖南·長沙市長郡雙語實(shí)驗(yàn)中學(xué)二模）如圖，在⊙O中，CD是⊙O上的一條弦，直徑AB⊥CD，連接AC、OD，∠A=26°，則∠D的度數(shù)是（

）A．26° B．38° C．52° D．64°【答案】B【分析】根據(jù)垂徑定理得出，根據(jù)弧與圓心角關(guān)系得出∠COB=∠BOD，利用圓周角定理得出∠COB=2∠A=52°，然后利用直角三角形兩銳角互余性質(zhì)求解即可．【詳解】解：連接OC，∵CD是⊙O上的一條弦，直徑AB⊥CD，∴，∴∠COB=∠BOD，∵∠A=26°，∴∠COB=2∠A=52°，∴∠BOD=52°，∴∠D=90°-∠BOD=90°-52°=38°．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查垂徑定理，弧與圓心角關(guān)系，圓周角定理，直角三角形兩銳角互余性質(zhì)，掌握垂徑定理，弧與圓心角關(guān)系，圓周角定理，直角三角形兩銳角互余性質(zhì)是解題關(guān)．變式2．（2021·黑龍江·大慶市第六十九中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）下列說法中，正確的是（

）A．等弦所對(duì)的弧相等 B．等弧所對(duì)的弦相等C．圓心角相等，所對(duì)的弦相等 D．平分弦的直徑垂直于弦【答案】B【分析】根據(jù)弧、弦、圓周角的關(guān)系，垂徑定理，逐項(xiàng)判斷即可求解．【詳解】解：A、因?yàn)榈认宜鶎?duì)的弧有可能為優(yōu)弧，也可能是劣弧，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；B、等弧所對(duì)的弦相等，故本選項(xiàng)正確，符合題意；C、在同圓或等圓中，圓心角相等，所對(duì)的弦相等，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；D、平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了弧、弦、圓周角的關(guān)系，垂徑定理，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．變式3．（2022·安徽滁州·九年級(jí)期末）如圖，已知AB和CD是⊙O的兩條等弦，OM⊥AB、ON⊥CD，垂足分別為M、N，BA、DC的延長線交于點(diǎn)P，連接OP．下列四個(gè)說法：①=；②OM=ON；③PA=PC；④∠BPO=∠DPO；正確的個(gè)數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】如圖連接OB、OD，只要證明Rt△OMB≌Rt△OND，Rt△OPM≌Rt△OPN即可解決問題．【詳解】解：如圖連接OB、OD；∵AB=CD，∴=，故①正確；∵OM⊥AB，ON⊥CD，∴AM=MB，CN=ND，∴BM=DN，∵OB=OD，∴Rt△OMB≌Rt△OND，∴OM=ON，故②正確；∵OP=OP，∴Rt△OPM≌Rt△OPN，∴PM=PN，∠OPB=∠OPD，故④正確；∵AM=CN，∴PA=PC，故③正確，綜上，四個(gè)選項(xiàng)都正確，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理、圓心角、弧、弦的關(guān)系、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線面構(gòu)造全等三角形解決問題．◎考點(diǎn)題型3圓周角圓周角概念：頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都和圓相交的角叫做圓周角．圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半．推論1：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓周角相等，它們所對(duì)的弧一定相等．推論2：半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角，的圓周角所對(duì)的弦是直徑．（在同圓中，半弧所對(duì)的圓心角等于全弧所對(duì)的圓周角）例．（2022·福建廈門·九年級(jí)期末）如圖，△ABC內(nèi)接于圓，弦BD交AC于點(diǎn)P，連接AD．下列角中，所對(duì)圓周角的是（

）A．∠APB B．∠ABD C．∠ACB D．∠BAC【答案】C【分析】根據(jù)題意可直接進(jìn)行求解．【詳解】解：由圖可知：所對(duì)圓周角的是∠ACB或∠ADB，故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查圓周角的定義，熟練掌握圓周角是解題的關(guān)鍵．變式1．（2021·四川樂山·三模）如圖，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上，若∠OCA＝50°，AB＝4，則的長為（）A．π B．π C．π D．π【答案】B【分析】直接利用等腰三角形的性質(zhì)得出∠A的度數(shù)，再利用圓周角定理得出∠BOC的度數(shù)，再利用弧長公式求出答案．【詳解】解：∵∠OCA＝50°，OA＝OC，∴∠A＝50°，∴∠BOC＝2∠A＝100°，∵AB＝4，∴BO＝2，∴的長為：π．故選：B．【點(diǎn)睛】此題主要考查了弧長公式應(yīng)用以及圓周角定理，正確得出∠BOC的度數(shù)是解題關(guān)鍵．變式2．（2022·湖南株洲·九年級(jí)期末）如圖，已知⊙O是△ABD的外接圓，AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的弦，∠ABD=56°，則∠BCD的度數(shù)是（

）A．46° B．56° C．34° D．24°【答案】C【分析】先判斷出，從而可得，再根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等可得答案．【詳解】解：∵是的直徑，∴，∵，∴，∴，故選C【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理及其推論，在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半，熟練掌握圓周角定理是解題的關(guān)鍵．變式3．（2022·河南商丘·九年級(jí)期末）如圖，已知AB是⊙O的直徑，CD是弦，若∠BCD=36°，則∠ABD等于（）A．54° B．56° C．64° D．66°【答案】A【分析】根據(jù)圓周角定理得到∠ADB=90°，∠A=∠BCD=36°，然后利用互余計(jì)算∠ABD的度數(shù)．【詳解】解：∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB=90°，∵∠A=∠BCD=36°，∴∠ABD=90°-∠A=90°-36°=54°．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半．半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角，直角三角形的兩個(gè)銳角互余．◎考點(diǎn)題型4圓心角定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等、所對(duì)的弦相等、所對(duì)的弦的弦心距相等。推論：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中，有一組相等，那么他們所對(duì)的其余各組量分別相等。例．（2022·安徽·合肥市廬陽中學(xué)三模）如圖所示，量角器的圓心O在矩形ABCD的邊AD上，直徑經(jīng)過點(diǎn)C，則∠OCB的度數(shù)為（

）A．30° B．40° C．50° D．60°【答案】B【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)得到BC∥AD，即可根據(jù)平行線的性質(zhì)求解．【詳解】解：如圖，∵∠AOE＝40°，∠AOE＝∠DOC，∴∠DOC＝40°，∵四邊形ABCD是矩形，∴BC∥AD，∴∠OCB＝∠DOC＝40°，故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查了矩形的性質(zhì)，熟記矩形的對(duì)邊平行是解題的關(guān)鍵．變式1．（2020·安徽合肥·九年級(jí)期末）如圖，在⊙O中，AB是弦，C是弧AB上一點(diǎn)．若∠OAB＝25°，∠OCA＝40°，則∠BOC的度數(shù)為（）A．30° B．40° C．50° D．60°【答案】A【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出∠OBA＝∠OAB＝25°，∠OAC＝∠OCA＝40°，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠AOB和∠AOC，再求出答案即可．【詳解】解：∵OA＝OB，∠OAB＝25°，∴∠OBA＝∠OAB＝25°，∴∠AOB＝180°﹣∠OAB﹣∠OBA＝130°，∵OA＝OC，∠OCA＝40°，∴∠OAC＝∠OCA＝40°，∴∠AOC＝180°﹣∠OAC﹣∠OCA＝100°，∴∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC＝130°﹣100°＝30°，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查圓心角的定義，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，解題關(guān)鍵是掌握圓心角的定義．變式2．（2021·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知，點(diǎn)是平分線上一點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)是的外心時(shí)，（）A．95° B．100° C．110° D．115°【答案】B【分析】根據(jù)圓周角，圓心角的性質(zhì)解答即可．【詳解】解：如圖示，∵點(diǎn)是的外心，∴，，三點(diǎn)共圓，∴，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角，圓心角的性質(zhì)，熟悉相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．變式3．（2021·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，點(diǎn)A、B、C在⊙O上，且∠ACB=100o，則∠α度數(shù)為（

）A．160o B．120o C．100o D．80o【答案】A【分析】在⊙O取點(diǎn)，連接利用圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)與一條弧所對(duì)的圓心角是它所對(duì)的圓周角的2倍，可得答案．【詳解】解：如圖，在⊙O取點(diǎn)，連接四邊形為⊙O的內(nèi)接四邊形，．故選A【點(diǎn)睛】本題考查的是圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，同弧所對(duì)的圓心角是它所對(duì)的圓周角的2倍，掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．◎考點(diǎn)題型5垂徑定理垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條?。Ｒ娸o助線做法（考點(diǎn)）：過圓心，作垂線，連半徑，造，用勾股，求長度；有弧中點(diǎn)，連中點(diǎn)和圓心，得垂直平分．例．（2022·湖北荊門·中考真題）如圖，CD是圓O的弦，直徑AB⊥CD，垂足為E，若AB＝12，BE＝3，則四邊形ACBD的面積為(

)A．36 B．24 C．18 D．72【答案】A【分析】連接OC，首先根據(jù)題意可求得OC=6，OE=3，根據(jù)勾股定理即可求得CE的長，再根據(jù)垂徑定理即可求得CD的長，據(jù)此即可求得四邊形ACBD的面積．【詳解】解：如圖，連接OC，∵AB＝12，BE＝3，∴OB＝OC＝6，OE＝3，∵AB⊥CD，∴在Rt△COE中，，∴CD＝2CE＝6，∴四邊形ACBD的面積＝．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，垂徑定理，熟練掌握和運(yùn)用垂徑定理是解決本題的關(guān)鍵．變式1．（2019·浙江·麗水市實(shí)驗(yàn)學(xué)校一模）圓的半徑為13cm，兩弦AB∥CD，AB=24cm，CD=10cm，則兩弦AB和CD的距離是（

）A．7cm B．17cm C．12cm D．7cm或17cm【答案】D【分析】分AB、CD在圓心的同側(cè)和異側(cè)兩種情況，根據(jù)垂徑定理和勾股定理進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】第一種情況：兩弦在圓心的一側(cè)時(shí)，∵CD=10cm，，∴，∵圓的半徑為13cm，∴OD=13cm，∴利用勾股定理可得：，同理可求OF=5cm，∴EF=OE-OF=12cm-5cm=7cm；第二種情況：只是EF=OE+OF=17cm．其它和第一種一樣；綜上分析可知，兩弦之間的距離為7cm或17cm，故D正確．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查的是垂徑定理及勾股定理的應(yīng)用，靈活運(yùn)用定理、注意分AB、CD在圓心的同側(cè)和異側(cè)兩種情況討論是解題的關(guān)鍵．變式2．（2021·廣東·珠海市斗門區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級(jí)期中）如圖，⊙O中，如果∠AOB＝2∠COD，那么（

）A．AB＝DC B．AB＜DC C．AB＜2DC D．AB＞2DC【答案】C【分析】過點(diǎn)O作OE⊥AB交⊙O于點(diǎn)E，連接AE、BE，可得∠AOE＝∠BOE＝∠AOB，根據(jù)∠COD＝∠AOB，知∠AOE＝∠BOE＝∠COD，即CD＝AE＝BE，在△ABE中，由AE＋BE＞AB可得2CD＞AB．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)O作OE⊥AB交⊙O于點(diǎn)E，連接AE、BE，∴∠AOE＝∠BOE＝∠AOB，又∵∠COD＝∠AOB，∴∠AOE＝∠BOE＝∠COD，∴CD＝AE＝BE，∵在△ABE中，AE＋BE＞AB，∴2CD＞AB，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查垂徑定理和圓心角定理，根據(jù)∠AOB＝2∠COD利用垂徑定理將角平分，從而根據(jù)圓心角定理得出答案是解題的關(guān)鍵．變式3．（2022·山東·濰坊市寒亭區(qū)教學(xué)研究室二模）圖，已知以的邊AB為直徑的經(jīng)過點(diǎn)C，交于點(diǎn)D，連接BD．若，則的度數(shù)為（

）A．32° B．27° C．24° D．18°【答案】B【分析】由AB為直徑的經(jīng)過點(diǎn)C，得出∠C=90°，從而求出∠ABC=54°，再由垂徑定理證得，則可由圓周角定理得出∠ABD=∠CBD，所以∠ABD=∠ABC=27°，最后由等腰三角形性質(zhì)得出∠ODB=∠ABD，即可求得答案．【詳解】解：∵AB為直徑的經(jīng)過點(diǎn)C，∴∠C=90°，∵，∴∠ABC=54°，∵交于點(diǎn)D，∴，∴∠ABD=∠CBD，∴∠ABD=∠ABC=×54°=27°，∵OD=OC，∴∠ODB=∠ABD=27°，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查垂徑定理，圓周角定理及其推論，熟練掌握垂徑定理＼圓周角定理及其推論是解題的關(guān)鍵．◎考點(diǎn)題型6垂徑定理的推論推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條??；例．（2022·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）下列命題是真命題的是（）A．在同圓或等圓中，相等的弦所對(duì)的圓心角相等，所對(duì)的弧也相等B．平分弦的直徑垂直于弦C．一組對(duì)邊平行且一組對(duì)角相等的四邊形是平行四邊形D．兩條直線被第三條直線所截，內(nèi)錯(cuò)角相等【答案】C【分析】利用圓的有關(guān)性質(zhì)、垂徑定理、平行四邊形的判定方法及平行線的性質(zhì)分別判斷后即可確定正確的選項(xiàng)．【詳解】A、在同圓或等圓中，相等的弦所對(duì)的圓心角相等，所對(duì)的弧不一定相等，故原命題錯(cuò)誤，是假命題，不符合題意；B、平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，故原命題錯(cuò)誤，是假命題，不符合題意；C、如圖，四邊形ABCD，ABCD，∠A=∠C，∵ABCD，∴∠A+∠D=180°，又∵∠A=∠C，∴∠C+∠D=180°，∴ADBC，∴四邊形ABCD是平行四邊形，故一組對(duì)邊平行且一組對(duì)角相等的四邊形是平行四邊形，正確，是真命題，符合題意；D、兩條平行直線被第三條直線所截，內(nèi)錯(cuò)角相等，故原命題錯(cuò)誤，是假命題，不符合題意．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了命題與定理的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是了解圓的有關(guān)性質(zhì)、垂徑定理、平行四邊形的判定方法及平行線的性質(zhì)等知識(shí)，難度不大．變式1．（2022·四川廣安·二模）下列說法錯(cuò)誤的是（）A．方差可以衡量一組數(shù)據(jù)的波動(dòng)大小B．抽樣調(diào)查抽取的樣本是否具有代表性，直接關(guān)系對(duì)總體估計(jì)的準(zhǔn)確程度C．平分弦的直徑垂直于這條弦D．過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行【答案】C【分析】根據(jù)方差和抽樣調(diào)查的特點(diǎn)、垂徑定理的推論、平行公理逐項(xiàng)判斷解答即可．【詳解】解：A、方差可以衡量一組數(shù)據(jù)的波動(dòng)大小，正確；B、抽樣調(diào)查抽取的樣本是否具有代表性，直接關(guān)系對(duì)總體估計(jì)的準(zhǔn)確程度，正確；C、平分弦（不是直徑）的直徑垂直于這條弦，錯(cuò)誤；D、過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行，正確，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查方差、抽樣調(diào)查、垂徑定理的推論、平行公理，明確題意，熟知相關(guān)知識(shí)是解答的關(guān)鍵．變式2．（2022·海南省直轄縣級(jí)單位·二模）如圖，是的直徑，點(diǎn)，在上，點(diǎn)是的中點(diǎn)，過點(diǎn)畫的切線，交的延長線于點(diǎn)，連接．若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)切線的性質(zhì)得到BA⊥AD，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出∠B，根據(jù)圓周角定理得到∠ACB=90°，進(jìn)而求出∠BAC，根據(jù)垂徑定理得到BA⊥EC，進(jìn)而得出答案．【詳解】解：∵AD是⊙O的切線，∴BA⊥AD，∵∠ADB=58°，∴∠B=90°-∠ADB=32°，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°，∴∠BAC=90°-∠B=58°，∵點(diǎn)A是的中點(diǎn)，∴BA⊥EC，∴∠ACE=90°-∠BAC=32°，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查的是切線的性質(zhì)、圓周角定理、垂徑定理，掌握圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑是解題的關(guān)鍵．變式3．（2022·內(nèi)蒙古包頭·模擬預(yù)測）下列說法中，正確的說法有（

）①平分弦的直徑垂直于弦；②一元二次方程x2﹣x﹣6＝0的根是x1＝3，x2＝﹣2③點(diǎn)P（1，2）關(guān)于x軸對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是（1，2）；④對(duì)角線垂直且相等的四邊形一定是菱形；⑤在數(shù)據(jù)1，4，4，0，2中，眾數(shù)是4，中位數(shù)是4A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】A【分析】根據(jù)此弦可能過圓心，即可推出平分弦的直徑不一定垂直于弦（直徑）；通過解一元二次方程；關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)的特征；菱形的判定定理；眾數(shù)、中位數(shù)的概念進(jìn)行分析解答，通過排除法即可推出結(jié)論．【詳解】①若此弦為直徑，則平分弦的直徑不一定垂直于弦（直徑）；故本項(xiàng)說法錯(cuò)誤，②通過對(duì)原方程變形得：（x﹣3）（x+2）＝0，即可推出x﹣3＝0或x+2＝0，推出x1＝3，x2＝﹣2，故本項(xiàng)說法正確，③點(diǎn)P（1，2）關(guān)于x軸對(duì)稱點(diǎn)的縱坐標(biāo)應(yīng)在y軸的負(fù)半軸上，所以坐標(biāo)是（1，﹣2），故本項(xiàng)說法錯(cuò)誤，④對(duì)角線垂直且相等的四邊形不一定是菱形，還有可能為正方形或?qū)蔷€互相垂直的等腰梯形，故本項(xiàng)說法錯(cuò)誤，⑤在數(shù)據(jù)1，4，4，0，2中，眾數(shù)是4，中位數(shù)是2，故本項(xiàng)說法錯(cuò)誤，所以②一項(xiàng)說法正確，故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查垂徑定理的推論，關(guān)于x軸、y軸的點(diǎn)的坐標(biāo)的特征，菱形的判定定理，中位數(shù)的概念等知識(shí)點(diǎn)，關(guān)鍵在于正確的根據(jù)相關(guān)的性質(zhì)定理逐項(xiàng)分析解答，排除錯(cuò)誤的項(xiàng)．◎考點(diǎn)題型7垂徑定理的實(shí)際應(yīng)用例．（2022·湖北十堰·中考真題）如圖，是等邊的外接圓，點(diǎn)是弧上一動(dòng)點(diǎn)（不與，重合），下列結(jié)論：①；②；③當(dāng)最長時(shí)，；④，其中一定正確的結(jié)論有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得，從而得到∠ADB=∠BDC，故①正確；根據(jù)點(diǎn)是上一動(dòng)點(diǎn)，可得不一定等于，故②錯(cuò)誤；當(dāng)最長時(shí)，DB為圓O的直徑，可得∠BCD=90°，再由是等邊的外接圓，可得∠ABD=∠CBD=30°，可得，故③正確；延長DA至點(diǎn)E，使AE=AD，證明△ABE≌△CBD，可得BD=AE，∠ABE=∠DBC，從而得到△BDE是等邊三角形，可得到DE=BD，故④正確；即可求解．【詳解】解：∵△ABC是等邊三角形，∴AB=BC，∠ABC=60°，∴，∴∠ADB=∠BDC，故①正確；∵點(diǎn)是上一動(dòng)點(diǎn)，∴不一定等于，∴DA=DC不一定成立，故②錯(cuò)誤；當(dāng)最長時(shí)，DB為圓O的直徑，∴∠BCD=90°，∵是等邊的外接圓，∠ABC=60°，∴BD⊥AC，∴∠ABD=∠CBD=30°，∴，故③正確；如圖，延長DA至點(diǎn)E，使AE=DC，∵四邊形ABCD為圓O的內(nèi)接四邊形，∴∠BCD+∠BAD=180°，∵∠BAE+∠BAD=180°，∴∠BAE=∠BCD，∵AB=BC，AE=CD，∴△ABE≌△CBD，∴BD=AE，∠ABE=∠DBC，∴∠ABE+∠ABD=∠DBC+∠ABD=∠ABC=60°，∴△BDE是等邊三角形，∴DE=BD，∵DE=AD+AE=AD+CD，∴，故④正確；∴正確的有3個(gè)．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓周角定理，三角形的外接圓，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，垂徑定理，等邊三角形的判定